5.5.2.2简单的三角恒等变换(二)课件2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

简单的三角恒等变换(二) 索引 课时精练 一、辅助角公式 二、三角恒等变换的实际应用 三、三角恒等变换与三角函数的性质 课堂达标 内容索引 辅助角公式 一 探究 (1)利用和差角的正弦公式,如何化简三角函数式sin α+cos α? 提示　sin α+cos α=sin. 4 (2)asin x+bcos x的化简结果是什么?主要步骤是什么? 提示　asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=. 第一步:提常数,提出, 得到; 第二步:定角度,确定一个角φ满足cos φ=,sin φ=, 得到(cos φsin x+sin φcos x); 第三步:化简、逆用公式得asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tan φ=. 5 1.asin x+bcos x=___________________,其中tan φ=,φ所在象限由a和b的符号确定. 2.asin x+bcos x的最大值为,最小值为-. 知识梳理 sin(x+φ) 6 asin x+bcos x=cos(x-θ)也是常用的化简形式. 温馨提示 7 (1)sin-cos=____________.  例1 sin-cos=2 =2=2sin =-2sin=-. - 8 (2)函数f(x)=sin+cos的最小正周期是____________,最大值是____________.  2π 　 f(x)= = =sin=sin, 所以函数f(x)的最小正周期为2π,最大值为. 9 1.辅助角公式其实质是两角和差公式的逆用,关键是把常数与化为三角函数. 2.利用辅助角公式将三角函数统一为复角的一种三角函数,不仅利用其化简求值,亦可进一步研究函数的基本性质. 思维升华 10 (1)(链接教材P227例9)函数f(x)=5cos x+12sin x的最小值为____________.  (2)+4cos220°=____________.  训练1 -13 4 (1)f(x)=13=13sin(x+φ),∴f(x)min=-13. (2)+4cos220°=+2(1+cos 40°)=+2cos 40°+2 =+2=+2=+2 =+2=4. 11 三角恒等变换的实际应用 二 12 (链接教材P227例10)如图,半圆的直径AB=2,O为圆心,C,D为半圆上的点. 例2 (1)请你确定点C的位置,使△ABC的周长最大,并说明理由; 如图,当C在半圆中点位置时,△ABC的周长最大.理由如下: 因为点C在半圆上,且AB是圆的直径, 所以∠ACB=, 即△ABC是直角三角形. 设BC=a,AC=b,∠ABC=α, 13 又AB=2,则a=2cos α,b=2sin α, △ABC的周长=a+b+2=2cos α+2sin α+2 =2(cos α+sin α)+2=2sin+2. 因为0<α<,所以<α+<, 所以当α+=,即α=时, △ABC的周长取得最大值2+2,此时C是半圆的中点. 14 (2)已知AD=DC,设∠ABD=θ,当θ为何值时,四边形ABCD的周长最大?并求出最大值. 因为AD=DC,所以∠ABD=∠DBC=θ,所以AD=DC=ABsin θ=2sin θ, CB=ABcos 2θ=2cos 2θ. 设四边形ABCD的周长为p, 则p=AD+DC+CB+AB=4sin θ+2cos 2θ+2 =4sin θ+2(1-2sin2θ)+2=5-4. 显然θ∈,所以当θ=时,p取得最大值5. 15 思维升华 1.解题的关键是合理地引入自变量,本题引入辅助角α,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题. 2.求解过程中注意三点:(1)充分借助平面几何性质,寻找数量关系;(2)注意实际问题中变量(角α)的范围;(3)重视三角函数有界性的影响. 16 有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大,最大面积是多少? 训练2 如图所示, 设∠AOB=θ, 则AB=asin θ,OA=acos θ. 设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·AB, 所以S=2acos θ·asin θ=a2·2sin θcos θ=a2sin 2θ. 17 因为θ∈,所以2θ∈(0,π). 因此,当2θ=,即θ=时,Smax=a2. 这时点A,D到点O的距离为a,矩形ABCD面积的最大值为a2. 18 三角恒等变换与三角函数的性质 三 19 已知函数f(x)=cos x(2sin x+cos x)-sin2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间及最小正周期; 例3 f(x)=cos x-sin2x=sin 2x+cos2x-sin2x =sin 2x+cos 2x=2sin, 令2x+∈,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.f(x)的最小正周期T==π. (2)若当x∈时,关于f(x)≥m的不等式____________,求实数m的取值范围,请选择①和②中的一个条件,补全问题(2),并求解,其中,①有解;②恒成立.  由x∈,得≤2x+≤π.因此-≤sin≤1,f(x)的值域为[-1,2]. 选择条件①, 即关于f(x)≥m的不等式有解,则m≤f(x)max=2, 所以实数m的取值范围为(-∞,2]. 选择条件②, 即关于f(x)≥m的不等式恒成立,则m≤f(x)min=-1. 所以实数m的取值范围为(-∞,-1]. 21 思维升华 1.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异.最终化为形如y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k的形式),这是解决问题的前提. 2.将ωx+φ看作整体,借助三角函数的性质,利用整体代换思想求解问题. (链接教材P230T17)已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期; 训练3 ∵f(x)=sin+2sin2=sin+1-cos =2+1 =2sin+1 =2sin+1, ∴f(x)的最小正周期为T==π. 23 (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 当f(x)取得最大值时,sin=1, 故2x-=2kπ+(k∈Z), 即x=kπ+(k∈Z), ∴所求x的集合为. 24 【课堂达标】 1.已知sin x+cos x=,则cos等于 A. B. C. D. √ ∵sin x+cos x=2sin=, ∴sin=, 则cos=sin=. 2 3 4 1 2.(多选)若函数f(x)=sin 2x+cos 2x,则 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为 C.函数f(x)的一个对称中心为 D.函数f(x)在上单调递增 √ √ f(x)=sin 2x+cos 2x=sin, ∴函数f(x)的最小正周期为π,函数f(x)的最大值为,故A错误,B正确. 由f=sin=≠0,故C错误. 由π<x<,得<2x+<.∴函数f(x)在上单调递增,D正确. 2 3 4 1 3.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=____________.  3sin x-cos x=2=2sin, 因为φ∈(-π,π),所以φ=-. - 2 3 4 1 4.函数f(x)=3sin x+5sin的最大值是____________.  f(x)=3sin x+5=sin x+cos x=7sin(x+φ), 所以f(x)max=7. 7 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知θ是钝角,那么下列各值中sin θ-cos θ能取到的值是 A. B. C. D. 因为sin θ-cos θ=sin, θ是钝角,即<θ<π,<θ-<, 所以1<sin≤, 故sin θ-cos θ能取到的值是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.函数f(x)=sin x+cos x的一个对称中心是 A. B. C. D. f(x)=sin x+cos x=sin, 四个选项中只有当x=-时,f=0,故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.若<α<π,则|cos α|+= A.0 B.2cos α C.sin D.cos 因为<α<π,所以|cos α|+ =-cos α+=-cos α+ =sin α-cos α=sin. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.等于 A. B.1 C. D. ====. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知cos=-,则cos x+cos的值是 A.- B.± C.-1 D.±1 cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x ==cos=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.已知函数f(x)=sin x+cos x+1在区间[0,2π]上有两个零点α,β(α<β),则sin(α-β)等于 A.- B.- C. D. √ 因为f(x)=sin x+cos x+1=2sin+1在区间[0,2π]上有两个零点, 所以sin=-,x+∈,所以x+=,所以x=, 又α<β,故α=,β=, 故α-β=-,故sin(α-β)=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)设函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x,则下列结论正确的是 A.f(x)的最大值为+1 B.f(x)的一个零点为x= C.f(x)的最小正周期为π D.y=f(x)的图象关于直线x=对称 √ √ √ f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=1+sin, 所以f(x)的最小正周期为π,f(x)的最大值为+1,A,C正确; 当x=时,sin=1, 所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,D正确; 因为f=1≠0,所以x=不是零点,B错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.y=3sin x+3cos x的最小正周期是_________,最大值是____________.  2π 6 y=3sin x+3cos x=6=6sin. 所以函数的最小正周期T=2π,最大值为6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若sin x+cos x=4-m,则实数m的取值范围是____________.  [2,6] sin x+cos x=2=2=2cos =4-m. ∵-1≤cos≤1,∴-2≤4-m≤2,∴2≤m≤6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α 的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=sin 2α,能够达到的最高高度为H=(1-cos 2α)(如图,其中g为重力加速度).若tan α=,则H与D的比值为____________.  　 =====tan α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最长? 设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsin α,OB=Rcos α, 所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α =R(sin α+cos α)+R=Rsin+R. 因为0<α<,所以<α+<, 所以当α+=,即α=时,l的最大值为R+R=(+1)R. 故当α=时,△OAB的周长最长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x,则下列说法正确的是 A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)关于直线x=-对称 D.f(x)在上单调递增 √ √ √ ∵f(x)=sin 2x+=(sin 2x-cos 2x)+=sin+, ∴f(x)max=+=, 最小正周期T==π. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当x=-时,sin=-1, ∴直线x=-为对称轴. 当x∈时,2x-∈, ∴f(x)在上单调递增, 综上有B,C,D正确,A不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为____________.  　 设∠POQ=θ,则PQ=sin θ,OQ=cos θ,∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ, 由sin 2θ>,得sin 2θ>.又2θ∈(0,π),∴<2θ<, 则<θ<,∴∠POQ的取值范围为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x. (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离; f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1. 函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值,以及此时x的取值. ∵x∈,∴2x+∈, ∴当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值为3; 当2x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值为0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.如图,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角α为____________来截.  或 设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形边长为b, 则=,=. 又a=GC+CF=bsin α+bcos α, 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 所以sin α+cos α=, 所以sin=. 因为0<α<,<α+<, 所以α+=,则α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知函数f(x)=2sin xcos x+2sin2x-1. (1)求f(x)在区间上的值域; f(x)=2sin xcos x+2sin2x-1=sin 2x-cos 2x=2sin. 因为x∈,所以-≤2x-≤, 所以-≤sin≤1. 故f(x)在区间上的值域是[-1,2]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若f(α)=-,且α∈,求cos 2α的值. 由f(α)=-,知sin=-<0, 又因为-≤2α-≤, 所以cos=. 故cos 2α=cos =coscos-sinsin =×-×=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $