6.2.2 线段的比较与运算（几何图形初步）（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** “6.2.2线段的比较与运算”同步练，分层设计科学，从基础操作到综合探究，适配新授课巩固与差异化教学，体现几何直观、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|尺规作图、中点及n等分点计算、线段性质|题型典型，对应基础考点，如尺规作图题直接巩固操作技能| |B组能力进阶|分情况讨论、线段数量关系|多情境变式，如含参数中点计算，培养分类讨论能力| |C组思维拔高|动点问题、综合探究|动态问题与新定义结合，如“二倍点”问题，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题情境|对接中考题型，如隧道路程最短问题，强化应用意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.2.2线段的比较与运算 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 用尺规作图作线段 1.(1) (3)解：根据“两点之间，线段最短”：BD是连接B、D的线段，而AB+AD是从B到A再到D的折线， 折线长度大于线段长度，故AB+AD>BD, 2.(1)如图所示，直线AB,射线BC即为所求； B (2)如图所示，线段AC,点D即为所求. 1/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.(1)解：如图所示，点D,射线AC,线段AE即为所求： (2)解：.A为CD的中点， AC=AD=)CD=4cm。 AB=AC. ∴.AB=AC=4cm, .AE=3AB, .∴.AE=3×4=12cm, .DE=AD+AE=4+12=16cm 4.(1)如图，直线AB,射线AC,线段BC即为所求： (2)如图，点D即为所求： B (3)由图可知，图中共8条线段，以点B为端点的线段：线段BA、线段BC、线段BE. 5.如图所示， A B 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型02 与线段中点有关的计算 6.(1)解：，点C为线段AB上的点， ..AB=AC+CB, .AC=12cm,CB=8cm, .AB=12+8=20cm, ,D、E分别是AC、AB的中点， AD-AC-6cm,AE-AB-10cm, .DE=AE-AD, .DE=10-6=4cm. (2)解：点M在直线AB上 ①当点M在点A、B之间时，如图， A D E C M B 由(1)可知AB=20cm,MB=6cm, .AB=AM+MB. ∴AM=AB-MB, .AM=20-6=14cm. ②当点M在直线AB延长线上时，如图， A D E C B M .AB=20 cm,MB=6cm ..AM=AB+MB .AM=20+6=26cm. 综上所述，AM的长度为14cm或26cm. 7.(1)解：.AC=15cm,点D是AC的中点， AD=号AC=2m: '.AC=15cm,CB=7cm, .AB=AC+CB=15+7=22cm, ,点E是AB的中点， 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE-AB=11cm), DE=AE-AD=i1-号-am (2)解：.'AC=15cm,CB=7cm, ∴.AB=AC+CB=22cm, 由(1)知AD=15 DB=AB-AD=2-号2am .∵BF=6cm, 若点F在点B的左侧，如图所示： A DE CF DF=DB-BF=29-6=17 cm): 2 2 若点F在点B的右侧，如图所示： A D E C B DF=DB+BF-29+6=4cml: 2 2 综上所述，DF的长度 1Zcm或 1 cm 8解：（1)如图， A C 当点O在点B的左侧时， .∵AB=50cm,OB=15cm, .∴.OA=AB-OB=35cm. .点O是线段AC的中点， .∴.OC=OA=35cm. .∴.BC=OC-OB=35-15=20cm. （2)如图， BO 当点O在点B的右侧时， 'AB=50cm,OB=15cm, 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.OA=AB+OB=65cm. ,点O是线段AC的中点， ∴.OC=OA=65cm. .∴.BC=OC+OB=65+15=80cm: 综上，BC的长是20cm或80cm. 9.(1)解：AC,BC=5:4, Bc-号AB-号×18=8. BD=3CD, .BC=BD+CD=3CD+CD=8. ∴CD=2. (2)解：CD=2,BD=3CD, ∴BD=6. .AD=AB-BD=18-6=12. 点E是AD的中点， .DE=6. .∴.CE=DE-CD=6-2=4 10.(1)解：AB=30m,BC=2AB, 5 :BC=30×2=12cm, .AB=30cm,E是AB的中点， BE=号AB-×30-15am .'CE=BE-BC=15-12=3cm. (2)解：由(1)知：BC=12cm, .AB=30cm, .AC=AB-BC=30-12=18cm, D是AC的中点， :.CD=1AC=1x18=9cm, 2 2 '.CE=3cm, 5/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DE=CD-CE=9-3=6cm. 11.(1)解：由图可知：①AD=AC+CD:②AD=AB-BD: (2)解：，AB=8,C为AB的中点， .BC=1AB=4, .DB=1.5, .∴.CD=BC-DB=2.5 12.AB=2MN,理由： ,M,N分别是线段AC,BC的中点， MC-AC,CN-BC. MC+CN-AB. .'.AB=2MN. (2)解：.AC=6,CP=2, ∴.AP=AC+CP=8, :点P是线段AB的中点， ,∴.AB=2AP=16 .∴.CB=AB-AC=10. ,N是线段BC的中点， .CN=1BC=5. ∴.PN=CN-CP=3. 颗型03 与线段n等分点有关的计算 13.(1)解：，AM=3MC,BN=3NC, ..AC=4MC,BC=4NC, .AC=8,BC=4, MG-AC-2.NG-BC-1 4 .MN=MC+NC=2+1=3: 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)可知AC=4MC,BC=4NC, ∴.AC+BC=4MC+4NC, 即AB=4MC+NC=4MN, MN=5, .AB=4×5=20 14.解：，点D是线段AB的中点，且AD=6, ∴.AB=2AD=2×6=12,DB=AD=6: :点C是线段AB上靠近点B的三等分点， GB=号B=号×12=4 3 .DC=DB-CB=6-4=2 15.(1)解：.点D为线段AC的中点，DC=4, ∴.AC=2DC=8, AC=AB+BC=3BC+BC=4BC, ∴BC=2, .DB=CD-BC=4-2=2,AB=AC-BC=8-2=6: (2)解：：PB=AB, 4 PB=x6=1.5<DB. ∴.点P在线段DB上， ∴.PD=DB-PB=2-1.5=0.5. 16a解：AB=10.AC-号AB, 6c-号10=4 .BC=AB-AC=10-4=6, ,点N是BC的中点， :CN=BC=3: (2)解：由图可得AM>AC=4, ,点M是线段AB的三等分点， 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM=号AB-9 3 :CM=AM-AC=20-4=8 3 3 ..MN=CN-CM=3-8=1 33 17.(1)解：.AC=12cm,CB=8cm, .AB=AC+CB=12+8=20cm, ,点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点， :AD=3AC-3×12=4cm,AE=号AB=号×20=101cm. 3 2 :.DE=AE-AD=10-4=6cm; (2)解：如图，当点F在点C的左侧时， E C B .CF=2CB, .CF=2CB=2×8=16cm, .CA=12cm, .点F在点A的左侧，即AF=CF-CA=16-12=4cm, 如图，当点F在点C的右侧时， EC B .CF=2CB. ∴.CF=2CB=2×8=16cm, .CA=12cm, .AF=CF+CA=16+12=28cm ∴.AF的长度为4cm或28cm. 18.(1)解：.AC=CB,CD=DB, :.CD=CB=号AC,点C是线段AB的中点， 2 .CD=I AD 3 ∴.C是线段AD的三等分点： 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：C,AD: (2)解：.AC=CB,CD=DB, .AC=BC=2BD,AB=2BC=4BD, ∴.AC是DB的2倍，AB是CD的4倍： (3)解：.'AB=4cm,AB=2BC=4BD, :.AD=3AB=3cm. 4 当点P在点A左边时，PD=PA+AD=1+3=4cm； 当点P在点A右边时，PD=AD-PA=3-1=2cm; 综上所述，线段PD的长为2cm或4cm. 19.(1)解：AD=10,AC=6, .CD=AD-AC=10-6=4, ,点B为CD的中点， :BC--CD-x4-2 (2)解：点P是线段AC上靠近点A的三等分点，AC=6, P-4C-2, ∴PC=AC-AP=6-2=4, ∴.BP=PC+BC=4+2=6. 题型04 两点之间线段最短 20.两点之间，线段最短21.一 最短 长度 相等22.两点之间线段最短 23.两点之间，线段最短24.两点之间，线段最短 题型05 线段中需要分情况讨论问题 25.D26.C27.D28.C29.D 颗型06 线段之间的数量关系 30.(1)解：由题意AB=AC+BC=36,且CA=2CB, .3BC=36, .BC=12, 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=24: (2)解：当P,Q两点重合时，则：4t=t+12,解得t=4; 当P,Q在点A的两侧时，则4t-36=24-t,解得t=12: 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)解：当点P到达点A时，所用时间为36÷4=9秒： 此时AQ=AC-CQ=24-9=15: 点P停止运动时所用时间为36+24÷4=15秒： ①当PQ相距5个单位长度时，则4t-9+t-9+5=15或4t-9+t-9=15+5 解得t=11或t=13: 故当t=11或t=13时，PQ相距5个单位长度； ②当AQ=3PQ时，则24-t=324-t-4t-91度24-t=34t-9-24-t 解得t9 4 故当-9=时，AQ=3P0。 31.（1)解：数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为-10， ∴.A、B两点间的距离为30-（-10)=40： ,点P从点B出发，以每秒10个单位长度向右运动t秒，点Q从点A出发，以每秒5个单位长度向右运动t秒， .点P表示的数是-10+10t=10t-10;点Q表示的数是30+5t. (2)解：分两种情况讨论： ①当点P在点Q左侧时，点Q表示的数减去点P表示的数等于5， 则(30+5t)-(10t-10)=5, 解得t=7: ②当点P在点Q右侧时，点P表示的数减去点Q表示的数等于5， 即(10t-10)-(30+5t)=5, 解得t=9; 综上，运动时间t的值为7或9. (3)解：，点P从点B出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，BP=10t,点P表示的数是10t-10 .AP=|30-(10t-10川=|40-10t, 10/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由BP=3AP得10t=340-10t|,分两种情况： ①当点P在点A左侧时，此时方程为10t=3(40-10t), 解得t=3, 此时点P表示的数为10×3-10=20， ,点M为AP的中点， ÷点M表示的数为30+20=25， ②当点P在点A右侧时，此时方程为10t=3(10t-40, 解得t=6, 此时点P表示的数为10×6-10=50， ,点M为AP的中点， :点M表示的数为30+50=40： 2 综上，此时点M表示的数为25或40， 32.（1)解：①，AB=24,AD+BC=30, ..CD=AD+BC-AB=30-24=6: ②假设AM=X,则AD=3x, 由(1)得CD=6, .MC=AD-AM-CD=3x-x-6=2x-6: 假设BN=y,则BC=3y, 由(1)得CD=6, ..DN=BC-BN-CD=3y-y-6=2y-6: AD+BC-CD=AB. .3x+3y-6=24, .x+y=10, ∴.MN=MC+DN+CD=2x-6+2y-6+6=2x+y-6=14: (2)解：①如图2所示， A M C DN B 图2 假设AM=m,则AD=3m,MD=2m; 假设BN=n,则BC=3n,CN=2n: 11/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'CD=AD+BC-AB=3m+3n-AB, AB+CD. MN =MD+CN-CD, :.MN=2m+2n-CD-2lm+n)-CD=(AB+CD]-CD, 3 :N-号AB-号CD, 3 ②如图3所示， AM D CNB 图3 假设AM=m,则AD=3m,MD=2m; 假设BN=n,则BC=3n,CN=2n; .CD=AB-AD-BC=AB-3m+n, m+n=号AB-CD, .MN =MD+CN+CD, -2m+2n+CD-2m+ml+CDAB-CDj+CP. MN-号AB+片CD: 综上，袋段AB.CD.MN之同的数显关系是NMN-号AB-写CD成MN-号AB+兮CD. 3 3 故答案为：MN=号AB-CD或MN=名AB+cD. 3 3 3 3 33.(1)解：因为AD=号AB, 3 所以AD=号BD, 2 所以BD=2AD=2a. 因为那=D, 所以BD=4BE=4b, 所以2a=4b, 12/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a=2b (2)解：设AB=X. 因为AD-号AB 所以AD-号X 因为C为线段AB的中点， 所以AC=AB=x, 因为CD=AC-AD, 所以4x吉式。 解得X=24, 所以AB的长为24. 341)解：MN=3AB, 理由：因为点M、N分别是线段AC、BC的中点. 所以CM=AC,CN-=号BC, 放MN=CM+CN-号AC+号8C=AC+BCF号AB (2)解：因为AM=3CM,BN=3CN」 所以AB=AM+CM+CN+BN =3CM+CM+CN+3CN =4CM+4CN =4CM+CN =4MN, 即4MN=12, 所以MN=3. 颗型07 与线段有关的动点问题 35.(1)解：当点C、D运动了2s时，CM=2cm,BD=6Cm, 'AB=10cm,CM=2cm,BD=6cm, 13/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC+MD=AB-CM-BD=10-2-6=2cm. (2)解：设运动时间为t, 则CM=t,BD=3t, AC=AM-t,MD=BM-3t, 又MD=3AC, ∴.BM-3t=3AM-3t, 即BM=3AM, BM=AB-AM, .'AB-AM=3 AM, M-子AD, (3)解：当点N在线段AB上时，如图 A M B..AN-BN =MN 又'.'AN-AM=MN, :BN=AM-子AB, MN=号AB,即0-号 AB 2 当点N在线段AB的延长线上时，如图： A M B N..AN-BN=MN' 又.'AN-BN=AB ∴.MN=AB, M=1 A MN 综上所述AB的值为2或1. 36.(1)解：A、B两点所表示的数分别为-2和8， ∴.OA=2,OB=8, .∴.AB=OA+OB=10. (2) 解：线段MN的长度不发生变化，其值为5， 14/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分下面两种情况， 当点P在A、B两点之间运动时， A OM P N B →MN=MP+NP, =IAP+-BP, 2 2 号AB, =5, ②当点P在点A的左侧运动时， PMA ON B广N=NP-MP =1BP-1AP. 2 =5, 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5， (3)解：当点P在A、B两点之间运动时，PN=2PM, 即AP3B即， AP+BP=10 解得：AP=号 此时点P所表示的数为-2+10=4。 33 当点P在点A的左侧运动时，PN=2PM, 即AP=BP, .BP-AP=10, 解得：AP=10, 此时点P所表示的数为-2-10=-12， 37.(1)解：当点B、C重合时，AC=AB=号，BD=CD=多 2 15/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E为AC中点， c-号ac-号 F为BD中点， :.CF=1BD-3 4 ∴EF=EC+CF=1L+3=14_7 44421 答：线段EF的长为2 (2)解：设BC=X, 则AC=AB+BC=号+X, BD=BC+CD=x+ ,E为AC中点， F为BD中点， :.BF=-BD=X+3 241 AE-BF= 4}42 故AE-BF的值是定值，定值为2. (3)解：当线段CD向左移动距离m(m≤ 时，分两种情况讨论： 2 如图，当线段CD的两个端点运动到点8的两侧，Q BC=m, A E B(C)F D A E C BED 则：AD=AB+CD-m=号+号-m=7-m, 22 16/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ac-aB-m-号-m,BD-cD-m号m .E为AC中点， ∴AE=号AC=1-m 2 421 F为BD中点， :BF=IBD=3-m 429 EF=AF-AE =(AB+BF)-AE 1 2 4 已知AD+EF=5CD,且CD=3, 代入得：(7-m)+号=5×号解得：m=3, 2 但m≤子，故该情况不存在。 情况二：如图，当线段CD全部运动到点B的左侧时， 3 号，BC=my A E DF B 则：AD=AB+CD-m= 11.3 22 -m=7-m, AC=AB-m--m,BD=BC-CD=m-CD=m 2 .E为AC中点， aEc-是 42 F为BD中点， B服-D-受子 EF=AF-AE=(AB-BF)-AE 17/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11-m+3 11_m 22442 > 2 已知AD+EF=5CD,且CD=3 1 代入相：7-m+子=5×号解得：m=3.将合题或。 综合以上三种情况可知，故存在m=3,使得AD+EF=5CD 38.(1)解：点P是线段AB的中点， ∴.AB=2AP=2BP, 满足“二倍点”定义， 故答案为：是 (2)解：由题意得：AP=2t,BP=18-2t ①当AB=2AP时：18=2×2t, 解指产是 ②当AB=2BP时：18=2×(18-2t), 9 解得t ③当AP=2BP时：2t=2×(18-2t), 解得t=6: ④当BP=2AP时：18-2t=2×2t, 解得t=3; 答：当为3、号或6时，点P是线段AB的“二倍点”， (3) 点C是线段BM的“二倍点”，理由如下 :点P是线段AB的“二倍点”，且PB<AP ∴.AP=2PB, .AB=AP+PB=3PB. .AM=AB+BM=3PB+BM 18/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2PC=AM-BP, .2PC=3PB+BM-PB=2PB+BM, :PC=PB+-BM 又，PC=PB+BC, :PB+BC=PB+BM, 、 ·BC=BM, .BM=2 BC. ,点C是线段BM的“二倍点”， 39.(1)解：①当t=2时，AQ=2×2=4, :.AM-AQ=2. ∴.MB=AB-AM=12-2=10: ②BQ=AB-AQ=8, QN=号BQ=4, :MQ=7AQ=2, .MN=MQ+QN=6. (2) 解：正确结论①，2MB-BQ为定值12，理由如下： 依题意AQ=2t, .点M为AQ中点， AM=MQ=7AQ=t .∴.MB=AB-AM=12-t BQ=AB-AQ=12-2t ∴.2MB-BQ=212-t-12-t=12为定值. (3)解：存在最小值.以点A为原点，射线AB的方向为正方向，建立数轴： 点A表示的数为0，点B表示的数为12，点Q表示的数为2t,点P表示的数为12-t ,点M为AQ中点 19/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点M表示的数为t .PQ=2t-12-t=3t-12'BM=t-12 :PQ+BM-k-4-卫 当t<4时， 3PQ+BM=4-+12-t=16-2>8, 当4≤t≤12时， PQ+BM=t-4+12-t=8: 3 当t>12时， PQ+BM=t=4+t-12=2t-16>E 综上所述， PQ+BM的最小值为8. 3 B组 能力进阶 1.C2.D3.B4.C5.D6.57.88.4.5或0.5 9.(1)解：.线段AB的长度是a,线段BC的长度比线段AB长度的2倍多5cm, ∴.BC=2a+5cm, .线段AD的长度比线段BC长度的2倍少5cm, ,∴.AD=22a+5-5=4a+10-5=4a+5cm, .'CD=AD+AB+BC=a+2a+5+4a+5=7a+10)cm; (2)解：当CD=80cm时，则7a+10=80 7a=70 解得a=10, .∴线段AB的长度为10cm. 10.(1)解：.AE:BE=5:2,AB=14, .∴.AE=10,BE=4, ,点C为线段AB的中点，点D为线段AE的中点， ∴AC=7,AD=5, .∴.CD=AC-AD=2: (2)解：.AB=16,点c为线段AB的中点， .∴.AC=BC=8, 20/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=4, ∴.BE=BC-CE=4, ∴.AE=AB-BE=12, :点D为线段AE的中点， .AD=6 11.(1)解：，点C恰好是AB中点，AB=18cm, AC=BC=号AB=9am, ,点D、E分别是AC和BC的中点， :.DC=AC=4.5cm,CE=-BC=4.5cm, .'DE=DC+CE=9cm (2)解：.'AC=8cm, .BC=AB-AC=18-8=10cm, .'D、E分别是AC和BC的中点 ∴.DC=AC÷2=4cm,CE=BC÷2=5cm. .∴.DE=DC+CE=4+5=9cm (3)解：，D、E分别是AC和BC的中点 :'.DC=1AC,CE-BC. ∴DE=DC+CE=DC=AC+2Bc=号AC+BC=3AB=9cm. ∴.不论AC取何值（不超过18cm),DE的长不变， C组 思维拔高 1.B2.B3.B4. 9 5.(1)解：由题意，得OB=90, ÷号0A+50-90, 解得0A=120 点A在原点左侧， 21/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .A点对应的数为-120 (2)解：依题意可得：MN=2t--120+7t=2t+120-7t=120-5t PM=90-8t-2t=|90-10t. MN =PM, .120-5t=90-10t ∴.120-5t=10t-90或120-5t=90-10t, ∴.t=14或t=-6(舍去)， .当t=14时，MN=PM. 6.(1)①t ②解：当点P在点Q的左侧70cm处， 90-2t-t=70, 解得，t=20 当点Q在点P的左侧70cm处， t-90-2t=70, 解得，t=160 3s或l60 综上所述，经过203 5,PQ两点相距70m: (2)解：.点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点， ·点Q在数轴上对应的数是： 20+80=50, 2 .∴点Q运动路程为：90-50=40， 由题意得，AB=80-20=60, 设点P在数轴上对应的数为X, 根据PA=2PB分情况讨论点P的位置： 情况1：点P在点A的左侧， PB-PA=AB=60, 将PA=2PB代入得：PB-2PB=60, 解得，PB=-60,不符合实际，舍去； 情况2：点P在点A与点B之间， 22/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PA+PB=AB=60. 将PA=2PB代入得：2PB+PB=60, 解得，PB=20, ∴.点P在数轴上对应的数为：80-20=60， 运动时间为：t=60 =60s, 路程40_2 点Q运动的速度为：vo时同-605cm/s: 情况3：点P在点B的右侧， PA-PB=AB=60, 将PA=2PB代入得：2PB-PB=60, 解得，PB=60, ∴.点P在数轴上对应的数为：80+60=140， 运动时间为：t=140 =1405, 路程。402 点Q运动的速度为：v。时向140号0m/s: 2 2 综上所述，点Q运动的速度为三cm/s或号cm/s. 拓展 链接中考 1.C2.B 23/23函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 6.2.2线段的比较与运算 目录 A组巩固过关 基础常考7大题型 题型01用尺规作图作线段 题型05线段中需要分情况讨论问题 题型02与线段中点有关的计算 题型06线段之间的数量关系 题型03与线段n等分点有关的计算 题型07与线段有关的动点问题 题型04两点之间线段最短 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 用尺规作图作线段 1. (25-26七年级上河南郑州期末)如图，已知四点A,B,C,D,请解答下列问题： A D B c (1)画直线AB,射线AC,线段AD,BD: (2)连接BC并延长线段BC到点E,使得CE=AB+BC(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)我们不用测量就可以判断出线段AB与AD的长之和大于线段BD的长，理由是 2.(25-26七年级上福建福州期末)如图，己知三点A,B,C,请按照下列语句作图.（尺规作图，保 留作图痕迹) A● B● (1)作直线AB,射线BC: (2)连接AC并延长AC到D,使得CD=AC 3.(25-26六年级下山东烟台期中)如图，点A,B,C是不在一条直线上的三个点，且AB=AC,过B, C两点作直线，并连接AB,AC. B (1)尺规作图：延长CA至D,使得点A为CD的中点，作射线AC,在射线AC上截取AE=3AB.(作图工 具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法) (2)若CD=8Cm,求DE的长. 4.(25-26七年级下.山东泰安期中)已知A、B、C三点如图所示. A● B (1)画直线AB,射线AC,线段BC; (2)在线段BC上任取一点E(不同于B,C),连接AE,并延长AE至D,使DE=AE;(用尺规作图，不 写作法，保留作图痕迹) (3)在完成(1)（2)后，图中的线段共有多少条？并写出以点B为端点的所有线段. 5.(25-26六年级下山东济宁期中)如图，在同一平面内有三个点A,B,C. 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B° c 利用尺规，按下面的要求作图.（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线BA: ②作线段BC: ③连接AC,并在线段AC上作一条线段AD,使AD=AB,连接BD 颗型02 与线段中点有关的计算 6. (25-26七年级下·黑龙江大庆，期末)如图，已知点C为线段AB上一点，AC=12cm,CB=8cm, D、E分别是AC、AB的中点. A D B (1)求DE的长度. (2)若M在直线AB上，且MB=6cm,求AM的长度. 7.(25-26六年级下.山东泰安.期末)如图，已知点C为线段AB上一点，AC=15cm,CB=7cm,D, E分别是AC,AB的中点. A D E C B (1)求DE的长度； (2)若点F在直线AB上，且BF=6Cm,求DF的长度. 8.(25-26六年级下.山东烟台期末)在一条直线上顺次取A,B,C三点，已知AB=50cm,点O是线段 AC的中点，且OB=15cm,求BC的长. 9.(25-26六年级下山东济南期末)如图，己知点C、D是线段AB上的点， AB=18,AC BC=5.4,BD=3CD A E B (1)求CD的长： (2)若点E是AD的中点，求CE的长. 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (25-26六年级下.山东泰安期中)如图，C是线段AB上一点，线段AB=30cm,BCAB,D AC的中点，E是AB的中点. D EC B (1)求线段CE的长； (2)求线段DE的长. 11.(25-26七年级上福建福州·期末)如图，C为线段AB的中点，点D在线段CB上. A CD B (1)图中AB=AC+BC,CD=BC-BD,类似的，请你再写出两个有关线段AD的和与差的关系式：① AD= :②AD= (2)若AB=8,DB=1.5,求线段CD的长 12.(25-26六年级下山东威海期末)如图，点C在线段AB上，点MN分别是线段AC,BC的中点. AM CPN B (1)线段AB与MN存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段AB的中点，AC=6,CP=2,求线段PN的长. 题型03 与线段n等分点有关的计算 13.(25-26六年级下山东烟台·期中)如图，己知点C在线段AB上，点M,N分别在线段AC与线段BC 上，且AM=3MC,BN=3NC. y M (1)若AC=8,BC=4,求线段MN的长； (2)若MN=5,求线段AB的长 14.(25-26七年级上山东菏泽期末)如图，点C是线段AB上靠近点B的三等分点，点D是线段AB的中 点.若AD=6,求线段DC的长度： D C 15.(25-26七年级上四川泸州·期末)如图，已知线段AB,延长AB到点C,使得AB=3BC,点D为线 段AC的中点，DC=4. 4/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C (1)求线段AC、AB、DB的长： 2若点P为线段AB上一点，且BP=AB,求线段PD的长 16.(25-26七年级上安徽铜陵期末)如图所示，点C在线段AB上，AB=10,AC= AB,点N是BC 的中点， CMN B ② (1)如图①，求CN的长度： (2)如图②，若M是线段CN上的一动点，若点M是线段AB的三等分点，试求线段MN的长。 17.(25-26七年级上山东聊城期末)如图，已知点C为线段AB上一点，其中AC=12cm,CB=8cm, 点D是AC的三等分点（靠近A端），点E是AB的中点. (1)求DE的长度： (2)若点F在直线AB上，且CF=2CB,求AF的长度. 18.(25-26七年级上河北廊坊期末)如图，点C,D在线段AB上，且AC=CB,CD=DB, A CD B (1)点 是线段AB的中点，点C是线段 的三等分点， ②AC是DB的几倍？AB是CD的几倍？请说明理由. (3)若点P在直线AB上，AB=4cm,AP=1cm,直接写出线段PD的长. 19.(25-26七年级上湖北荆州期末)如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，已知 AD=10,AC=6. C B D (1)求BC的长： (2)若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长. 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 两点之间线段最短 20. (25-26七年级下·贵州铜仁期末)贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕 行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心 上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直 达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是一 21.直线的性质：两点确定 条直线.线段的性质：两点之间，线段 距离：连接两点间 的线段的 ,叫做这两点间的距离.中点：把一条线段分成两条 的线段的点，叫做这条线 段的中点。 22.（25-26七年级上山西吕梁，期末)2024年12月25日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一 年完成“县县通高速”，施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是 23.(25-26六年级下山东济南·期末)如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中 开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程.其数学原理是 24.(25-26七年级全国暑假作业)如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下 训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 6/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 线段中需要分情况讨论问题 25. (25-26七年级下山东淄博期末)若A,B,C三点在同一条直线上，线段AB=12cm,BC=4cm, 点E,F分别是线段AB,BC的中点，则线段EF的长为() A.8cm B.4cm C.8cm或2cm D.8cm或4cm 26.(25-26七年级上广西桂林.期末)已知线段AB=14cm,点C是直线AB上的一点，BC=4cm.若 M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是(). A.7cm或9cm B.9cm C.7cm D.7cm或5cm 27.(25-26七年级上甘肃武威期末)已知，点A,B,C在同一条直线上，点M,N分别是AB,BC的 中点，如果AB=10cm,BC=8cm.那么线段MN长度为() A.6cm B.9cm C.3cm或6cm D.1cm或9cm 28.(25-26七年级上河南平顶山期末)己知线段AB=10cm,点C在直线AB上，BC=8cm,点M、N 分别是AB、BC的中点，则MN的长度为() A.18cm B.2cm c.9cm或1cm D.18cm或2cm 29.(25-26七年级上辽宁盘锦期末)已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点，BC=4Cm,若M 是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是() A.7cm B.3cm C.7cm或3cm D.5cm 颗型06 线段之间的数量关系 30. (25-26七年级下·吉林长春阶段检测)如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C 的右侧，线段AB=36,且CA=2CB.动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动， 同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： A CB→ ()AC= BC= (2)经过 秒，点P、Q到点A的距离相等： (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当t= 时，PQ相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当t=」 时，AQ=3PQ. 7/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 31.(25-26七年级下山东青岛开学考试)如图，已知数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为-10 点P从点B出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒5个 单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为t秒(t≥0). B A -10 0 30 ()A'B两点间的距离为 一， 点p表示的数是 一一，点。表示的数是—一：（佣含的代数式表示） (2)当点P和Q相距5个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若点M为AP的中点，BP=3AP,求此时点M表示的数 32.(25-26七年级上湖北武汉期末)已知线段AB上有两个动点C、D. A C D B A MC D N B 图1 图2 (1)已知AB=24,C在D的左侧，AD+BC=30. ①如图1，求CD的长： ②如图2，M、N分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,求MN的长： (2)若MN分别为AD和BC的三等分点，且AD=3AM,BC=3BN,请直接写出线段AB、CD、MN之 间的数量关系： 33.(25-26七年级上陕西西安期末)如图，C为线段AB的中点，点D,E均在线段AB上，且 AD=1AB.BE=1BD. 4 A E B (1)若AD=a,BE=b,试说明a,b的数量关系； (2)若CD=4,求AB的长. 34.(25-26七年级上陕西咸阳·期末)如图，点C在线段AB上，点M、N分别是线段AC、BC上的点. A M C N B (1)若点M、N分别是线段AC、BC的中点，猜想线段MN和线段AB之间的数量关系，并说明理由： (2)若AB=12,AM=3CM,BN=3CN,求线段MN的长度. 题型07 与线段有关的动点问题 35.（25-26七年级下·吉林.阶段检测)已知：M是线段AB上一定点，C,D两点分别从M,B出发以 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1cm/s,3cm/s的速度沿直线BA向A,M运动，运动方向如箭头所示. M D B (1)若AB=10cm,当点C,D运动2秒时，求AC+MD的值. (2)若C,D运动时，总有MD=3AC,则AM= AB M (3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN, AB的值为 36.(24-25六年级下山东烟台期中)如图：已知数轴上A,B两点所表示的数分别是-2和8. B (1)线段AB的长是 (2)若P为射线BA上的一点（点P不与A,B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线 BA上运动时，线段MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请 说明理由： (3)在第(2)问的条件下，当点P在什么位置时，PN的长度等于PM的长度的2倍？直接写出此时点P所 表示的数， 37.(25-26七年级上四川成都期末)已知点A,B,C,D在直线l上，其中点A在点B左侧，点C在点D 左阅，AB=号cD=号 F2:点E为线段AC中点，点F为线段BD中点. A E B(C)FD—I (1)如图，当点B,C重合时，求线段EF的长： (2)当线段CD从图所示位置在直线！上向右移动时，AE-BF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值： 若不是，请说明理由： (3)当线段CD从图所示位置在直线，上向左移动，移动的距离为m 11时，是否存在使得 mm≤ m 2 AD+EF=5CD,若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由. 38.(25-26七年级上山东济南期末)新定义：点P是线段AB上一点，此时三条线段AB,AP,BP中，若 有一条线段是另一条线段的两倍，则称点P是线段AB的“二倍点”. A PB M (1)若点P是线段AB的中点，则点P_线段AB的“二倍点”；（填“是”或“不是”）： 9/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=18,点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向B点运动，设点P的运动时间为t秒，求当t为何 值时，点P是线段AB的“二倍点”； (3)如图，点P是线段AB的“二倍点”，且PB<AP,点M是AB延长线上一点，点C在线段BM上运动， 当2PC=AM-BP时，点C是否是线段BM的“二倍点”，请说明理由。 39.（25-26七年级上福建漳州期末)如图线段AB=12,动点Q从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿 射线AB运动，点M为线段AQ的中点，点N为线段BQ的中点，设运动时间为t. AMO N B B 备用图 (1)当点Q在射线AB上运动时， ①当t=2时，线段MB的长度为 ②线段MN的长度为 (2)当点Q在线段AB上运动时，下列2个结论中：①2MB-BQ为定值；②2MB+BQ为定值.正确的结论 是 ,说明理由并求其值. (3)若动点Q出发时，动点P也同时从点B出发，以1个单位长度/秒沿射线BA运动. PQ+BM是否存在最 3 小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 B组 能力进阶 1.(25-26六年级下.山东威海期末)如图，线段AD上有点M,C,B,N,且AB=10,CD=6,点M, N分别是AC,BD的中点，则MN的长度为() A M CB N D A.7 B.7.5 C.8 D.无法确定 2.生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是() B 现象1：木板上弹墨线 现象2：弯曲的河道改直 10/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.均用两点之间线段最短来解释 B.均用经过两点有且只有一条直线来解释 C.现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释 D.现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释 3.(25-26七年级上·全国期末)如图所示，C,D为线段AB上的两点，M是AC的中点，N是BD的中 点，如果MN=a,CD=b,那么线段AB=() M C D B A.2a-b B.2a-b C.2a+2b D.2a+b 4.(25-26七年级上西藏期末)己知数轴上两点，A点表示的数是-1，B点表示的数是9，点C是数轴 上一点，若BC=号AB,则线段4C的长为() A.5 B.10 c.5或15 D.15 5.(25-26七年级上江苏扬州期末)一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动 到OM的中点M1处，第二次从M1跳到OM1的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M3处，如此不 断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为() PP P O Ms M2 M A. 12021 B. 10 2022 D.1 2 22020 22027 6. (25-26七年级下·广东河源期末)如图，点C是线段AB上一点，点M,N分别是线段AC,BC的中点， AB=10,则线段MN= A M C N B 7.(25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)A、B、C、D、E五个车站在同一直线上，它们之间的距离 如图所示（单位：km)·如果b=4,D为线段AE的中点，则a的值为 B C2a-3b E 3a-b 8.(24-25六年级上·上海-阶段检测)我们知道，在数轴上，点M,N分别表示数m,n,则点M,N之间 11/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的距离为m-n.已知点A,B,C,D在数轴上分别表示数a,b,c,d(其中点A在点B的左侧)，且 la-c=lb-c=ld-a=1,则线段BD的长度为 9.(25-26七年级上全国期末)如图，已知线段AB的长度是α，线段BC的长度比线段AB的长度的2倍 多5cm.线段AD的长度比线段BC的长度的2倍少5cm. D AB C (1)写出用α表示线段CD的长度的式子： (2)当CD=80cm时，求线段AB的长度. 10.(25-26六年级下山东烟台期中)如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段 AE的中点. D C E B (1)若AE:BE=5:2,且AB=14,求CD的长： (2)若线段AB=16,CE=4,求AD的长. 11.(25-26六年级下山东青岛期中)如图，已知线段AB=18cm,点C为AB上的一个动点，点D、E分 别是AC和BC的中点. A D CE B (1)若点C恰好是AB中点，则DE=_Cm; (2)若AC=8Cm,求DE的长， (3)说明不论AC取何值（不超过18cm),DE的长不变. C组 思维拔高 1.(25-26七年级下.山东淄博·期末)如图，数轴上O,A两点的距离为40，一动点P从点A出发，按以下 规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到 A2O的中点A处.按照这样的规律继续跳动到点A4,A,A6,…,An(n≥3，n是整数)处，问经过这 A202 样2026次跳动后的点 与原点的距离是()04 A.5x1 B.5×1 1 22024 22023 c.5 22022 D.5× 1 22027 12/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2526七年级上辽宁大连阶段检测)数轴上依次有四个站点：星海公园、会展中心、东港、中山广 场，相邻两段距离依次为bm、180m、bm.各站点工作人员人数分别为：星海公园28人，会展中心7 人，东港22人，中山广场5人.要让所有人步行到集合点的总路程最短，集合点应设在() A.星海公园 B.会展中心 C.东港 D.中山广场 3.(25-26七年级上·福建福州期末)如图，有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N, 若该折线M一P一N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”， AC-BC 已知点D是折线A-C-B的“折中点”，则 的值为() CD D Q 4.3 B.2 C.3 4.(25-26七年级下江苏苏州期末)如图，AB,CD是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点A 与点C重合，点B与点D重合)，现将AB沿直线l向左平移k厘米，将CD沿直线向右平移2k厘米，当B, C是线段AD的三等分点时，k的值为 2k-3 (C)(D) 5.(25-26七年级上全国：期末)如图1，点4，B分别在数轴上原点0的左右两侧，且OA+50=0B, 3 点B对应的数是90， 图1 M P 图2 (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M,N,P分别从点O,A,B同时出发，其中M,N均向右运动，速度分别为2个单位/秒， 7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒.设它们运动的时间为t秒.问t为何值时，点M,N之 间的距离等于点P,M之间的距离？ 6.(25-26七年级下·吉林长春·开学考试)如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别是20,80,90，点P 13/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从原点O出发，向右以1Cs的速度匀速运动，点Q从点C出发向左匀速运动，两点同时出发，运动时 间为t. BC→ (1)若点Q运动的速度为2cm/s, ①运动过程中点P在数轴上对应的数是一， 点Q在数轴上对应的数是一·（用含t的代数式表 示) ②经过多长时间P、Q两点相距70cm (2)当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求出此时点Q运动的速度. 拓展 链接中考 1.(2025山东滨州中考真题)如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向 高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”.隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短.下面能解释路 程缩短原因的是() A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间，线段最短 D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 2.(2025四川遂宁中考真题)如图，圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧 面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是() B 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15/15 分层作业 6.2.2线段的比较与运算 目 录 A组 巩固过关 基础常考7大题型 题型01 用尺规作图作线段 题型05 线段中需要分情况讨论问题 题型02 与线段中点有关的计算 题型06 线段之间的数量关系 题型03 与线段n等分点有关的计算 题型07 与线段有关的动点问题 题型04 两点之间线段最短 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 用尺规作图作线段题型01 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图，已知四点，，，，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是___________． 【答案】(1) (2) (3)两点之间，线段最短 【分析】（1）根据直线(无端点，向两方无限延伸)、射线(一个端点，向一方无限延伸)、线段(两个端点，有固定长度)的定义，分别画出指定图形即可． （2）要构造，只需在的延长线上利用圆规截取和等长线段即可完成尺规作图． （3）观察、、三点的位置，通过“两点之间线段最短”的基本事实，对比折线与线段的长度得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据“两点之间，线段最短”：是连接、的线段，而是从到再到的折线，折线长度大于线段长度，故． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)如图所示，直线，射线即为所求； (2)如图所示，线段，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点，，是不在一条直线上的三个点，且，过，两点作直线，并连接，． (1)尺规作图：延长至，使得点为的中点，作射线，在射线上截取．（作图工具只限直尺和圆规，只保留作图痕迹，不用写做法） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，延长交该弧于点；以为圆心，为半径画弧，延长与该弧相交，并以该交点为圆心，为半径画弧，继续延长与第二条弧相交，该点即为点； （2）由点为的中点，求出、的长，继而可得、的长，最后由即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点，射线，线段即为所求： （2）解：为的中点， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知、、三点如图所示． (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点（不同于），连接，并延长至，使；（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (3)在完成（1）（2）后，图中的线段共有多少条？并写出以点为端点的所有线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8条，线段、线段、线段． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求： （2）如图，点D即为所求： （3）由图可知，图中共8条线段，以点为端点的线段：线段、线段、线段． 5．（25-26六年级下·山东济宁·期中）如图，在同一平面内有三个点A，B，C． 利用尺规，按下面的要求作图．（要求：不写画法，保留作图痕迹） ①作射线； ②作线段； ③连接，并在线段上作一条线段，使，连接． 【答案】 如图所示， 【分析】根据射线和线段的画法以及线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 与线段中点有关的计算题型02 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 7．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 8．（25-26六年级下·山东烟台·期末）在一条直线上顺次取，，三点，已知，点是线段的中点，且，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及中点的性质进行求解． 【详解】解：（1）如图， 当点在点的左侧时， ，， ． 点是线段的中点， ． ． （2）如图， 当点在点的右侧时， ，， ． ∵点是线段的中点， ． ； 综上，的长是或． 9．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例关系，由，求出，再根据，可得，计算即可； （2）由（1）中结果先求出，再作差求出，根据中点的条件求出，最后作差即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． 10．（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 11．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：由图可知：①；②； （2）解：，C为的中点， ， ， . 12．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 与线段n等分点有关的计算题型03 13．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 14．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）如图，点是线段上靠近点的三等分点，点是线段的中点．若，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查线段中点与三等分点的定义及线段长度的计算，先根据线段中点的性质求出的总长度，再利用靠近的三等分点的定义求出的长度，最后通过线段差的关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，且， ∴，； ∵点是线段上靠近点的三等分点， ∴； ∴． 15．（25-26七年级上·四川泸州·期末）如图，已知线段，延长到点C，使得，点D为线段的中点，． (1)求线段、、的长； (2)若点P为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差倍分． （1）先根据中点求出的长，再求出的长，然后根据线段的和差求出和的长； （2）先求出的长，得到点在线段上，然后根据线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：点D为线段的中点，， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 点在线段上， ． 16．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一动点，若点M是线段的三等分点，试求线段的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，线段的和差计算，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先确定，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由图可得， ∵点M是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴ 17．（25-26七年级上·山东聊城·期末）如图，已知点为线段上一点，其中，点是的三等分点（靠近端），点是的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)的长度为或 【分析】本题考查线段的和与差． （1）根据已知条件得到、、的长，继而根据，得到的长． （2）根据当点在点的左侧和右侧时，分两种情况讨论，得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∵点是的三等分点（靠近端），点是的中点, ∴,， ∴； （2）解：如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点在点的左侧，即， 如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的长度为或． 18．（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论； （2）根据线段的中点的定义即可得到结论； （3）首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2）解：，， ，， 是的2倍，是的4倍； （3）解：∵，， ∴， 当点P在点A左边时，； 当点P在点A右边时，； 综上所述，线段的长为或． 19．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）如图为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点与三等分点的计算，关键是利用线段的和差关系，结合中点、三等分点的定义逐步推导． （1）先求出的长度，再根据中点定义求出； （2）先根据三等分点求出的长度，再结合的长度求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）解：∵点是线段上靠近点的三等分点，， ∴， ∴， ∴． 两点之间线段最短题型04 20．（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 21．直线的性质：两点确定_______条直线．线段的性质：两点之间，线段________．距离：连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离．中点：把一条线段分成两条________的线段的点，叫做这条线段的中点． 【答案】 一 最短 长度 相等 【分析】本题考查直线、线段、两点间距离、线段中点的基本概念，只需依据课本定义完成填空即可． 【详解】解：根据初中几何基本定义可知，直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间，线段最短；距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离；中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点． 22．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】 两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． 23．（25-26六年级下·山东济南·期末）如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 24．（25-26七年级·全国·暑假作业）如图，某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是_______________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：某同学用剪刀沿直线将一圆形的训练场剪掉一部分，发现剩下训练场的周长比原训练场的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 线段中需要分情况讨论问题题型05 25．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 26．（25-26七年级上·广西桂林·期末）已知线段，点是直线上的一点，．若是的中点，是的中点，则线段的长度是（   ）． A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段中点的性质和线段的和差计算，需分类讨论点的位置：①点在点右侧，②点在点左侧，再分别计算的长度即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，，， ∴分两种情况讨论： ①当点在点右侧时，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴； ②当点在点左侧时， ， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长度为． 27．（25-26七年级上·甘肃武威·期末）已知，点，，在同一条直线上，点，分别是，的中点，如果，．那么线段长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分类讨论点的位置，利用线段中点的性质和线段和差计算线段长度即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时， ∵点是中点，点是中点，，， ∴，， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时， ∵点是中点，点是中点，，， ∴，， ∴． 综上，线段的长度为或． 28．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）已知线段，点在直线上，，点、分别是、的中点，则的长度为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，分别画出图形，①点在线段上时，②点在线段延长线上时，根据线段的和差计算，即可求解． 【详解】解：①点在线段上时，如图1所示： 点是的中点， ， 又， ， 又点是的中点， ， 又， ， 又， ； ②点在线段延长线上时，如图2所示： 同理可求出，， 又， ； 综上所述：的长度为或． 29．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期末）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段中点的性质和线段的和差计算，分类讨论点C的不同位置是解题的关键，分点C在点B左侧与点C在点B右侧两种情况计算的长度即可． 【详解】∵点C是直线上一点，，， ∴分两种情况讨论： ①如图，当点C在点B右侧时， ， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴； ②如图，当点C在点B左侧时， ， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴． 综上所述，的长度为． 线段之间的数量关系题型06 30．（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，点A、B、C在数轴上，点A在点C的左侧，点B在点C的右侧，线段，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，设点P运动时间为t秒： (1)______，______； (2)经过______秒，点P、Q到点A的距离相等； (3)若动点P到达点A后立即以原速返回，到达点C时停止运动， ①点P从点A返回过程中，当____________时，相距5个单位长度； ②点P从点A返回过程中，当____________时，． 【答案】(1)24，12 (2)4或12 (3)①或；②或 【分析】（1）根据线段的和差关系以及数量关系，进行求解即可； （2）分两点重合，以及在点的两侧，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出点到达点时，所用时间，进而求出此时的长，再分两点相遇前和相遇后，两种情况进行讨论对①②进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：当两点重合时，则：，解得； 当在点的两侧时，则，解得； 综上：经过4或12秒，点P、Q到点A的距离相等； （3）解：当点到达点时，所用时间为秒； 此时； 点停止运动时所用时间为秒； ①当相距5个单位长度时，则或 解得或； 故当或时，相距5个单位长度； ②当时，则或， 解得或； 故当或时，． 31．（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为秒． (1)，两点间的距离为______，点表示的数是______，点表示的数是______；(用含的代数式表示) (2)当点和相距个单位长度时，求运动时间的值； (3)若点为的中点，，求此时点表示的数． 【答案】(1)；；； (2)或； (3)或 【分析】（1）利用数轴上两点距离公式求距离，根据动点运动方向和速度，用初始位置加运动路程表示动点对应的数； （2）点和相距5个单位分两种情况：在左侧、在右侧，分别根据两点距离列一元一次方程求解； （3）先根据列方程求出的值，再利用中点公式求点表示的数，注意分在左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴、两点间的距离为； ∵点从点出发，以每秒个单位长度向右运动秒，点从点出发，以每秒5个单位长度向右运动秒， ∴点表示的数是；点表示的数是． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在点左侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 则， 解得； ②当点在点右侧时，点表示的数减去点表示的数等于5， 即， 解得； 综上，运动时间的值为7或9． （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴，点表示的数是， ∴， 由得，分两种情况： ①当点在点左侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； ②当点在点右侧时，此时方程为， 解得， 此时点表示的数为， ∵点为的中点， ∴点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 33．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，C为线段的中点，点D，E均在线段上，且，． (1)若，，试说明a，b的数量关系； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，熟练掌握线段定义，是解题的关键． （1）根据得出，从而得出，根据得出，即可得出； （2）设．则，根据中点定义得出．根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）解：设． 因为， 所以． 因为C为线段的中点， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以的长为24． 34．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在线段上，点、分别是线段、上的点．    (1)若点、分别是线段、的中点，猜想线段和线段之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段的计算问题，掌握线段中点的性质是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差可得答案； （2）根据，把代入整理可得答案． 【详解】（1）解： ． 理由：因为点、分别是线段、的中点． 所以， 故． （2）解：因为． 所以 ， 即， 所以． 与线段有关的动点问题题型07 35．（25-26七年级下·吉林·阶段检测）已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 36．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 37．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 38．（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 39．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． (3)存在，的最小值为 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段中点的性质、代数式表示线段长度以及绝对值函数的最值求解，熟练运用中点公式和绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）①根据动点运动速度和时间求出线段长度，结合中点性质计算线段的长度； ②利用中点性质分别表示出和，再通过线段和差求出的长度； （2）用含时间的代数式分别表示和，代入两个结论的表达式进行化简，判断是否为定值； （3）建立数轴模型，用绝对值表示和，将目标表达式转化为绝对值函数，通过分段讨论或利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． （2）略 （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 1．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，C，D 为线段上的两点，M 是 的中点，N 是的中点，如果，，那么线段（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，由 M 是的中点，N 是的中点，则，，故可求． 【详解】解：∵M 是的中点，N 是的中点 ∴，， ∵，， ∴ ． 4．（25-26七年级上·西藏·期末）已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出的长度，再根据条件得到的长度，分点C在点B左侧、右侧两种情况，分别计算的长度即可． 【详解】解：∵ A点表示的数是，B点表示的数是， ∴ ， ∵， ∴． 分两种情况讨论： 当点C在点B左侧时，； 当点C在点B右侧时，， ∴的长为或． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，则第2021次跳动后，该质点到原点O的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，每次跳动后质点到原点的距离变为上一次距离的一半，通过计算前几次跳动后的距离找出规律，即可求出第2021次跳动后的距离． 【详解】解：由题意可知，质点从距原点个单位的点处向原点方向跳动， 第次跳动到的中点处，此时质点到原点的距离为； 第次从跳到的中点处，此时质点到原点的距离为； 第次从跳到的中点处，此时质点到原点的距离为； 以此类推，第次跳动后，该质点到原点的距离为． 当时，该质点到原点的距离为． 故选：D． 6．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 7．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 8．（24-25六年级上·上海·阶段检测）我们知道，在数轴上，点，分别表示数，，则点，之间的距离为．已知点，，，在数轴上分别表示数，，，（其中点在点的左侧），且，则线段的长度为____________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据绝对值的几何意义得到各点间的距离，分情况讨论点的位置即可求解． 【详解】解：，且点在点的左侧， 点在与之间，，， ， ，即， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧时，． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知线段的长度是a，线段的长度比线段的长度的2倍多．线段的长度比线段的长度的2倍少． (1)写出用a表示线段的长度的式子； (2)当时，求线段的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由进行求解即可； （2）把代入（1）所求式子中求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度是，线段的长度比线段长度的2倍多， ， 线段的长度比线段长度的2倍少， ， ； （2）解：当时，则 解得， ∴线段的长度为． 10．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 11．（25-26六年级下·山东青岛·期中）如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则_____； (2)若，求的长． (3)说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由线段中点的定义可得，同理可得，，然后根据线段的和差求解即可； （2）由线段的和差可得，利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差求解即可； （3）利用线段的中点定义可得，，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵点恰好是中点，， ∴， ∵点、分别是和的中点， ∴，， ∴． （2）解：， ， 、分别是和的中点 ，． ． （3）解：、分别是和的中点 ，． ． 不论取何值（不超过），的长不变． 1．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上依次有四个站点：星海公园、会展中心、东港、中山广场，相邻两段距离依次为、、．各站点工作人员人数分别为：星海公园 28 人，会展中心 7 人，东港 22 人，中山广场 5 人．要让所有人步行到集合点的总路程最短，集合点应设在（     ） A．星海公园 B．会展中心 C．东港 D．中山广场 【答案】B 【分析】通过设未知数表示各站点位置，分别计算集合在每个站点的总步行路程，比较大小即可得到最优解. 【详解】解：设星海公园在数轴原点，按顺序可得四个站点的位置和人数：星海公园：，人；会展中心：，人；东港：，人；中山广场：，人，且； 分别计算总路程： 集合在星海公园：， 集合在会展中心：， 集合在东港：， 集合在中山广场：， ， ∴， ， ， ∴，，， ∴最小， 因此集合点应设在会展中心. 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据“折中点”的定义，点将折线分成相等的两部分，即从经到的路径长等于从经到的路径长，且都等于折线总长的一半．分点在线段上和点在线段上两种情况，分别用和表示出的长，进而求出比值． 【详解】解：∵是折线的“折中点”， ∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如图： 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如图， 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为2． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图1，点A，B分别在数轴上原点O的左右两侧，且，点B对应的数是90， (1)求A点对应的数是多少？ (2)如图2，动点M，N，P分别从点O，A，B同时出发，其中M，N均向右运动，速度分别为2个单位/秒，7个单位/秒，点P向左运动，速度为8个单位/秒．设它们运动的时间为t秒．问t为何值时，点M，N之间的距离等于点P，M之间的距离？ 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再由建立方程求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 解得． ∵点A在原点左侧， ∴A点对应的数为． （2）解：依题意可得：，． ∵， ∴ ∴或， ∴或（舍去）， ∴当时，． 6．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图，数轴上三点、、表示的数分别是20，80，90，点P从原点O出发，向右以的速度匀速运动，点Q从点C出发向左匀速运动，两点同时出发，运动时间为t． (1)若点Q运动的速度为， ①运动过程中点P在数轴上对应的数是______，点Q在数轴上对应的数是______．（用含t的代数式表示） ②经过多长时间、两点相距． (2)当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求出此时点Q运动的速度． 【答案】(1)①； ②或 (2)或 【分析】（1）①根据“路程速度时间”得点P的运动路程为，由点P从原点O出发，向右以的速度匀速运动得点P在数轴上对应的数为，根据“路程速度时间”得点Q的运动路程为，点Q从点C出发,向左以的速度匀速运动得点Q在数轴上对应的数为； ②分两种情况讨论：当点P在点Q的左侧处，当点Q在点P的左侧处，分别列关于的方程求解即可； （2）由点Q运动到的位置恰好是线段的中点得点Q在数轴上对应的数是，进而计算点Q运动路程为，由题意得长度为，设点P在数轴上对应的数为，根据，按照点P在点A的左侧、点P在点A与点B之间、点P在点B的右侧，分三种情况讨论点P的位置，根据点P的速度确定运动时间，进而计算点Q运动的速度． 【详解】（1）①略 ②解：当点P在点Q的左侧处， ， 解得，， 当点Q在点P的左侧处， ， 解得，， 综上所述，经过或，、两点相距； （2）解：点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 点Q在数轴上对应的数是：， 点Q运动路程为：， 由题意得，， 设点P在数轴上对应的数为， 根据分情况讨论点P的位置： 情况1：点P在点A的左侧， ， 将代入得：， 解得，，不符合实际，舍去； 情况2：点P在点A与点B之间， ， 将代入得：， 解得，， 点P在数轴上对应的数为：， 运动时间为：， 点Q运动的速度为：； 情况3：点P在点B的右侧， ， 将代入得：， 解得，， 点P在数轴上对应的数为：， 运动时间为：， 点Q运动的速度为：； 综上所述，点Q运动的速度为或． 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可． 【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短； 故选C． 2．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $