高二数学上学期期中模拟卷（人教A版选择性必修第一册全册，高效培优·提升卷）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 2．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为，， 图中直线对应的倾斜角分别为， 由图可知为钝角，即， ，即， 所以. 3．已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，代入 ，得 . 所以 ，. 点 到直线 的距离为 . 又 ，当且仅当 时等号成立. 因此 . 4．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 5．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 可得,,,, 所以，平面中, 设平面的一条法向量为，有即令得，，所以； 设直线与平面所成角为则. 7．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 8．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点，均在上．下列结论不正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 【答案】C 【详解】对于A，由，得，所以E的准线方程为，A正确； 对于B，设直线的方程为，联立，得， 若与没有公共点，则，解得或， 又，所以，B正确； 对于C，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切，则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，，， 根据倾斜角的定义，， 而，此时， 即，这与为等边三角形矛盾，C错误； 对于D，当时，直线的方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示过的任何直线 B．经过两点的直线方程为 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【详解】选项A，点斜式要求斜率存在，即不能表示垂直于轴的直线，A错误； 选项B，∵，∴直线斜率存在，代入点斜式， 即，B正确； 选项C，∵两直线垂直，∴，解得或， 即“”可以推出“或”，但“或”推不出“”， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件，C正确； 选项D，∵直线的斜率，即， 又倾斜角，解得，D正确. 10．在空间直角坐标系中，则（     ） A．||=4 B．△ABC是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为（，，） D．{}可以作为空间的一个基底 【答案】BD 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，，，且，所以，故B正确； 对于C，，与平行的单位向量有两个，分别为和，题干只列出其中一个，故C错误； 对于D，若，由各坐标相等得，，． 由前两式得，从而且； 再由第三式得，所以． 因此，，线性无关，三者可以作为空间的一个基底，故D正确． 11．过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】设，其中， 易得，准线方程为，则，得， 则，故A正确； 若，则，即， 则，即，得， 故，故B错误； 设直线， 联立，得，则， 因为，所以，， 联立，得， 则， 故，同理可得， 故直线的斜率为 （斜率不存在的直线与抛物线只存在唯一交点）， 因为直线与直线平行，所以，得（负值舍去）， 故C正确； 若，则直线的斜率为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在三棱锥中，，则_______． 【答案】/ 【详解】因为 13．已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 【答案】 【详解】圆，即， 所以圆是圆心为，半径为的圆. 由于，所以点在圆外. 当直线l斜率为0时，直线的方程为， 圆C上有四个点到直线l距离为，不合题意， 设直线l：，则由题意C到l的距离等于，即， 解得，故直线的斜率为. 14．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 【答案】 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中， (1)求边的高线所在的直线的方程； (2)求边上中线所在的直线的方程 (3)的外接圆的圆心坐标 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）直线的斜率为， 所以所求直线斜率为， 又边的高线经过点， 所以边的高线所在的直线的方程为，即. （2）因为，所以的中点， 所以直线的斜率为， 所以边上中线所在的直线的方程为， 即. （3）的中点，， 所以中垂线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为，即， 的中点，， 所以中垂线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为，即， 联立，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. 16．（15分）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由可得，则， 化简整理得，即圆的方程为； （2）①解法一：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，此时，故直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立方程组得，化简整理得， 则， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 又，，则， 所以，解得， 又，所以，解得，则， 所以，， 由弦长公式； 解法二：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，则，， 由相交弦定理可得，解得， 所以. ②由，则，即， 又点在圆上，则， 所以，代入上式可得， 化简整理得， 又知对任意动直线均满足，所以，消去可得， 整理得，解得或， 当时，点与原点重合，舍去，所以. 17．（15分）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）将代入椭圆方程， 可得，整理得：. 由. 设直线与椭圆的交点为，， 则，， 所以. 又， 所以，故的值为. （3）如图， 当直线方程为时，； 当直线斜率不为0时，可设其方程为，代入椭圆方程， 得， 整理得：. 设，，则，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，为. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2)． (3)点N为上靠近点C的三等分点． 【详解】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． （2）由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 19．（17分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 【答案】(1) (2)（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在定点，使得为定值，且该定值为 【详解】（1） 设圆的圆心坐标为，半径为， 由题可得圆的圆心坐标为，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 因为，， 所以圆内含于圆， 因为圆与圆相切且与圆内切， 则此时圆与圆内切，且，，， ， 所以圆心的轨迹为椭圆，焦点为，， 有，，， 所以的方程为. （2）（i）已知， 化简整理得，， 或， 当时，，过定点，不符合题意，舍去； 当时，，过定点. （ii）存在.理由如下： ，，， 所以， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分， 故当点为的中点，即点为以为直径的圆的圆心， 即时，，为定值， 所以，存在定点，使得为定值，且该定值为. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1 2 3 4 6 7 8 B A B A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD BD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 /10 12.20.5 13. 7 14 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 3-01 【详解】(1)直线BC的斜率为Kc=-1-52, 所以所求直线斜率为2， 又BC边的高线经过点 (3,4) 所以8C边的高线所在的直线的方程为”-4=2x-3),即2x-y-2=0,(4分) (2)因为 A(3,4),C(5,0 ,所以4C的中点 _M(4,2) 3-21 所以直线的斜率为w=一45 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以4C边上中线BM所在的直线)的方程为y-2=-x-4), 即x+5y-14=0.(9分) （3)4AC的中点M42.6e-智2 所以AC中垂线的斜率为2， 所以4C中垂线所在直线的方程为”-2- 2x-4),即x-2y=0, 3 BC的中点 2 所以BC中垂线的斜率为2， 所以BC中垂线所在直线的方程为'一2 -3=2(x-2）,即4x-2y-5=0, 5 x= 3 联立[x-2y=0 解得 5, 4x-2y-5=0 6 55 所以△ABC的外接圆的圆心N坐标为 3'6 (13分) 16.(15分) 【解折】(1)由NG=3MC可得1NC=9MC,则(x-2+(-9=9[x-2+0-] 化简整理得x-2+y=9,即圆C的方程为K-2+少=9,4分) (2)①解法一：在圆C的方程中令y=0,可得x=-1或x=5, 所以四C交*轴于点0(-L0.P60)此时Or=50心，放直发4不与维垂合。 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 设直线1B的方程为X=m,设点1(，）、B(x,)】 x=my 联立方程组得(x-2)2+y2=9,化简整理得(m2+1)y2-4my-5=0, =16m2+20m2+1>0 则 4m 5 由韦达定理可得+%m+,4=m+1, 40=308，所uOA=3B0 因为 x=-3x2 又0A=(x,),B0=(-x,-y2),则=-3y2, 2m 所以+2=-22=2+1，解得y2=一m2+, 又=-3y2=-5 m+L,解得m 7,则m+1=12 5 ， 所以0y+3尸=，16m216x 7_35 7 23535_415 由孩长公武=+丽-为+7+-5-号×)+写9,0分) 解法二：在圆C的方程中令y=0,可得x=-1或x=5, 所以圆C交*轴于点(-1.0.P5,0),则o=5o0- 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由相交弦定理可得0410A-30B=1OP-0g=5,解得1OA= 3， 所以4=O4+OA=4O6=4 3 ②由40=A,则40=Ar,即+片=[G-+] 又点4在圆上，则(：-2)}°+片=9 所以=9-(6-2，代入上式可得+9-(：-2=[G-+9-(名-2] 化简整理得4+5=2(4-2刘x+2(+S). 4=22(4-21） 又知对任意动直线均满足，所以5=(？+5)，消去可得亏P+5 44-2t 整理得4+10=0：解得1=0或=， 当1=0时、点T化0)与原点OE合，合去，所以1=-(5分 17.(15分) c=1 a=2 a 2 c=1 【解析】(1)由题意， a2=b2+c2→b=5 所以椭圆r的标准方程为：4+3=1.(4分) (2)将y=x+m代入椭圆方程4+3 可行不+，整理得：7+8x+-0 由△=(8m-4x7x4(m-3>0→m<7 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 女+ 设直线y=x+m与椭圆4+3=1的交点为M(,)N(x,) 则+名= 4(m2-3) 22 7, --6+5-4(-习.p-) 7 49 又W=1+k-=V2×4W5x7-m_24 7 7, 所以m=1<7,故m的值为±1.(10分) (3)如图， F 当直线方程为”=0时，0106=4 当直线，斜率不为0时，可设其方程为x=-1代入椭圆方程4+31， -+上-1 得43， 整理得：(3r+4y2-60-9=0 6t -9 设A(飞，)，B(x,),则y+%3+4,别3+4， 9261232+4_-122+4 所以xx=(,-104-1)=⅓y4-1(3+4)+1=32+432+4+3+4=30+4, -122+49-122-5-4+,11 所以0A.0B=xx4+yy432+432+432+4 312+41 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,115 当？-0时，01.06取得最大值，为4+4-4(15分) 18.(17分) 【解析】(I)证明：'PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD, ∴.PA⊥BC 又BP⊥BC,且PA∩BP=P,PA,BPc平面PAB, ∴.BC⊥平面PAB, 又BCc平面PBC, .平面PBC⊥平面PAB.(5分) (2)由(I)知BC⊥平面PAB,ABc平面PAB,故BC⊥AB, .BCIIAD,∴AB⊥AD, 又PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 故以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设BC=,则BP=反AD=2 ,则 :∠BAC=45°，BC⊥AB ∴.AB=BC=1PA=V√BP2-AB2=V2-1=1 则BL0,0).CL1.0)P00,1) 所以BC=0L,0,BF=(←10，) w为p0中点，放公3》 6/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向量N-》 设平面PBC的法向量 =(x,y,z) n.BC=0 y=0 由n-BP=0,即-x+z=0, 令2=1，得 =(1,0,1) 设直线AN与平面PBC所成的角为B, 则sin0s AN.列6 AN3· 6 故直线AN与平面PBC所成角的正弦值为3，(10分) (3)由(2知BL,00).C,10)P00,1) 设Pw=PG0≤元<1).PC=(L,-). 则PN=a-2）,N=即+PW=(-01+(22,-A)-a-121-2) 设平面1BN的一个法向量为”=(，，)，4B=(,00). n4B=x=0 则z·BN=(2-1)x+y+(1-)名=0' 令=，则”=0，-L) 设平面BwC的一个法向量为乃=西，为），BC=(0,10) m·BC=y2=0 则12BN=(-1)x+元y+(1-2)z,=0: 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令31，则及=.0，) :平面ABN与平面BNC夹角的余弦值为Y0 5 ..cos n'n a-1+.P+ 5， 整理得：322-8元+4=0， 2 解得2=3或元=2（舍去)， 因此，点N为PC上靠近点C的三等分点.(17分) 19.(17分) 【解析】(1) 设圆P的圆心坐标为)，半径为心>0， 白题可得圆6的圆心坠标为5,0)，半径为55。 风，的国心生为、5小，半径为5。 国4=-网=2.59-26>25 所以圆F内含于圆E, 因为圆P与圆E相切且与圆F内切， 则t国p与e内，aS5图-9-，两= 2 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1PE+1Pm=56-r+r-6=26, 2 2 所以圆心P的轨迹为椭圆，焦点为EV5,0),F(V5,0) 有a=6,c=5,b=匠-c=6-(5=5, 所以c的方能为看+号15分 x2 0已+（侧-2r-25-0 4k2+8km+3m2-2m-1=(2k+m-1)(2k+3m+1)=0 化简整理得， m=1-2k或m=-2张+1 3 当m=1-2水时，y=c-2+,过定点42 ,不符合题意，舍去： 2— 3,过定点 .(10分) (i)存在理由如下： AD⊥MNA2,）4 所-，2-+写-4 ∴·点D的轨迹是以AB为直径的圆的一部分， 故当点Q为AB的中点，即点Q为以AB为直径的圆的圆心， me售).pg=3295,为定， 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 布在元5 2√2 使得D0为定值，且该定值为3.(17分) 10/10 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 7．设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 8．已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点，均在上．下列结论不正确的有（     ） A．E的准线方程为 B．若与没有公共点，则 C．若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D．若，则面积的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示过的任何直线 B．经过两点的直线方程为 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D．直线的倾斜角的取值范围是 10．在空间直角坐标系中，则（     ） A．||=4 B．△ABC是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为（，，） D．{}可以作为空间的一个基底 11．过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（     ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在三棱锥中，，则_______． 13．已知点，圆.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，则该直线斜率为______. 14．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中， (1)求边的高线所在的直线的方程； (2)求边上中线所在的直线的方程 (3)的外接圆的圆心坐标 16．（15分）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 17．（15分）已知椭圆的左右焦点是、，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值； (3)若为坐标原点，直线过且与椭圆交于、两点，求的最大值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 19．（17分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线的斜率存在，且直线的方程为：，其中，满足如下关系式：，过曲线上且不在直线上的点，作，为垂足. （i）证明直线过定点并求出； （ii）判定是否存在定点，使得为定值，存在的话求出，不存在的话说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $