5.5.2　简单的三角恒等变换(二)课件- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦简单的三角恒等变换，核心涵盖辅助角公式、积化和差及和差化积公式。课前通过“sinα+cosα化简”到“a sinx + b cosx一般形式”的问题链导入，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接和差角公式与新内容。 其亮点在于以一题多解（如典例1两种方法）和高考真题（2022新高考Ⅱ卷）应用，培养逻辑推理与数学运算素养。思维导图梳理知识结构，课堂练习强化公式应用，助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

5.5.2　简单的三角恒等变换(二) 素养目标 思维导图 1.理解辅助角公式并会正确运用 (数学运算). 2.利用所学公式进行三角恒等变换,总结三角恒等变换的方法(逻辑推理). 3.掌握三角恒等变换在实际问题中的应用(数学抽象、数学运算). 课前自主学习 问题1.利用和差角的正弦公式,如何化简三角函数式sin α+cos α? 提示:逆用两角和与差的正弦、余弦公式,即sin α+cos α=cos sin α+sin cos α =sin(α+),或sin α+cos α=sin sin α+cos cos α=cos(α-). 问题2.asin x+b cos x的化简结果是什么? 提示:asin x+b cos x=(sin x+cos x),若令cos α=,sin α= ,则原式可化为:asin x+bcos x=(cos αsin x+sin αcos x)=· sin(x+α).若令sin θ=,cos θ=,则原式可化为:asin x+bcos x =(sin θsin x+cos θcos x)=·cos(x-θ). 【核心概念】 (1)积化和差公式 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)] cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)] sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)] (2)和差化积公式 sin θ+sin φ=2sincos sin θ-sin φ=2cossin cos θ+cos φ=2coscos cos θ-cos φ=-2sinsin (3)结论:辅助角公式的两种形式 课堂合作探究 探究点一　两角和与差的三角函数公式的应用 【典例1】(1)(一题多解) 在△ABC中,2sin Bsin C=1+cos A,则△ABC一定是 (　　) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 (2)(一题多解) 计算sin2-sin2=　　　　.  【解析】(1)选A.方法一:由积化和差公式得 2sin Bsin C=2[-(cos (B+C)-cos (B-C))]=-cos (B+C)+cos (B-C)=cos A+cos (B-C) =1+cos A, 所以得cos (B-C)=1. 因为-π<B-C<π, 所以B-C=0,即B=C,故△ABC是等腰三角形. 方法二:由已知得2sin Bsin C=1+cos[π-(B+C)],2sin Bsin C=1-cos (B+C),2sin Bsin C =1-(cos Bcos C-sin Bsin C),sin Bsin C+cos Bcos C=1,cos (B-C)=1, 因为-π<B-C<π,所以B-C=0,即B=C,故△ABC是等腰三角形. (2)方法一:由公式sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)得sin2-sin2=sin()sin() =sinsin=. 方法二:sin2-sin2=(sin+sin) (sin-sin)=2sincos·2cossin =sinsin=. 方法三:sin2-sin2= =(cos-cos)=(coscos+sinsin-coscos+sinsin)=. 答案: 【类题通法】两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 1.由公式S(α±β),两式相加减,可以推出积化和差公式,通过代换法,又可以得到和差化积公式. 由公式S(α±β),两式相乘,可以进一步推出三角函数的平方差正弦公式: sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β). 2.由公式C(α±β),两式相加减,可以推出积化和差公式,通过代换法,又可以得到和差化积公式. 由公式C(α±β),两式相乘,可以进一步推出三角函数的平方差余弦公式: cos2α-cos2β=-sin(α+β)sin(α-β). 【定向训练】 1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,则 (　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 【解析】选C.由已知得sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β =2(cos α-sin α)sin β, 即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0, 所以tan(α-β)=-1. 2.求下列各式的值: (1)tan 10°+4sin 10°; (2)()·. 【解析】(1)原式== === ==1. (2)()· =· =· =· =·=·=·= ==32. 探究点二　利用辅助角公式研究函数的性质 【典例2】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,x∈(0,π). (1)若f(α)=,求α的值; (2)求函数f(x)的单调递减区间; (3)若f(x)在区间[,m]上的最小值为-2,求m的最小值. 【思维导引】(1)利用辅助角公式化简可得f(x)=2sin(2x+ ),代入求得答案; (2)结合正弦函数的单调性即可求得答案; (3)由已知确定2x+∈[,2m+],结合正弦函数的最小值求得答案. 【解析】由辅助角公式知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),x∈(0,π). …………2分 (1)已知f(α)=,即2sin(2α+)=⇒sin(2α+)=, 因为α∈(0,π),则2α+∈(,),所以2α+=或,可得α=或. …………………4分 (2)令z=2x+,x∈(0,π),则z∈(,).……………………………………5分 因为y=sin z,z∈(,)的单调递减区间是[,], …………………………………6分 则由≤z≤,得≤x≤, 所以函数f(x)的单调递减区间是[,]. ……………………………………8分 (3)当x∈[,m]时,2x+∈[,2m+], ……………………………………9分 f(x)在区间[,m]上的最小值为-2,令z=2x+,x∈(0,π),则z∈(,), 即y=sin z在[,2m+]上的最小值为-1. …………………11分 又因为z∈(,),所以≤2m+<, 即≤m<π,所以m的最小值为. ……………………………………13分 【类题通法】关于应用辅助角公式研究函数性质的注意事项 (1)辅助角公式: asin x+bcos x=sin(x+φ) 辅助角公式可以由两角和的正弦公式证明. (2)确定辅助角:辅助角公式中,tan φ=,且φ的终边经过点(a,b),一般地,辅助角φ的取值范围是(0,2π). (3)辅助角公式的作用: 形如f(x)=asin ωx+bcos ωx(ab≠0)的函数,都可以化为f(x)=sin(ωx+φ)的形式. 若|φ|>, 可以用三角函数的诱导公式再化简. 【定向训练】 已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由已知,得f(x)=-=(cos 2x+sin 2x)-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin(2x-), 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因为x∈[-,], 所以2x-∈[-,], 所以f(x)在区间[-,-]上单调递减,在区间[-,]上单调递增,且f(-)=-,f(-) =-,f()=, 所以f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-. 探究点三　三角恒等变换的综合应用 【典例3】(一题多解) 设x,y均为非零实数,且满足=tan . (1)求的值; (2)在锐角△ABC中,若tan C=,求sin 2A+2cos B的取值范围. 【解析】(1)方法一:换元法,因为x,y均为非零实数,且满足==tan , 令tan θ=,则=tan , 即tan (+θ)=tan , 所以+θ=+kπ,k∈Z, 即θ=kπ+,所以tan θ==1. 方法二:方程法,从方程的观点考虑,如果给等式左边的分子、分母同时除以x,则已知等式可化为关于的方程,从而可求出的值, 由题设知=, 可得=,把看作整体, 解得= ==tan =1. 方法三:辅助角公式,若注意到等式左边的分子、分母都具有xsin θ+ycos θ的结构,可考虑引入辅助角求解. 因为xsin +ycos =sin (+φ), xcos -ysin =cos (+φ),其中tan φ=, 由题设得tan (+φ)=tan . 所以+φ=kπ+π,k∈Z, 即φ=kπ+,k∈Z, 所以=tan φ=tan (kπ+)=tan =1. (2)在锐角△ABC中,若tan C==1, 则C=,A+B=,sin 2A+2cos B=sin 2(-B)+2cos B=-cos 2B+2cos B=-2cos 2B+2cos B+1 =-2, 在锐角△ABC中,B∈(,), 所以cos B∈(0,), 故sin 2A+2cos B的取值范围为(1,. 【类题通法】应用三角函数解决实际问题的步骤 三角函数的实际应用多与最值有关,解决这类问题的一般步骤如下: (1)审读题意,合理地选取“角”为自变量,建立三角函数关系式. (2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理,通常要整理为y=Asin(ωx+φ)+b的形式. (3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值. 【定向训练】 某小区拟用一块半圆形地块(如图所示)建造一个居民活动区和绿化区.已知半圆形地块的直径AB=4千米,点O是半圆的圆心,在圆弧上取点C,D,使得BC=DC,把四边形ABCD建为居民活动区,并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB,BC,CD和DA组成的塑胶跑道,其他部分建为绿化区.设∠COB=θ,且≤θ<. (1)求塑胶跑道的总长l关于θ的函数关系式; (2)当θ为何值时,塑胶跑道的总长l最长?并求出l的最大值. 【解析】(1)由已知得BC=CD=2OBsin =4sin ,∠AOD=π-2θ, 故AD=2OAsin =4sin(-θ)=4cos θ, 所以l=AB+BC+CD+DA=4+8sin +4cos θ,≤θ<; (2)l=4+8sin +4cos θ=4+8sin +4(1-2sin2)=-8sin2+8sin +8 =-8(sin )2+10≤10,≤θ<, 所以当θ=,sin =时,l取得最大值10千米. 课堂练习 1.(多选题)已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x,则 (　　) A.f(x)的最大值为3 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的图象关于点(-,1)对称 D.f(x)在[-,]上单调递增 √ √ 【解析】选BC.f(x)=sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1, 则f(x)的最大值为+1,故A错误; f()=sin(2×)+1=+1, 则f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确; f(-)=sin[2×(-)+]+1=1, 则f(x)的图象关于点(-,1)对称,故C正确; 当x∈[-,]时,2x+∈[-,], 则可得2x+∈[-,]时,函数单调递增; 当2x+∈[,]时,函数单调递减,故D错误. 2.将下列各式化为Asin(ωx+φ)的形式. (1)sin 2x-cos 2x=　　　　　.  (2)sin x+cos x=　　　　　.  【解析】(1)sin 2x-cos 2x=(sin 2x-cos 2x)=(sin 2xcos-cos 2xsin) =sin(2x-). 答案:sin(2x-) (2)sin x+cos x=2(sin x+cos x)=2(sin xcos+cos xsin)=2sin(x+). 答案:2sin(x+) 3.函数f(x)=3sin x+5sin(x+)的最大值是　　　　　.  【解析】f(x)=3sin x+5(sin x+cos x)=sin x+cos x=sin(x+φ) =7sin(x+φ), 所以f(x)max=7. 答案:7 4.化简:=　　　　　.  【解析】原式==2cos α. 答案:2cos α 谢 谢 $