5.5.1 第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过两角和公式推导引入，明确公式结构及降幂、升幂等变形，搭建从和角公式到二倍角公式的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象为基础推导公式，结合数学运算设计“给角求值”“给值求值”等典例，通过“明辨是非”判断题强化公式适用条件，培养逻辑推理能力。解题策略总结助力学生掌握化简证明方法，既深化学生对公式的理解与应用，也为教师提供系统教学资源。

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 【学习目标】 1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.(数学抽象、直观想象) 2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式,并能利用公式进行简单的化简、求值、证明.(数学抽象、数学运算) 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 项目 公式 简记 正弦 sin 2α=__________ S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=________=________ C2α 正切 tan 2α= T2α 2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α 2.常见二倍角公式的变形 cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α); 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2; 降幂公式:sin αcos α=sin 2α; cos2α=;sin2α=. 升幂公式:1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α. [点睛] (1)二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍角,α是的二倍角等,“倍”是描述两个数量之间关系的,这里蕴含着换元思想. (2)对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义,即α≠+kπ且α≠-+kπ且α≠+kπ(k∈Z).当α=+kπ及α=-+kπ(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=+kπ(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求出tan 2α=tan(π+2kπ)=0. (3)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆,尤其是后两种.若对后两种形式不确定,可以记住第一种,再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种. (4)一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α. (5)倍角公式的逆用能开拓思路,我们要熟悉这组公式的逆用形式.例如, sin 3αcos 3α=sin 6α. (6)和角公式与二倍角公式之间的联系: 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角.( ) 提示:二倍角的正弦、余弦公式中,角的取值范围是任意实数. (2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.( ) 提示:取α=kπ(k∈Z),则等式成立. √ √ (3)对任意角α,总有tan 2α=.( ) 提示:在二倍角的正切公式中,α≠kπ+且α≠+(k∈Z). (4)2sin 222.5°-1=.( ) 提示:2sin 222.5°-1=-cos 45°=-. × × 类型1 给角求值(数学抽象) 【典例1】(多选)下列各式的值为的是(　　) A.cos 2-sin 2 B.-1+2cos 215° C. D. √ √ 【解析】选AD.对于A:cos 2-sin 2=·(cos 2-sin 2) =cos (2×)=,故A正确; 对于B:-1+2cos 215°=cos(2×15°)=,故B错误; 对于C:因为tan 45°==1,所以tan 222.5°+2tan 22.5°-1=0, 解得tan 22.5°=-1+或tan 22.5°=-1-(舍去), 所以,故C错误; 对于D:,故D正确. 【解题有招】 利用二倍角公式化简求值的两类方法 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 【即学即练】 求下列各式的值: (1)2cos2-1; (2); (3)cos 20°cos 40°cos 80°. 【解析】(1)原式=cos =cos(4π+)=cos . (2)原式==2×=2×=2. (3)原式== =. 类型2 给值求值(条件求值)(数学抽象) 【典例2】(教材P221例5改编)已知cos,0<α<2π,求sin,cos,tan的值. 【解析】由0<α<2π,得0<<,所以sin, 所以sin=2sincos=2×;cos=cos2-sin2=()2-()2=-; tan=-. 【解题有招】 给值求值的解题策略 (1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: ①有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; ②寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. (2)注意几种公式的灵活应用,如: ①sin 2x=cos(-2x)=cos[2(-x)]=2cos2(-x)-1=1-2sin2(-x). ②cos 2x=sin(-2x)=sin[2(-x)]=2sin(-x)cos(-x). 【即学即练】 (2026·镇江高一检测)已知角α,β满足cos α=-,sin β=,且0<α<π,-<β<. (1)求sin(α-2β)的值; (2)求+β的大小. 【解析】(1)因为cos α=-,0<α<π,所以sin α=. 因为sin β=,-<β<,所以cos β=. 所以sin 2β=2sin βcos β=2×,cos 2β=1-2sin 2β=-, 所以sin(α-2β)=sin αcos 2β-cos αsin 2β=. (2)因为cos α=-,0<α<π,所以<α<π, 因为sin β=,-<β<,所以0<β<,<+β<π,cos α=2cos 2-1=-, 得cos ,sin , 则cos (+β)=cos cos β-sin sin β=-,因为<+β<π,所以+β=π. 类型3 利用倍角公式化简与证明(逻辑推理) 【典例3】(1)若π<α<,则-=　　　.  【解析】因为π<α<,所以<<,所以cos <0,sin >0, 所以原式=- =-=-(sin +cos )-(sin -cos )=-sin . 答案:-sin (2)证明:··=tan . 【证明】···· ·=tan . 【解题有招】 1.三角函数式化简的“三看”原则 三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”“弦化切”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 2.证明三角恒等式的原则及一般方法 (1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想. (2)证明的一般方法是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的. 【即学即练】 1.cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°=　　　　　.  【解析】原式=cos 20°cos 40°cos 80°= == . 答案: 2.证明下列恒等式: (1)1+sin α=; (2). 【证明】(1)右边==sin 2+cos 2+2sin cos =1+sin α=左边,故1+sin α=成立. (2)左边===右边, 故成立. 教材深一度 万能公式 (链接教材P226练习T1) (1)sin 2α=;　(2)cos 2α=; (3)tan 2α=. 由以上可知,只要求出某一个角的半角的正切值,就可以求出该角的任一个三角函数值,因此以上公式称为万能公式. 【典例4】已知tan=2,则cos 2α=(　　) A.- B.- C.- D.- 【解析】选D.因为tan=2,所以tan α==-,则cos 2α==-. √ 【典例5】已知θ∈(π,2π)且sin ,求: (1); (2)sin θ+2cos θ. 【解析】因为θ∈(π,2π),所以∈(,π),所以cos =-=-=-. 设t=tan =-. (1)=t=-. (2)sin θ+2cos θ=+2·==-. $