01 空间向量与立体几何期中专项训练（6类错点24题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 第一章 期中易错专项01 空间向量与立体几何 （6类错点24题） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本资料专练第一章空间向量与立体几何，共6类错点、每类4题，合计24题。 范围：人教A版选择性必修第一册第一章（1.1–1.4）。不含第二章及以后内容。 每类第1题为【典例】，第2—4题为练习。建议用时约60分钟。 原卷版只给题干与作答区；解析版附每题原【答案】【分析】【详解】，并给出“编者易错提示”。 编者提示说明错在哪一步、漏了什么条件、正确的检查顺序。 题目均标注来源。 错点 内容提示 题号 题数 ① 空间向量的线性运算与共线 加减法则、首尾相接、三点共线 题1—4 4 ② 共面与基底 共面条件、基底判断、系数和 题5—8 4 ③ 坐标运算与平行垂直 数量积、平行垂直、投影向量 题9—12 4 ④ 向量法求空间角 异面直线角、线面角、二面角 题13—16 4 ⑤ 空间距离 点面距、点线距、线面距 题17—20 4 ⑥ 存在性、范围与综合 动点参数、存在性、范围与最值 题21—24 4 错点① 空间向量的线性运算与共线 编者易错提示 ① 空间向量的线性运算与共线 - 错在哪：把向量加减法当成数的加减；化简时首尾不接、方向弄反；判定三点共线时漏掉“同一基点”。 - 怎么做：加法用三角形/平行四边形法则，首尾相接才可直接合并（）；减法要共起点、指向被减向量（）。判定三点 共线，只需找同一基点 ：。 - 提醒：向量运算可结合、可交换，但不能把 写成 （数量积与向量加法不是一回事）。 1．（单选题） （25-26高二下·甘肃白银·期末） 在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【详解】 由题意得， 所以. 2．（单选题） （25-26高二·全国·暑假作业） 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【原解析】 【答案】 A 【分析】 利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】 因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 3．（单选题） （25-26高二·全国·暑假作业） 如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【详解】 A中，； B中，； C中，； D中，. 4．（填空题） （25-26高二·全国·暑假作业） 设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【原解析】 【答案】 【详解】 因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 错点② 共面与基底 编者易错提示 ② 共面与基底 - 错在哪：把“四点共面”的系数和条件记成 ；判断基底时只比较两个向量；由共面求参数时漏掉“ 在平面外”。 - 怎么做：向量 与不共线向量 共面 ； 四点共面（ 为平面 外一点） 且 。三个向量能否作基底，看它们是否不共面（即线性无关）。 - 提醒：系数和等于 1 的前提是 在平面外；判断一组向量能否构成基底，要整体验证，不能只看其中两个。 5．（单选题） （25-26高二上·广东佛山·阶段检测） 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 根据基底的概念判断即可. 【详解】 对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 6．（多选题） （25-26高二下·江苏徐州·期末） 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【原解析】 【答案】 ACD 【分析】 以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】 选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 7．（单选题） （25-26高二下·福建宁德·期末） 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【原解析】 【答案】 D 【分析】 由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】 对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 8．（单选题） （25-26高一下·黑龙江·期末） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由基底的定义逐一判断即可. 【详解】 ，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 错点③ 坐标运算与平行垂直 编者易错提示 ③ 坐标运算与平行垂直 - 错在哪：平行用比例时忽略分母为零；把数量积为零与平行混淆；投影向量漏掉分母 。 - 怎么做：（或对应坐标成比例）；； 在 方向上的投影向量为 。 - 提醒：坐标成比例时先单独看是否有零分量；投影向量是向量不是数量；求参数后要代回检验。 9．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 已知，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【原解析】 【答案】 A 【详解】 ，而，故，故. 10．（填空题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 已知空间向量，，且，则______． 【原解析】 【答案】 【详解】 由于，所以， 则. 11．（填空题） （26-27高二上·四川眉山·阶段检测） 已知空间向量，，若，则____________． 【原解析】 【答案】 / 【详解】 若两个空间向量互相垂直，则它们的数量积为0. 已知向量，，，可得，解得. 12．（解答题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 【原解析】 【答案】 (1). (2). (3)向量在向量上的投影向量为. 【分析】 （1）根据向量平行的坐标表示及向量减法运算求解即可. （2）根据垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可. （3）根据投影向量的定义求解即可. 【详解】 （1）已知，，则， 又，可设， 由得，故，所以. （2）由，得， 即. 又，，，所以， 整理得，解得. （3）向量在向量上的投影向量为. 错点④ 向量法求空间角 编者易错提示 ④ 向量法求空间角 - 错在哪：线面角误用 、异面直线角忘取绝对值、二面角不看图形直接写 。 - 怎么做：异面直线所成角 ，；线面角 ，；二面角 ，再结合图形判锐钝。 - 提醒：求角前先求方向向量与法向量；“”的绝对值不能丢；二面角的锐钝要看图定。 13．（解答题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 如图，平面直角坐标系下三边所在的直线方程为与轴分别交于点与轴交于点．将坐标平面沿轴翻折，为翻折过程中的轨迹上的动点，设二面角大小为． (1)若，求平面与平面的夹角； (2)若，求． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）证明为二面角的平面角，并证明为平面与平面的夹角，通过等腰三角形的性质即可求出夹角的大小； （2）根据题意建立空间直角坐标系，确定二面角的平面角，根据翻折的性质算出点的坐标关系，再根据，求出具体长度，最后根据余弦定理求出的值. 【详解】 （1）在平面直角坐标系下由各边方程可知，， 且，，， 在空间图形中，因为，平面，所以平面 设平面平面，则且 因为且，， 所以平面，所以平面 所以为二面角的平面角，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以，为平面与平面的夹角 所以平面与平面的夹角． （2）由题可得，，以为轴，为轴，垂直于平面的方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 由题可知点在平面内，设点坐标为， 则① 因为，所以， 即② 由①②解得 所以， 由（1）得为二面角的平面角，所以 在中，由余弦定理得． 14．（单选题） （25-26高二下·广东深圳·期末） 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（    ）. A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【详解】 在平行六面体中， 根据向量加法的三角形法则，可得：. 因为点 是 的中点，所以. 在平行四边形 中，由向量加法的平行四边形法则可知：. 又因为在平行六面体中，，， 所以. 从而 . 又因为， 所以. 15．（单选题） （25-26高二下·四川成都·期末） 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【详解】 由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 16．（单选题） （26-27高二上·浙江·期中） 如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】 ， 又，，，， ， 。 错点⑤ 空间距离 编者易错提示 ⑤ 空间距离 - 错在哪：点面距分子忘取绝对值；把线面距、线线距直接当点面距算；投影点落在延长线上仍按线段长算。 - 怎么做：点面距 ；点线距 ；线面距、平行线距先转化为点面距或点线距。 - 提醒：公式里的点 可任取（在平面/直线上即可）；先判断目标量能否转化为点面或点线。 17．（填空题） （2025高二上·安徽·竞赛） 线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 【原解析】 【答案】 13 【详解】 法一：(向量法)由 可得， 又因为，线段AB，BD在平面内， 所以,, 所以， 故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中， ， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. 18．（填空题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 【原解析】 【答案】 【分析】 建系，设出点E坐标和向量的坐标，进而求出点F的坐标，利用两点间的距离公式可得的长度，进而求出的最小值. 【详解】 以为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 可得， 设，， 设，， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值． 19．（填空题） （26-27高二上·河南许昌·阶段检测） 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 【原解析】 【答案】 / 【分析】 首先建立空间直角坐标系，根据，利用空间向量位置关系求出点N的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解． 【详解】 以点A为原点，，为，轴的正方向，过点A作y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，则． 由于为的中点，可得． 设，由于为上靠近的三等分点， 则 ． 因为，所以，得． 此时，， 所以． 20．（填空题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 【原解析】 【答案】 【分析】 设原正方体棱长为，进而在正方体中截出该图，再结合正三角形与异面直线的知识求解第一问；建立空间直角坐标系，利用坐标法求解第二问. 【详解】 设原正方体棱长为，截去八个全等三棱锥得到截角正方体（阿基米德半正多面体），该多面体共条棱，所有棱长度相等. 与成的棱有和与面相对的面上的还有和与面相对的面上的共16条 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以; 又设， 则. 令则 所以 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 错点⑥ 存在性、范围与综合 编者易错提示 ⑥ 存在性、范围与综合 - 错在哪：设参数后不检验范围；平方去根引入增根；存在性问题只给“存在”不检验退化。 - 怎么做：动点用 （）表示；存在性先假设、列方程求解，再检验参数范围并舍去退化解；范围与最值把目标量化为参数的函数，用配方法求。 - 提醒：解含参方程两边平方须代回检验；求最值要写清参数的取值范围。 21．（单选题） （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中） 已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【详解】 因为四点共面， 所以，解得. 22．（多选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 如图，在棱长为 2的正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ） A．直线与直线是异面直线 B．的最小值为 C．存在点，使得直线与直线所成角为 D．当为棱上的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为 【原解析】 【答案】 ABD 【分析】 对于A，通过两平行平面位置关系即可判断，对于B，通过建系，结合两点间距离公式，将问题转换成轴上的点到两定点距离和的最小值问题，即可判断，对于C，由线线角的夹角公式列出等式求解即可；对于D，通过平行关系确定截面为四边形，进而可判断. 【详解】 对于A，根据题意，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以与不相交. 又在平面内，过点和平行的直线为，且与不平行， 所以直线与直线是异面直线，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 由正方体的棱长为2，则，，设点， 则， 即轴上的点到距离之和， 如图： 由图可知：点到距离之和的最小值为，且满足， 故B正确； 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 由正方体的棱长为2，若存在点使得与所成角为， 则，，，所以，， ， 化简得：， 解得，不符合， 所以不存在点使得与所成角为.故C错误. 对于D，当为棱上的中点时， 连接，， 由中位线可得：，在正方体中可知， 所以， 即过三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为， 即四边形为等腰梯形，高为 故截面面积为，D正确. 23．（解答题） （26-27高二上·河南·期中） 已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）. （2）， ， 由于，则，解得，符合题意. 故的值为. 24．（多选题） （26-27高二上·浙江金华·阶段检测） 在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．，， C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【原解析】 【答案】 ACD 【分析】 对于A，若,则，点与点重合，平面与棱交于，即平面与棱交于,通过证明平面,可得；对于B，由已知可得全等，则，取中点，连接延长交CD于点，连接，可证平面，故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B未必成立；对于C，若，则点，分别为线段的中点，由于四点共面，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可判断；对于D，由已知条件可得，设四棱锥体积为，那么，则，则，，又，故，通过空间向量线性运算结合空间向量基本定理可求出即可判断. 【详解】 点，分别满足，，，， 故点，分别位于线段上且与点不重合. 对于A，若,则，点与点重合， 平面与棱交于即平面与棱交于, 由，平面，平面,得平面， 由平面平面,平面,平面可得，故A正确； 对于B,，，那么全等， 则，取中点，连接延长交CD于点，连接， 则有,，那么平面， 故当点位于时，，而点与点不一定重合，所以选项B不一定成立； 对于C，若，则点，分别为线段的中点， 由于，那么 即， 又四点共面，所以， 即， ，又， 所以， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ，故C正确； 对于D，， 由于，，， 所以， 因为，所以， 设四棱锥体积为，那么， 则， 又平面将该四棱锥分成上、下体积相等， 所以，，又，故， 由选项C可知， ， 由于不共面，根据空间向量基本定理可知， ， 解得（另一组解舍去），所以存在，故D正确. 讲评建议 怎样用这份提示讲评 先让学生讲自己的思路，再用对应提示核对卡在哪一步。提示描述的是错误的思考路径，不代表本班实际发生的情况。 错在“线面角/二面角”的，追问用的是 还是 、二面角有没有看图判锐钝；错在共面的，追问系数和是否等于 1。 有的题没有【分析】栏，讲评时可让学生先自己说分析思路，再对照【详解】。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第一章 期中易错专项01 空间向量与立体几何 （6类错点24题） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本资料专练第一章空间向量与立体几何，共6类错点、每类4题，合计24题。 范围：人教A版选择性必修第一册第一章（1.1–1.4）。不含第二章及以后内容。 每类第1题为【典例】，第2—4题为练习。建议用时约60分钟。 原卷版只给题干与作答区；解析版附每题原【答案】【分析】【详解】，并给出“编者易错提示”。 编者提示说明错在哪一步、漏了什么条件、正确的检查顺序。 题目均标注来源。 错点 内容提示 题号 题数 ① 空间向量的线性运算与共线 加减法则、首尾相接、三点共线 题1—4 4 ② 共面与基底 共面条件、基底判断、系数和 题5—8 4 ③ 坐标运算与平行垂直 数量积、平行垂直、投影向量 题9—12 4 ④ 向量法求空间角 异面直线角、线面角、二面角 题13—16 4 ⑤ 空间距离 点面距、点线距、线面距 题17—20 4 ⑥ 存在性、范围与综合 动点参数、存在性、范围与最值 题21—24 4 错点① 空间向量的线性运算与共线 方法提醒 加法用三角形/平行四边形法则，首尾相接才可直接合并；减法共起点、指向被减向量；判定三点共线只需找同一基点，看两向量是否成比例。 1．（单选题） （25-26高二下·甘肃白银·期末） 在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 2．（单选题） （25-26高二·全国·暑假作业） 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．（单选题） （25-26高二·全国·暑假作业） 如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 4．（填空题） （25-26高二·全国·暑假作业） 设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 错点② 共面与基底 方法提醒 向量 与不共线 共面 ；四点共面（ 在面外） 系数和 。判断能否作基底，看三个向量是否不共面。 5．（单选题） （25-26高二上·广东佛山·阶段检测） 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 6．（多选题） （25-26高二下·江苏徐州·期末） 在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（单选题） （25-26高二下·福建宁德·期末） 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（单选题） （25-26高一下·黑龙江·期末） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 错点③ 坐标运算与平行垂直 方法提醒 ；；投影向量为 ，注意分母是 、结果是向量。 9．（单选题） （26-27高二上·河北邯郸·阶段检测） 已知，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 10．（填空题） （26-27高二上·宁夏·阶段检测） 已知空间向量，，且，则______． 11．（填空题） （26-27高二上·四川眉山·阶段检测） 已知空间向量，，若，则____________． 12．（解答题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 错点④ 向量法求空间角 方法提醒 异面直线角用 且取绝对值；线面角用 ；二面角先算 ，再看图判锐钝。求角前先求方向向量与法向量。 13．（解答题） （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 如图，平面直角坐标系下三边所在的直线方程为与轴分别交于点与轴交于点．将坐标平面沿轴翻折，为翻折过程中的轨迹上的动点，设二面角大小为． (1)若，求平面与平面的夹角； (2)若，求． 14．（单选题） （25-26高二下·广东深圳·期末） 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则（    ）. A． B． C． D． 15．（单选题） （25-26高二下·四川成都·期末） 如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 16．（单选题） （26-27高二上·浙江·期中） 如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 错点⑤ 空间距离 方法提醒 点面距 ，点线距用勾股/投影公式；线面距、平行线距先转化为点面距或点线距。 17．（填空题） （2025高二上·安徽·竞赛） 线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 18．（填空题） （26-27高二上·四川绵阳·阶段检测） 在棱长为8的正方体中，E是棱上的一个动点，F为线段上的一个动点，则的最小值为______ 19．（填空题） （26-27高二上·河南许昌·阶段检测） 如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 20．（填空题） （26-27高二上·山东枣庄·阶段检测） 立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如下图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，该半正多面体中与所成的角是的棱有_______条，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为_________. 错点⑥ 存在性、范围与综合 方法提醒 动点设 （）；存在性先假设再检验范围、舍去退化解；最值把目标化为参数的函数（常二次），配方求并注意范围。 21．（单选题） （25-26高一下·重庆沙坪坝·期中） 已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 22．（多选题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 如图，在棱长为 2的正方体中，为棱上的动点，为棱的中点，则下列选项正确的是（ ） A．直线与直线是异面直线 B．的最小值为 C．存在点，使得直线与直线所成角为 D．当为棱上的中点时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为 23．（解答题） （26-27高二上·河南·期中） 已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 24．（多选题） （26-27高二上·浙江金华·阶段检测） 在四棱锥中，，，，点，分别满足，，，．平面与棱交于，，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．，， C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $