学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（江苏无锡专用，范围：新教材苏科版九年级上册第1～3章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数的形式为（为常数，）， ∴只有是反比例函数. 2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． 3．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】移项后将方程左边配方为完全平方式，化为指定形式后对比求． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴． 4．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 5．为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以2024年治理水域面积为初始量，按年平均增长率推导2026年的面积，结合已知条件列方程即可． 【详解】解：2024年治理水域面积为150万平方米，年平均增长率为，则2025年治理水域面积为万平方米，2026年治理水域面积为万平方米， ∵2026年治理水域面积为174.96万平方米， ∴． 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】由反比例函数解析式确定的正负，结合其图象性质与点坐标验证判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，A正确； 当时，随的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 7．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 8．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 9．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 10．在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】根据对换点和对换函数的定义，逐个验证三个结论是否成立，用到的思路是：若和都是函数图象上的点，代入函数解析式推导，判断是否存在不重合的解即可． 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数： 在函数上， ∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数： 在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立， 仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数： ，都在函数上， ∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合， 故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确； 综上，①②③都正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 【答案】内 【分析】比较点到圆心的距离与半径的大小关系，根据点与圆的位置关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在内． 12．已知m是方程的一个根，则的值为________． 【答案】2026 【分析】将代入一元二次方程，整理变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：是方程的一个根， 把代入原方程，得， 移项得． 13．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 【答案】 【分析】利用周长公式先求出底面周长，再用这个圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长为， ∴这个圆锥的侧面积． 15．设、是方程的两个实数根，则________． 【答案】21 【分析】首先根据根与系数的关系得到，，然后将原式利用完全平方公式变形后代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 16．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 【答案】 【分析】两个函数的交点关于原点中心对称，根据关于原点对称的点的坐标性质，由点的坐标可求得点的坐标． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两个图象的交点关于原点中心对称， ∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴点的坐标为． 17．阳光小区内有一块正方形空地，设计师打算设计成如图所示的图形，它由四个边长相等的小正方形组成一个大正方形，且每个小正方形的设计方案相同，其中米，设米，，在每个小正方形中的五边形区域铺设白色地砖，在和区域中铺设浅绿色地砖，当大正方形中铺设白色地砖的总面积为108平方米时，的长为____米． 【答案】3 【分析】根据题意，以一个五边形区域为等量关系，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 整理，得， 解得， ∴的长为3米． 18．如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意可得，半径为．根据内心性质得出．设轴负半轴与半圆交点为，通过证明得出，从而确定点的轨迹是以为弦的一段圆弧．求出该圆弧所在圆的圆心和半径，当三点共线时取得最小值． 【详解】点的坐标为， 半圆半径． 半圆交轴于点， ． 设轴负半轴与半圆交点为， 则，． 轴， ． 点为和的角平分线交点， 点为的内心． ． 点在的平分线上， ． 在和中， ． ． 点在以为弦，含圆周角的圆弧上．设该圆弧所在圆的圆心为，半径为． 圆周角为，且点在轴上方， 圆心在轴下方，且． ，为等腰直角三角形， 点的横坐标为，纵坐标为， 即．． 连接， 当三点共线时，取得最小值．． 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分。 （8分）19．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 得，；（4分） （2）解：， ， ， 或， 得，．（8分） （8分）20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)证明：一元二次方程， 根据根的判别式得， ， ∵恒成立， ∴此方程总有实数根． (2)且为整数． 【分析】（1）一元二次方程根的判别式判断即可． （2）利用因式分解方法解方程，再根据方程的一个根小于判断即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：一元二次方程， ， ， ， ， 或， 解得，， ∵方程的一个根小于2， ∴ ， ∴且m为整数．（8分） （10分）21．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴．（10分） （10分）22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：；（3分） （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或；（6分） （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ．（10分） （10分）23．某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． (1)当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ (2)若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ 【答案】(1)8640元 (2)44元 【分析】（1）根据降价金额计算单只利润与日销量，结合总利润公式求解； （2）设降价金额为未知数，根据总利润列一元二次方程，结合让利要求选取最优解． 【详解】（1）解：降价2元时，每只蟹的利润为（元）， 日销量为（只）， ∴每天的利润为（元）． 答：当降价2元时，养殖户每天的利润为8640元；（5分） （2）设每只蟹降价元， ∵采取降价措施且保证盈利， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽可能让利顾客，需降价幅度最大， ∴， ∴此时定价为（元）． 答：定价应为44元．（10分） （10分）24.如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离．（10分） （10分）25．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两点格点．    (1)在图1中，经过格点C，画圆心P，并画弦，使平分； (2)在图2中，经过格点E，F是与网格线的交点，画圆心P，并画弦，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，连接，取的中点，作射线交于点，线段即为所求作． （2）取格点，连接，延长交于，连接可得圆心，取格点，与格线的交点，连接，，作交于，连接，可证，线段即为所求作． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求作． 其中垂直平分， ∴， ∴， 即平分；   （5分） （2）如图，点，线段即为所求作． 由格点可得， ∴， ∴圆心在上， 取中点即为圆心； 连接，， 由图可知：， ∵，关于对称， ∴，垂直平分， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴．   （10分） 【点睛】本题考查作图应用与设计，垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （10分）26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)，画图如下： (2)增大 (3)或 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， . 画图略（3分） （2）解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大．（6分） （3）解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或.（10分） （10分）27．在一元二次方程的探究性学习中，为研究方程根与系数的变化规律，总结特殊方程的变换特征，现给出全新定义：对于一元二次方程，保持一次项系数不变，互换二次项系数与常数项得到的新方程，称为原方程的倒换系数方程．请结合该定义，完成下列探究问题： (1)方程的“倒换系数方程”是________；若是的“倒换系数方程”的解，则________． (2)若是一元二次方程的根，求证：是其“倒换系数方程”的根． (3)已知是一元二次方程的“倒换系数方程”的一个实数根，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵是一元二次方程的根， ∴， 一元二次方程的“倒换系数方程”是， 将代入“倒换系数方程”左边，得 ， ∴能使方程的左右两边相等，是方程的根， ∴是一元二次方程的“倒换系数方程”的根 (3) 【分析】（1）先按定义互换二次项系数与常数项写出“倒换系数方程”，再把代入待求参数的“倒换系数方程”，解方程即得； （2）先由是原方程的根得，再把代入其“倒换系数方程”左边，通分后分子恰为，可得其等于0，即可得证； （3）先写出“倒换系数方程”，由根的定义得，进而得，再将所求式前两项提取化为，整体代入即可消去． 【详解】（1）解：原方程中，，，“倒换系数方程”是； 的“倒换系数方程”是， 将代入，得 ， 解得；（3分） （2）略（6分） （3）解：∵一元二次方程的“倒换系数方程”是，是该方程的根， ∴， ∴， ∴ ．（10分） （10分）28．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，一个点到达时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，则的面积为 ； (2)运动过程中，的面积能否为？若能，求出此时的值；若不能，试说明理由； (3)运动过程中，以为圆心，为半径作． ①若、、三点中，其中有两个点在内，有一个点在外，直接写出t的取值范围； ②当与矩形的边只有三个交点时，求t的值． 【答案】(1)8 (2)不能．理由是表示面积的方程 没有实数解． (3)①，② 或． 【分析】（1）根据点的运动速度和时间得出， ．则 ．再结合三角形面积公式求解即可， （2）假设面积能为，列一元二次方程求解，根据方程无解即可得出的面积不能为． （3）根据，，在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D，再列不等式求解即可；根据点的运动规律找到与矩形的边交点个数的临界状态，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，P到达B点需要 秒，Q到达C点需要 秒．所以 ． 运动时间为t秒．则 ， ．则 ． 当时，(cm)． (cm)． ∵是矩形，∴ ． 的面积为： ．（3分） （2）解：假设面积能为，则： 整理得：， ， 所以该方程没有实数解． 答：不能．理由：表示△BPQ面积的方程 没有实数解．（6分） （3）解：① ∵， ∴，， 若B、C、D三点中，其中有两个点在⊙Q内，有一个点在⊙Q外，则在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D， 由题可得： ． ． ． 当时， 即：   ，即，整理得 ，解得 或 ．  ，即 ，整理得 ，解得 ． 因此，t的取值范围是 ．（8分） ②如图1：当圆Q与边相切时，设切点为，连接， ， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，点与点重合，，点D、C在圆外，故此时与矩形D的边只有两个交点，不符合题意舍去， 当时， ，点D、C在圆外，故此时与边有一个交点，与边无交点，即与矩形的边只有三个交点，符合题意，当圆Q经过点时，，如图2，此时与边无交点，与矩形的边只有三个交点，符合题意， ， 解得：，（不合题意舍去，） 当时，如图3，此时与边或边必有一个交点，与边有两个交点，故与矩形的边有四个交点，不符合题意， 当时，如图4，此时与边或边没有交点，与边只有一个交点，故与矩形的边只有两个交点，不符合题意， 综上所述：当与矩形的边只有三个交点时，或．（10分） 【点睛】本题是矩形中的双动点综合题．设运动时间为 t，用勾股定理把 、、 都表示成关于 的二次式，是贯穿全题的主线．①把"两点在圆内、一点在圆外翻译为 的距离关系，平方后列不等式组取交集，注意结合 取舍．②抓“圆与矩形边恰有三个公共点“的两个临界状态——圆与边 相切（半径等于 到 的距离 ）和圆恰好经过顶点 D，再分区间排除四交点、两交点情形．核心思想是“动中取定、临界定位、分类讨论”． 5 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 3．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 7．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 8．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 12．已知m是方程的一个根，则的值为________． 13．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 15．设、是方程的两个实数根，则________． 16．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 17．阳光小区内有一块正方形空地，设计师打算设计成如图所示的图形，它由四个边长相等的小正方形组成一个大正方形，且每个小正方形的设计方案相同，其中米，设米，，在每个小正方形中的五边形区域铺设白色地砖，在和区域中铺设浅绿色地砖，当大正方形中铺设白色地砖的总面积为108平方米时，的长为____米． 18．如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。 （8分）19．解方程 (1)； (2)． （8分）20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． （10分）21．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． （10分）22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． （10分）23．某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． (1)当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ (2)若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ （10分）24.如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． （10分）25．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两点格点．    (1)在图1中，经过格点C，画圆心P，并画弦，使平分； (2)在图2中，经过格点E，F是与网格线的交点，画圆心P，并画弦，使． （10分）26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． （10分）27．在一元二次方程的探究性学习中，为研究方程根与系数的变化规律，总结特殊方程的变换特征，现给出全新定义：对于一元二次方程，保持一次项系数不变，互换二次项系数与常数项得到的新方程，称为原方程的倒换系数方程．请结合该定义，完成下列探究问题： (1)方程的“倒换系数方程”是________；若是的“倒换系数方程”的解，则________． (2)若是一元二次方程的根，求证：是其“倒换系数方程”的根． (3)已知是一元二次方程的“倒换系数方程”的一个实数根，求的值． （10分）28．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，一个点到达时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，则的面积为 ； (2)运动过程中，的面积能否为？若能，求出此时的值；若不能，试说明理由； (3)运动过程中，以为圆心，为半径作． ①若、、三点中，其中有两个点在内，有一个点在外，直接写出t的取值范围； ②当与矩形的边只有三个交点时，求t的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列函数是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 3．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．为落实山西省“一泓清水入黄河”重大生态工程部署，持续推进汾河生态廊道建设，某河段不断加大生态修复力度．该河段2024年治理水域面积为150万平方米，经过两年持续治理，预计2026年治理水域面积可达174.96万平方米．若治理水域面积的年平均增长率为，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，随的增大而增大 7．定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 8．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知的半径为，若点到点的距离为，则点在______．（填“内”“外”或“上”） 12．已知m是方程的一个根，则的值为________． 13．如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 14．圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是_____． 15．设、是方程的两个实数根，则________． 16．已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，如果点A的坐标是，那么点B的坐标是_________． 17．阳光小区内有一块正方形空地，设计师打算设计成如图所示的图形，它由四个边长相等的小正方形组成一个大正方形，且每个小正方形的设计方案相同，其中米，设米，，在每个小正方形中的五边形区域铺设白色地砖，在和区域中铺设浅绿色地砖，当大正方形中铺设白色地砖的总面积为108平方米时，的长为____米． 18．如图，点A的坐标为，以O点为圆心，以为半径的半圆交轴于点，点为第二象限内半圆上一动点，轴于E点，点F为和的角平分线交点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分。 （8分）19．解方程 (1)； (2)． （8分）20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． （10分）21．如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． （10分）22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)分别连接和，求的面积． （10分）23．某种规格的溱湖簖蟹养殖成本为30元/只，根据市场调查发现，批发价定为50元/只时，每天可销售400只，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，一只蟹的批发价每降低1元，每天销量可增加40只． (1)当降价2元时，养殖户每天的利润为多少元？ (2)若养殖户每天的利润要达到8960元，并尽可能让利顾客，则定价应为多少元？ （10分）24.如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． （10分）25．如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过A，B两点格点．    (1)在图1中，经过格点C，画圆心P，并画弦，使平分； (2)在图2中，经过格点E，F是与网格线的交点，画圆心P，并画弦，使． （10分）26．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． （10分）27．在一元二次方程的探究性学习中，为研究方程根与系数的变化规律，总结特殊方程的变换特征，现给出全新定义：对于一元二次方程，保持一次项系数不变，互换二次项系数与常数项得到的新方程，称为原方程的倒换系数方程．请结合该定义，完成下列探究问题： (1)方程的“倒换系数方程”是________；若是的“倒换系数方程”的解，则________． (2)若是一元二次方程的根，求证：是其“倒换系数方程”的根． (3)已知是一元二次方程的“倒换系数方程”的一个实数根，求的值． （10分）28．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，一个点到达时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，则的面积为 ； (2)运动过程中，的面积能否为？若能，求出此时的值；若不能，试说明理由； (3)运动过程中，以为圆心，为半径作． ①若、、三点中，其中有两个点在内，有一个点在外，直接写出t的取值范围； ②当与矩形的边只有三个交点时，求t的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. S 16. 17. 18 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.（10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.（10分) 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(10分) 28.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27．（10分） 28．（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C A C D A D D C A 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．内 12．2026 13． 14． 15．21 16． 17．3 18． 三、解答题：本题共10小题，共96分。 （8分）19． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 得，；（4分） （2）解：， ， ， 或， 得，．（8分） （8分）20． 【答案】(1)证明：一元二次方程， 根据根的判别式得， ， ∵恒成立， ∴此方程总有实数根． (2)且为整数． 【分析】（1）一元二次方程根的判别式判断即可． （2）利用因式分解方法解方程，再根据方程的一个根小于判断即可． 【详解】（1）略（4分） （2）解：一元二次方程， ， ， ， ， 或， 解得，， ∵方程的一个根小于2， ∴ ， ∴且m为整数．（8分） （10分）21． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略（5分） （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴．（10分） （10分）22． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入，解方程组，可得，，从而可得反比例函数的解析式，以及点，将，代入，解方程组，可得，，从而可得一次函数的解析式； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． （3）设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，先分别求出，和，最后再根据求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为： ，点， 将代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：；（3分） （2）解：一次函数与反比例函数交于点， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或；（6分） （3）解：设一次函数与x轴交于点D，与y轴交于点C，过点A作轴于E，过点B作轴于F，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴D的坐标为，点C的坐标为， ， ， 点，， ， ，， ．（10分） （10分）23． 【答案】(1)8640元 (2)44元 【分析】（1）根据降价金额计算单只利润与日销量，结合总利润公式求解； （2）设降价金额为未知数，根据总利润列一元二次方程，结合让利要求选取最优解． 【详解】（1）解：降价2元时，每只蟹的利润为（元）， 日销量为（只）， ∴每天的利润为（元）． 答：当降价2元时，养殖户每天的利润为8640元；（5分） （2）设每只蟹降价元， ∵采取降价措施且保证盈利， ∴， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要尽可能让利顾客，需降价幅度最大， ∴， ∴此时定价为（元）． 答：定价应为44元．（10分） （10分）24. 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略（3分） （2）略（6分） （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离．（10分） （10分）25． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，连接，取的中点，作射线交于点，线段即为所求作． （2）取格点，连接，延长交于，连接可得圆心，取格点，与格线的交点，连接，，作交于，连接，可证，线段即为所求作． 【详解】（1）解：如图，点，线段即为所求作． 其中垂直平分， ∴， ∴， 即平分；   （5分） （2）如图，点，线段即为所求作． 由格点可得， ∴， ∴圆心在上， 取中点即为圆心； 连接，， 由图可知：， ∵，关于对称， ∴，垂直平分， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴．   （10分） 【点睛】本题考查作图应用与设计，垂径定理，圆周角定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （10分）26． 【答案】(1)，画图如下： (2)增大 (3)或 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， . 画图略（3分） （2）解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大．（6分） （3）解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或.（10分） （10分）27． 【答案】(1)； (2)证明：∵是一元二次方程的根， ∴， 一元二次方程的“倒换系数方程”是， 将代入“倒换系数方程”左边，得 ， ∴能使方程的左右两边相等，是方程的根， ∴是一元二次方程的“倒换系数方程”的根 (3) 【分析】（1）先按定义互换二次项系数与常数项写出“倒换系数方程”，再把代入待求参数的“倒换系数方程”，解方程即得； （2）先由是原方程的根得，再把代入其“倒换系数方程”左边，通分后分子恰为，可得其等于0，即可得证； （3）先写出“倒换系数方程”，由根的定义得，进而得，再将所求式前两项提取化为，整体代入即可消去． 【详解】（1）解：原方程中，，，“倒换系数方程”是； 的“倒换系数方程”是， 将代入，得 ， 解得；（3分） （2）略（6分） （3）解：∵一元二次方程的“倒换系数方程”是，是该方程的根， ∴， ∴， ∴ ．（10分） （10分）28． 【答案】(1)8 (2)不能．理由是表示面积的方程 没有实数解． (3)①，② 或． 【分析】（1）根据点的运动速度和时间得出， ．则 ．再结合三角形面积公式求解即可， （2）假设面积能为，列一元二次方程求解，根据方程无解即可得出的面积不能为． （3）根据，，在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D，再列不等式求解即可；根据点的运动规律找到与矩形的边交点个数的临界状态，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，P到达B点需要 秒，Q到达C点需要 秒．所以 ． 运动时间为t秒．则 ， ．则 ． 当时，(cm)． (cm)． ∵是矩形，∴ ． 的面积为： ．（3分） （2）解：假设面积能为，则： 整理得：， ， 所以该方程没有实数解． 答：不能．理由：表示△BPQ面积的方程 没有实数解．（6分） （3）解：① ∵， ∴，， 若B、C、D三点中，其中有两个点在⊙Q内，有一个点在⊙Q外，则在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D， 由题可得： ． ． ． 当时， 即：   ，即，整理得 ，解得 或 ．  ，即 ，整理得 ，解得 ． 因此，t的取值范围是 ．（8分） ②如图1：当圆Q与边相切时，设切点为，连接， ， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，点与点重合，，点D、C在圆外，故此时与矩形D的边只有两个交点，不符合题意舍去， 当时， ，点D、C在圆外，故此时与边有一个交点，与边无交点，即与矩形的边只有三个交点，符合题意，当圆Q经过点时，，如图2，此时与边无交点，与矩形的边只有三个交点，符合题意， ， 解得：，（不合题意舍去，） 当时，如图3，此时与边或边必有一个交点，与边有两个交点，故与矩形的边有四个交点，不符合题意， 当时，如图4，此时与边或边没有交点，与边只有一个交点，故与矩形的边只有两个交点，不符合题意， 综上所述：当与矩形的边只有三个交点时，或．（10分） 【点睛】本题是矩形中的双动点综合题．设运动时间为 t，用勾股定理把 、、 都表示成关于 的二次式，是贯穿全题的主线．①把"两点在圆内、一点在圆外翻译为 的距离关系，平方后列不等式组取交集，注意结合 取舍．②抓“圆与矩形边恰有三个公共点“的两个临界状态——圆与边 相切（半径等于 到 的距离 ）和圆恰好经过顶点 D，再分区间排除四交点、两交点情形．核心思想是“动中取定、临界定位、分类讨论”． 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $