15.3.1等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定)（导学案）数学新教材人教版八年级上册

15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定) （导学案） 【学习目标】 1. 理解并掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），能规范写出其几何语言（∵在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC）。 2. 能区分等腰三角形的定义（有两边相等）与判定定理（有两角相等），并能根据已知条件正确选择判定方法。 3. 能运用判定定理进行简单的证明与计算，初步掌握“角平分线＋平行线→等腰三角形”这一基本模型。 【学习重点】 等腰三角形判定定理（等角对等边）的探究、证明及其初步应用。 【学习难点】 1. 判定定理证明中辅助线（作顶角的平分线或底边上的高）的添加及其依据的说明； 2. “等角对等边”与“等边对等角”的区别与联系，以及在复杂图形中正确识别“等角所对的边”，灵活选用定义或判定定理进行证明与计算。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 已知：如图，在中，， 求证:是等腰三角形 法一、证明：作的角平分线. ∵是的平分线， ∴. 在和中，∴(). ∴. 法二、证明 作边上的高. ∵是边上的高， ∴. 在和中，∴(). ∴. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ∵在中, ∴. (即为等腰三角形) 【课堂探究】 新知导入 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 它们所对的边相等，且这个三角形是等腰三角形 你能证明这个结论吗？ 新知探究 已知：如图，在中，， 求证:是等腰三角形 法一、证明：作的角平分线. ∵是的平分线， ∴. 在和中，∴(). ∴. 法二、证明 作边上的高. ∵是边上的高， ∴. 在和中，∴(). ∴. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ∵在中, ∴. (即为等腰三角形) 典例分析 例1.如图，是的平分线，交于点,,交于点.求证：是等腰三角形. 证明：∵是的平分线， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. 方法总结 1.等腰三角形的两种判定方法： ①当三角形中有两条边相等时，应用等腰三角形的概念来判定； ②当三角形中有两个角相等时，应用“等角对等边”判定定理来判定. 2. 平分角+平行=等腰三角形 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，是的外角的平分线， . 求证：. 证明: ∵， ∴，. 又平分. ∴. ∴. ∴. 例3.如图，为的高，,,. 求的长. 解：在上取点，使，连接. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵, ∴, ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 例4.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为，底边上高的长为，求作这个等腰三角形. 作法：如图. (1)作线段. (2)作线段的垂直平分线，与相交于点. (3)在上取一点，使. (4)连接，，则就是所求作的等腰三角形. 变式训练 1.如图，在中,平分,平分，过点作的平行线与，分别相交于点，.若，.求的周长. 解：∵平分，平分， ∴,. ∵, ∴，, ∴,， ∴，. ∵，， ∴的周长 . 2.已知在四边形中，，.求证：. 证明：如图，连接. ∵， ∴. ∵, ， ， ∴. ∴. 3.如图，在中，平分交于点，是的中点，线段交线段于点，交线段的延长线于点. (1)若，，求的长； (2)求证：. 解：(1)∵平分， ∴. ∵， ∴，. ∴. ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴的长为. (2)证明：如图，延长至点，使，连接. ∵是的中点， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴，. 由(1)知. 又∵， ∴. ∴. ∴. 4.如图，已知点，分别在的边，上，且，，的平分线与交于点，连接. 求证(1)；(2)平分；(3)平分. 证明(1)∵， ∴. ∵平分， ∴. ∴. ∴. (2)∵， ∴. ∵， ∴, . ∴. ∴平分. (3)∵， ∴. 由①知. 又∵， ∴. ∴. ∴. ∴平分. 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ B ） A.,, B. C.， D. 2.如图，，，，，则__3___. 3.如图，在中，平分,且于点，，，的周长为，则的长为___14_____ 4.已知：如图，在中，，与相交于点，且.求证：是等腰三角形． 证明：∵， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴. ∴. ∴是等腰三角形 5.如图，在的边的延长线上有一点，过点作于点，交于点，且.求证：是等腰三角形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴ ∴. ∴是等腰三角形． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定) （导学案） 【学习目标】 1. 理解并掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），能规范写出其几何语言（∵在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC）。 2. 能区分等腰三角形的定义（有两边相等）与判定定理（有两角相等），并能根据已知条件正确选择判定方法。 3. 能运用判定定理进行简单的证明与计算，初步掌握“角平分线＋平行线→等腰三角形”这一基本模型。 【学习重点】 等腰三角形判定定理（等角对等边）的探究、证明及其初步应用。 【学习难点】 1. 判定定理证明中辅助线（作顶角的平分线或底边上的高）的添加及其依据的说明； 2. “等角对等边”与“等边对等角”的区别与联系，以及在复杂图形中正确识别“等角所对的边”，灵活选用定义或判定定理进行证明与计算。 【自主预习】阅读教材，完成以下问题： 已知：如图，在中，， 求证:是等腰三角形 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ______________________________ ______________________________ 【课堂探究】 新知导入 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 新知探究 已知：如图，在中，， 求证:是等腰三角形 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ________________________ ________________________ 典例分析 例1.如图，是的平分线，交于点,,交于点.求证：是等腰三角形. 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 例3.如图，为的高，,,. 求的长. 例4.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为，底边上高的长为，求作这个等腰三角形. 变式训练 1.如图，在中,平分,平分，过点作的平行线与，分别相交于点，.若，.求的周长. 2.已知在四边形中，，.求证：. 3.如图，在中，平分交于点，是的中点，线段交线段于点，交线段的延长线于点. (1)若，，求的长； (2)求证：. 4.如图，已知点，分别在的边，上，且，，的平分线与交于点，连接. 求证(1)；(2)平分；(3)平分. 【课堂总结】 【课堂练习】 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A.,, B. C.， D. 2.如图，，，，，则_____. 3.如图，在中，平分,且于点，，，的周长为，则的长为________ 4.已知：如图，在中，，与相交于点，且.求证：是等腰三角形． 5.如图，在的边的延长线上有一点，过点作于点，交于点，且.求证：是等腰三角形． 【课后反思】本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $