精品解析：内蒙古师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

内师大附中2025级高二年级第一学期10月月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号和座位号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请考生将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请考生将答题卡交回，将试题自行保留． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. -1 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得． 2. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用数量积定义和运算律即可求解. 【详解】由 ， 所以， 故选：B. 3. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 4. 当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程. 【详解】设，因为的中点为， 所以，所以， 又因为在圆上，所以， 所以的轨迹方程即为， 故选：C. 5. 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 6. 空间中，若向量共面，则（  ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数使得，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量共面知，，则， 所以，可得. 故选：B 7. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为 故，解得，即对称点，故原点到点的距离， 所以最短距离为． 故选：C 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知两个向量，且，则 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. ，则在上的投影向量坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项，利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项，利用空间中四点共面的推论可判断C选项，利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，且，， 则，故A正确； 对于B选项，，，且， 设，即， 则，解得，故，故B正确； 对于C选项，若四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故四点不共面，故C错误； 对于D选项，若，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为等腰三角形 C. 的外接圆方程为 D. 的重心位于直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 过，的平面截正方体所得截面图形的周长为 B. 为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则 C. 为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，平面截正方体所得截面为,计算出周长即可；对于B，为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角，使用向量法求出线面角正弦值即可；对于C，作交于点，由于,所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足，所以，点在内运动（含边界），又，所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧，计算出弧长即可判断；对于D，设三棱锥的外接球心，通过数量关系计算出球心坐标及球半径即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，那么, , 对于A：平面截正方体所得截面为,的周长为，故A正确； 对于B:为平面内的直线，与所成角的最小角为：直线与直线在平面内的射影所成角即直线与平面所成角， 设平面法向量为,则， 取，则为平面的一个法向量，，故B正确； 对于C：作交于点，由于, 所以，平面,又为正方体内一动点（含边界），总满足， 所以，点在内运动（含边界），又， 所以，点的轨迹为以为球心，半径为1的球与的公共部分弧， 由于,所以，弧长为，故C错误； 对于D：设三棱锥的外接球心， 由于平面,平面,所以, 所以，为直角三角形，设线段中点为,则， 那么， 由可得， 所以，，球半径, ,故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 14. 已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及共面定理可得，由等体积法求得,,根据，结合基本不等式求解即可. 【详解】由于四边形是平行四边形，可得, 则, 根据题意, 而,,,四点共面， 所以，可得， , , , 当且仅当，即时取等号. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆的一般方程表示圆的充要条件列不等式求解； （2）先确定圆的圆心与半径，再求圆心关于直线的对称点作为的圆心，半径与相等，即可写出的标准方程. 【详解】（1）圆的一般方程表示圆的充要条件为， 对于方程，对应系数，，， 代入条件得： 化简得，即，解得. （2）由圆的标准方程，得的圆心为，半径， 因圆与关于直线对称，故半径与相等， 且的圆心是关于该直线的对称点， 满足：①线段的中点在直线上； ②直线与直线垂直，斜率乘积为， 直线的斜率为，故， 列方程组得， 整理得，解得，即的圆心为，半径为， 故的标准方程为. 16. 如图，在正方体中，是棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）确定平面与平面的交线； （3）在棱上是否存在一点，使得面？请证明你的结论. 【答案】（1） （2） 交线为. （3）存在，理由如下： ， 设， ， ， 设平面的法向量为， 所以有， 假设在棱上存在一点，使得面， 因此有， ∴当是的中点时，面. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）利用正方体的性质，结合三角形中位线定理、平行线的性质进行求解即可； （3）利用直线与平面平行的向量表示求解即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由正方体的性质可知：平面， 所以平面的法向量为，， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 设的中点为，连接，因为是棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以四边形是平行四边形，因此， 所以，所以平面就是平面， 所以平面与平面的交线为； 【小问3详解】 略 17. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）或 （2）24， 【解析】 【分析】（1）分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可； （2）设坐标，根据截距式结合基本不等式计算即可. 【小问1详解】 若截距为0，则该直线方程为； 若截距不为0，不妨设轴上的截距为，则轴上的截距为， 该直线方程为，将点代入解得，即， 综上直线的方程为或； 【小问2详解】 由题意可设，则，且， 由基本不等式可知，所以， 则，当且仅当时取得最小值，此时. 18. 如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边，的中点，将沿向上翻折，点到达点的位置，连接，，，得到一个五棱锥． （1）证明：无论翻折到何种位置，直线与直线始终垂直； （2）当五棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接，，，则三点共线. 在正方形中，点，分别是边，的中点，所以． 又，故，即，． 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，利用正方形的性质以及翻折前后长度、角度不变，证明 、，进而证明 ； （2）先根据棱锥体积最大的条件确定 底面 ，再建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求两个平面的夹角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设五棱锥 的高为 ． 底面 的面积为定值，且翻折过程中 为定值． 因为 在底面 所在平面内，所以 ，当且仅当 平面 时取等号． 因此当五棱锥的体积最大时，底面，此时两两垂直， 故可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则即 令，得，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为在中，，，所以， 根据折叠关系，而且平面， 所以平面，平面，则，又， 由，平面，所以平面； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，应用线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，并求出相关直线的方向向量、平面的法向量，应用点面距的向量求法求距离； （3）根据（2）所建坐标系，设，，，求出相关平面的法向量，再由平面垂直列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为DE经过的重心，故，由（1）知平面， 以为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，. 由几何关系知， 故， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； 【小问3详解】 设，，，即， 即，，. 设平面CMN的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面DEN的法向量为，， 则，即，令，则， 若平面CMN与平面DEN垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内师大附中2025级高二年级第一学期10月月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号和座位号填写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请考生将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请考生将答题卡交回，将试题自行保留． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. -1 C. 0 D. -2 2. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 空间中，若向量共面，则（  ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 8. 如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知，且，则 B. 已知两个向量，且，则 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. ，则在上的投影向量坐标为 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（ ） A. 为直角三角形 B. 为等腰三角形 C. 的外接圆方程为 D. 的重心位于直线上 11. 在棱长为的正方体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 过，的平面截正方体所得截面图形的周长为 B. 为平面内的直线，若与所成角的最小角为，则 C. 为正方体内一动点（含边界），总满足且，则的轨迹的长度为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14. 已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，设，，则四棱锥体积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 16. 如图，在正方体中，是棱的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）确定平面与平面的交线； （3）在棱上是否存在一点，使得面？请证明你的结论. 17. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，在边长为4的正方形中，点，分别是边，的中点，将沿向上翻折，点到达点的位置，连接，，，得到一个五棱锥． （1）证明：无论翻折到何种位置，直线与直线始终垂直； （2）当五棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $