第二章有理数及其运算单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

2026-2027学年北师大版数学七年级上册第二章有理数及其运算测试卷 本卷满分120分 考试时间120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若向南走3米记作米，则米表示（     ） A．向东走5米 B．向西走5米 C．向北走5米 D．向前走5米 2．（本题3分）下列关于数轴的图示，画法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若，则（     ） A． B． C．2 D．-2 4．（本题3分）一只海豚从水面先潜入水下 米，然后又上升了 米，此时海豚离水面（     ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 5．（本题3分）如果，互为相反数；，互为倒数；的绝对值等于2，那么的值为（     ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．（本题3分）定义，例如，则的结果为（     ） A．－1 B．－ C．1 D． 7．（本题3分）如图，王林在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的整数不包括（     ） A． B． C．0 D．1 8．（本题3分）气温随着高度的增加而降低，高度每增加，气温大约降低，若某地海拔高度为，此时地面温度是，同一时刻一定高度的空中温度是，则该空中离地面高度约为(     ) A． B． C． D． 9．（本题3分）已知有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题3分）如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字______的点重合（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）比较大小：______（填“”或“”）． 12．（本题3分）某公交车原坐有22人，经过2个站点时，上下车情况记录如下（上车为正，下车为负）：，；，，则车上还有___________人． 13．（本题3分）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是______． 14．（本题3分）已知，，且，则______． 15．（本题3分）在式子“”的“□”中填入运算符号“”“”“”“”，要使运算的结果最小，则“□”中填入的运算符号是________． 16．（本题3分）如图，在可折叠的数轴上，点，表示的数分别是，，以点为折点，将此数轴向右对折，若，且点在点右侧，则点表示的数是______． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）把下列各数填在相应的括号里： ，，，，，，，，， 正整数集：　　　　　　　　　　　　　　　　... 负整数集：　　　　　　　　　　　　　　　　... 正分数集：　　　　　　　　　　　　　　　　... 负分数集：　　　　　　　　　　　　　　　　... 18．（本题12分）计算 (1) (2) (3) (4) 19．（本题7分）已知有理数，对应点在数轴上位置如图所示． (1)在数轴上表示出、的相反数的位置，并比较，，，的大小． (2)若数对应点与其相反数对应点相距个单位长度，求的值． 20．（本题7分）对于有理数m、n，定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是的相反数，求的值． 21．（本题9分）计算：． 小敏的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小敏的计算过程，回答下列问题： (1)第一步变形的依据是____________________________，体现了数学中的________思想； (2)小敏在进行第二步计算时，运用的运算律是：___________________________； (3)请指出她从第________步开始出现错误； (4)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 22．（本题9分）水果超市采购了一批进价为每斤元的水果，为了合理定价，在第一周进行动态价格销售．售价以每斤元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周水果的售价偏差与销量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 售价偏差（元） 销量（斤） 5 (1)第一周超市售出水果的最低单价是_____元； (2)该超市第一周销售额最多的一天比最少的一天多_____元； (3)通过计算说明第一周超市出售水果的收益情况（即求盈利或亏损的钱数）． 23．（本题10分）阅读与思考 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即时，； ②当中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，若，则的值是______； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 24．（本题12分）如图，已知M和N两点在数轴上，点M在点N的左侧，点M表示的数为，点N到原点O的距离是点M到原点O的距离的4倍． (1)求数轴上点N表示的数． (2)若点P到点M、点N的距离相等，求点P表示的数． (3)若点M与点Q之间的距离表示为，点M与点N之间的距离表示为，试探究在数轴上是否存在点Q，使得．若存在，请求出点Q表示的数是多少？若不存在请说明理由． 第2页（共5页） 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版数学七年级上册第二章 有理数及其运算 单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B D B A B A C 1．C 【分析】理解正负数在表示相反意义的量时的规定即可求解． 【详解】解：∵向南走3米记作米． ∴向南的相反方向为向北，记为负． ∴米表示向北走5米． 2．D 【分析】根据是否满足数轴的三要素逐项判断． 【详解】选项A：单位长度不同，不符合数轴的定义，不符合题意； 选项B：方向不对，不符合数轴的定义，不符合题意； 选项C：没有正方向，不符合数轴的定义，不符合题意； 选项D：满足数轴的定义，符合题意． 3．B 【分析】算出的绝对值等于，由此求出的值为． 【详解】解：， ． 4．B 【详解】解：规定水面为0，下潜记为负，上升记为正， 则， 即此时海豚离水面17米. 5．D 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴． ∵，互为倒数， ∴． ∵， ∴． ∴原式． 6．B 【详解】解：根据新定义，． 7．A 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有， 故墨迹盖住的整数不包括． 8．B 【分析】根据“高度每增加，气温大约降低”列出算式，计算即可． 【详解】解： 即该空中离地面高度约为． 9．A 【分析】根据有理数运算规律逐项进行计算即可． 【详解】解：，故①错误； ，故②错误； ，故③错误； ，故④正确， ∴正确的是④，共1个， 故选：A． 10．C 【分析】计算数轴上与之间的距离，根据圆的周长确定循环周期，结合环绕方向确定对应位置． 【详解】解：数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合， ∴数轴上表示的点与起点的距离为； ∵圆的周长为， ， ∴数轴上表示的点对应圆周上从开始沿环绕方向移动个单位的点， 数轴按逆时针方向环绕，且圆周上数字顺时针排列为， ∴圆周上数字逆时针排列为， ∴从开始逆时针移动个单位对应的数字是． 11． 【分析】比较两个负数的大小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，根据两个负数比较，绝对值大的数反而小判断结果． 【详解】解：，． 通分得，． ∵， ∴． 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 12．22 【分析】根据上车为正，下车为负的规则，列出总人数的算式计算即可． 【详解】解：根据题意，计算车上现有人数得： ， 因此车上还有22人． 13． 【详解】解：， ， ， ∴最后输出的结果是． 14． 或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合筛选出符合条件的取值，再分情况计算． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，若，；若，； 因此的值为或． 15． 【分析】先计算括号内的结果，再分别计算填入四个运算符号后的结果，比较大小得到答案． 【详解】解：∵先计算括号内的式子， ，分别计算填入不同运算符号的结果， 填入时，； 填入时，； 填入时，； 填入时，； 比较大小得， 填入运算符号时运算结果最小． 16． 【分析】先计算出折叠后点表示的数，再计算折叠前后两数的平均数即可． 【详解】解：∵折叠后，且点在点右侧， 又∵点表示的数为， ∴折叠后点表示的数为， ∵折叠前点表示的数为， ∴折点表示的数为． 17． 正整数集： 负整数集： 正分数集： 负分数集： 【分析】根据有理数分类规则，逐一判定给定数的类别，填入对应集合即可． 【详解】解：在，，，，，，，，，中， 正整数只有一个是3； 负整数有两个，分别是，； 正分数有三个，分别是，，； 负分数有四个，分别是，，，． 18．(1) (2)（或） (3) (4) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 19．(1)相反数的位置如图所示： 从小到大依次为： (2) 【分析】（1）根据相反数的定义和数轴上的点到原点的距离标出的位置；在数轴上比较数的大小，数从左到右依次变大，即可得这四个数的大小； （2）由数对应点与其相反数到原点的距离相等可知，数到原点的距离是个单位长度，又在原点左侧，即可得数的值． 【详解】（1）解：图略． 由图知，从小到大依次为：． （2）数对应点与其相反数对应点相距个单位长度， 数和数到原点的距离都为． 又数在原点左侧， 数表示的数为． 20．(1) (2)54 【分析】（1）根据新运算的定义即可计算的值． （2）根据x是绝对值为1的负整数，y是的相反数，即可求出、的值，再根据新运算的定义即可计算的值，最后再根据新运算的定义即可求的值． 【详解】（1）解：； （2）解：根据题意可知，，， ∴， ∴． 21．(1)有理数减法法则；转化 (2)加法交换律、加法结合律 (3)三 (4)原式 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 22．(1)8 (2) (3)第一周超市盈利元 【分析】（1）题目以元作为基准，正数表示比元高，负数表示比元低，想要最低单价，就找表格里最小的偏差数，用基准价加上这个偏差，算出最低单价； （2）先根据每天的偏差算出当日实际售价，再用“当日售价当日销量”算出每一天的销售额，对比七天销售额找到最大值和最小值，用最大值减去最小值得到相差的钱数； （3）先算出每天相对于基准元的总差价“偏差销量”并求和，再算出全部水果按进价元、基准售价元时的基础总利润，把两部分相加，结果为正就是盈利，为负就是亏损． 【详解】（1）解：这一周超市售出的水果单价最低的是星期日，最低单价是（元）； （2）解：（元）， （元）， （元）， （元）， （元）， （元）， （元）， 故销售额最多的一天是星期日，最少的一天是星期六， （元）， 答：该超市第一周销售额最多的一天比最少的一天多元； （3）解：（元）， （元）， （元）， 答：这一周超市出售水果盈利元． 23．(1)0 (2)1或； 【分析】（1）根据得出，即可求解； （2）根据题意可得a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负，然后进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵a，b是不为0的有理数，， ∴，则a、b异号，不妨设a为负，b为正， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c为两正一负，或a、b、c均为负， 当a、b、c中两正一负时，不妨设a、b为正，c为负： 则； 当a、b、c均为负数时：； 综上：的值为1或； 24．(1)8 (2)3 (3)或 【分析】（1）先求解点到原点的距离，再由点到原点的距离是点到原点的距离的4倍，即可求解点到原点的距离，根据点与点的位置求解即可； （2）根据题意可得点到点、点的距离都等于，由此计算即可； （3）先求解出，根据得到，再分2种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到原点的距离为2， ∵点到原点的距离是点到原点的距离的4倍， ∴点到原点的距离为8， ∵点在点的左侧， ∴数轴上点表示的数为8； （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴点、点的距离为， 又∵点到点、点的距离相等， ∴点到点、点的距离都等于， ∴点表示的数为； （3）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 当点在点的左侧时， 则点表示的数为； 当点在点的右侧时： 则点表示的数为； 综上，点表示的数为或． 答案第2页（共9页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $