精品解析：吉林省第二实验朝阳学校2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年度下学期八年级数学作业 八年级上学期第一阶段检测 一、选择题（共8小题） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 6. 展开后不含x的一次项，则m为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 9. 分解因式：=_______________． 10. 已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 11. 的平方根是____． 12. 若，，则代数式的值是______． 13. 若，，则的值是___________. 14. 计算： _______． 三、解答题（共10小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 计算： （1）． （2）； 17. 解方程： （1）； （2） 18. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 19. 分解因式： （1） （2） 20. 简便运算： （1） （2） 21. 如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若，，计算草坪的造价． 22. 如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则_______． 23. 观察下列各式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 根据上述规律，回答下列问题： （1）________． （2）写出第个等式：________． （3）计算：的值． 24. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）若，求的值： （2）填空： ①若，则______； ②若______； （3）两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度下学期八年级数学作业 八年级上学期第一阶段检测 一、选择题（共8小题） 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．逐个判断即可． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 综上：无理数有、、，共3个， 故选：B． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根及算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键； 【详解】解：A. ，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，积的乘方法则，单项式乘单项式，合并同类项的法则，逐项计算后判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．不能合并，原计算错误； C．，计算正确； D．，原计算错误． 故选：C． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 5. 《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（ ） A. 2和3 B. 3和4 C. 4和5 D. 5和6 【答案】C 【解析】 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 6. 展开后不含x的一次项，则m为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键． 先根据多项式乘以多项式法则进行计算，合并同类项，根据已知得出方程，求解即可． 【详解】解： ∵展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：B． 7. 下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，掌握公式的特点是解题的关键．根据平方差公式的特点分析即可． 【详解】解：A、满足平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符号题意； B、，不能用平方差公式计算，不符号题意； C、，不能用平方差公式计算，不符号题意； D、两个因式都是两数的差的积，不能用平方差公式计算，不符号题意； 故选：A． 8. 如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 9. 分解因式：=_______________． 【答案】a（a﹣b）． 【解析】 【详解】解：=a（a﹣b）． 故答案为a（a﹣b）． 【点睛】本题考查因式分解-提公因式法． 10. 已知，，，则a，b，c的大小关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数的大小，当底数大于1时，指数相同，底数越大，幂越大，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：，  ， ， 因为，且指数都为， ， 所以 ，即． 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 若，，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的运用，代数式求值，利用提公因式法可得，再代入已知条件计算即可求解，掌握因式分解的运用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 13. 若，，则的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 14. 计算： _______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 三、解答题（共10小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 计算： （1）． （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根和立方根，再进行加减计算； （2）分别计算算术平方根和立方根和化简绝对值，再进行加减计算； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得：或 【小问2详解】 解： 解得： 18. 已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）， （2）的算术平方根为6 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得a的值；根据立方根的定义求得b的值； （2）先把a、b的值代入求解，再计算算术平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为6． 19. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 简便运算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，完全平方公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）将原式变形后利用平方差公式计算即可； （2）将原式变形后利用完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ． 21. 如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边长为米，四条小路的长与宽都为b米和米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米20元． （1）用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． （2）若，，计算草坪的造价． 【答案】（1）平方米 （2）21000元 【解析】 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的混合运算，（1）根据题意得，利用大正方形的面积减去小正方形的面积和小路的面积等于阴影部分的面积即可求解； （2）由题意得，草坪的造价为：，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：由图可得，草坪面积为： ； 【小问2详解】 解：由题意得，草坪的造价为：， ∵，， ∴ （元） 答：草坪的造价为21000元． 22. 如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． （1）求证：； （2）若，则_______． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质： （1）先证，再根据证明； （2）由全等三角形的性质可得，结合，求出，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， ， 故答案为：． 23. 观察下列各式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 根据上述规律，回答下列问题： （1）________． （2）写出第个等式：________． （3）计算：的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，解题关键是根据已知等式，找出规律． （1）（2）小题均观察已知的四个等式可知：被除数含的项的指数比等式的序号多1，商含有的项的最高指数和等式的序号相同，由此得到规律，进行解答即可； （3）根据（2）中所得规律，把算式写成等式的形式，然后利用此规律进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； 第五个等式：； ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ， 第个等式：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由以上规律可知： ． 24. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）若，求的值： （2）填空： ①若，则______； ②若______； （3）两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）7 （2）①7；②5 （3）17 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，代入 从而可得答案； （2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可； ②利用完全平方公式变形可得，再求值即可； （3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案． 【小问1详解】 解： ，，而 解得：； 【小问2详解】 解：①， ； 故答案为：7； ②，， ； 故答案为：5； 【小问3详解】 解：三点共线，且 三点共线， ∵两块形状和大小完全相同的特制直角三角板 ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $