精品解析：吉林大学附属中学2025-2026学年第一学期八年级数学第四次学情自测

初二数学 吉林大学附属中学初二数学 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A. 等边三角形的三个内角都相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，，则 D. 对顶角相等 5. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 分解因式：______． 10. 比较大小：______． 11. 定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 12. 如图，中，，点是上一点，的垂直平分线分别交、于点，则的度数为______________ 13. 如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 14. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②的周长不变； ③； ④，分别表示和的面积，则． 其中正确的结论序号是______ 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，B，C，D，E在同一直线上，．求证：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，________； （2）在图①中，在上确定一点D，连接，使； （3）在图②中，在内确定一点E，连接、、，使． 19. （1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，． ①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 20. 如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）当时，求的长度； （3）①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 吉林大学附属中学初二数学 1. 在实数，，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是不循环的数．逐个判断即可． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 综上：无理数有、、，共3个， 故选：B． 2. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根及算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键； 【详解】解：A. ，故正确； B. ，故错误； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：A 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，积的乘方法则，单项式乘单项式，合并同类项的法则，逐项计算后判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．不能合并，原计算错误； C．，计算正确； D．，原计算错误． 故选：C． 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A. 等边三角形的三个内角都相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 若，，则 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题、真命题与假命题：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．解决本题的关键是分别写出这四个命题的逆命题，再判断逆命题的真假． 【详解】解：A选项：命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是“三个内角都相等的的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故A选项符合题意； B选项：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定是全等三角形，所以这个逆命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：命题“，，则”的逆命题是“若，则，”，当时，有可能是、异号并且正数的绝对值大，所以这个逆命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，两个角相等不一定是对顶角，所以这个逆命题是假命题，故D选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 6. 如图，中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：B． 7. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当的角是底角时和当的角是顶角时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理，可得底角是； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识，理解并掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 8. 如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与性质．连接，由折叠与对称的性质可得，，，可判定△BCG为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接． 长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕为， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 故选：D． 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可． 【详解】 故答案为∶． 【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键． 11. 定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k，等腰△ABC中，若，则它的特征值k＝_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况： 为顶角或 为底角，再根据三角形内角和定理可求得底角或顶角的度数，即可得到它的特征值k． 【详解】解：当为顶角时，则底角； 此时，特征值； 当为底角时，则顶角为； 此时，特征值； 故答案为或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 12. 如图，中，，点是上一点，的垂直平分线分别交、于点，则的度数为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用三角形的内角和解答即可． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 13. 如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，A、B、C、D、E均为格点，连接，则____ 【答案】##度 【解析】 【分析】取格点F，连接，利用勾股定理，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，证明四边形是平行四边形，得， ，求解即可； 【详解】解：取格点F，连接， 根据勾股定理，得，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ． 14. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②的周长不变； ③； ④，分别表示和的面积，则． 其中正确的结论序号是______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点．等腰直角三角形的性质证明，从而得出是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断． 【详解】解：∵，，为中点，， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的动点， ∴的长度是变化的， ∴的值是变化， ∴的周长是变化的，故结论②错误； ∵， ， ∴，故结论③正确； ∵的面积， 当时，的值最小， 此时，， 当点与或重合时，最大为， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，进行求解即可； （2）根据多项式除以单项式运算法则，进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 如图，B，C，D，E在同一直线上，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， 即． ． ， ， 即， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键；由平行线的性质得，由，可得；利用证明，则，从而，由平行线的判定得． 【详解】略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算-化简求值，根据完全平方公式，多项式乘以多项式进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，________； （2）在图①中，在上确定一点D，连接，使； （3）在图②中，在内确定一点E，连接、、，使． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3） 如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用割补法求解三角形的面积即可； （2）如图，取格点，连接交于，则即为所求； （3）如图，取格点，连接交于，取格点，，连接交于，连接，，则即为所求； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：连接，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由（2）可得：是的垂直平分线，， ∴，， ∴为格点， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的判定与性质，格点作图，熟练的作图是解本题的关键. 19. （1）【问题发现】如图①，和均为等边三角形，连接，，则线段、之间的数量关系是_________： （2）【类比探究】如图②，和均为等腰直角三角形，，点在的内部，连接，． ①当点、、在同一直线上时，则的度数为_________ ②请写出线段、之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，，将绕点逆时针旋转，旋转的过程中点和点在边的两侧，连接，直接写出四边形的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）四边形的面积的最大值为2 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； ②求出，根据即可得出答案； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出即可； （3）过点和作的垂线，垂足分别为点和，则四边形的面积，当点和重合时，取得最大值，即的长，通过计算即可求解． 【详解】解：（1）； ∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴； （3）过点和作的垂线，垂足分别为点和， 四边形的面积， 当点和重合时，取得最大值，即的长， ∵和均为等腰直角三角形，，， ∴，， ∴四边形的面积最大值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 20. 如图，在长方形中，，．点为上一点，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点运动，连接、．设点运动的时间为秒． （1）用含有的代数式表示的长； （2）当时，求的长度； （3）①当是等腰三角形时，直接写出的值； ②当是直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）当时，，当时，； （2） （3）①或或或；②或或． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、一元二次方程的应用、矩形的性质等知识，分情况讨论是关键． （1）根据t的取值范围分别列代数式即可； （2）当时，，，根据勾股定理进行解答即可； （3）①由勾股定理可知，分情况进行解答即可；②根据t的取值范围分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 过点作于点，如图， 当时，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①由勾股定理可知， 当时，， 当即时，即，解得或（不合题意，舍去）； 当即时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，， ∵是等腰三角形， ∴，即 解得， 综上可知，当是等腰三角形时，的值为或或或； ②当时，， ∵是直角三角形， ∴或， 当时，， ∴，即 ∴， 解得， 当时，，即， 解得， 当时，， ∵是直角三角形， ∴点与点重合， ∴， 综上可知，当是直角三角形时，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $