4.2角（分层作业，15大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 4.2 角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 角的定义及角的表示方法 题型02 角的分类 题型03 利用三角尺作特殊角 题型04 钟表中的角度问题 题型05 角的换算 题型06 角的比较 题型07 三角板中角的计算 题型08 角的和、差、倍、分 题型09 量角器度量与读数 题型10 角度的运算 题型11 角的平分线的应用 题型12 角的尺规作图 B组 能力进阶 题型 实际背景下的角度计算 C组 思维拔高 题型01 角的计数与规律探究 题型02 角度计算的动态问题 角的定义及角的表示方法题型01 1．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，根据角的概念判断即可． 【详解】解：根据角的概念“有公共端点的两条射线组成的图形叫作角”判断． 故选：B． 2．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的四种表示方法和具体要求回答即可． 【详解】解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误； B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误； C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误； D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，掌握角的表示方法是解题的关键. 3．（25-26七年级上·河北张家口·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有7个小于平角的角 B．点B 与点C之间的距离就是线段的长度 C．可以用表示 D．图中的数学道理是两点之间线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了几何概念．熟练掌握角的表示、两点间的距离及两点之间线段最短是解题的关键．根据角的表示、两点间的距离及两点之间线段最短的知识进行判断即可． 【详解】解：A．以为顶点的角有；以为顶点的角有；以为顶点的角有；以为顶点的角有． 所以图中共有7个小于平角的角，该选项说法正确． B．根据两点之间距离的定义，连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离． 所以点与点之间的距离就是线段的长度，该选项说法正确． C．当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母来表示这个角；当以某一点为顶点的角有多个时，不能只用顶点字母来表示． 因为以为顶点的角有两个， 所以不可以用表示，该选项说法错误． D．因为两点之间，线段最短，而是从经过到的路径长度， 所以，其数学道理是两点之间线段最短，该选项说法正确． 故选：C． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为________． 【答案】 【详解】本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握正负数的实际意义． 利用正负数的实际意义进行表示即可． 【分析】解：根据角的动态定义，逆时针旋转对应正角，顺时针旋转对应负角； 旋转两周为720度，因此顺时针旋转两周表示为负720度， 故答案为：． 5．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)不是 (5)图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，， 【分析】本题主要考查角的表示，熟练掌握角的表示方法是解题的关键． （1）根据角的表示方法判断即可； （2）根据角的表示方法判断即可； （3）根据角的表示方法判断即可； （4）根据角的表示方法判断即可； （5）根据角的表示方法分析即可． 【详解】（1）解： 和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （2）解：和的顶点都是点，角的两边都是射线，，因此是同一个角． （3）解：和的两边不是相同的射线，因此不是同一个角． （4）解：和的顶点不同，因此不是同一个角． （5）解：图中可以用一个字母表示的角有3个，分别是，，． 角的分类题型02 1．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的分类．根据小于90度的角是锐角，大于90度小于180度的角是钝角，等于90度的角是直角来判断． 【详解】解：A、，是直角，故不符合题意； B、，是钝角，故不符合题意； C、，是钝角，故不符合题意； D、，是锐角，故符合题意， 故选：D． 2．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要根据周角、平角、直角、锐角、钝角的定义，逐一分析每个说法的正确性，从而确定正确说法的个数． 【详解】①周角是，平角是，，所以1个周角=2个平角，该说法正确； ②平角是，直角是，，所以1个平角=2个直角，该说法正确； ③直角是，锐角是大于而小于的角，例如两个的锐角和为，所以1个直角不一定等于2个锐角，该说法错误； ④钝角是大于而小于的角，仅说大于的角不一定是钝角（如平角、周角），该说法错误． 综上，①②说法正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的分类的定义，掌握根据各类角的度数范围，判断角之间的数量关系及角的类型是解题的关键． 3．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 4．已知α 、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四个同学的计算（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，则得到正确结果的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】甲、乙、丙、丁四个同学的计算（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，那么这四个同学计算α +β的结果依次为168°、288°、360°、528°，又因为两个钝角的和应大于180°且小于360°，所以只有乙同学的计算正确，故选B. 5．如图，是平角，过点B任作一条射线，得到与．当分别是什么角时，？ 【答案】当是锐角（即）时，； 当是钝角（即）时，； 当是直角（即）时，． 【分析】首先根据平角的定义，确定，以此作为推导的基础条件．如果要判断和的大小关系，那么可以结合两个角的和为，将大小比较转化为和的大小比较．结合锐角、直角、钝角的定义，对应的不同类型，分别推导对应的两个角的大小关系． 【详解】解：已知是平角， ∴： 当是锐角，即时， ∵： 得是钝角，即， ∴； 当是钝角，即时， 得是锐角，即， ∴； 当是直角，即时， 得是直角，即， ∴． 利用三角尺作特殊角题型03 1．下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】一副三角板，度数有：、、、，根据度数组合，可以得到答案． 【详解】解：利用一副三角板可以画出的角，是和角的组合 故选：C． 【点睛】本题考查特殊角的画法，审题清晰是解题关键. 2．用一副三角板画角，不能画出的角是    (    ) A．15° B．75° C．145° D．165° 【答案】C 【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．根据选项一一分析，排除错误答案． 【详解】A．15°的角，60°﹣45°＝15°；故本选项不符合题意； B．75°的角，45°+30°＝75°；故本选项不符合题意； C．145°的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．165°的角，90°+45°+30°＝165°；故本选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了角的计算．用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 3．借助一副三角尺画出的角． 【答案】 如图所示，45°-30°=15°， 45°+60°=105°， 90°+30°=120°， 90°+45°=135°． 【分析】根据三角尺的度数，利用和差关系解答即可作出． 【详解】略 【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了角度的和差关系，根据三角尺的度数求出所求度数的和差关系是解题的关键． 4．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，有A，B，C三个点，请用圆规和一副三角板按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字笔描黑）． (1)作直线； (2)连接，在的延长线上找一点D，使线段； (3)作． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 如图，以点C为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D， 则点D即为所求； (3) 如图，和均满足题意． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画图即可； （2）以点C为圆心，为半径画弧，交的延长线于点D，则点D即为所求； （3）先用三角板以为边，为顶点画一个，再以为顶点，为边靠近方向画一个，则，注意有两种情况． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①如图所示， ②不能 (2) 如图所示， (3) 选用，理由： 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． (4)不一定能，理由： 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 钟表中的角度问题题型04 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）钟表上时，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是求钟表的分针与时针的夹角问题，掌握钟表的特征和周角的定义是解决此题的关键． 根据钟表中一圈有个大格，即可求出个大格对应的角度，然后根据时，时针与分针间有个大格即可得出结论． 【详解】解：∵钟表中一圈有个大格， 个大格的对应的角度为， 时，时针与分针间有个大格， 此时钟表的时针与分针的夹角为； 故选：A 2．（24-25上·山东济南·期末）如图，当钟表指示时，时针和分针的夹角（小于）的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为．根据钟面角的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，时针和分针的夹角（小于）的度数是， 故选：D． 3．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）从正午12时开始，时钟的时针转过了80°的角，则此时的时间是下午______． 【答案】2时40分 【分析】本题考查了时钟时针转动角度与时间的关系，解题的关键是明确时针每小时转动的角度，再通过角度计算经过的时间． 根据时针每小时转动的角度，计算转动所经过的时间，进而得出具体时刻． 【详解】时钟一圈为，共12小时，所以时针每小时转动的角度为， 已知时针转过，则经过的时间为小时， 小时可拆分为2小时小时， 小时换算为分钟：分钟， 从正午12时开始，经过2小时40分钟，此时的时间是下午2时40分． 故答案为：2时40分． 5．（24-25下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 【详解】解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 角的换算题型05 1．将化成用度、分、秒，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了度分秒的转化，掌握度分秒之间的进率是60是解题的关键．将化为分，可得答案． 【详解】解：． 故选：D． 2．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据度分秒的进制，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故A不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B不符合题意； C.∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故C不符合题意； D.∵， ∴， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 3．某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（   ） （精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】B 【分析】本题考查近似数、单项式的系数和次数、角度换算及同类项的概念，关键是熟练利用知识点判断；根据定义逐一判断各题正误． 【详解】解：∵ 精确到百分位需看千分位，千分位为， 向百分位进，得，故正确； ∵ 单项式的系数为数字因数，次数为字母的指数和， 故正确； ∵ ，故错误； ∵ 同类项需字母相同且对应指数相同，中指数为、指数为，中指数为、指数为，指数不同， 不是同类项，故错误； 综上，做对题数为道， 故选：B. 4．____________，_______． 【答案】 100 【分析】本题考查了角的单位与角度制，熟练掌握角的单位与角度制是解题关键．根据计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：100；；． 5．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 角的比较题型06 1．用“叠合法”比较与的大小，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据“叠合法”比较角的大小的规则来判断即可. 【详解】解：用“叠合法”比较角的大小时一边重合，另一边在同一侧． 故选D. 【点睛】本题考查了用“叠合法”比较角的大小，掌握比较角的大小的方法是解题的关键. 2．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小比较，度、分、秒的换算．首先根据，将转化为，再比较即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A 3．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 4．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的大小比较和角度的和差关系．根据，，及得，由此可得出答案． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2026·河北石家庄·二模）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 三角板中角的计算题型07 1．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 【答案】D 【分析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到． 【详解】解：∠ABC＝30°+90°＝120°． 故选：D． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解三角板的角的度数是关键． 2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，两个直角三角尺的直角顶点重合，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． 由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果，那么的大小是 _______度． 【答案】57 【分析】本题主要考查角的计算，根据已知角求出未知角即可得到答案． 【详解】解：由于在三角板中， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·期末）将一副三角板与按如图放置，，，若平分，平分，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，根据角平分线的定义可得，，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·北京·期末）一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 【答案】(1) (2)，；可由画出 (3)时；时；时；时 【分析】本题考查角度的和差计算，关键是利用三角板的基础角度()及其和差得到的整数倍角度，结合方程思想求解角度与参数． （1）直接代入已知角度，通过等式计算未知角度； （2）代入已知角度解方程求未知角度，再求比例系数，并说明角度的画法； （3）通过等式变形得到角度与的表达式，结合三角板角度的特征(的整数倍)，分析的所有可能值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，且， ∴，解得． 又∵， ∴． 如图，可通过三角板的角减去角得到： （3）解：∵，且， ∴，∴． ∵与均为三角板通过组合或分割测量的角(即角度为的整数倍)，且为正整数， ∴必须是的整数倍． 设(为正整数)，则，∴． ∵为正整数，∴，即． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，． 综上，的所有可能值为，对应的度数分别为． 角的和、差、倍、分题型08 1．如图，，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果． 【详解】解：根据图象可得：∠1+∠2=90°， ∵∠1=20°， ∴∠2=70°， 故选：C． 【点睛】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键． 2．已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角的计算，分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出． 【详解】解：当射线在外部， ； 当射线在内部， ， 所以的度数是或． 故选：C． 3．（25-26七年级上·四川德阳·期末）如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的数量关系，本题关键是利用角度的倍数关系与和差关系，通过设未知数消元，简化计算过程，进而求出目标角度差． 【详解】解：设． 由，可得． ，且， ． ， ． ， ． ， ． 故选：B 4．如图，，在的内部，且，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的和差计算，解题的关键是根据图形把转化为∠．根据已知及图形，将转化为即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ，故D正确； 无法判断A，B，C是否正确． 故选：D． 5．（24-25七年级上·北京·期末）如图，是直线上一点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，角的单位换算，由计算即可求解，掌握角度的加减运算及单位换算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 量角器度量与读数题型09 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的度数，根据角的定义，确定点的位置，借助量角器量出角的度数即可． 【详解】解：如图，借助量角器可知：； 故选B． 2．将量角器按如图方式放置，其中角度为45°的角是（    ） A．∠AOB B．∠BOC C．∠COD D．∠DOE 【答案】B 【分析】根据量角器分别得出每个角的度数即可． 【详解】解：由量角器可知，∠AOB＝40°，∠BOC＝45°，∠COD＝55°，∠DOE＝35°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查角的概念，熟练掌握角的概念是解题的关键． 3．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（    ） A．40° B．45° C．135° D．140° 【答案】B 【分析】根据角的定义与量角器的使用即可得到结论． 【详解】解：看内圈的数字可得：∠AOB=45°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 角度的运算题型10 1．（24-25七年级上·广西来宾·期末）如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算，需要注意把分化为度，再由计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．计算：35°45′＋72°19′＝___________． 【答案】108°4′ 【分析】根据角度的计算，注意单位进率为60，进行计算即可得解. 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握度，分，秒的计算进率是解决本题的关键. 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）___________． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的运算，熟练掌握角度的单位换算，是解题的关键． 将转换为，然后进行角度减法，即可完成计算． 【详解】解：． 故答案为． 4．（24-25下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，掌握角度是60进制和相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度是60进制和角度的加减运算求解即可． （2）根据角度是60进制和角度的乘法运算求解即可． 【详解】（1） （2） 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度分秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度分秒是进制． （1）相同单位分别相加，满向上一位进即可； （2）先借化为，再借化为，即化为，然后同一单位分别相减即可； （3）先将每一个单位分别乘以，满的部分向上一位进即可； （4）从度开始计算，余数乘以化成下一个单位继续除以进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 角的平分线的应用题型11 1．射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 【详解】解：A、当∠AOC= ∠AOB时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠4OB的平分线，故本选项正确； B、当时，OC一定在∠A0B的内部且OC是∠A0B的平分线，故本选项正确；    C、当，只能说明OC在∠AOB的内部，但不能说明OC平分∠AOB，故本选项错误； D、当∠AOC=∠BOC时，OC一定在∠AOB的内部且OC是∠AOB的平分线，故本选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线. 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及角的和差，依据角平分线的定义，得到，再根据计算求解，即可解题． 【详解】解：，平分， ， ， ； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差计算． （1）根据角平分线定义得到，，根据即得； （2）利用角平分线的定义得出，，根据，，即得． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． 4．已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)若OC平分∠AOB， ①依题意补全图1； ②∠MON的度数为 ． (2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由． 【答案】(1) ①依题意补全图如下： ②80° (2)∠MON的度数不变，80° 【分析】（1）①根据题意补全图；②根据，∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°，得出∠MON的度数； （2）由OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，得出∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）＝AOB，从而得出答案． 【详解】（1）解：① 略 ②∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°， ∴， ∵射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ∴， ∴∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝40°， 同理可得∠CON＝40°， ∴∠MON＝∠CON+∠MOC＝80°； （2）解：∠MON的度数不变． ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∵，， ∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AOM+∠BON） ＝∠AOB﹣ ＝， ∵∠AOB＝120°， ∴∠MON＝80°． 【点睛】本题考查了角的计算和角的三等分线，掌握各个角之间的关系是解题的关键． 5．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或 【分析】（1）根据三分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可； （3）根据四分线的定义分类解答即可． 【详解】解：（1）∵是的三分线，，， ∴， 故答案为：； （2），是的四分线，， ， 为的三分线， ①当时，， ， ②当时，， ， 综上所述，的度数为或， （3）∵射线、是的两条四分线， ∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°， 如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=, ∠BOD=80°，∠COD=20°， α=30°-20°=10°； 如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时， ∠COD=∠BOC=15°， α=30°+15°=45°； 如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时， ∠COD=∠BOC=45°， α=30°+45°=75°； 如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=, ∠COD=80°， α=30°+80°=110°； 的值为或或或 【点睛】本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想． 角的尺规作图题型12 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（    ） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 【答案】A 【分析】此题考查作一个角等于已知角的作图方法，根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可，熟练掌握作一个角等于一个角的方法是解题的关键． 【详解】解：角的作图步骤： ⑤如图3，画射线． ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ①如图3，经过点画射线，则即为所求． 正确的作图顺序为⑤③④②①， 故选：A． 2．（25-26七年级·期末）为了比较和的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断 __________（填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题利用尺规作图的痕迹来比较两个角的大小，解题的关键在于理解尺规作图中角的复制原理以及角的大小比较方法，先根据尺规作图的痕迹，得出，再观察图②的一边和有公共边，并且的另一边落在的内部，根据角的大小比较的原理，可得出，最后通过等量代换可得到． 【详解】解：由作图痕迹可知，， ∵的一边落在的内部， ∴， ∴， 故答案为：<． 3．如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图，即为所求作． 【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图“作一个角等于已知角”的方法步骤是解答的关键． 根据尺规作图-作一个角等于已知角的作图步骤即可求解． 【详解】作法：以为圆心，任意长为半径作弧交于，交于， 以为圆心，以同样长长为半径作弧，交于， 以为圆心，长为半径作弧交前弧于， 过作射线． 故即为所求作． 4．（25-26七年级·陕西宝鸡·期末）如图，点在射线上，请用尺规以点为顶点，以射线为一边作，使，射线与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角等知识．根据尺规作图作，作，与交于点D，即可得到． 【详解】作法：①作； ②作； 则． 5．同学们，你听过凯叔的《口袋神探》故事吗？这个故事讲的是一个聪明的男孩艾小坡，与因意外误入地球的外星人鸡飞飞，结成侦探联盟，通过思考、调查、研究和推理，破解身边一系列神秘案件的精彩故事．一天，艾小坡获得了一张“藏宝图”，你能根据“藏宝图”上的信息和艾小坡一起确定“宝藏”的位置吗？不幸地告诉你，大家手中只有圆规和无刻度的直尺哦…… (1)在正北方向上，作线段，使； (2)记，作南偏东方向线； (3)射线与方向线交点为，点即为“宝藏”位置；请聪明的你利用仅有的工具帮我们准确找出“宝藏”位置点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； (3) 如图所示，点即为所求． 【分析】本题考查了作射线，作线段，作一个角等于已知角，方向角的定义； （1）根据题意，正北方向上，作线段，使 （2）根据题意，作南偏东方向线； （3）作射线与方向线交点为，则点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 实际背景下的角度计算题型 1．如图，下列说法中错误的是（　　） A．OA的方向是东北方向 B．OB的方向是北偏西60° C．OC的方向是南偏西60° D．OD的方向是南偏东60° 【答案】D 【分析】准确地找到对应的角度，关键是射线和南北方向之间的夹角，一一求出角度即可判断正误． 【详解】解：A、的方向是北偏东45度即东北方向，故正确，不符合题意； B、的方向是北偏西，故正确，不符合题意； C、的方向是南偏西，故正确，不符合题意； D、的方向是南偏东，故错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方位角的运用，解题的关键是会准确地找到所对应的角度是需要掌握的基本能力之一． 2．甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是（  ） A．南偏东50° B．南偏西40° C．南偏东40° D．南偏西50° 【答案】B 【分析】甲看乙的方向是北偏东40°，是以甲为标准，反之乙看甲的方向是甲相对于乙的方向与位置．方向完全相反，角度不变． 【详解】解：甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是南偏西40°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方向角的定义，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点M在点O的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是（    ） A．西偏南 B．西偏南 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查的是方向角的含义，角的和差运算，理解题意是解本题的关键．根据方向角的定义先求解，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】如图： 由方向角的定义可知：， ， ， 射线的方向是南偏西， 故选：C 4．如图，表示南偏东42°，表示北偏东55°，那么___________°． 【答案】 【分析】根据方位角的定义求解即可． 【详解】解：∵表示南偏东42°，表示北偏东55°， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角． 5．如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 【答案】（1）北偏东；（2）南偏东；（3）南偏西或北偏东；（4）或 【分析】（1）利用方位角先求出∠AOB的度数，然后确定OC的方向； （2）直接由OB的方向得到OD的方向； （3）根据题意，OE的方向有两种情况，分别求出两种情况的方向角即可； （4）由（3）可知OE的方向，结合方位角的运算，即可求出的度数. 【详解】解：（1）∵的方向是北偏东，的方向时北偏西． ∴， ∴， ∴， ∴的方向是北偏东70°； 故答案为：北偏东70°； （2）∵的方向时北偏西，且是的反方向延长线， ∴的方向是南偏东40°； 故答案为：南偏东40°； （3）根据题意，如图：      ∵， ∴点E的位置有两种情况： 当OE在东北夹角时，有 ， ∴OE的方向为：北偏东50°； 当OE在西南夹角时，有 ， ∴OE的方向为：南偏西50°； 故答案为：北偏东50°或南偏西50°； （4）由（3）可知， 当OE为北偏东50°时， ； 当OE为南偏西50°时， . 故答案为：或. 【点睛】本题考查了方位角的运算，解题的关键是熟练掌握方位角，正确求出线段的方向. 角的计数与规律探究题型01 1．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了角的识别，熟练掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角是解答本题的关键． 的角即为平角，要找小于的角，即是找小于平角的角观察图形，分别找出以O为顶点的角有哪些，就可找出所有的角． 【详解】解：小于的角有， ∴有5个， 故选：C． 2．探究角的计数问题： (1)在图①中，内有1条射线，此时图①中共有_____个角． (2)在图②中，内有2条射线，此时图②中共有_____个角． (3)在图③中，内有3条射线，此时图③中共有_____个角． (4)由以上三个小题中发现的规律，试探究当内有（为正整数）条射线时，共有多少个角？ 【答案】(1)3 (2)6 (3)10 (4)角的个数为（个）． 【分析】（1）（2）（3）数出角的个数即可； （4）分别根据图①，图②，图③中角的个数总结出规律，进而得内有条射线时角的个数． 【详解】（1）解：在图①中，内有条射线，此时图①中共有个角，即． （2）解：在图②中，内有条射线，此时图②中共有个角，即． （3）解：在图③中，内有条射线，此时图③中共有个角，即． （4）解：当角内有条射线时，一共有射线，每条射线都与条射线构成了个角，则共有个角， 由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：（个）． 3．如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 【答案】(1)①3；②6；③ (2) 【分析】（1）①②根据角的概念求出即可； ③根据①②分析得出的规律求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有， ， ∴图中得到3个角； ②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有， ， ∴图中得到6个角； ③由①②可得， 当从点分别引条射线， ， ∴得到个角； （2）根据题意可得， 当时，． ∴全部赛完共需120场比赛． 【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键． 角度计算的动态问题题型02 1．（25-26七年级上·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 【答案】A 【分析】本题考查角的概念，角的大小比较，熟练掌握相关知识是关键． 结合图形和角的概念进行分析即可． 【详解】解：当点从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 2．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； 请把下列解题过程补充完整： ，（已知） ° ∵OE平分（已知） °（角平分线定义） （已知） °； (2)若图①中，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图①中的三角板绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么问题（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) ；140；；70；；20 (2) (3) 解：问题（2）中所求出的结论仍成立， 理由如下： ∵ 又∵平分 ∴， ∴； ∴（2）中所求出的结论仍成立． 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，与三角板有关的计算，正确的识图，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）先求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可； （2）同（1）法，求解即可； （3）先求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）， ∵平分 ∴ ； （3）略 3．点O直线上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； (3)将三角板绕点O在直线上方逆时针旋转，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据和的度数可以得到的度数． （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数． （3）由可得的度数，再分在左边和在右边两种情况，分别求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∴， ， 即； （3）解：∵， ∴． ∵， ∴， 当在左边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角板的知识，角的计算，准确识图、理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 4．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 5．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 角 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 角的定义及角的表示方法 题型02 角的分类 题型03 利用三角尺作特殊角 题型04 钟表中的角度问题 题型05 角的换算 题型06 角的比较 题型07 三角板中角的计算 题型08 角的和、差、倍、分 题型09 量角器度量与读数 题型10 角度的运算 题型11 角的平分线的应用 题型12 角的尺规作图 B组 能力进阶 题型 实际背景下的角度计算 C组 思维拔高 题型01 角的计数与规律探究 题型02 角度计算的动态问题 角的定义及角的表示方法题型01 1．下列图形中，角是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北张家口·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．图中共有7个小于平角的角 B．点B 与点C之间的距离就是线段的长度 C．可以用表示 D．图中的数学道理是两点之间线段最短 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形（动态定义）．开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．以数轴正方向（朝右）为基准，逆时针旋转对应正角，则顺时针旋转两周可以表示为________． 5．如图所示，回答下列问题： (1)和是不是同一个角？ (2)和是不是同一个角？ (3)和是不是同一个角？ (4)和是不是同一个角？ (5)图中可以用一个字母表示的角有哪几个？分别把它们表示出来． 角的分类题型02 1．如图所示，下列各角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 2．有下列说法：①1个周角=2个平角；②1个平角=2个直角；③1个直角=2个锐角；④钝角是大于的角．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 4．已知α 、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四个同学的计算（α +β）的结果依次为28°、48°、60°、88°，其中只有一个同学计算结果是正确的，则得到正确结果的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．如图，是平角，过点B任作一条射线，得到与．当分别是什么角时，？ 利用三角尺作特殊角题型03 1．下列各度数的角，能借助一副三角尺画出的是（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 2．用一副三角板画角，不能画出的角是    (    ) A．15° B．75° C．145° D．165° 3．借助一副三角尺画出的角． 4．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，有A，B，C三个点，请用圆规和一副三角板按下列要求作图（不写步骤，需保留痕迹，作图时先用铅笔画出，再用黑色字迹的签字笔描黑）． (1)作直线； (2)连接，在的延长线上找一点D，使线段； (3)作． 5．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 钟表中的角度问题题型04 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）钟表上时，时针与分针的夹角是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25上·山东济南·期末）如图，当钟表指示时，时针和分针的夹角（小于）的度数是（    ） A． B． C． D． 3．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）从正午12时开始，时钟的时针转过了80°的角，则此时的时间是下午______． 5．（24-25下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 角的换算题型05 1．将化成用度、分、秒，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列度分秒的换算中，正确的是（　   　） A． B． C． D． 3．某同学假期提交完成的作业内容，用手机截屏如图所示，他做对的题数是（   ） （精确到百分位） 的系数是，次数是4 比较大小： 与是同类项 A．道 B．道 C．道 D．道 4．____________，_______． 5．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 角的比较题型06 1．用“叠合法”比较与的大小，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 4．如图，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．与的大小关系不确定 5．（2026·河北石家庄·二模）在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 三角板中角的计算题型07 1．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，两个直角三角尺的直角顶点重合，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，一副三角板中，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，如果，那么的大小是 _______度． 4．（25-26七年级上·期末）将一副三角板与按如图放置，，，若平分，平分，则的度数是______． 5．（25-26七年级上·北京·期末）一副三角板（含、、、角）可以作为测量工具，利用它们已有角度进行的组合与分割可以测量更多的角度．若与均是可用三角板通过组合或分割测量的角，且满足（为正整数）． 根据上述规定完成下面问题： (1)若，则___________； (2)若，求的度数和的值，并在虚框中画出（可利用三角板的组合或分割方式画出）； (3)列出的所有可能值，及其对应的度数． 角的和、差、倍、分题型08 1．如图，，则的度数是（    ） A．40° B．60° C．70° D．80° 2．已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26七年级上·四川德阳·期末）如图，在内部有三条射线，，依次分布，若，， ，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，，在的内部，且，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京·期末）如图，是直线上一点，，则______． 量角器度量与读数题型09 1．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，为锐角，的顶点处被老师的手遮盖，则的大小可以为（   ） A． B． C． D． 2．将量角器按如图方式放置，其中角度为45°的角是（    ） A．∠AOB B．∠BOC C．∠COD D．∠DOE 3．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（    ） A．40° B．45° C．135° D．140° 角度的运算题型10 1．（24-25七年级上·广西来宾·期末）如图，在同一平面上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．计算：35°45′＋72°19′＝___________． 3．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）___________． 4．（24-25下·山东青岛·期中）计算 (1) (2) 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 角的平分线的应用题型11 1．射线OC在内部，下列条件不能说明OC是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，，平分，若，________． 3．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，是内的一条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 4．已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)若OC平分∠AOB， ①依题意补全图1； ②∠MON的度数为 ． (2)当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数是否改变？若不变，求∠MON的度数；若改变，说明理由． 5．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线…… 显然，一个角的三分线、四分线都有两条． 例如：如图，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． （1）如图，是的三分线，，若，则 ； （2）如图，，是的四分线，，过点作射线，当刚好为三分线时，求的度数； （3）如图，射线、是的两条四分线，将绕点沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线、、中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 角的尺规作图题型12 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）尺规作图：作一个角等于已知角． 如图1，已知：．求作：，使． 下面是打乱顺序的作图步骤： ①如图3，经过点画射线，则即为所求． ②如图3，以点为圆心，长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ③如图2，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C、D； ④如图3，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ⑤如图3，画射线．则正确的作图顺序为（    ） A．⑤③④②① B．⑤④③②① C．⑤③②④① D．③④②⑤① 2．（25-26七年级·期末）为了比较和的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断 __________（填“>”“<”或“=” 3．如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）． 4．（25-26七年级·陕西宝鸡·期末）如图，点在射线上，请用尺规以点为顶点，以射线为一边作，使，射线与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 5．同学们，你听过凯叔的《口袋神探》故事吗？这个故事讲的是一个聪明的男孩艾小坡，与因意外误入地球的外星人鸡飞飞，结成侦探联盟，通过思考、调查、研究和推理，破解身边一系列神秘案件的精彩故事．一天，艾小坡获得了一张“藏宝图”，你能根据“藏宝图”上的信息和艾小坡一起确定“宝藏”的位置吗？不幸地告诉你，大家手中只有圆规和无刻度的直尺哦…… (1)在正北方向上，作线段，使； (2)记，作南偏东方向线； (3)射线与方向线交点为，点即为“宝藏”位置；请聪明的你利用仅有的工具帮我们准确找出“宝藏”位置点（保留作图痕迹，不写作法） 实际背景下的角度计算题型 1．如图，下列说法中错误的是（　　） A．OA的方向是东北方向 B．OB的方向是北偏西60° C．OC的方向是南偏西60° D．OD的方向是南偏东60° 2．甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是（  ） A．南偏东50° B．南偏西40° C．南偏东40° D．南偏西50° 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点M在点O的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是（    ） A．西偏南 B．西偏南 C．南偏西 D．南偏西 4．如图，表示南偏东42°，表示北偏东55°，那么___________°． 5．如图，的方向是北偏东，的方向时北偏西．      （1）若，则的方向是 ； （2）是的反方向延长线，的方向是 ； （3）若，请用方位角表示的方向是 ； （4）在（1）（2）（3）的条件下，则 ． 角的计数与规律探究题型01 1．如图所示，其中小于的角共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．探究角的计数问题： (1)在图①中，内有1条射线，此时图①中共有_____个角． (2)在图②中，内有2条射线，此时图②中共有_____个角． (3)在图③中，内有3条射线，此时图③中共有_____个角． (4)由以上三个小题中发现的规律，试探究当内有（为正整数）条射线时，共有多少个角？ 3．如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角） (1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角； ②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角； ③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）； (2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？ 角度计算的动态问题题型02 1．（25-26七年级上·期末）如图，直线外有一定点，点是直线上的一个动点，当点从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（   ）． A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，变小 D．，都变小 2．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； 请把下列解题过程补充完整： ，（已知） ° ∵OE平分（已知） °（角平分线定义） （已知） °； (2)若图①中，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图①中的三角板绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，那么问题（2）中所求出的结论是否还成立？请说明理由． 3．点O直线上一点，过点O作射线，使得，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，此时是的平分线，求和的度数； (3)将三角板绕点O在直线上方逆时针旋转，若，求的度数． 4．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 5．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $