江苏南京市第十三中学2026-2027学年高二上学期数学10月月考复习卷4

2025级高二数学10月月考复习卷4 班级 姓名 学号 命题：李倩 审校：张慧 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知向量和向量b不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是() A.a+b,-a-b B.a-2b,-2a+4b C.2a+3b,6+4b D.2+b,4a+2b 【答案】C 【解析】选项A:因为a十b=一（-a一b), 所以十b和一一b共线，不可以作为基底，故选项A错误： 选项B:因为a-2》=号2a十40). 所以a一2b和一2十4b共线，不可以作为基底，故选项B错误： 「6k=2 选项C:设2a+30=M6a+4.则4k=3无实数解， 即2a十3b和6a十4b不共线，可以作为基底，故选项C正确： 选项D:因为2a+b=2(4a+2b), 所以2十b和4十2b共线，不可以作为基底，故选项D错误. 2.复数亡在复平面内对应的点所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 所以复数亡在复平面内对应的点为（一分》：是第二象限点 3.记△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=2且C-牙则c的 值为() A.2 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】由余弦定理，c2=a2+b2-2 abcosC=-1+4-2×1×2X(-为=7， 2025级高二数学10月月考复习卷4第1页共9页 所以c=√ 4.将一个斜边长为1的直角三角形绕其斜边旋转一周，所得几何体体积的最大值为 () A若 B.5 c D. 27 【答案】C 【解析】设直角三角形两直角边为a,b,斜边为c,则c=1, 设斜边上高为，则旋转体为两个共底圆锥，体积为： V=号r0h+)=3re号r, 由面积关系c-b,故r=b, 内勾殿定理1.则生少号当月仅当a6 2 之时等号成立，故mx=》 211 最大体积mx知品x×分=2 5.若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的 距离为3，则c的取值范围是() A.(-0,17) B.(-17,13) C.(-13,17) D.(-12,18) 5.【答案】C 6.一个袋子中有编号为1~10的10个小球，每名同学有放回地摸球5次，记录每次摸到的 球的编号，现有四名同学的统计结果如下，其中可能摸到过编号为10的小球的是() A.平均数为5，极差为4B.中位数为5，极差为4 C.平均数为5，方差为4D.中位数为5，众数为4 【答案】D 【解析】设5次编号从小到大为x1≤x2≤x3≤x4≤x5,平均数为x,若摸到10，则最大值x5 =10, 选项A,由极差为4，x5=10,则x1=6,此时5个数均大于或等于6，总和大于等于30， 所以x≥6≠5，选项A错误： 选项B,由极差为4，x5=10,则x1=6,所以6≤x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤10，因此中位数不可 能为5，选项B错误； 选项C,若平均数为5，则x1十x2十x3十x4十x5=25,又x5=10,所以x1十x2十x3十x4=15, 因为方差为4，所以=-玉+-户+图P+4-+一五)卫=4， 5 2025级高二数学10月月考复习卷4第2页共9页 则(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+(x5-x)2=20,而x5-x)2=(10-5)2=25> 20,不合题意， 所以选项C错误： 选项D,若中位数为5，众数为4，则至少有两个4，又摸到10，所以4,4,5,6,10， 这种情况即可满足条件，因此选项D正确. 7.从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是() 1品 4 B.11 6 C. n 【答案】B 【解析】从正方体的十二条棱中任选两条，共有c3=2XL=6种， 2 与AA1互为异面直线的棱有BC,B1C1,CD,CD1,共4条， 故所有互为异面直线的棱的对数共有2-24， 故这两条棱所在直线互为异面直线的概率是44 E6611 D A B D B 8.如图，为了测量两座山顶A,B之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的C,D两 点进行测量，在C点测得∠ACB=75°，∠ACD=45°，在D点测得∠ADB=∠BDC= 30°，己知A,B,C,D在同一个铅垂面内，则两山顶A,B之间的距离是（) D A.30-V10)千米 B.(W30+V1o)千米 C.(3W3-3)千米 D.(3V3+3)千米 【答案】A 【解析】在△ACD中，∠ACD=45°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°， 2025级高二数学10月月考复习卷4第3页共9页 所以∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=75°， sim75°=sim45°+30°)=sn45°cos30°+cos45°sn30°-Y25+2,36+E 22中22 4 cos75°=cos45°+30°)=cos45°cos30°-simn45°5in30°-2,35Y2,26-y2 2222 4 AC 由正弦定理sin∠AC-sin/c4D得AC=S2sm60° CD 2X5 2 sin75 V6+V2 =3V2-V6, 4 △BCD中，∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，∠BDC=30°， 所以∠CBD=180°-120°-30°=30°=∠BDC, 所以BC=CD=2. △ABC中，BC=2,AC=3N2-V6,∠ACB=75°， 所以由余弦定理AB?=BC2+AC”-2 BCXACcos.∠ACB =4+24-12V5-2x2x3V2-V66=YE =104-2W3) =10W3-1)2. 所以AB=10xW阝-1)=V30-V10. 故两山顶A,B之间的距离是(30一√1o)千米. 二、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目标者得1分，未击中 3 2 者得0分.甲每次击中目标的概率为4，乙每次击中目标的概率为3，假设每人每次射击的结 果互不影响. (1)第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率： (2)在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同.现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一 轮结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮.加赛 不超过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局， ()求加赛满三轮的概率； ()求甲获胜的概率. 【小问1详解】 设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B, 2025级高二数学10月月考复习卷4第4页共9页 所以P④-手，PB-系，PA)=1-子-是，P(B)=1-是-， 2 31 111 第一轮比赛结束后，两人得分为0分的概率为P(AB)=P(A)P(B)=4×3=2, 111 所以第一轮比赛结束后，两人得分不为0分的概率为1-P(AB)=1一12=12 【小问2详解】 们设G表示事件“加赛中第1=1,2，》轮平局”，所以P(C)=P4B十PB)- 2117 ×3+4×3=12, 要使加赛满三场，则前两场必须平局， 7 49 所以加赛满三场的概率为P(C1C)=(2)2-144, 311 ()若甲第一轮加赛胜出，则甲中乙不中概率为：4×3=4， 7317 若甲第二轮加赛胜出，则第一轮平局，第二轮甲中乙不中概率为：12×4×3=48， 773149 若甲第三轮加赛胜出，则前两轮平局，第三轮甲中乙不中概率为：12×12×4×3=576， 1749277 所以甲获胜的概率为：4+48+576=576. 10.如图1，将一边长为2的正六边形ABCDEF沿着对角线AD进行翻折，四边形ADEF翻 折至四边形ADMN,得到五面体ABCDMN,如图2所示. 图1 图2 (1)求证：BN/平面CDM; (2)若AN⊥CD,求DM与平面ABCD所成角的余弦值， 【答案】(1)证明：翻折的过程中，MN//AD,BC/AD,所以BC//N,又MN=BC, 所以四边形BCMN为平行四边形，BN/CM.又CMC平面CDM,BNt平面CDM, 所以BN//平面CDM. 29. 【小问1详解】略 2025级高二数学10月月考复习卷4第5页共9页 【小问2详解】 如图，连接AC,CN,在正六边形中，AD=2CD=4, ∠ADC=60°，所以AC⊥CD,AC=4sin60=2N3, 又AN⊥CD,AN∩AC=A,AN,ACc平面ACN,则CD⊥平面ACN 又CDc平面ABCD.故平面ACN⊥平面ABCD, 作NG⊥AC于点G,因平面ACNn平面ABCD=AC,则NG⊥平面ABCD, 所以∠NWAC为AN与平面ABCD所成角】 因CD⊥平面ACN,NCc平面ACN,则NC⊥CD,CNP=DWP-CD=AC”-ANP, AN 23 所以ANLCN,cos∠WMC=AC=2W5=3, 由对称性得DM与平面ABCD所成角的大小等于AN与平面ABCD所成角的大小， 3 所以其余弦值为3. 11. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(2c-b,2,=(cosB,1), 且满足m/m. (1)求A: (2)设D在BC上且AD平分∠BAC ①)若a=4,AD=2V3,求△ABC的面积： (若b=4,c=6,M为线段AB的中点，CM与AD交于点Q,求CQ的长. 【答案】(1)A=3 413 (2)(i)43;(i)7 【小问1详解】 因为m=(2c-b,2a),n=(cosB,1),且满足m/n. 所以2c-b=2ac0sB, 由正弦定理可得：2sinC-sinB=2 sinAcosB, 因为在△ABC中，sinC=sin[T一(A+B)]=sinm(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 代入化简得：2 cosAsinB-sinB=0, 2025级高二数学10月月考复习卷4第6页共9页 1 因为在△ABC中，sinB≠0，所以2cosA-1=0,即cosA=2, 因为A∈(0，)，所以A=3 【小问2详解】 (i)因为D在BC上且AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC=6, 11 π1 由等面积，可得2 bcsin3=2c·AD·sin6+2b·AD·sin6, 化简得：bc=2(b+c), Jπ 由余弦定理可得：a2=b+c2-2 bccos3, 即16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=4bc2-3bc,解得：bc=16(负数值舍去)， 所以△ABC的面积为2 bcsin3=4V3; (ii)因为D在BC上且AD平分∠BAC,b=4,c=6, 所股-台- 2 3 所以AD=5AB+5AC, 2 3 因为e在AD上，设A0=mAD=mGAB+AC)①， e在cM上，CM=-Ac+2aB,设c0=CM=n(-Ac+2iB, MAQ-AC+CO-AC+n(-C+74B)-(-AC+4B. 2u2 5=2 联立①与②，可得3迦，，解得4： 5=1-n (n=7 所以c0-就-B就 c0=-号c:=×36+9×16-2x号xx6x4x行-8， 16 241208 2025级高二数学10月月考复习卷4第7页共9页 413 所以CQ的长7. 12.己知圆01x2+y2=1,圆O2与圆O1关于直线y=x十2对称，圆03x2+y2=2x+8y+ 19. (1)求圆O2的方程： (2)设P为直线y=4上一点，过点P作圆O1的切线，切点分别为CD,求PC·PD的取值范 围； (3)设Q为圆O3的任意一点，过点Q向圆O1引切线，切点为M,试探究：平面内是否存 在一定点0，，使得兴为定值若有在，请求出定点N的坐标，并求出定值，若不有 在，请说明理 【答案】(1)x+2)2+y-2)2=1 105 (2)[8,+∞) 14 171 (3)存在N(-17,-1⑦)或N-1,-4)18或2 【详解】(1)，圆O1与圆O2关于直线y=x十2对称，设圆O2的圆心为(b), ∫ a=-1 a=-2 gb ，解得1b=2∴圆02方程为(+2)2+y-2)2=1. 2-2+2=0 1 (2)由相切，知OC LPCODLPD,设∠OPC=a OP-=入（入≥4），则sina=入， 故PCPD=PCHPD1·cos∠CPD=|PCP.cos2a=(OPP-1)1-2sin2a)=(λ2-1)1- 2 =X2+-3(入≥4)， 令=0≥10，易知-4十月-316+四)单增故P元p方≥16+品-3-1g(当1=16 2105 105 时取等号)，PCPD的取值范围是[8，十∞)， (3)由题设，Q,y)满足方程x2+y2=2x+8y+19, JOM2 若存在Nm,),使ON=k为定值， 而0M2=x2+y2-12N2=(x-m)2+(y-m2,∴x2+y2-1=x-m2+y-m2, 整理得(1-)x2+y2)=2+n2)-2-2y+1, 2025级高二数学10月月考复习卷4第8页共9页 将x2+y2=2x+8y+19代入，得(1-)(2x+8y+19)=m2+-2k-2y+1, 整理可得(2-2k+2k)x+(8-8k+21k)y+18-19k-m2+2)=0, 2-2k+2k=0 OM 要使ON2=k为定值，则 8-8k+2nk=0 18-19k-m2+2)=0 m=-17 (=一1 、4 Jn=-4 解得) n=-17或) 1 17 k=2 k=18 .1OM2 171 综上，存在N-17,-17)或M-1,一4)，使ON=k为定值，该定值对应为18或2， 2025级高二数学10月月考复习卷4第9页共9页2025级高二数学10月月考复习卷4 班级 姓名 学号 命题：李倩 审校：张慧 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知向量a和向量b不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是() A.+b,--b B.a-2b,-2m+4bC.2m+3b,6+4b D.2a+b,4a+2b 2复数千在复平面内对应的点所在的象限为《） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3记△4BC的内角4,8，C的对边分别为am,b,c,已知a=1,b=2且C-号，则c的值 为() A.2 B.5 C.V6 D.Vi 4.将一个斜边长为1的直角三角形绕其斜边旋转一周，所得几何体体积的最大值为( A若 B.5 c.贵 5.若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距 离为3，则c的取值范围是() A.(-∞，17) B.(-17,13) C.(-13,17) D.(-12,18) 6.一个袋子中有编号为1~10的10个小球，每名同学有放回地摸球5次，记录每次摸到的 球的编号，现有四名同学的统计结果如下，其中可能摸到过编号为10的小球的是() A.平均数为5，极差为4 B.中位数为5，极差为4 C.平均数为5，方差为4 D.中位数为5，众数为4 7.从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是() A合 B告 c D.H 8.如图，为了测量两座山顶A,B之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的C,D两点 进行测量，在C点测得∠ACB=75°，∠ACD=45°，在D点测得∠ADB=∠BDC=30°， 已知A,B,C,D在同一个铅垂面内，则两山顶A,B之间的距离是() D 2025级高二数学10月月考复习卷4第1页共5页 A.(N30-V10)千米B.(W30+V10)千米C.(3V3-3)千米D.(3W3+3)千米 二、解答题：本大题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分13分)甲、乙两人参加射击比赛，规定两人各射击目标一次为一轮，击中目 标者得1分，未击中者得0分.甲每次击中目标的概率为乙每次击中目标的概率为污，假 设每人每次射击的结果互不影响. (1)第一轮比赛结束，求两人得分和不为0分的概率： (2)在前20轮的比赛中，恰好两人得分相同.现决定进行加赛，规则如下：加赛中某一轮 结束后，有人得分高于另一人，则得分高的人获胜，加赛结束，否则继续下一轮.加赛不超 过三轮，若三轮结束后得分相同，则为平局. (i)求加赛满三轮的概率： （ⅱ)求甲获胜的概率。 2025级高二数学10月月考复习卷4第2页共5页 10.(本题满分15分)如图1，将一边长为2的正六边形ABCDEF沿着对角线AD进行翻 折，四边形ADEF翻折至四边形ADMN,得到五面体ABCDMN,如图2所示. A 图1 图2 (1)求证：BN/平面CDM; (2)若AN⊥CD,求DM与平面ABCD所成角的余弦值. 2025级高二数学10月月考复习卷4第3页共5页 11.（本题满分15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(2c一b,2, n=(cosB,1),且满足m/n. (1)求A; (2)设D在BC上且AD平分∠BAC, (i)若a=4,，AD=2W3,求△ABC的面积： (i)若b=4,c=6,M为线段AB的中点，CM与AD交于点Q,求CO的长. 2025级高二数学10月月考复习卷4第4页共5页 12.（本题满分17分)己知圆O1:x2+y2=1,圆O2与圆O1关于直线y=x+2对称，圆03：x2 +y2=2x+8y+19 (1)求圆O2的方程： (2)设P为直线y=4上一点，过点P作圆O1的切线，切点分别为CD,求PC·PD的取值 范围； (3)设Q为圆O3的任意一点，过点Q向圆O1引切线，切点为M,试探究：平面内是否存在 一定点V加，m,使得器为定值？若有在，请求出定点N的坐标，求出定值：若不在在。 请说明理由 2025级高二数学10月月考复习卷4第5页共5页