15.3.1 等腰三角形的判定（第2课时） 学案 2026--2027学年人教版八年级数学上册

15.3.1 等腰三角形的判定（第2课时） 等角对等边 · 问题学案与课堂检测 2026-2027 学年 人教版 八年级数学上册 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　日期：＿＿＿＿＿＿ 一、问题学案（上课使用） （一）学习目标与课标要求 1. 探索并掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）。 2. 理解等腰三角形的性质与判定互为逆定理，能辨析互逆命题。 3. 能运用判定定理证明线段相等、解决简单几何问题。 ★ 课标要求：探索并证明等腰三角形的判定定理（等角对等边）；经历“观察猜想—构造全等—推理论证”的完整过程，发展推理能力与几何直观。 （二）环节一　情境导入 · 性质反过来 问题1：上节课我们知道——等腰三角形的性质：等边对等角（两边相等 → 所对两角相等）。如果反过来：两角相等，能推出所对的两边相等吗？ 问题2：如图，在 △ABC 中，∠B＝∠C，猜想 AB 与 AC 是否相等？ 图1　在 △ABC 中，∠B＝∠C（同色弧线） （三）环节二　提出猜想 · 写成命题 问题3：把上面的猜想写成规范的数学命题—— 　　已知：在 △ABC 中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 问题4：一个命题反过来是否成立，必须严格证明，不能只凭观察和猜想。要证 AB＝AC，可把三角形分成两个三角形，证明它们全等——你有思路吗？ （四）环节三　证明 · 作角平分线 AD 问题5：尝试作辅助线——作顶角 ∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于 D。观察 △ABD 与 △ACD，它们具备哪些全等条件？ 图2　AD 平分 ∠BAC（∠1＝∠2），∠B＝∠C 问题6：请独立写出完整的证明过程，注意格式规范。 证法提示：在 △ABD 和 △ACD 中，∠1＝∠2（角平分线定义），∠B＝∠C（已知），AD＝AD（公共边）→ △ABD ≌ △ACD（AAS）→ AB＝AC。 （五）环节四　判定定理 · 等角对等边 问题7：由上面的证明，归纳出等腰三角形的判定定理—— 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 符号语言：在 △ABC 中，∵ ∠B＝∠C（已知），∴ AC＝AB，即 △ABC 是等腰三角形。 问题8：等腰三角形的“性质（等边对等角）”与“判定（等角对等边）”互为逆定理。原命题成立，逆命题一定成立吗？需要怎样处理？ （六）环节五　例题 · 外角平分线证等腰 例 2：已知：如图，AD 是 △ABC 的外角 ∠CAE 的平分线，且 AD∥BC。求证：AB＝AC。 图3　AD∥BC，AD 平分外角 ∠CAE 问题引导：① 要证 AB＝AC，只需证哪两个角相等？② 由 AD∥BC，同位角、内错角各推出什么？③ 由角平分线可得什么？④ 如何传递得 ∠B＝∠C？ 证明：∵ AD∥BC（已知），∴ ∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）。又 ∵ AD 平分 ∠CAE（已知），∴ ∠1＝∠2（角平分线定义）。∴ ∠B＝∠C（等量代换）。∴ AB＝AC（等角对等边）。 （七）环节六　反思 · 互逆命题辨析 问题9：回顾“等边对等角”（性质）与“等角对等边”（判定），它们是什么关系？ 问题10：原命题成立，逆命题一定成立吗？试举一个“逆命题不成立”的例子。 二、课堂检测（当堂完成） （一）基础随堂自检 · 当堂清零 1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也＿＿＿＿（简写成“等角对等边”）。 2. 等腰三角形的判定和性质互为＿＿＿＿定理。 3. 在 △ABC 中，∠A＝50°，∠B＝80°，则 △ABC 是＿＿＿＿三角形。 4. “等角对等边”是等腰三角形的＿＿＿＿定理。 （二）基础巩固 · 全员必做 1. 等腰三角形的定义：有两条边＿＿＿＿的三角形叫做等腰三角形。 2. 应用格式：在 △ABC 中，∵ ∠B＝∠C（已知），∴ AC＝＿＿＿＿，即 △ABC 为等腰三角形。 3. 在 △ABC 中，∠A 和 ∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（　　） 　　A．∠A＝50°，∠B＝70°　　B．∠A＝70°，∠B＝40°　　C．∠A＝30°，∠B＝90°　　D．∠A＝80°，∠B＝60° 4. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是 ∠ABC、∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有（　　） 图4 　　A．5 个　　B．4 个　　C．3 个　　D．2 个 5. 一个三角形的一个外角为 130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍。这个三角形是（　　） 　　A．钝角三角形　　B．直角三角形　　C．等腰三角形 6. 如图，已知 OC 平分 ∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则 CD＝＿＿＿＿。 图5 7. 在 △ABC 中，∠A 的相邻外角是 70°，要使 △ABC 为等腰三角形，则 ∠B 为（　　） 　　A．70°　　B．35°　　C．110° 或 35°　　D．110° 8. 如图，直线 a、b 相交于点 O，∠1＝50°，点 A 在直线 a 上，直线 b 上存在点 B，使以点 O、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的 B 点有（　　） 图6 　　A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 （三）能力提升 · 自主选做 1. 已知：如图，AD∥BC，BD 平分 ∠ABC。求证：AB＝AD。 图7 2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是 ∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F。求证：△CEF 是等腰三角形。 图8 3. 如图，已知 AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与 BD 交于 O，AC＝BD。求证：△OAB 是等腰三角形。 图9 4. 如图，在 △ABC 中，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N。若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为＿＿＿＿。 图10 5. 如图，已知 ∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则 ∠BDC＝＿＿＿＿，图中的等腰三角形有＿＿＿＿＿＿＿＿。 图11 （四）拓展探究 · 学优挑战 1. 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠ABC 和 ∠ACB 的平分线交于点 O。过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F。探究 EF、BE、FC 之间的关系。 图12 想一想：若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 2. 如图，上午 10 时，一条船从 A 处出发以 20 海里/小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处。从 A、B 望灯塔 C，测得 ∠NAC＝40°，∠NBC＝80°。求从 B 处到灯塔 C 的距离。 图13 3. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D。求证：BC＝CD。 图14 三、参考答案（教师用） （一）基础随堂自检 题号 1 2 3 4 答案 相等 逆 等腰 判定 （二）基础巩固 1. 相等　　2. AB　　3. B（∠C＝70°＝∠A）　　4. A（△ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE） 5. C（外角 130°＝2×65°，不相邻的两个内角均为 65°）　　6. 3 cm（∠OCD＝∠COD＝∠COB，CD＝OD＝3 cm） 7. B（∠A＝110°；∠A 为顶角时 ∠B＝35°）　　8. D（4 个） （三）能力提升 1. 证明：∵ AD∥BC（已知），∴ ∠ADB＝∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∵ BD 平分 ∠ABC（已知），∴ ∠ABD＝∠CBD（角平分线定义）。∴ ∠ABD＝∠ADB（等量代换），∴ AB＝AD（等角对等边）。 2. 证明：∵ AE 平分 ∠BAC（已知），∴ ∠CAE＝∠BAE（角平分线定义）。∵ CD⊥AB（已知），∠ACB＝90°，∴ ∠ACD＝∠B（同角的余角相等）。又 ∠CEF＝∠CAE＋∠ACD，∠CFE＝∠BAE＋∠B（三角形外角定理），∴ ∠CEF＝∠CFE（等量代换），∴ CE＝CF（等角对等边），即 △CEF 是等腰三角形。 3. 证明：在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，∠ACB＝∠BDA＝90°，AC＝BD，AB＝BA，∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL），∴ ∠CAB＝∠DBA（全等三角形对应角相等）。∴ OA＝OB（等角对等边），即 △OAB 是等腰三角形。 4. MN＝9（∵ ∠EMB＝∠EBC＝∠EBM，故 BE＝EM；∠ENC＝∠ECB＝∠ECN，故 EN＝CN；MN＝EM＋EN＝BM＋CN＝9） 5. ∠BDC＝72°；等腰三角形有：△ABC、△ABD、△BCD （四）拓展探究 1. EF＝BE＋FC。证明：∵ BO 平分 ∠ABC（已知），∴ ∠EBO＝∠OBC（角平分线定义）。∵ EF∥BC（已知），∴ ∠EOB＝∠OBC（两直线平行，内错角相等）。∴ ∠EBO＝∠EOB（等量代换），∴ BE＝EO（等角对等边）；同理 CF＝FO。∴ EF＝EO＋FO＝BE＋FC。想一想：若 AB≠AC，仍有等腰三角形（△EBO、△FCO），结论 EF＝BE＋FC 仍成立。 2. BC＝40 海里。解：由题知 ∠NBC 是 △ABC 的外角，∴ ∠C＝∠NBC－∠NAC＝80°－40°＝40°＝∠NAC，∴ BC＝AB（等角对等边）。AB＝20×2＝40 海里，故 BC＝40 海里。 3. 证明：连接 BD。∵ AB＝AD（已知），∴ ∠ABD＝∠ADB（等边对等角）。∵ ∠B＝∠D（已知），∴ ∠CBD＝∠CDB（等量代换），∴ BC＝CD（等角对等边）。 学科网（北京）股份有限公司 $