15.3.1等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定)（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定)（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 教师 课题 15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定) 教学 目标 知识与技能 1. 理解并掌握等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”），能规范写出其几何语言（∵在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC）。 2. 能区分等腰三角形的定义（有两边相等）与判定定理（有两角相等），并能根据已知条件正确选择判定方法。 3. 能运用判定定理进行简单的证明与计算，初步掌握“角平分线＋平行线→等腰三角形”这一基本模型。 过程与方法 1. 经历“性质→逆命题→猜想→证明→应用”的探究过程，体会逆向思考与互逆命题的研究方法，发展合情推理与演绎推理能力。 2. 通过作顶角的平分线（或底边上的高）构造全等三角形，体会辅助线在沟通已知与未知中的作用，积累“角相等↔边相等”的转化经验。 3. 在典例与变式的解决中，学会从复杂图形中分离基本图形，归纳常用辅助线（作角平分线、作高、截长补短）的使用时机。 情感态度价值观 1. 在“反过来想一想”的探究中感受数学知识之间的内在联系与对称之美，激发探究几何的兴趣。 2. 通过多解法的交流与互评，养成敢于表达、乐于倾听、严谨求证的数学学习品质。 教材 分析 本课是人教版八年级上册第十五章《轴对称》15.3.1《等腰三角形》的第二课时，主要内容是等腰三角形的判定定理“等角对等边”。它是在第一课时学习了等腰三角形的性质（等边对等角）之后，进一步研究其逆命题是否成立，与性质共同构成“性质—判定”的完整认知结构，是全章的核心内容之一。教材以“反过来”的设问引出猜想，引导学生通过作顶角的平分线（或底边上的高），把一般三角形转化为两个全等的直角三角形完成证明，既巩固全等三角形的判定（AAS），又为后续等边三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，以及“角平分线＋平行线”等常用模型奠定基础。本课同时承担着培养学生逆向思维、几何直观和推理能力的任务，是学生由实验几何走向论证几何的重要载体。 学情分析 1. 已有基础：学生已掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）、平行线的性质与判定、角平分线的定义，以及等腰三角形的性质“等边对等角”，具备进行简单演绎推理的能力。 2. 认知困难：①本课定理是性质的逆命题，学生首次系统接触互逆关系，容易把“等边对等角”与“等角对等边”混用、错用；②证明时需要添加辅助线（作顶角的平分线或底边上的高），这是化归思想的体现，也是学生的薄弱环节；③在复杂图形中难以找准“哪两个角相等、对应的又是哪两条边”，常出现找错对应边的错误。 3. 心理特点：八年级学生的思维正由具体形象向抽象逻辑过渡，好奇心强但推理的严谨性不足，需要在直观操作（折纸、测量、动态演示）与严格证明之间搭建台阶，并通过分层练习让不同水平的学生都获得成功体验。 教学重点 等腰三角形判定定理（等角对等边）的探究、证明及其初步应用。 教学难点 1. 判定定理证明中辅助线（作顶角的平分线或底边上的高）的添加及其依据的说明； 2. “等角对等边”与“等边对等角”的区别与联系，以及在复杂图形中正确识别“等角所对的边”，灵活选用定义或判定定理进行证明与计算。 教学器材 多媒体课件、三角板、圆规、直尺、量角器；等腰三角形纸片（供折纸与测量用）、磁性教具、投影展台（展示学生证明过程）。 教学过程 教师活动 学生活动 新知导入 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系? 它们所对的边相等，且这个三角形是等腰三角形 你能证明这个结论吗？ 1. 回顾:等腰三角形有哪些性质？2. 把结论反过来,大胆猜想。 新知探究 已知：如图，在中，， 求证:是等腰三角形 法一、证明：作的角平分线. ∵是的平分线， ∴. 在和中，∴(). ∴. 法二、证明 作边上的高. ∵是边上的高， ∴. 在和中，∴(). ∴. 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ∵在中, ∴. (即为等腰三角形) 1. 独立写出已知、求证并画出图形，尝试自己找到证明思路。 2. 小组交流两种不同的辅助线作法：比较二者分别是怎样把问题转化为证明两个三角形全等的。 3. 用规范几何语言表述定理 4.定理中的“两个角”必须是同一个三角形中的两个角 典例分析 例1.如图，是的平分线，交于点,,交于点.求证：是等腰三角形. 证明：∵是的平分线， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. 方法总结 1.等腰三角形的两种判定方法： ①当三角形中有两条边相等时，应用等腰三角形的概念来判定； ②当三角形中有两个角相等时，应用“等角对等边”判定定理来判定. 2. 平分角+平行=等腰三角形 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，是的外角的平分线， . 求证：. 证明: ∵， ∴，. 又平分. ∴. ∴. ∴. 例3.如图，为的高，,,. 求的长. 解：在上取点，使，连接. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵, ∴, ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 例4.尺规作图：已知等腰三角形的底边长为，底边上高的长为，求作这个等腰三角形. 作法：如图. (1)作线段. (2)作线段的垂直平分线，与相交于点. (3)在上取一点，使. (4)连接，，则就是所求作的等腰三角形. 1. 例1：独立思考后在图中标出相等的角,并独立写出证明过程。 2. 例2：先完成“文字命题几何化”——画出图形、写出已知与求证，再独立证明； 3. 例3：在教师启发下尝试“截长” 4. 例4：动手用尺规按步骤作图，同桌交换作品，用圆规、直尺检验是否符合“底边长为a、高为h”，并口述每一步作图的依据。 5. 与教师共同提炼“角平分线＋平行线→等腰三角形”这一基本模型，并记录常用辅助线的使用时机。 变式训练 1.如图，在中,平分,平分，过点作的平行线与，分别相交于点，.若，.求的周长. 解：∵平分，平分， ∴,. ∵, ∴，, ∴,， ∴，. ∵，， ∴的周长 . 2.已知在四边形中，，.求证：. 证明：如图，连接. ∵， ∴. ∵, ， ， ∴. ∴. 3.如图，在中，平分交于点，是的中点，线段交线段于点，交线段的延长线于点. (1)若，，求的长； (2)求证：. 解：(1)∵平分， ∴. ∵， ∴，. ∴. ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴的长为. (2)证明：如图，延长至点，使，连接. ∵是的中点， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴，. 由(1)知. 又∵， ∴. ∴. ∴. 4.如图，已知点，分别在的边，上，且，，的平分线与交于点，连接. 求证(1)；(2)平分；(3)平分. 证明(1)∵， ∴. ∵平分， ∴. ∴. ∴. (2)∵， ∴. ∵， ∴, . ∴. ∴平分. (3)∵， ∴. 由①知. 又∵， ∴. ∴. ∴. ∴平分. 1. 独立完成变式1：先把BM、CN转化为与MO、NO相等的线段，再把△AMN的周长转化为AB＋AC，得出周长为14。 2. 小组内互批互评，重点交流“求周长问题中的线段转移”这一转化思想。 3. 选做变式2、变式3：先独立思考，再交流不同的辅助线作法；学有余力的同学尝试改编题目条件并解答。 课 堂 练 习 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ B ） A.,, B. C.， D. 2.如图，，，，，则__3___. 3.如图，在中，平分,且于点，，，的周长为，则的长为___14_____ 4.已知：如图，在中，，与相交于点，且.求证：是等腰三角形． 证明：∵， ∴. 在和中， ∴≌(). ∴. ∴. ∴是等腰三角形 5.如图，在的边的延长线上有一点，过点作于点，交于点，且.求证：是等腰三角形． 证明：∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴ ∴. ∴是等腰三角形． 板 书 设 计 15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定) 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言： ∵在中, ∴. (即为等腰三角形) 课 堂 小 结 15.3.1 等腰三角形(第二课时 等腰三角形的判定) 作业 1. 完成课后作业：“教材P81练习1、2、3” 2. 配套同步分层作业 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $