4.1线段、射线、直线（分层作业，15大题型）数学新教材北师大版七年级上册

分层作业 4.1 线段、射线、直线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线、射线、线段的表示方法 题型02 点与直线的位置关系 题型03 线段的尺规作图问题 题型04 画直线、射线、线段 题型05 直线的基本事实的应用 题型06 线段的基本事实的应用 题型07 比较两条线段的长短 题型08 与线段中点有关的问题 题型09 与线段n等分点有关的计算 题型10 线段的和、差、倍、分 题型11 线段的计算问题 B组 能力进阶 题型01 两条直线相交 题型02 类比线段计数规律解决实际问题 C组 思维拔高 题型01 最短路径问题 题型02 动点问题 直线、射线、线段的表示方法题型01 1．（24-25七年级上·四川简阳·期中）图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 2．下面是乐乐在整理七年级上册课本知识点时得出的一些结论，你认为正确的有（      ） ①射线与射线是同一条射线； ②连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理是两点确定一条直线； ④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间线段最短． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．线段、射线、直线的区别之一是端点的个数，即线段有_______个端点，射线有_______个端点，直线有_______个端点． 4．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    5．如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 点与直线的位置关系题型02 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 4．如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n不变，则位置在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题，作图题保留作图痕迹． (1)作直线，射线； (2)连接，延长到E，使； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系： ； (4)在直线上找点P，使最小，作图的依据是 ． 线段的尺规作图问题题型03 1．已知线段 a，b，c，李华按照下面步骤进行了规范，正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段；第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段；第四步，在线段上作线段．根据以上作图可知，线段的长是______．（用含a，b，c的代数式表示） 2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，延长线段至点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知线段，请用尺规作图法，求作线段，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图，已知线段a和线段b，两点A、B． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在射线上作线段，，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，取的中点D，的中点F，且．求线段的长． 补全下列解题过程． 解：∵， ∴设． ∴ ． ∵F是的中点， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ，则． ∴． 则线段的长为． 5．（25-26七年级上·天津·期末）如图，已知点是线段的中点． (1)尺规作图：延长至点，使得（保留作图痕迹） (2)若的长度为，在（）的情况下，直线上还有一点，满足，则的长度为________．（用含有的代数式表示，直接写出答案即可） 画直线、射线、线段题型04 1．（25-26七年级上·新疆·期末）尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)在射线上作线段，使． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知四点， ，，，请用直尺和圆规作图(保留画图痕迹)． (1)画直线；画射线；画线段； (2)在线段上取点，使的值最小． 3．（25-26七年级上·山东邹平·月考）如图，已知点A，B，C，D，请按下列要求画图． (1)画射线和直线； (2)连接，，延长到E，使得．（注：不写作法，保留作图痕迹）； (3)在射线上确定一点P，使得的和最短，并写出画图依据． 4．如图，已知点A，B，C，D． (1)请用圆规和直尺按下列要求画图：画射线和直线，连接，，延长到E，使得．（注：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段，点P是线段的中点，且，求线段的长度． 5．读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 直线的基本事实的应用题型05 1．淇淇想在自己房间的墙上钉一个直线型饰品挂架，用来挂自己喜欢的装饰物，为了固定饰品挂架，淇淇至少需要钉子（    ） A．4根 B．3根 C．2根 D．1根 2．（24-25七年级·期末）在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画_____条． 3．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是___________． 4．如图，已知平面内四个点，，，． (1)画直线，在直线上确定点，使的值最小，并写出确定的依据； (2)若为该平面内一点，则下面两个结论： ①如果，那么为线段的中点； ②如果，，，那么在直线上．其中正确的是___________．（直接填写序号） 5．下列生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②从甲地到乙地架设电线，总是沿线段架设；③把弯曲的公路改直就能缩短路程；④植树时只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 线段的基本事实的应用题型06 1．下列说法正确的个数是（   ） ①连接两点的线段叫这两点之间的距离； ②将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线； ③连接两点的所有线中，直线最短 ④若，则点是线段的中点； ⑤的绝对值、相反数、倒数都等于它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________________． 3．小白同学准备从兰陵县人民政府去往塔山公园，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的两条可选路线长度却分别是（如图）．能解释这一现象的数学知识是________． 4．直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知平面内三个点． (1)尺规作图（不要求写作法，但保留尺规作图痕迹）： ①作直线，线段； ②在线段的延长线上取一点，使，连接； (2)在（1）的条件下，___________（填“”或“”或“”），用学过的数学知识解释的原因：___________． 比较两条线段的长短题型07 1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 2．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 3．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(       ) A． B． C． D． 4．如图，点，，在线段上． （1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路． （2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？ 5．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 与线段中点有关的问题题型08 1．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，是直线上的顺次四点，分别是的中点，且，则的长等于（    ）．    A． B． C． D． 3．如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 4．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以________________________ 因为， 所以____________ 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整： (2)根据小斌的想法，请你在备图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度； (3)拓展运用：有两根木条，一根长40厘米，一根长80厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是____________． 5．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 与线段n等分点有关的计算题型09 1．（25-26七年级上·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．二等分点：又叫线段的________，把线段分成_________的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成_________的三部分．以此类推． 3．如图，是线段外一点，用没有刻度的直尺和圆规画图． （1）画射线； （2）画直线； （3）①延长线段到点，使； ②在①的条件下，如果，那么的长为__________． 4．【问题探究】 (1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______； 【方法迁移】 (2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______． 【学以致用】 (3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 线段的和、差、倍、分题型10 1．如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是线段上一点，是中点，是中点，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知线段a，b，求作线段AB，使得．小明给出了下列四个步骤：①作一条射线AE；②则线段；③在射线AE上作线段，再在射线CE上作线段；④在射线DE上作线段．你认为顺序正确的是________（填序号）． 4．如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 5．（25-26七年级上·安徽·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 线段的计算问题题型11 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 2．如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（ ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 3．已知线段AB＝7，点C为直线AB上一点，且AC∶BC＝4∶3，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（  ） A．5或18.5 B．5.5或7 C．5或7 D．5.5或18.5 4．已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求的长． 5．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM. (1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______； (2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由. (3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示). 两条直线相交题型01 1．如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级·广东河源·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 4．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律． 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 【问题解决】 (1)请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； (2)将表格中的数据补充完整，_______；_______； (3)猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为：_______； (4)根据上面的规律，你能用10条分割线将一个圆面分出57个区域吗？请说明理由． 类比线段计数规律解决实际问题题型02 1．（25-26七年级·四川·期中）如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 3．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹，不写作法）    (1)画直线； (2)画射线 (3)连接并延长到，使得； (4)在线段上取点，使的值最小． (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 4．平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出图形． 分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 5．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 最短路径问题题型01 1．如图，从地到地的最短路线是(   )    A． B． C． D． 2．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 3．如图所示，从A到B有三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是． A． B． C． D． 4． 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B． (1)在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹) (2)如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹) 5．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 动点问题题型02 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB的长； （2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 4．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 5．（25-26七年级上·重庆·质检）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.1 线段、射线、直线 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线、射线、线段的表示方法 题型02 点与直线的位置关系 题型03 线段的尺规作图问题 题型04 画直线、射线、线段 题型05 直线的基本事实的应用 题型06 线段的基本事实的应用 题型07 比较两条线段的长短 题型08 与线段中点有关的问题 题型09 与线段n等分点有关的计算 题型10 线段的和、差、倍、分 题型11 线段的计算问题 B组 能力进阶 题型01 两条直线相交 题型02 类比线段计数规律解决实际问题 C组 思维拔高 题型01 最短路径问题 题型02 动点问题 直线、射线、线段的表示方法题型01 1．（24-25七年级上·四川简阳·期中）图中射线与表示同一条射线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了射线，根据射线的端点相同，方向相同的两条射线是同一条射线，可得答案． 【详解】解：A、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； B、端点相同，方向相同，是同一条射线，故本选项正确； C、方向相反，不是同一条射线，故本选项错误； D、方向不同，不是同一条射线，故本选项错误； 故选：B． 2．下面是乐乐在整理七年级上册课本知识点时得出的一些结论，你认为正确的有（      ） ①射线与射线是同一条射线； ②连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理是两点确定一条直线； ④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间线段最短． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，两点确定一条直线，两点之间线段最短，射线的表示方法，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①射线与射线不是同一条射线，原说法错误； ②连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，原说法错误； ③要将一根木条固定在墙上至少需要两颗钉子的原理是两点确定一条直线，原说法正确； ④将弯曲的河道改直，可以缩短航程，其依据是两点之间线段最短，原说法正确． ∴正确的有2个， 故选：C． 3．线段、射线、直线的区别之一是端点的个数，即线段有_______个端点，射线有_______个端点，直线有_______个端点． 【答案】 2 1 0 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可． 【详解】解：线段、射线和直线的相同点是它们都是直的； 不同点是线段有两个端点，射线有 一个端点，直线没有端点． 故答案为：2、1、0． 【点睛】此题应根据直线、射线和线段的含义进行解答． 4．如图所示，共有多少条直线、射线、线段？请依次指出．    【答案】 图中共有2条直线，即直线，； 13条射线，即射线，射线，射线，射线，射线，射线，射线，还有6条不可以表示的； 6条线段，即线段，线段，线段，线段，线段，线段． 【分析】根据直线、射线和线段的定义进行判断即可得到答案． 【详解】略 【点睛】本题考查直线、线段和射线的定义，直线：能够向两端无限延伸的线；射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点；线段：直线上两点和中间的部分叫做线段，这两个点叫线段的端点． 5．如图，已知四点，请按要求作图并解答．    (1)按要求作图： ①作射线； ②连接； ③在射线上截取，使； ④在线段上取点，使的值最小； (2)小明同学根据图形写出了四个结论：①图中有8条线段；②点在线段的延长线上；③射线和射线是两条射线；④点在射线的延长线上；其中正确的结论是_________． 【答案】(1) ①射线即为所求； ②线段即为所求； ③线段即为所求； ④点P即所求．    (2)②③ 【分析】（1）①根据射线的定义作图即可；②直接连接即可；③以A为圆心，以为半径画圆弧，与射线直线交于M；④连接与的交点即为所求； （2）根据直线、线段、射线的定义逐个判断即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①图中的线段有，共9条，则①错误； ②由与的交点，则点P是点在线段的延长线上，即②正确； ③图中射线，共2条，则③正确；图中共有6条线段的说法是正确的； ④由射线本来就无限延伸，故不需要延长，则④错误． 故答案为②③． 【点睛】本题主要考查了基本作图，直线、线段、射线的定义，线段的性质等知识点，掌握直线，射线，线段的定义是解题的关键． 点与直线的位置关系题型02 1．（24-25七年级上·河北唐山·期末）正方形网格中，直线经过的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】此题考查了网格作图，延长线段即可得到答案． 【详解】解：如图，可知直线经过的点是点， 故选：C． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．如图所示，延长线段到点 B．如图所示，射线不经过点 C．如图所示，直线和直线相交于点 D．如图所示，射线和线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是直线、射线、线段的定义，解题关键是正确掌握三者的概念． 直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；而线段不延伸，根据定义对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，应为“如图所示，点在射线上”，描述不相符，不符合题意； 选项，应为“如图所示，射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； 选项，描述相符，符合题意； 选项，射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：． 3．（24-25七年级上·北京·期末）如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 4．如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有n条，再添一颗黑子，使n不变，则位置在（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查点与直线的关系，熟练掌握该知识点是关键． 根据点与直线位置关系，逐项判定即可． 【详解】解：A．位置在①，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线仍只有1条，n没有变化； B．位置在②，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条； C．位置在③，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有3条，n有变化，增加了两条； D．位置在④，如图，同时经过棋盘中三颗黑子的直线有2条，n有变化，增加了一条． 故选A． 5．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题，作图题保留作图痕迹． (1)作直线，射线； (2)连接，延长到E，使； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系： ； (4)在直线上找点P，使最小，作图的依据是 ． 【答案】(1)如图，直线、射线即为所求． (2)如图， (3)点C在直线外 (4)如图，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线、射线的定义画图即可． （2）以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，则点E即为所求． （3）由图可知，点C在直线外． （4）结合线段的性质：两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E， 则点E即为所求． （3）解：由图可得，点C在直线外． 故答案为：点C在直线外． （4）解：连接交于点P， 此时，为最小值． 作图的依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 线段的尺规作图问题题型03 1．已知线段 a，b，c，李华按照下面步骤进行了规范，正确的尺规作图： 第一步，在直线上作线段；第二步，在线段的延长线上作线段； 第三步，在线段的延长线上作线段；第四步，在线段上作线段．根据以上作图可知，线段的长是______．（用含a，b，c的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查尺规作图作线段，线段的和与差，根据线段之间的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：由题意； 故答案为：． 2．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，延长线段至点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图． 【分析】根据要求作出图形即可． 本题考查作图-基本作图，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 【详解】略 3．（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知线段，请用尺规作图法，求作线段，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，线段即为所作； 【分析】本题主要考查尺规作图的作一条线段等于已知线段，先画射线，以点A为圆心a为半径画弧交射线于点K，再以点K为圆心b为半径画弧交射线于点B，线段即为所求． 【详解】略 4．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图，已知线段a和线段b，两点A、B． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：作射线，在射线上作线段，，使（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，取的中点D，的中点F，且．求线段的长． 补全下列解题过程． 解：∵， ∴设． ∴ ． ∵F是的中点， ∴ ． ∵D是的中点， ∴ ． ∴ ，则． ∴． 则线段的长为． 【答案】(1) 图形如图所示： 则； (2)，，， 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，线段的和差计算，直线，射线，线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）设,则．根据线段中点的定义得出，，然后根据，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设． ∴． ∵F是的中点， ∴． ∵D是的中点， ∴． ∴， 则． ∴． 则线段的长为． 故答案为：，，，． 5．（25-26七年级上·天津·期末）如图，已知点是线段的中点． (1)尺规作图：延长至点，使得（保留作图痕迹） (2)若的长度为，在（）的情况下，直线上还有一点，满足，则的长度为________．（用含有的代数式表示，直接写出答案即可） 【答案】(1) 如图，线段即为所求； (2)或 【分析】本题主要考查了线段的中点性质、线段的和差计算、尺规作图以及分类讨论思想，熟练掌握线段中点的定义和分类讨论思想是解题的关键． （1）利用尺规在线段的延长线上取，又在线段的延长线上取，则． （2）先根据是中点和求出的长度，再求出的长度；然后根据，分点在点的左侧和右侧两种情况计算的长度． 【详解】（1）略 （2）解：M是的中点，， ， ， ， ， ， 情况1：如图，点在点的左侧时， ， 情况2：如图，点P在点C的右侧时， ， 故答案为：或． 画直线、射线、线段题型04 1．（25-26七年级上·新疆·期末）尺规作图． 如图，已知在平面上有三个点A，B，C，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)在射线上作线段，使． 【答案】(1) 解：如图，直线所求即为； (2) 解：如图，射线所求即为； (3) 解：如图，线段即是所求．   ． 【分析】本题考查了画直线、射线和线段； （1）连接，双向延长，得出直线； （2）连接，单向延长，得出射线； （3）以A为圆心，长为半径作圆，交于点E，再以E为圆心重复刚才的操作，即可得到线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知四点， ，，，请用直尺和圆规作图(保留画图痕迹)． (1)画直线；画射线；画线段； (2)在线段上取点，使的值最小． 【答案】(1) 如图，直线、射线、线段即为所求； (2) 如图，则点P即为所求． 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据直线、射线、线段的定义画图即可； （2）根据两点之间线段最短可知，与的交点即为点P，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点P，则为最小值， 3．（25-26七年级上·山东邹平·月考）如图，已知点A，B，C，D，请按下列要求画图． (1)画射线和直线； (2)连接，，延长到E，使得．（注：不写作法，保留作图痕迹）； (3)在射线上确定一点P，使得的和最短，并写出画图依据． 【答案】(1) 解：如图，射线和直线即为所求； (2) 解：如图，线段，和点E即为所求； (3) 解：如图，点P即为所求；依据：两点之间，线段最短． 【分析】本题考查了尺规作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）作射线和直线即可； （2）根据题目要求作图即可； （3）根据轴对称的性质完成作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．如图，已知点A，B，C，D． (1)请用圆规和直尺按下列要求画图：画射线和直线，连接，，延长到E，使得．（注：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段，点P是线段的中点，且，求线段的长度． 【答案】(1)如图， (2)线段的长度为4． 【分析】本题考查了尺规作图，线段的和与差、线段中点的定义． （1）作射线和直线，再根据题目要求作图即可； （2）根据线段的和与差、线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）解：射线和直线，线段，和点E即为所求； （2）解：如图， 由题意得，， ∴， ∵点P是线段的中点，且， ∴， ∴， ∴线段的长度为4． 5．读下列语句，在图中画出图形： (1)画射线； (2)画线段； (3)画直线与线段相交于点O； (4)画射线与射线相交于点E． 【答案】(1) 射线即为所作： AI； (2)如图所示，线段即为所作； (3)如图所示，直线与线段相交于点即为所作； (4)如图所示，射线与射线相交于点即为所作． 【分析】本题考查了画直线、射线、线段，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）连接即可得解； （3）根据直线的定义作图即可； （4）根据射线的定义作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 直线的基本事实的应用题型05 1．淇淇想在自己房间的墙上钉一个直线型饰品挂架，用来挂自己喜欢的装饰物，为了固定饰品挂架，淇淇至少需要钉子（    ） A．4根 B．3根 C．2根 D．1根 【答案】C 【分析】本题考查了直线的性质，明确两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】根据两点确定一条直线，得至少2个钉子， 故选C． 2．（24-25七年级·期末）在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画_____条． 【答案】6 【分析】本题考查了直线，熟练掌握直线的性质是解题关键．根据两点确定一条直线解答即可得． 【详解】解：画出图形如下： 一共可以画直线的条数为（条）， 故答案为：6． 3．平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是___________． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了平面上直线的确定方法，解答问题的关键是运用分类讨论思想，考虑到可能出现的所有情况． 分类画出图形即可求得画的直线的条数． 【详解】解:如下图，分以下四种情况： 当五点在同一直线上，如图： 故可以画条不同的直线； 当有四个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当有两个三点在同一直线上， 故可以画条不同的直线； 当有三个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当五个点都不在同一直线上时， 因此当时，一共可以画条直线， 故可以作条、条、条，条或条直线， 故答案为：、、、或． 4．如图，已知平面内四个点，，，． (1)画直线，在直线上确定点，使的值最小，并写出确定的依据； (2)若为该平面内一点，则下面两个结论： ①如果，那么为线段的中点； ②如果，，，那么在直线上．其中正确的是___________．（直接填写序号） 【答案】(1) 根据题意，画直线如下；两点之间线段最短 (2)② 【分析】（1）画直线时，只需确定经过的字母并画线即可，根据两点之间线段最短，只需连接，与直线交于点M即可确定位置． （2）①根据同一个圆的半径相等，结合，判定点可以是该圆的圆心，并非线段的中点，判断本结论错误； ②根据线段和的定义判定正确． 本题考查了画直线，两点之间线段最短，线段的中点，线段和的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：①根据同一个圆的半径相等，结合，判定点可以是该圆的圆心，并非为线段的中点，判断本结论错误； ②根据线段和的定义判定正确． 故答案为：②． 5．下列生活、生产现象：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②从甲地到乙地架设电线，总是沿线段架设；③把弯曲的公路改直就能缩短路程；④植树时只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中能用“两点之间线段最短”来解释的现象是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据两点确定一条直线，两点之间线段最短的性质对各选项分析判断即可得出结果． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故错误； ②从甲地到乙地架设电线，总是沿线段架设是利用了“两点之间线段最短”，故正确； ③把弯曲的公路改直就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确； ④植树时只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查的是线段的性质和直线的性质，正确的掌握这两个性质是解题的关键． 线段的基本事实的应用题型06 1．下列说法正确的个数是（   ） ①连接两点的线段叫这两点之间的距离； ②将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线； ③连接两点的所有线中，直线最短 ④若，则点是线段的中点； ⑤的绝对值、相反数、倒数都等于它本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查线段、直线，以及有理数，根据线段、直线的性质以及有理数的绝对值、相反数的性质逐项判断即可． 【详解】①两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离，说法错误； ②说法正确； ③两点之间线段最短，说法错误； ④当点，，在同一条直线上时，若，则点是线段的中点，说法错误； ⑤没有倒数，说法错误． 说法正确的为②． 故选：A 2．金秋十月，银杏谷生态旅游区是赏银杏胜地，一簇簇金黄色点缀在山谷村落之间．小明同学捡到一片沿直线被折断的银杏叶（如图），他发现被折断了的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是________________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的基本性质，通过分析银杏叶被折断前后的周长变化，结合“两点之间，线段最短”的性质进行解释． 【详解】解：原银杏叶边缘的曲线长度，与被折断后替代曲线的线段长度相比，根据“两点之间，线段最短”，曲线长度大于连接对应两点的线段长度，所以被折断的银杏叶周长更小． 故答案为：两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了线段的性质“两点之间，线段最短”，解题关键是把银杏叶边缘的长度变化转化为线段与曲线的长度比较问题． 3．小白同学准备从兰陵县人民政府去往塔山公园，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的两条可选路线长度却分别是（如图）．能解释这一现象的数学知识是________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】此题考查了线段的性质：两点之间线段最短，正确理解性质是解题的关键． 根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 4．直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由． 【答案】如图： 【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置． 【详解】如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置， 理由：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本题的关键． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，已知平面内三个点． (1)尺规作图（不要求写作法，但保留尺规作图痕迹）： ①作直线，线段； ②在线段的延长线上取一点，使，连接； (2)在（1）的条件下，___________（填“”或“”或“”），用学过的数学知识解释的原因：___________． 【答案】(1) ①如图，直线，线段即为所求； ②如图，线段，即为所求； (2)，两点之间线段最短 【分析】本题考查作图复杂作图，直线，射线，线段，两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）①根据直线，射线，线段的定义以及题目要求画出图形即可； ②利用圆规截取线段，即可解答； （2）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：（两点之间线段最短）． 故答案为：，两点之间线段最短． 比较两条线段的长短题型07 1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最长的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解．本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键． 【详解】解：根据图形可知，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长，的长度大于正方形的边长但小于d的长度， 所以长度最长的是d． 故选：D． 2．已知线段和线段，以下方法一定能说明线段比线段短的是（    ） A．通过观察猜测线段比线段短 B．用刻度尺量得线段厘米，线段厘米 C．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上 D．将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 【答案】C 【分析】本题考查了线段长短比较的叠合法，通过将线段与一端重合，观察另一端的位置判断长短，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：通过观察猜测线段比线段短，观察可能不准确， 故A选项不符合题意； ∵用刻度尺量得线段厘米，线段厘米，且， ∴， 故B选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段的延长线上 ∴， 故D选项不符合题意； ∵将线段移到线段的位置，使点A与点C重合，点B在线段上， ∴ 点B位于点C和点D之间， ∴， 即线段比线段短， 故C选项符合题意； 故选：C． 3．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分别为的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值. 【详解】解：∵，分别为的中点， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 根据规律得到， ∴，故选A. 【点睛】本题是对线段规律性问题的考查，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，相对较难. 4．如图，点，，在线段上． （1）图中共有几条线段？说说你分析这个问题的具体思路． （2）你能用上面的思路来解决“8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛”这个问题吗？ 【答案】 （1）共有10条线段， 以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD、AE， 以点B为左端点向右的线段有线段BC、BD、BE， 以点C为左端点向右的线段有线段CD、CE， 以点D为左端点的线段有线段DE， 共有10条线段； （2）28 【分析】(1)从左向右依次固定一个端点A，B，C，D找出线段，最后求和即可； (2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，根据数线段的特点列出式子化简即可，把8位同学看作直线上的8个点即可得出结果． 【详解】解：(1) 略 (2) 设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则 倒序排列有， 两式相加得=， 把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行场比赛． 【点睛】本题考查的是线段的计数问题，主要是数线段的技巧和方法，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． 5．（24-25七年级上·山东青岛·月考）问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 与线段中点有关的问题题型08 1．如图，已知点C在线段上，则下列等式；； ；．能说明点C是线段的中点的等式有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义进行判断即可． 【详解】解：∵点C在线段上， ∴当时，， ∴点C是线段的中点； 当时，不能说明， ∴不能说明点C是线段的中点； 当时，， ∴点C是线段的中点； ∵点C在线段上，， ∴点C是线段的中点； 综上分析可知，能说明点C是线段的中点的等式有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，解题的关键是理解定义，数形结合． 2．如图，是直线上的顺次四点，分别是的中点，且，则的长等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，求出，中点定义，推出，再利用，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是找准线段之间的和差，倍数关系． 3．如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 【答案】(1)6；2 (2)；； (3)不变；． 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据即可得出结论；先求出的长，再根据C是线段的中点即可得到的长； （2）分类讨论即可； （3）直接根据中点定义即可得到结论； 【详解】（1）解：当时，， 此时，， ∵C是线段的中点， 则； 故答案为：6；2； （2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）解：不变； 因为的中点为E，C是的中点， 所以，， 所以，． 4．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，一条直线上有四点，线段，点为线段的中点，线段，请你补全图形，并求的长度． 以下是小华的解答过程： 解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以________________________ 因为， 所以____________ 小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点在线段上，事实上，点还可以在线段的延长线上． 完成以下问题： (1)请填空：将小华的解答过程补充完整： (2)根据小斌的想法，请你在备图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时的长度； (3)拓展运用：有两根木条，一根长40厘米，一根长80厘米．如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是____________． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （2）由点为线段的中点，得出，再结合计算即可得解； （3）分两种情况：当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为；当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为；分别利用线段的中点、线段的和差计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2， 因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以， 故答案为：，，； （2）解：如图，当点在线段的延长线上时， 因为线段，点为线段的中点， 所以， 因为， 所以 （3）解：如图，当一个端点重合，另一个端点在木条上时，令的中点为， 由题意得：，，则点为的中点， ， ； 如图，当一个端点重合，另一个端点不在木条上时，令的中点为，的中点为， 由题意得：，， ，， ； 综上所述，如果将它们放在同一条直线上，并且使一个端点重合，这两根木条的中点间的距离是或， 故答案为：或． 5．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 与线段n等分点有关的计算题型09 1．（25-26七年级上·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 2．二等分点：又叫线段的________，把线段分成_________的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成_________的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 3．如图，是线段外一点，用没有刻度的直尺和圆规画图． （1）画射线； （2）画直线； （3）①延长线段到点，使； ②在①的条件下，如果，那么的长为__________． 【答案】10cm. 【分析】（1）根据射线的概念作图可得； （2）根据直线的概念作图可得； （3）①在射线AB上用圆规截取AE＝3AB即可； ②先求出AE的长，再根据BE=AE-AB求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，射线CB即为所求； （2）如图所示，直线AC即为所求； （3）①如图所示，线段AE即为所求； ②∵AB＝5cm，AE＝3AB， ∴AE＝15cm． 则BE＝AE﹣AB＝10cm． 故答案为：10cm． 【点睛】本题主要考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，比较简单，要求同学们一定要认真作图，特别是直线向两方无限延伸，不需要延长，射线向一方无限延伸，不需延长，但可以反向延长；而线段不延伸，既可以延长，也可以反向延长． 4．【问题探究】 (1)如图，点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______； 【方法迁移】 (2)已知点C在线段上，点M，N分别是的中点．若，则线段的长为______． 【学以致用】 (3)小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下，其中参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的2倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的，若参加延时服务的男、女生共有m人，则该班共有学生多少人？（用含m的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义） 【答案】(1) (2) (3)该班共有学生人 【分析】（1）根据线段中点的定义即可求解； （2）根据线段中点的定义即可求解； （3）根据题意画出图形，设，，则，，求出的结果即可． 【详解】（1）解：∵点M，N分别是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵点M，N分别是的中点，， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：如图，点B在线段上，，． 表示未参加延时服务的女生，表示参加延时服务的女生，表示全班男生，表示参加延时服务的男生， ∴表示全班参加延时服务的总人数， 设，，则，， ∴，， ∴， ∴该班共有学生人． 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，两点间的距离，解题的关键是结合图形，根据线段间的和差关系求解． 5．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 线段的和、差、倍、分题型10 1．如图所示，下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和与差．根据线段的和与差，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 2．如图，是线段上一点，是中点，是中点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据线段中点计算，解题的关键是线段和差关系及中点意义； 根据是线段的中点得到，根据是线段的中点得到，结合即可得到答案． 【详解】解：是线段的中点， ∴， 是线段的中点， ， ， 故选：B． 3．已知线段a，b，求作线段AB，使得．小明给出了下列四个步骤：①作一条射线AE；②则线段；③在射线AE上作线段，再在射线CE上作线段；④在射线DE上作线段．你认为顺序正确的是________（填序号）． 【答案】①③④② 【分析】本题考查线段的和的作图步骤，需要按照先作射线，再依次在射线上截取相应线段的顺序来分析正确的步骤顺序． 【详解】要作线段，首先需要作一条射线（步骤①），这是后续截取线段的基础； 然后在射线上作线段，再在射线上作线段（步骤③）； 接着在射线上作线段（步骤④）； 最后得出线段（步骤②）． 所以正确的顺序是①③④②． 【点睛】本题考查了线段的和的作图方法，掌握作线段的和时，先作射线，再依次在射线上截取各段线段是解题的关键． 4．如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。 先求出,推导出，,再由M是的中点，得到,则，即可解答。 【详解】解：∵线段上两点B、C将分成三部分，， ∴, ∴,, ∴, ∵M是的中点， ∴, ∴. 答：线段的长为1. 5．（25-26七年级上·安徽·期中）已知代数式是关于的二次多项式，且二次项的系数为．如图，在数轴上有点三个点，且点三点所表示的数分别为．已知． (1)求的值； (2)若动点分别从两点同时出发，向右运动，且点不超过点，点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，问代数式是否为一个定值，如果是，求出这个定值．如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)是定值，值为2 【分析】本题考查了数轴上动点问题、多项式的定义，根据二次多项式的次数及系数，掌握数轴上两点间的距离的表示方法，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）根据代数式是关于的二次多项式，得出，代数式，二次项的系数为．得出，由．可列方程求解即可； （2）设点P的出发时间为t秒，则，，，，，当时，根据线段的和差得到，，即可求出比值；当时，此时点Q与点A重合，，点F对应的数值为，点E对应的值为，进而得出，，即可求出比值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，二次项的系数为b， ，， ， ， ， ， ， ，，． （2）设点P的出发时间为t秒， 由题意得：，，，，， 当时，如图1， ， ， ∴； 当时，此时点Q与点A重合，如图2， 此时，点F对应的数值为，点P在点O的右侧， ， 点E对应的值为， ， ， ， ； 综上，的值是定值，值是2． 线段的计算问题题型11 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列语句正确的是（    ） A．延长射线 B．连接两点的线段长度叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．过一点只能作一条直线 【答案】B 【分析】本题考查几何基本概念，包括射线、距离、线段和直线的性质，根据相关定义和作图语言，逐一进行判断即可，正确理解射线、距离、线段和直线的定义是解题的关键． 【详解】解：A、射线不能延长，只能反向延长，原语句错误，不符合题意； B、连接两点的线段长度叫做两点间的距离，正确，符合题意； C、两点之间，线段最短，原语句错误，不符合题意； D、过一点可以作无数条直线，原语句错误，不符合题意； 故选B． 2．如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（ ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 【答案】B 【分析】由图形可知AC=AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长． 【详解】解：由图形可知AC=AB﹣BC=8﹣2=6cm， ∵M是线段AC的中点， ∴MC=AC=3cm． 故MC的长为3cm． 故选B． 【点睛】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点． 3．已知线段AB＝7，点C为直线AB上一点，且AC∶BC＝4∶3，点D为线段AC的中点，则线段BD的长为（  ） A．5或18.5 B．5.5或7 C．5或7 D．5.5或18.5 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，再分点C在线段AB上或线段AB的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：点C在线段AB上时，如图： ∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3， ∴AC＝4，BC＝3， ∵点D为线段AC的中点， ∴AD＝DC＝2， ∴BD＝DC+BC＝5； 点C在线段AB的延长线上时， ∵AB＝7，AC∶BC＝4∶3， 设BC＝3x，则AC＝4x， ∴AC-BC=AB，即4x-3x=7， 解得x=7， ∴BC＝21，则AC＝28， ∵点D为线段AC的中点， ∴AD＝DC＝14， ∴BD＝AD-AB＝7； 综上，线段BD的长为5或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，利用线段的比例得出AC、BC的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 4．已知，如图，，两点把线段分成三部分，为的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，根据线段中点的意义得到，再根据求解，最后由求解即可． 【详解】解：∵，两点把线段分成三部分，为的中点，， ∴， ∴． 5．已知线段AB=m(m为常数)，点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN=3AN，CM=3BM. (1)如图，当点C恰好在线段AB中点，且m=8时，则MN=______； (2) 若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上(不与端点重合)，请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关？并说明理由. (3) 若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上(不与端点重合)，求MN长度 (用含m的代数式表示). 【答案】(1)6； (2) 无关，理由： 若C在A的左边，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴MN=CM－CN=3BM－3AN， ∴AM=MN－AN=3BM－3AN－AN=3BM－4AN， ∴CN +2AM－2MN=3AN+2(3BM－4AN)－2(3BM－3AN)=AN， ∴CN +2AM－2MN的值与m无关； (3)m. 【分析】（1）根据中点可得到AC、BC的长，再根据CN=3AN，CM=3BM，可计算出CN、CM，最后根据线段的和差关系进行计算即可； （2）根据线段之间的关系及CN=3AN，CM=3BM，分别表示出CN、AM及MN，再进行化简即可； （3）分情况讨论，画出图形，根据线段之间的关系计算即可. 【详解】解：（1）∵点C恰好在线段AB中点，且AB=m=8， ∴AC=BC=AB=4， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，CM=BC， ∴CN=3，CM=3， ∴MN=CN+CM=3+3=6; （2）略． （3）①当点C在线段AB上时，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，CM=BC， ∴MN=CM+CN=BC+AC=(BC+AC)=AB=m； ②当点C在点A的左边，如图所示， ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴CN=AC，BM=BC， ∴MN=BC－CN－BM=BC－AC－BC =(BC－AC)=AB=m； ③当点C在点B的右边，如图所示： ∵CN=3AN，CM=3BM， ∴AN=AC，CM=BC， ∴MN=AC－AN－CM=AC－AC－BC =(AC－BC)=AB=m， 综上所述，MN的长度为m. 【点睛】本题考查线段的计算，分情况讨论，正确找出线段之间的关系是解题的关键. 两条直线相交题型01 1．如图所示，直线、射线、线段能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线、线段及射线的知识，根据直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸即可得出答案． 【详解】解：A、射线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； B、射线和延伸后不能相交，故本选项不符合题意； C、射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意； D、直线延伸后不能与线段相交，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级·广东河源·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过两点，可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有三个交点；④．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查基本的几何图形：经过两点能且只能作一条直线；一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示；三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个；两点之间，线段最短． 【详解】①经过两点能且只能作一条直线，说法错误； ②一条射线可以用射线的端点和射线上除端点以外的任意一点表示，说法正确； ③三条直线两两相交，交点的个数可能为一个、两个或三个，说法错误； ④两点之间，线段最短，说法正确． 综上所述，正确的说法为②④，正确的个数为个． 故选：B 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 4．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律． 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 【问题解决】 (1)请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； (2)将表格中的数据补充完整，_______；_______； (3)猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为：_______； (4)根据上面的规律，你能用10条分割线将一个圆面分出57个区域吗？请说明理由． 【答案】(1) 解：出分割后的图形，如图所示： (2)6；11 (3)（或其它正确的变形形式） (4) 解：不能，理由如下： 2条分割线最多有1个交点， 3条分割线最多有个交点， 4条分割线最多有个交点， …… 10条分割线最多有个交点， 根据解析（3）可得：10条分割线将圆面分割出最多的区域为： ， ∴不能用10条分割线将一个圆面分出57个区域． 【分析】本题主要考查了规律探索，解题的关键是根据已知图形，找出一般规律． （1）四条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，画出图形即可； （2）根据画出的图形得出x、y的值即可； （3）根据表格中数据得出规律写出等式即可； （4）求出用10条分割线分成的最多区域个数，然后进行对比即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据解析（1）画出的图形，交点个数为6个，分成的区域为11个， 即，； （3）解：根据表格中的数据可知：当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； ∴； （4）略 类比线段计数规律解决实际问题题型02 1．（25-26七年级·四川·期中）如图，在直线AD上有四个不同的点，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的定义，熟练掌握按顺序数线段的方法是解题的关键． 按照线段的定义，依次找出以每个点为端点的线段，最后统计总数． 【详解】解：以为端点的线段：、、， 以为端点的线段：、， 以为端点的线段：， 线段总数：， 故选：. 2．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线， 图中的线段有，，，共3条， 以点、、分别为端点的射线，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 3．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹，不写作法）    (1)画直线； (2)画射线 (3)连接并延长到，使得； (4)在线段上取点，使的值最小． (5)在上述所画的图中，数一数，此时图中共有多少条线段？ 【答案】(1) 如图所示，即为所求，    (2) 如图所示，即为所求，    (3) 如图所示，即为所求，    (4) 如图所示，即为所求，    (5)10条线段 【分析】本题考查了直线、射线、线段的概念和画法， （1）根据直线的概念作图即可； （2）根据射线的概念作图即可； （3）根据射线的概念，线段的和进行画图即可； （4）根据线段的概念，两点之间线段最短进行画图即可； （5）按照不回头的原则，依次数线段即可； 掌握直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）解：图中有线段，共10条． 4．平面上有五个点，过其中任意两点画一条直线，最多能得到多少条直线？请画出图形． 分析：五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 【答案】 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条）， 所以最多能得到10条直线． 另外三种情况如下图所示． 【分析】五个点有四种不同的关系：①五个点在同一条直线上；②有四个点在同一条直线上；③有三个点在同一条直线上；④五个点中任意三个点都不在同一条直线上． 【详解】略 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，本题是探索规律题，有个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画条直线． 5．一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段． （1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？ （2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？ （3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？ （4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？ 【答案】6；10；；（1）28种；（2）当工作流水线上有5个机器人时，工具箱应放在第3个机器人的位置上．若为偶数，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方；若为奇数，工具箱放在第个机器人的位置上；（3）6个；（4）150个 【分析】本题考查了线段条数计算、角的个数计算及其拓展等知识，注意数数时要不重不漏． 当直线上有4个点时，以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，所有线段都重复了一次，则可得线段为；直线上有5个点时，同理得线段条数；同理有个点时，得线段条数； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，由上步所求即可求解； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花时间的最短；有个机器人，分n是偶数与奇数两种情况考虑即可； （3）仿照一条直线4个点的线段条数分析即可； （4）横向每行仿照一条直线上6个点的线段条数有15个长方形，纵向列仿照一条直线上5个点的线段条数共有10个长方形，从而由即可求得长方形的个数． 【详解】解：直线上有4个点时，依次以每一个点为线段的一个端点，其余三个点为线段的另一个端点，则可得线段条数为（条）；直线上有5个点时，同理得线段条数为（条）；同理有个点时，得线段条数为条； 故答案为：6；10；； （1）8个站看成直线上的8个点，线段的条数相当于单向单程车票种数，则单向单程车票种数为（条）； （2）工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 由，则机器人从一个位置到与其相邻位置的时间均为t， 当工具箱放在A或E处时，所花时间为； 当工具箱放在B或D处时，所花时间为； 当工具箱放在C处时，所花时间为； 即工具箱放点C处时，每个机器人取一次工具所花的时间最短； 若有个机器人，当n是偶数时，工具箱放在第个与第个机器人之间的任何地方； 当n是奇数时；工具箱放在第个机器人的位置上； （3）对比一条直线4个点的线段条数方法，可得小于平角的角的个数为（个）； （4）横向每行对比一条直线上6个点的线段条数方法，有（个）长方形，纵向列对比一条直线上5个点的线段条数，共有（个）长方形，则共有（个）长方形． 最短路径问题题型01 1．如图，从地到地的最短路线是(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”来判断即可． 【详解】解：由“两点之间，线段最短”可知地到地的最短路线是，沿直线行走，所以从地到地的最短路线是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 2．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 3．如图所示，从A到B有三条路可以走，每条路长分别为L，M，N，则L，M，N的大小关系是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点之间线段最短即可判断②和③的长度关系，利用长方形的性质即可判断台阶部分的①和②的长度关系即可求解． 【详解】解：根据两点之间线段最短可得第③条路比第②条路短；由于台阶的高度之和就是总体的高度，台阶的长度之和就是总体的长度，所以第①条路和第②条路一样长，所以； 故选B． 【点睛】本题主要考查，几何图形当中线段的长度关系，属于基础题型． 4． 如图， 已知直线l及其同侧的两点A、B． (1)在直线l上画一点C，使得最小(画图工具不限，保留画图痕迹) (2)如果是直线l上长度为a的动线段，请在直线l上画出点的位置，使得最小(画图工具不限 ， 保留画图痕迹) 【答案】(1)如图1，点即为所求作的点． (2)如图2，点 C、D即为所求作的点． 【分析】本题考查了复杂作图、最短路线问题，解决本题的关键是作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点． （1）关键最短路线问题：作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点． （2）先把点B向左平移线段a的长度到点 ，再作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l相交，进而找到点D． 【详解】（1）解：如图1， 作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C， 根据两点之间线段最短，最小， ∴点即为所求作的点； （2）解：如图2， 先将点向左平移线段的长度到点，作点关于直线l的对称点， 连接交直线l于点，再向右作线段， ∴最小． ∴点 C、D即为所求作的点． 5．（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，平面内有A，B，C，D四点． (1)利用直尺，按照下面的要求作图： ①作射线； ②作线段； ③作直线． (2)若A，B，C，D四点分别代表四个居民小区，现要在四个小区之间建一个供水站P，要使供水站到A，B，C，D四个小区的距离之和最短，在图中画出供水站P的位置． 【答案】(1) ①如图所示，射线即为所求： ②如图所示，线段即为所求： ③如图所示，直线即为所求： (2) 点P即为所求： 【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键； （1）①根据射线的定义画图即可； ②根据线段的定义画图即可； ③根据直线的定义画图即可； （2）线段与直线的交点即为满足题意的点P的位置，进而可得答案． 【详解】（1）①略 ②略 ③略 （2）略 动点问题题型02 1．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 2．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6 （1）求线段AB的长； （2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由． 【答案】（1）8； （2）如图所示， MN的长度不会发生改变，线段MN＝4． 【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差； （2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案． 【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8， 答：AB的长为8； （2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下： 因为M为PA的中点，N为PB的中点， 所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB， 所以MN＝NP﹣MP ＝PB﹣PA ＝（PB﹣PA） ＝AB ＝×8 ＝4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 4．如图，动点B在线段AD上，沿以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时， ①________cm； ②求线段CD的长度． (2)用含t的代数式表示运动过程中线段AB的长度． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据速度乘以时间等于路程，可得答案； ②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，及线段的和差，可得AB的长． 【详解】（1）解：①当时，； 故答案为：4 ②∵，， ∴． ∵C是线段BD的中点， ∴． （2）解：∵B是线段AD上一动点，沿以2m/s的速度往返运动， ∴当点B沿点A→D运动时， 点B沿点D→A运动时， ∴综上所述，（）或（） 【点睛】本题考查两点间的距离，利用线段中点的性质及线段的和差得出AB与BD的关系是解题关键． 5．（25-26七年级上·重庆·质检）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $