15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形判定定理“等角对等边”，从已学性质“等边对等角”逆向引导，通过画图测量实验验证猜想，搭建性质与判定的知识支架。 以“猜想-验证-证明-应用”为主线，实验操作与几何直观培养推理能力，“角平分线+平行线”模型及尺规作图综合运用三线合一体现模型观念，助力学生提升逻辑推理与动手能力，为教师提供清晰教学流程与易错点指导。

教案：15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 课题 15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十五章 教学方法 实验探究、启发引导、讲练结合、合作交流 教学用具 多媒体课件、直尺、量角器、圆规 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十五章"等腰三角形"的第2课时。学生在第1课时已经学习了等腰三角形的两个性质（等边对等角和三线合一），本节课探究其逆命题——等角对等边（等腰三角形的判定定理）。通过"猜想→验证→证明"的探究过程，学生将体会命题与逆命题的关系，理解判定定理与性质定理的区别与联系，进一步培养几何推理能力。同时，通过尺规作图（例3），将判定定理与三线合一相结合，实现知识的综合运用。 学情分析 八年级学生已经掌握了全等三角形的判定方法（AAS、ASA、SAS等），也学习了等腰三角形的性质。但对"命题与逆命题"的关系理解还不够深入，容易将"等边对等角"与"等角对等边"混淆。在证明判定定理时，如何选择辅助线（角平分线或高）是一个关键点。另外，在尺规作图中综合运用三线合一和垂直平分线，对学生的综合能力要求较高。教学中要注重引导学生对比性质与判定，理解"边相等"与"角相等"之间的等价关系。 一、核心素养目标 1. 推理能力 经历"动手操作→大胆猜想→严格证明"的完整探究过程，从"等边对等角"的逆命题出发，通过作辅助线（角平分线或高），利用AAS证明三角形全等，从而得出"等角对等边"。体会命题与逆命题的关系，培养逆向思维和演绎推理能力。 2. 几何直观 通过画图、测量、比较等操作活动，直观感知"两角相等→两边相等"的几何事实。能在复杂图形中识别等腰三角形，利用等角对等边判定线段相等。理解"边相等"与"角相等"之间的等价转换关系。 3. 模型观念 建立等腰三角形判定与性质之间的对应关系模型——"等边对等角"与"等角对等边"互为逆定理。理解这两个定理共同构成了等腰三角形中"边相等"与"角相等"的等价关系，能灵活地双向运用。 4. 应用意识 能运用等腰三角形的判定定理解决实际问题（如长方形折叠问题），能将判定定理与平行线性质、角平分线定义等知识结合起来进行综合推理。通过尺规作图，体会判定定理在几何作图中的应用价值。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握等腰三角形的判定定理——等角对等边，能用几何语言正确表述，并会进行严格的证明。 2. 能运用等腰三角形的判定定理进行推理和计算，在图形中识别等腰三角形。 3. 理解等腰三角形性质与判定之间的关系——"等边对等角"与"等角对等边"互为逆定理。 教学难点 1. 判定定理的证明——辅助线的选择：作角平分线或作高均可用AAS证明，但作中线不能直接证明（因为无法用SSA证明全等）。学生需要理解为什么某些辅助线可行，某些不可行。 2. 例2中综合运用平行线性质、角平分线定义和等角对等边进行推理，推理链条较长，学生需要具备较强的逻辑分析能力。 3. 尺规作图（例3）中综合运用三线合一和垂直平分线性质，将判定定理与性质定理结合使用。 三、教学过程 环节一：情境导入（4分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了等腰三角形的性质——"等边对等角"和"三线合一"。请大家回忆一下，等边对等角是什么意思？ 【学生活动】在等腰三角形中，两个底角相等。也就是说，如果AB=AC，那么∠B=∠C。 【教师活动】说得很好！那么老师想问大家一个问题：如果把"等边对等角"反过来，如果已知一个三角形有两个角相等，能不能推出两条边相等呢？ 【学生活动】我觉得应该可以！因为如果∠B=∠C，那么把它们对折，两腰应该能重合，所以AB=AC。 【教师活动】直觉不错！但数学需要严谨的证明。我们通过一个实验来验证一下——请同学们画一个三角形，使∠B=∠C=30°，然后用尺子量一量AB和AC的长度，看看它们有什么关系？ 【学生活动】我画了一个∠B=∠C=30°的三角形，量了AB和AC的长度，发现AB=AC。我又画了∠B=∠C=45°的三角形，结果还是AB=AC。看来只要两个角相等，它们所对的边就相等！ 【教师活动】这个发现非常有价值！这就是我们今天要学习的内容——等腰三角形的判定。上一节课我们学习了"等边对等角"（从边相等推出角相等），今天我们来研究"等角对等边"（从角相等推出边相等）。这就是15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定。 【知识点】情境导入：从性质到判定的逆向思维 已知：等腰三角形 → 等边对等角（性质） 猜想：两角相等 → 两腰相等（判定） 实验验证：画∠B=∠C=30°的三角形，量得AB=AC。 引出课题：15.3.1 等腰三角形 第2课时 等腰三角形的判定。 学习目标： (1) 探索并证明等腰三角形的判定定理（等角对等边）。 (2) 运用判定定理进行证明和计算。 (3) 理解等腰三角形性质与判定的关系。 【设计意图】从"等边对等角"的逆命题出发，引导学生进行逆向思维，猜想"等角对等边"。通过动手画图、测量，让学生获得直观的感性认识，为后续的严格证明做好铺垫。这种"猜想→验证→证明"的探究过程，是培养学生数学思维的有效途径。 【过渡语】通过实验，我们猜想"等角对等边"是正确的。但数学需要严格的证明，下面让我们用全等三角形的知识来证明这个猜想。 环节二：探究新知（14分钟） 一、等腰三角形判定定理的证明 【教师活动】（展示课件）已知：在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。要证明两条边相等，在已学知识中，我们有哪些方法？ 【学生活动】可以证明两个三角形全等！如果能把AB和AC放在两个全等三角形中作为对应边，就能证明它们相等。 【教师活动】思路很好！但△ABC只有一个三角形，怎么构造两个全等三角形呢？需要添加辅助线。请大家思考：可以添加什么样的辅助线？ 【学生活动】可以作∠BAC的平分线AD！这样就把△ABC分成了△ABD和△ACD两个三角形。在△ABD和△ACD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（AAS），因此AB=AC。 【教师活动】非常棒！用角平分线作为辅助线，用AAS证明了全等。还有其他方法吗？ 【学生活动】也可以作BC边上的高AD！在△ABD和△ACD中，AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，又∠B=∠C，AD=AD，所以△ABD≌△ACD（AAS），因此AB=AC。 【教师活动】两种方法都正确！那能不能作BC边上的中线呢？大家思考一下。 【学生活动】作中线得到BD=CD，再加上∠B=∠C和AD=AD，这是SSA——但SSA不能证明三角形全等！所以作中线的方法行不通。 【知识点】等腰三角形判定定理：等角对等边 内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 （简写成"等角对等边"） 几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 证明方法（两种）： 方法一：作角平分线AD → △ABD≌△ACD（AAS）→ AB=AC。 方法二：作高AD → △ABD≌△ACD（AAS）→ AB=AC。 注意：作中线不能证明（SSA不能判定全等）。 【规律总结】性质和判定的关系等腰三角形的性质与判定互为逆定理： 性质（等边对等角）：AB=AC ⇒ ∠B=∠C 判定（等角对等边）：∠B=∠C ⇒ AB=AC记忆口诀：边等则角等（性质），角等则边等（判定）。两者共同构成了等腰三角形中"边相等"与"角相等"的等价关系。 【设计意图】通过两种证明方法的展示，让学生体会"一题多证"的数学思维。同时，通过讨论"作中线为什么不行"，帮助学生深入理解SSA不能判定全等这一重要结论，避免常见的推理错误。性质与判定的对比，帮助学生建立完整的知识结构。 二、针对训练：等角对等边的正确使用 【教师活动】等角对等边这个定理用起来很方便，但要注意一个重要的前提条件——必须在同一个三角形中。请同学们看课件上的两道判断题。 图（1）：∠1=∠2，能否推出BD=DC？ 图（2）：∠1=∠2，能否推出DC=BC？ 【学生活动】图（1）中，∠1和∠2在△ABC中，由等角对等边可得BD=DC？不对，∠1和∠2不是同一个三角形中的两个角。∠1在△ABD中，∠2在△ACD中，它们不在同一个三角形中，不能用等角对等边。图（2）中，∠1和∠2虽然在同一个三角形中，但∠1和∠2所对的边分别是DC和BC，所以∠1=∠2推不出DC=BC。 【教师活动】分析得很到位！两道题都错了，因为它们都不是在同一个三角形中运用等角对等边。等角对等边的前提条件：两个角必须在同一个三角形中。 【易错防范】等角对等边的使用条件使用等角对等边时，必须满足： 1. 两个角必须在同一个三角形中。 2. 这两个角相等，推出它们各自所对的边相等。常见错误： 错误1：角不在同一个三角形中，却用等角对等边。 错误2：角虽然相等，但所对的边不是想要证明的边。 错误3：将等角对等边与等边对等角混淆。 【过渡语】掌握了等角对等边的正确使用方法，我们来看看它在实际问题中的应用。 环节三：例题精讲（10分钟） 针对训练：教材P81练习 第1题 【教师活动】（展示课件）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。 【学生活动】我来计算：在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°，所以∠1=180°-36°-72°=72°。∠1是△ABD的一个外角，所以∠1=∠A+∠2，即72°=36°+∠2，∠2=36°。图中等腰三角形有：△ABD中，∠A=∠2=36°，所以AD=BD；△BDC中，∠1=∠C=72°，所以BC=BD；△ABC中，∠ABC=∠ABD+∠DBC=36°+36°=72°=∠C，所以AB=AC。共三个等腰三角形。 【解答】解：在△BDC中，∠1=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°。∠1是△ABD的外角，∴∠1=∠A+∠2，即72°=36°+∠2，∴∠2=36°。等腰三角形有：△ABD（∠A=∠2=36°，AD=BD），△BDC（∠1=∠C=72°，BC=BD），△ABC（∠ABC=72°=∠C，AB=AC）。共三个。 【方法归纳】识别等腰三角形的一般步骤1. 先计算图形中所有角的度数（利用三角形内角和、外角性质等）。2. 在同一个三角形中寻找相等的角。3. 由等角对等边判定等腰三角形。4. 注意：不要遗漏等腰三角形，如本题中△ABC也是等腰三角形。 例2：教材P80例题 【教师活动】（展示课件）例2：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。已知：AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC。求证：AB=AC。 【学生活动】由AD//BC，可得∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。又AD平分∠CAE，所以∠1=∠2。因此∠B=∠C，由等角对等边，AB=AC。 【解答】证明：∵AD//BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。又AD平分∠CAE，∴∠1=∠2。∴∠B=∠C。∴AB=AC（等角对等边）。 【解题策略】例2的推理链分析本题的推理链条： AD//BC → ∠1=∠B，∠2=∠C（平行线性质） AD平分∠CAE → ∠1=∠2（角平分线定义） 传递 → ∠B=∠C（等量代换） 等角对等边 → AB=AC关键：将平行线性质和角平分线定义联系起来的桥梁是∠1和∠2。 例3：尺规作图（教材P81例题） 【教师活动】（展示课件）例3：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形。这道题需要综合运用等腰三角形的性质——三线合一，以及线段垂直平分线的知识。 【学生活动】根据三线合一，等腰三角形底边上的高也是底边的中线，所以高与底边的交点就是底边的中点。因此可以先作线段AB=a，再作AB的垂直平分线MN，垂足为D，然后在MN上截取DC=h，连接AC和BC即可。 【教师活动】思路完全正确！具体作法：(1)作线段AB=a；(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；(3)在MN上取一点C，使DC=h；(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形。 【知识点】例3 尺规作图步骤 已知：底边长a，底边上高h。求作等腰三角形。 作法： (1) 作线段AB = a。 (2) 作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D。 (3) 在MN上取一点C，使DC = h。 (4) 连接AC，BC，则△ABC即为所求。 依据：等腰三角形三线合一 → 底边上的高也是底边上的中线。 底边上的中点在底边的垂直平分线上。 【设计意图】例3将等腰三角形的判定定理（等角对等边）与性质定理（三线合一）巧妙结合，体现了"性质与判定"的综合运用。尺规作图不仅锻炼了学生的动手操作能力，也加深了学生对等腰三角形性质与判定之间关系的理解。 【设计意图】例2和例3分别从推理证明和尺规作图两个角度考察了等腰三角形判定定理的应用。例2侧重逻辑推理能力的培养，例3侧重动手操作和综合运用知识的能力。两题都体现了"性质与判定"的有机结合，帮助学生建立完整的知识结构。 【过渡语】通过例题的学习，大家对等角对等边的应用已经有了初步掌握。下面我们通过更多的练习来巩固所学知识。 环节四：课堂练习（14分钟） 随堂演练1（选择题） 【教师活动】（展示课件）第1题：已知△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）。 A. a∶b ∶ c = 2∶3∶4 B. a = 3，b = 4，c = 3 C. ∠B = 50°，∠C = 80° D. ∠A∶∠B∶∠C = 1∶1∶2 【学生活动】A选项：a:b:c=2:3:4，三边互不相等，不能判定等腰三角形。B选项：a=3，b=4，c=3，有两边相等，是等腰三角形。C选项：∠B=50°，∠C=80°，则∠A=50°，∠A=∠B=50°，等角对等边。D选项：∠A:∠B:∠C=1:1:2，∠A=∠B，等角对等边。所以选A。 【答案】A. a:b:c = 2:3:4 【知识要点】判定等腰三角形的方法判定等腰三角形有两条途径： 方法一（边）：有两边相等。 方法二（角）：有两角相等（等角对等边）。本题中，A只满足三边都不相等，也不满足两角相等，故不能判定。 随堂演练2（填空题） 【教师活动】（展示课件）第2题：如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是______。（答案不唯一） 【学生活动】AB=AC，所以∠B=∠C。要使AD=AE，可以用等角对等边——需要∠ADE=∠AED。而∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE。因为∠B=∠C，所以只需要∠BAD=∠CAE，或者更直接地——添加BE=CD，可证△ABE≌△ACD（SAS），得AD=AE。 【答案】BE=CD（答案不唯一，如∠BAD=∠CAE，BD=CE等） 随堂演练3（教材P81练习 第2题） 【教师活动】（展示课件）第3题：如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【学生活动】是等腰三角形！如图，由折叠可知△BCD≌△BFD，所以∠1=∠2。又AD//BC，所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）。因此∠1=∠3，由等角对等边，BE=DE。所以重合部分△BDE是等腰三角形。 【解答】解：是等腰三角形。理由：由折叠可知△BCD≌△BFD，∴∠1=∠2。又四边形ABCD是长方形，∴AD//BC，∴∠3=∠2（内错角相等）。∴∠1=∠3。∴BE=DE（等角对等边）。即重合部分△BDE是等腰三角形。 【规律总结】折叠问题中的等腰三角形折叠问题中判定等腰三角形的常见思路： 1. 由折叠得出对应角相等（如∠1=∠2）。 2. 利用平行线性质得出另一对角相等（如∠3=∠2）。 3. 等量代换得出∠1=∠3。 4. 等角对等边判定等腰三角形。折叠+平行线 → 角相等 → 等角对等边。 随堂演练4（教材P81练习 第3题） 【教师活动】（展示课件）第4题：如图，AC和BD相交于点O，且AB//CD，OA=OB。求证OC=OD。 【学生活动】由AB//CD，得∠B=∠D，∠A=∠C。又OA=OB，由等边对等角，∠A=∠B。所以∠A=∠B=∠C=∠D，即∠C=∠D。由等角对等边，OC=OD。 【解答】证明：∵AB//CD，∴∠B=∠D，∠A=∠C。又OA=OB，∴∠A=∠B（等边对等角）。∴∠C=∠D。∴OC=OD（等角对等边）。 【解题策略】等边对等角与等角对等边的联合使用本题综合运用了等腰三角形的性质和判定： 第一步：OA=OB → ∠A=∠B（等边对等角，性质）。 第二步：AB//CD → ∠A=∠C，∠B=∠D（平行线性质）。 第三步：等量代换 → ∠C=∠D。 第四步：∠C=∠D → OC=OD（等角对等边，判定）。性质与判定在同一道题中配合使用，是常见的综合题型。 随堂演练5（综合题） 【教师活动】（展示课件）第5题：(1)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E。图中有哪些等腰三角形？(2)若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？ 【学生活动】(1)由AB=AC得∠ABC=∠ACB，BF和CF是角平分线，所以∠DBF=∠FBC=∠FCB=∠FCE。又DE//BC，所以∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB。因此△ABC（AB=AC）、△ADE（DE//BC得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，所以AD=AE）、△BDF（∠DBF=∠DFB，BD=DF）、△CEF（∠ECF=∠EFC，CE=EF）、△BCF（∠FBC=∠FCB，BF=CF）。共5个等腰三角形。 【教师活动】(2)去掉AB=AC后，∠ABC和∠ACB不一定相等。但BF和CF仍然是角平分线，DE//BC仍然成立。所以∠DFB=∠FBC=∠DBF，推出DB=DF，即△BDF是等腰三角形。同理，∠EFC=∠FCB=∠ECF，推出EC=EF，即△CEF是等腰三角形。所以去掉了AB=AC后，△BDF和△CEF仍然是等腰三角形。 【解答】解：(1)等腰三角形有：△ABC、△ADE、△BDF、△CEF、△BCF，共5个。(2)去掉AB=AC后，△BDF和△CEF仍然是等腰三角形。理由：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF。又DE//BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF，∴DF=DB。同理∠EFC=∠BCF=∠ACF，∴EF=EC。∴△BDF和△CEF是等腰三角形。 【知识点】随堂演练5 解题要点 题目：(1)AB=AC，角平分线+平行线，找等腰三角形。 (2)去掉AB=AC，还有哪些等腰三角形？ 核心模型：角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 若BF平分∠ABC，DE//BC， 则∠DFB=∠FBC=∠DBF（内错角+角平分线）， ∴DB=DF（等角对等边），△BDF是等腰三角形。 结论：即使没有AB=AC，只要角平分线+平行线， △BDF和△CEF始终是等腰三角形。 这是等腰三角形判定中的一个经典模型。 【过渡语】通过课堂练习，大家已经能够熟练运用等角对等边来判定等腰三角形。特别是"角平分线+平行线"这个经典模型，请大家牢记。下面我们来总结一下本节课的主要内容。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，今天我们学习了等腰三角形的判定定理——等角对等边。请一位同学来总结一下本节课的主要内容。 【学生活动】本节课我们学习了等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称为"等角对等边"。证明方法有两种——作角平分线或作高，都可以用AAS证明全等。我们还学习了等角对等边与等边对等角的关系——它们互为逆定理。在应用方面，我们学会了用等角对等边识别图形中的等腰三角形，以及综合运用平行线性质和角平分线定义进行推理。 【教师活动】总结得非常全面！老师再强调几个关键点：第一，等角对等边必须在同一个三角形中使用，跨三角形的角相等不能直接推出边相等；第二，等边对等角和等角对等边是等腰三角形的两个核心定理，它们互为逆定理，可以根据需要灵活选用；第三，角平分线加平行线是判定等腰三角形的经典模型，请大家熟练掌握。 【知识点】课堂小结：等腰三角形的判定 判定定理：等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC。 证明方法：作角平分线（AAS）或作高（AAS）。 性质与判定的关系： 性质：AB=AC ⇒ ∠B=∠C（等边对等角） 判定：∠B=∠C ⇒ AB=AC（等角对等边） 两者互为逆定理。 经典模型：角平分线 + 平行线 → 等腰三角形。 易错提醒：等角对等边必须在同一个三角形中使用。 四、板书设计 【知识点】15.3.1 等腰三角形（第2课时） 一、判定定理：等角对等边 在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC 证明：作角平分线AD → △ABD≌△ACD(AAS) → AB=AC 或作高AD → △ABD≌△ACD(AAS) → AB=AC 二、性质与判定的关系 性质：AB=AC ⇒ ∠B=∠C（等边对等角） 判定：∠B=∠C ⇒ AB=AC（等角对等边） 互为逆定理 三、经典模型 角平分线 + 平行线 → 等腰三角形 例2：平行线+角平分线 → ∠B=∠C → AB=AC 例3：尺规作图（三线合一+垂直平分线） 五、教学反思 本节课以"猜想→验证→证明→应用"为主线，从等腰三角形性质的逆命题出发，引导学生进行逆向思维，自然地引出等腰三角形的判定定理。通过两种证明方法（作角平分线和作高）的展示，以及讨论"作中线为什么不行"，帮助学生深入理解AAS与SSA的区别，避免了常见的推理错误。 在教学过程中，学生对"等角对等边必须在同一个三角形中使用"这一前提条件掌握得不够牢固，在针对训练的判断题中容易出错。后续教学中应反复强调这一条件，并通过更多变式练习加以巩固。"角平分线+平行线→等腰三角形"这一经典模型，学生理解起来有一定难度，但通过随堂演练5的讲解，大部分学生能够掌握。 本节课中性质与判定的对比是重要的知识结构，学生需要通过反复练习才能做到灵活双向运用。尺规作图（例3）将判定定理与三线合一相结合，体现了知识的综合运用，但在实际教学中，作图部分可以适当精简，把更多时间留给判定定理的应用练习。总的来说，本节课的教学目标基本达成，学生能够运用等角对等边进行简单的推理和计算。 学科网（北京）股份有限公司 $