精品解析：江苏南京田家炳高级中学2026-2027学年十月阶段练习高二数学

南京田家炳高级中学2026-2027学年十月阶段练习 高二数学 2026.10 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ） A. B. 0 C. 2 D. ±2 3. 已知，且夹角为，则（ ） A. 8 B. 12 C. D. 2 4. 已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A. 2 B. 1 C. D. 5. 底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 7. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. (0，] B. (，] C. (，] D. (，] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 10. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ） A. 事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 11. 棱长为2的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（　　） A. 与是异面直线 B. 与所成角为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，若，则实数的值为__________. 13. 在中，已知，.若最长边的长为，则最短边的长为__________. 14. 在矩形中，，，为线段上的动点，过作的垂线，垂足为，则的最小值是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为． （1）求的解析式； （2）若，，求实数m的最小值． 16. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），. （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k． （1）试用k来表示点M和N的坐标； （2）求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式； （3）当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值． 19. 已知圆过点，，且圆心在直线：上 （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； （3）若为圆上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京田家炳高级中学2026-2027学年十月阶段练习 高二数学 2026.10 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数化简，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】，， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2. 已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ） A. B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去， 时，方程可化为，方程化为，平行． 故选：A. 3. 已知，且夹角为，则（ ） A. 8 B. 12 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 4. 已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 5. 底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中的条件求出圆柱底面直径与高，再利用圆柱轴截面矩形的对角线为圆柱的外接球的直径，由此求出圆柱的外接球的半径，即可求得表面积. 【详解】 设圆柱的底面直径与高为，则圆柱的体积为，解得， 则外接球的直径为，即圆柱的外接球的半径为， 则圆柱的外接球的表面积为， 故选：B. 6. 已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得.  而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则，  当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 7. 若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 8. 已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ） A. (0，] B. (，] C. (，] D. (，] 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，为的最大值点，根据在上恰有1个零点，结合三角函数图象，列不等式求出实数ω的取值范围. 【详解】由得， ， 所以，即， ， 因为，，， 因为在上恰有1个零点， 所以 ①，无解， ②，解得， 综上，实数ω的取值范围为， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A. B. 为定值 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析 直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨 注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 10. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ） A. 事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先画出树状图，由，不可能同时发生可判断A；求得，，，的值，可判断C、D；利用可判断B． 【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数， 不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确； ，，，，故C正确，D正确； 因为，，则，则事件与事件不独立，故B错误， 故选：ACD． 11. 棱长为2的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（　　） A. 与是异面直线 B. 与所成角为 C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为6 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的定义判断即可；对于B，根据异面直线所成角的几何求法求解即可；对于C，根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可；对于D，根据面面平行的判定定理判断点的轨迹，结合几何关系求解即可. 【详解】由展开图还原正方体如下图所示， 对于A，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，故与是共面直线，A错误． 对于B，因为，所以即为与所成的角． 因为，所以为等边三角形，所以，故与所成角为，B正确． 对于 C，因为平面，平面，所以． 又，，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面，C正确． 对于D，由正方体性质可知平面． 取，，，，中点，，，，，连接，，，，，， 则平面平面，点的轨迹为正六边形的边， 所以点的轨迹长度为，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故答案为：或. 13. 在中，已知，.若最长边的长为，则最短边的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系和两角和差正切公式可求得和，由此可确定最长边和最短边，利用正弦定理可求得结果. 【详解】，，，，； ，又， ，为最大角，则，又，，即最短边为， 由正弦定理得：，即最短边的长为. 故答案为：. 14. 在矩形中，，，为线段上的动点，过作的垂线，垂足为，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，设（），设，由垂直求得，再计算得出关于的表达式，利用基本不等式可得最小值． 【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，，，，， 在线段上，设（），， 设，则， 因为，所以，， ， ， 时，， 时，，当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 综上，的最小值是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为． （1）求的解析式； （2）若，，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最大值得到，得到函数解析式； （2）先根据求出，求出，从而得到实数m的取值范围，得到答案. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 当时，即时，． 因为恒成立，所以即可，即恒成立， 因此m的最小值为． 16. 江苏农科所在同一块试验田种植了A，B两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. （1）求a的值； （2）求B品种小麦千粒重的中位数； （3）用频率估计概率，从A，B两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量至少有一个不低于45g的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得， （2）根据中位数的求法求得品种小麦千粒重的中位数， （3）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 根据题意可得 ，解得； 【小问2详解】 设品种小麦千粒重的中位数为， 由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为. 【小问3详解】 法一：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于， 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于， 则又相互独立， 所以 . 法二：设事件分别表示从两个品种中取出的小麦的千粒重不低于 则， 事件表示两个样本小麦的千粒重至少有一个不低于 又相互独立，所以相互独立， ， . 17. 如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），. （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 在正三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 又因为面， 所以面面. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先由垂直底面得到，又因为，则由线面垂直的判定定理得到平面，而面，最终证明面面； （2）在平面中，作于点E，由平面得，又因为，可得平面，故为与平面所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到的值，最终计算出其正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面中，作于点E. 由（1）可知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 因此为与平面所成的角. 因为在正三棱柱中，为正三角形， 由平面，平面，得， 所以D为BC的中点，. 在Rt中，，即， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k． （1）试用k来表示点M和N的坐标； （2）求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式； （3）当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值． 【答案】（1）；. （2） （3）当时，，S取得最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程组可解得结果； （2）利用两个三角形面积相减可得结果； （3）换元，令，，再根据基本不等式可求出结果. 【小问1详解】 由已知得直线l斜率存在，设． 由，得；又，所以. 由，得． 【小问2详解】 . 【小问3详解】 设，则． ， 当且仅当时，等号成立． 19. 已知圆过点，，且圆心在直线：上 （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； （3）若为圆上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）设， 得到，问题转换成到距离的最小值，即可求解. 【小问1详解】 由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即， 所以半径， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由恰好平分圆的圆周，得经过圆心， 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得， 所以， 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即； 【小问3详解】 设， 则 其中表示到距离的平方， 将代入，即在的内部， 由圆心到的距离为，圆的半径为， 所以到距离的最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $