1.1.3 集合的基本运算-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 1.1.3集 学习目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义， 能求两个集合的交集与并集 2.了解全集的含义，理解在给定集合中 求一个子集的补集的含义，会求给定子集的 补集. 3.能用维恩图表示集合的基本运算，体 会表示集合的各种直观图对理解抽象概念的 作用 要点精析 川要点1交集 1.交集的定义：一般地，给定两个集合 A,B,由既属于A又属于B的所有元素 (即A和B的公共元素)组成的集合，称为 A与B的交集，记作A∩B,读作“A交B” 图形表示： 图1-1-2 注：维恩图中的阴影部分表示A∩B. 2.交集运算的性质：对于任意两个集合 A,B,都有： (1)A∩B=B∩A: (2)A∩A=A; (3)A∩☑=0∩A=0: (4)如果A二B,则A∩B=A,反之也成立. 思考你能用维恩图表示交集运算的 各种情况吗？ 10)学 合的基本运算 川要点2并集 1.并集的定义 一般地，给定两个集合A,B,由这两 个集合的所有元素组成的集合，称为A与B 的并集，记作AUB,读作“A并B” 图形表示： 图1 图2 图1-1-3 注：如图1、图2都表示AUB. 2.并集的性质 对于任意两个集合A,B,都有： (1)AUB=BUA; (2)AUA=A; (3)AU☑=☑UA=A; (4)如果ACB,则AUB=B,反之也 成立 注：两个集合作并集运算时，公共元素 只出现一次 思考你能用维恩图表示并集运算的 各种情况吗？ 川要点3补集 1.全集的定义：在研究集合与集合之间 的关系时，如果所要研究的集合都是某一给 定集合的子集，那么称这个给定的集合为全 集，通常用U表示。 2.补集的定义：如果集合A是全集U 的一个子集，则由U中不属于A的所有元 素组成的集合，称为A在U中的补集，记 作CA,读作“A在U中的补集”. 图形表示： 图1-1-4 3.补集运算具有的性质： (1)AU(CA)=U; (2)A∩(CA)=☑； (3)G(CA)=A; (4)(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C); (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC). 思考你能用维恩图解释补集运算的 性质吗？ 例1(1)已知全集U={x1≤x≤7， x∈N},集合A={1,4,7},B={3,4,6}, 则A∩B= ；AUB= (CA)∩B= ；(CA)U(CB)= (2)已知全集U={xx≥-5}，集合A={x -1<x≤2，B=x-3≤x<1},则A∩B= AUB= (CA)UB= (CA)U(CB)= 分析根据集合交、并的定义进行运 算即可，对于离散数集可以借助维恩图解 决；对于特征性质为不等式的集合运算， 、可以借助数轴辅助运算 反思感悟 解决集合运算的问题，当集合是用列： 举法表示时，可以通过列举集合的元素得 到所求集合；当集合是用描述法表示时， (如不等式形式表示的集合)，则可以借助 数轴进行求解.解决集合的混合运算问题 时，先算括号内的部分，再求括号外的 部分 第一章集合与常用逻辑用语。 变式训练① 已知全集U=R,集合A={xl-2<x≤2}， 集合B={x-1<x≤1}，则下列集合运算正确 的有（) A.A∩B=A B.B(GA) C.A(CB)=D.AU(CB)=R 例2(1)已知全集U={xlx<10,x∈ N,A,B为U的子集，A∩(CB)=2,3}, A∩B={5,7},(CA)∩(CB)={1,4,9},则 A= B= (2)已知M,N为集合I的非空真子集， 且M,N不相等，若N∩(cM)=☑，则MU N=() A.M B.N C.I D. 分析根据集合交、并的定义进行运 算即可，对于离散数集和抽象集合可以借 助维恩图解决，抽象集合也可以利用满足 条件的具体集合来验证 反思感悟 对抽象集合的运算关系进行化简或者 判断时，可以通过举例子或者维恩图将抽 象问题具体化 B变式训练2 用图形直观表示集合的运算关系，最早 是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运 算关系的图形称为“欧拉图”.后来，英国逻 辑学家约翰·维恩在欧拉图的基础上创建了 世人所熟知的“维恩图”.如图1-1-5中的区 域Ⅱ表示集合() 学 N 高中数学必修第一册人教B版 AⅡ ⅢB 图1-1-5 A.A∩B B.A∩(CB) C.(GA)∩B D.(CA)∩(cB) 例3(1)已知集合A={-4,2a+1, a},B={a-5,1-a,9},若9∈A∩B,则实 数a的取值范围为 (2)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={2a 1l,2},CA=5,则实数a的值为 分析根据运算结果逆求集合或参数， 要注意分类讨论和检验集合元素的互异性. B变式训练3 集合A=1,号，B=xm-1=0, 若A∩B=B,则所有实数m组成的集合是 例4已知集合A={1,2,3,4,5,9}, B={xVx∈A},则C(A∩B)=() A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3}D.{2,3,5} 分析由集合B的定义求出B,结合 交集与补集运算即可求解. 例5某班有36名学生参加数学、物 理、化学课外探究小组，每名学生至多参加 两个小组，已知参加数学、物理、化学小组 的人数分别为26,15,13，同时参加数学和 物理小组的有6人，同时参加物理和化学小 组的有4人，则同时参加数学和化学小组的 有 人 12)学 分析解决本题，可以用以下两种方 法：一是找出实际问题中人数对应的集合， 再根据维恩图即可列出方程求解；二是直接 使用容斥原理列方程求解。 反思感悟 在求解满足要求的集合元素个数的时 候，可以利用维恩图进行求解，或者利用 容斥原理解方程，在利用维恩图求解此类 问题时，先利用维恩图表示集合运算，将 每一部分集合所对应的元素个数填写到相 应的集合中，利用已知条件列方程（组） 求解问题， P变式训练4 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中 有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生 喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学 既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生 总数的比例是() A.62% B.56% C.46% D.42% 数学文化 例1集合运算中的元素个数问题： 在部分有限集中，我们经常遇到有关集 合中元素个数的问题，我们常用维恩图表示 两集合的交、并、补.如果用card表示有限 集合元素的个数，即card(A)表示有限集 A的元素个数，则有如下结论： (1)card(A UB)=card(A )+card (B)- card(A∩B); "(2)card(A UBUC)=card(A )+card(B)+ card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩ C)+card(A∩B∩C). 这一结论在计数上称为容斥原理.结合 维恩图对这两个结论进行证明. 第一章集合与常用逻辑用语。 例2集合论是德国数学家康托尔(G, Cantor)于I9世纪末创立的.在他的集合理 论中，用card(A)表示有限集合中元素的个 数，例如：A={a,b,c},则card(A)=3.若 对于任意两个有限集合A,B,有card(AUB) =card(A)+card(B)-card(A∩B).某校举办运 动会，高一（1)班参加田赛的学生有14 人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的 有5人，那么高一(1)班参加本次运动会 的人数共有() A.28 B.23 C.18 D.16 分析设参加田赛、径赛的同学组成 集合，再由集合论即可得解. 学(13综上所述，a=1.故选B. 例6解：若则1经检验，不满足集合元素 y=x2, y=1, 的互异性，含去 (v=l 若0则，或 1=2, 当=1时，不满足元素 ly∈Ry=O. 的互异性；当x=-1,y=0满足元素的互异性， x=-1,y=0,∴a25+y2=-1. 变式训练50,1,2,4【解析】A=0,1,2}, a∈A,b∈A,.'.ab=0或ab=1或ab=2或ab=4,故B=abl a∈A,b∈A}=0,1,2,4. 数学文化 例10，-8，-18}【解析】当a=0时，B=☑，此时 满足B二A,两个集合之间构成“全食”，符合条件 当a0时，V名，名 当名=号时，构成“全食”，解得a=8:当 √名号时，构成全食，解得。=18 综上所述，a的取值集合为0，-8，-18. 例2C【解析】依题意，A=1,2,3},故A的真子集 个数为7.故选C 1.1.3集合的基本运算 要点精析 例1(1)4)1,3,4,6,7}3,61,2,3,5， 6,7}(2)(-1,1)[-3,2][-5,1]U(2,+∞)[-5 -1]U[1,+∞)【解析】(1)A∩B=4),AUB= {1,3,4,6,7}.又C4=2,3,5,6,CB= (1,2,5,7},.(CA)∩B=3,6},(CA)U(CB)= 1,2,3,5,6,7. (2)借助如图所示的数轴，可知A∩B=(-1,1), AUB=[-3,2],(CA)UB=[-5,1]U(2,+∞)， (CA)U(CB)=C(A∩B)=[-5,-1]U[1,+o). -5-3-112 例1答图 变式训练1D【解析】由题意，得A∩B={-1<x≤1}= B,∴.A错误；CA={xlt≤-2或x>2,B错误；CB={xl x≤-1或x>1),A∩(CB)=xl-2<x≤-1或1<x≤2}，C错 误；AU(CB)=R,D正确.故选D. 例2(1)2,3,5,7{5,7,6,8}(2)A 参考答案。 【解析】(1)U=(1,3,4,5,6,7,8,9},结合图1 可得，A={2,3,5,7,B=5,6,7,8. M A B 2,3（5,76,8 1,4,9 CM 图1 图2 例2答图 (2)方法一：由N∩(CM)=可知，N与M无公共 元素，.NCM,结合图2的维恩图，可得MUN=M,故 选A. 方法二：取1=(1,2,3,4,5}，M=(1,2,3,则 CM=4,5},可取N={1,2)满足题意，验证B,C,D 不正确，故选A. 变式训练2B【解析】由题图知，区域Ⅱ表示元素在 集合A中，且不在集合B中，故区域Ⅱ表示集合A∩ (CuB).故选B. 例3(1){-3,4)(2)2【解析】(1)9∈A∩B, .9∈A且9∈B, 2a叶1=9或a=9,解得a=4或a=±3. 当a=4时，A=-4,9,16,B=-1,-3,9},符合 题意； 当a=-3时，A=-4,-5,9外，B=-8,4,9},符合 题意； 当a=3时，a-5=1-a=-2,集合B中元素不满足互异 性，故a≠3. 综上所述，a的取值范围为-3,4. (2)CA=5,.5eU且5EA, .a2+2a-3=5,解得=-4或a=2 当a=-4时，A=9,2,U=2,3,5},A不是U的 子集，故舍去 .∴.a=2. 变式训练3{-1,0,2}【解析】：A∩B=B,BCA, B=②或B1或号引0或a=1或m2. 所有实数m组成的集合是{←1,0,2. 例4D【解析】A=1,2,3,4,5,9},B=Vx∈ A},B={1,4,9,16,25,81,则A∩B=(1,4,9}, C(A∩B)={2,3,5.故选D. 例58【解析】方法一：设参加数学、物理、化学课 外探究小组的学生构成的集合分别为A,B,C,同时参 加数学和化学课外探究小组的有x人，由题意可得如图 所示的维恩图. 27 N 高中数学必修第一册人教B版 (26-6-x) 6 (15-10) 4(13-4-x） 例5答图 由全班共36名学生，可得 (26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36. 解得=8. .同时参加数学和化学小组的有8人 方法二：设参加数学、物理、化学小组的学生构成 的集合分别为A,B,C,则card(AUBUC)=36. card (A )=26,card(B)=15,card(C)=13,card(AB)=6. card(BnC)=4,card(A∩C)=x,card(A0BOC)=0,则 同时参加数学和化学小组的有x人，由全班共36名学 生可得26+15+13-6-4-x=36,解得x=8. .同时参加数学和化学小组的有8人 变式训练4C【解析】由题意，该中学既喜欢足球又 喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为0.6+0.82 0.96=0.46..该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占 该校学生总数的比例为46%.故选C. 数学文化 例1证明：(1)如图1，A∩B区域里的元素出现两 次，.并集区域的元素个数等于各个集合中元素个数和 减去公共区域元素个数和，.结论(1)成立. (2)如图2，.A∩B,A∩C,B∩C区域里的元素分 别出现两次，而A∩B∩C区域里的元素出现三次， .AUBUC区域中元素个数，应该等于A,B,C区域内 的元素个数和减去A与B,A与C,B与C的公共区域 元素个数，再加上三个区域的公共部分的元素个数， .结论(2)成立. A∩B A A∩B∩C B∩CG A∩B B A∩C C 图1 图2 例1答图 28 例2C【解析】设参加田赛的学生组成集合A,则card (A)=14, 参加径赛的学生组成集合B,则card(B)=9, 由题意，得card(A∩B)=5, ..card(A UB)=card(A )+card(B)-card(AB) =14+9-5=18, .高一(1)班参加本次运动会的人数共有18人. 故选C >"1.2常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 要点精析 例1②④⑤④【解析】①是疑问句，不是命题；② 是命题，·一个数还可以是0，.②是假命题：③是感叹 句，不是命题；④是命题，有人喜欢足球，也有人不喜 欢足球，∴④是真命题；⑤是命题，当x=0时，该命 题不成立，⑤是假命题. 变式训练1ABC【解析】3能整除15，能判断真假， A是命题；x2+2x+1=(x+1)2≥0，B是命题；4不小于 2能判断真假，∴.C是命题；“你准备考北京大学吗？” 是疑问句，不是陈述句，且无法判断真假，D不是命 题.故选ABC. 例2解：(1)全称量词命题，Hn∈N,n≥0，真 命题. (2)存在量词命题，3x∈R,x2≥2.取x=2,则x2= 4≥2，真命题 (3)存在量词命题，3平行四边形，它的对角线不 互相垂直.当平行四边形不是菱形时，其对角线不互相 垂直，真命题. (4)存在量词命题，3aeR,函数y=a+b的值随x 的增大而增大.当a心0时，则函数y=ax+b的值随x的增 大而增大，真命题 变式训练2D【解析】x=0∈N,x>0不成立，故A 错误；CRQ表示无理数，不存在x∈CQ,x∈Z,故B 错误；当x=2时，2x-3<0不成立，.x∈R,2x-3<0 不是真命题，故C错误；当x=1时，2x2-3x+1=0, 3x∈Z,22-3x+1=0,故D正确.故选D. “例3解：(1)由题意，可知不等式x2-a≥0在xe [1,2]上恒成立，即a≤x2在x∈[1,2]上恒成立，令 =x2,则ym=l,∴.a≤1，故实数a的取值范围为(-∞，1] (2)由题意，可知存在x∈[1,2]，使得不等式x2 a≥0成立，即存在x∈[1,2]，使a≤x2成立，令y=2, 则ym=4,.a≤4，故实数a的取值范围为(-∞，4].