5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

二倍角的正弦、余弦、正切公式 索引 课时精练 一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 二、给值求值 三、倍角公式的综合运用 课堂达标 内容索引 二倍角的正弦、余弦、正切公式 一 探究 在两角和的正弦、余弦、正切公式中,若令α=β,你能得出什么结论? 提示　sin 2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α; cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α-sin αsin α =cos2α-sin2α; tan 2α=tan(α+α)=. 4 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 知识梳理 2sin αcos α 2cos2α-1=1-2sin2α   公式 简记 正弦 sin 2α=_______________ S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=_____________________ C2α 正切 tan 2α= T2α 5 2.常用的二倍角公式的变形: (1)1+cos 2α=_____________;(2)1-cos 2α=_____________; (3)cos α=;(4)1±sin 2α=______________________.  2cos2α 2sin2α (sin α±cos α)2 6 (1)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是的2倍这就是说,“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间的关系的. (2)正切二倍角的范围:α≠+且α≠kπ+,k∈Z. 温馨提示 7 (链接教材P223练习T5)求下列各式的值: (1)sin cos ;(2);(3)cos4-sin 4. 例1 (1)原式=×2sin cos=×sin =. (2)原式=×=×tan 45°=. (3)原式==cos2-sin2=cos =. 8 1.注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用二倍角公式. 2.掌握二倍角公式S2α,C2α,T2α中名称和结构的特点,如系数、次数等.并结合诱导公式恰当变换函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公式的形式. 思维升华 9 求下列各式的值: (1)sin2-cos2.(2).(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 训练1 (1)原式=-=-cos =-cos=cos =. (2)原式=×=tan(2×255°) =tan(360°+150°)=tan 150°=-tan 30°=-. (3)原式=2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°=·sin 40°cos 40° cos 80°=sin 80°cos 80°=·sin 160°==. 10 给值求值 二 11 √ (1)若tan α=,则cos2α+2sin 2α= A. B. C.1 D. 例2 原式=cos2α+4sin αcos α===. 12 (2)已知sin=,0<α<,则的值为____________.  ∵0<α<,sin=, ∴-α∈,cos=, ∴原式== =2sin=2cos =2cos=. 13 思维升华 解决给值求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. (2)当遇到±α这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式,将条件与结论进行转化. 14 (链接教材P222例6)已知<α<π,sin α=. (1)求tan 2α的值; 训练2 ∵<α<π,且sin α=,∴cos α=-=-, 则tan α=-. 故tan 2α===. 15 (2)求cos的值. ∵cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-, sin 2α=2sin αcos α=2××=-, ∴cos=cos 2αcos+sin 2αsin =-×+×=-. 16 倍角公式的综合运用 三 17 已知△ABC的三个内角为A,B,C,f(B)=4cos Bsin2+cos 2B-2cos B. (1)若f(B)=2,求B的大小; 例3 f(B)=4cos B·+cos 2B-2cos B =2cos B(1+sin B)+cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+cos 2B =sin 2B+cos 2B=2sin. 因为f(B)=2,所以2sin=2, 即sin=1. 所以2B+=+2kπ,k∈Z. 又因为0<B<π,所以B=. 19 (2)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围. 由题意知f(B)-m>2恒成立, 即2sin>2+m恒成立. 因为0<B<π, 所以<2B+<, 所以2sin∈[-2,2], 所以2+m<-2,所以m<-4, 故实数m的取值范围是(-∞,-4). 20 思维升华 1.倍角公式与三角函数的综合应用,要注意公式的灵活运用,融会贯通,在解决具体问题时,要注意题目中的隐含条件,要会对三角函数值的符号进行判断. 2.三角形中的三角函数,注意题目中角的范围限制,其最多只有一个直角或钝角,正弦值均为正、余弦和正切值并不一定为正. 已知函数f(x)=2cos,x∈R. (1)求f(π)的值; 训练3 f(π)=2cos=-2cos =-2×=-. 22 (2)若f=,α∈,求f(2α)的值. 因为f=2cos=-2sin α=,所以sin α=-. 又α∈,所以cos α===, 所以sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=. 所以f(2α)=2cos=2cos 2αcos +2sin 2αsin =2××+2××=. 23 【课堂达标】 1.下列各式中,值为的是 A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.2sin215° D.sin215°+cos215° √ 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,A错误; cos215°-sin215°=cos 30°=,B正确; 2sin215°=1-cos 30°=1-,C错误; 显然选项D取值为1,D错误. 2 3 4 1 2.若sin=,α∈,则tan 2α= A.- B. C.- D. √ 因为sin=cos α=,α∈,所以sin α=,所以tan α=, 所以tan 2α===-. 2 3 4 1 3.已知sin=,则cos=____________.  因为sin=, 所以cos=cos=cos 2=1-2sin2=1-2×=. 　 2 3 4 1 4.设α∈(2π,3π),的化简结果为____________.  因为2π<α<3π,所以π<<,且<<, 所以====2sin. 2sin 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于 A. B. C. D.1+ 原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin 30°=1+=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.若sin α=-3cos α,则tan 2α= A. B.- C. D.- 因为sin α=-3cos α,所以tan α=-3, 所以tan 2α===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.化简:= A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2 C.cos 2 D.-cos 2 ==|cos 2-sin 2|, ∵2弧度角的终边位于第二象限, ∴sin 2>0,cos 2<0, ∴=sin 2-cos 2,故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.已知sin θ=,sin θ·cos θ<0,则sin 2θ的值为 A.- B.- C. D. 由sin θ=,sin θ·cos θ<0,则cos θ<0, 所以cos θ=-=-, 所以sin 2θ=2sin θcos θ=-2××=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知tan θ=,则cos 2θ= A. B. C. D. 因为tan θ=, 所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.若sin 2α=-,则cos2的值为 A.- B.- C. D. √ cos2=====. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)下列各式中,值为的是 A. B.cos2-sin2 C.cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45° D. √ √ 选项A,==sin 60°=; 选项B,cos2-sin2=cos=; 选项C,cos 15°sin 45°-sin 15°cos 45°=sin(45°-15°)=sin 30°=; 选项D,=tan 30°=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.已知sin(α+π)-cos(α+3π)=,则sin 2α=____________.  　 由题设,得cos α-sin α=, ∴1-2sin αcos α=,则sin 2α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.+的值为____________.  4 原式=====4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知cos=,则sin=_________,sin 2α=____________.  　 - 因为α+=α-+, 所以sin=sin=cos=. 因为2α=2+, 所以sin 2α=sin=cos2=2cos2-1=2×-1=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.化简:. 原式= = ===-4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.已知sin-cos α=,则sin的值为 A.- B.- C. D. √ ∵sin-cos α=sin α+cos α-cos α=sin=, ∴sin=-,故sin=cos =1-2sin2=1-2×=. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.若sincos=-,则cos 4α=____________.  　 sincos=sincos=-cos2 =-=-, 所以sin 2α=-, 所以cos 4α=1-2sin22α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知角α在第一象限且cos α=,求的值. ∵cos α=且角α在第一象限,∴sin α=. ∴cos 2α=cos2α-sin2α=-, sin 2α=2sin αcos α=, 原式===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都广泛应用,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则等于 A.4 B.+1 C.2 D.-1 √ 由题意可知2sin 18°=m=,所以m2=4sin218°, 则====2. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知sin -2cos =0. (1)求tan α的值; 由sin -2cos =0, 知cos ≠0,所以tan =2, 所以tan α===-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求的值. 由(1)知tan α=-, 所以== ==·=·=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $