5.5.2.1简单的三角恒等变换(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

简单的三角恒等变换(一) 索引 课时精练 一、半角公式 二、积化和差公式与和差化积公式 三、三角函数式的化简与证明 课堂达标 内容索引 半角公式 一 探究 我们知道在倍角公式中,“倍角是相对的”,对余弦的二倍角公式,思考下面问题: (1)如何用cos 2α表示sin2α,cos2α,tan2α? 提示　sin2α=(1-cos 2α), cos2α=(1+cos 2α),tan2α=. (2)如何用cos α表示sin2,cos2,tan2? 提示　在上述问题(1)中,以角“”代替“α”,可得sin2=(1-cos α), cos2=(1+cos α),tan2=. 4 1.半角公式 sin =___________, cos =__________, tan=___________. 以上称之为半角公式,符号由所在的象限决定. 2.tan==. 知识梳理 ± ± ± 5 公式中的正负号不能直接去掉,要根据所在范围选用符号. 温馨提示 6 (链接教材P226练习T2)已知sin α=-,π<α<,求sin ,cos ,tan 的值. 例1 ∵π<α<,sin α=-,∴cos α=-,且<<, ∴sin ==, cos =-=-, tan ==-2. 7 1.已知θ的某个三角函数值,求关于的三角函数值的步骤: (1)根据θ的取值范围,利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值; (2)注意的取值范围,代入半角公式计算. 2.注意公式的选取:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算. 思维升华 8 已知cos α=,且α是第四象限角,则tan =____________.  训练1 - ∵cos α=,且α是第四象限角, ∴sin α=-=-, 则tan ===-. 9 积化和差公式与和差化积公式 二 10 1.积化和差 sin αcos β=___________________; cos αsin β=_____________________; cos αcos β=_____________________; sin αsin β=______________________. 知识梳理 [sin(α+β)+sin(α-β)] [sin(α+β)-sin(α-β)] [cos(α+β)+cos(α-β)] -[cos(α+β)-cos(α-β)] 11 2.和差化积 sin θ+sin φ=____________________; sin θ-sin φ=____________________;  cos θ+cos φ=_____________________;  cos θ-cos φ=_____________________.  2sin cos  2cos  sin  2cos  cos  -2sin  sin  12 求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值. 例2 法一　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)] =+(cos 100°-cos 40°+sin 70°) =+(-2sin 70°sin 30°+sin 70°) =+(-sin 70°+sin 70°) =. 13 法二　sin220°+cos250°+sin 20°cos 50° =(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°) =(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°) =(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10° =(1-cos 40°)+cos 50°cos 10° =(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°) =. 14 思维升华 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想. 15 (1)若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于 A.- B.- C. D. √ 训练2 由已知得2sin cos ==×2sin sin , 易得0<<π,-<<,∴sin >0, ∴cos =sin , 即tan =,∴=,∴α-β=. 16 (2)已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β=____________.  m 由已知得sin(α+β)·sin(β-α)=-sin(α+β)·sin(α-β)== =cos2α-cos2β=m. 三角函数式的化简与证明 三 18 (链接教材P230习题5.5T15)求证:=sin 2α. 例3 法一 左边==== =cos αsincos=sin αcos α=sin 2α=右边, 所以原等式成立. 法二　左边==cos2α·=cos2αtan α=cos αsin α =sin 2α=右边. 所以原等式成立. 所以原等式成立. 思维升华 1.三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同. (4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. (5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 思维升华 2.化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等. 已知π<α<,化简:. 训练3 由π<α<,得<<,所以cos<0,sin>0. 故原式===-=-sin. 22 【课堂达标】 1.若cos α=,α∈(0,π),则cos的值为 A. B.- C. D.- √ 由题意知∈, 所以cos>0,cos==. 2 3 4 1 2.已知sin θ=-,3π<θ<π,则tan的值为 A.3 B.-3 C. D.- √ ∵3π<θ<,sin θ=-, ∴cos θ=-,tan==-3. 2 3 4 1 3.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=____________.  由θ∈可得2θ∈, 易得cos 2θ=-=-, ∴sin θ==. 　 2 3 4 1 4.sincos化为和差的结果是________________________.  sincos= =[cos(A+B)+sin(A-B)]. [cos(A+B)+sin(A-B)] 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知cos α=-,<α<π,则sin等于 A.- B. C.- D. 由<α<π可知<<, 故sin===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.化简的结果是 A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1 由于0<1<,知cos 1>0, 原式===cos 1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知sin 2α=,则cos2= A.- B.- C. D. cos2====. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.已知sin α=,cos α=,则tan 等于 A.2- B.2+ C. -2 D.±(-2) 法一　因为sin α=,cos α=,所以tan ==-2. 法二　因为sin α=>0,cos α=>0, 所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一或第三象限, 所以tan >0,故tan ===-2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.设-3π<α<-,化简的结果是 A.sin +cos B.-cos -sin C.cos -sin D.sin -cos ∵-3π<α<-,∴-<<-. ∴sin >0,cos <0,= ===sin -cos . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为 A.- B. C. D.- √ sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50° =(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°) =-sin 50°+cos 40° =-sin 50°+sin 50°=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.若α∈(0,π),且3sin α+2cos α=2,则tan等于 A. B. C. D. √ 因为α∈(0,π),且3sin α+2cos α=6sin·cos+2(2cos2-1)=2, 所以6sincos+4cos2=4, 则3sincos+2cos2=2, 所以==2, 解得tan=或tan=0(舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.化简:=____________.  1 原式===1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.(链接教材P226练习T3)等腰三角形顶角的余弦值为,那么这个三角形的一个底角的余弦值为____________.  　 设等腰三角形的底角为α,顶角为β,则α=-,cos β=, 所以cos α=cos=sin==. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.若cos θ=-,且θ∈,则sin+cos=____________.  - ∵cos θ=-,且θ∈(-π,0),∴θ∈, 则-<<-, 故cos+sin=-=-=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.设α∈,化简:. ∵α∈,∈, ∴cos α>0,cos <0, 故原式=====-cos. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.cos 23°-cos 67°+2sin 4°·cos 26°= A.- B. C.- D. √ 法一　∵cos 23°=cos(45°-22°)=cos 45°cos 22°+sin 45°sin 22°, cos 67°=cos(45°+22°)=cos 45°cos 22°-sin 45°sin 22°, sin(4°-26°)=sin 4°cos 26°-cos 4°sin 26°=-sin 22°, sin(4°+26°)=sin 4°cos 26°+cos 4°sin 26°=sin 30°, ∴原式=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°) =sin 22°+-sin 22°=. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 法二　cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26° =-2sin sin +[sin(4°+26°)+sin(4°-26°)] =2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°) =sin 22°+-sin 22°=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.化简:··=____________.  tan 原式=··=· =·==tan . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求cos的值. 因为α为钝角,且sin α=, 所以cos α=-=-. 又β为锐角,且sin β=, 所以cos β==. 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =-×+×=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由于<α<π,0<β<,所以0<α-β<π, 所以0<<, 则cos>0. 所以cos===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.若<α<2π,化简+=____________.  - 由已知得<<π,所以tan <0, 所以+=--tan =-=-=-=-. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=. 由已知,得sin A+sin B=-sin C,① cos A+cos B=-cos C.② 所以2sin cos =-sin C,③ 2cos cos =-cos C.④ 因为当cos =0时,sin C=cos C=0不成立, 所以cos ≠0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由③÷④,得tan =tan C, 所以cos(A+B)===cos 2C. 由①2+②2,得2+2cos(A-B)=1, 即cos(A-B)=-, 所以cos2A+cos2B+cos2C =(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C) =+[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C] =+=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 47 $