山东潍坊市高密市2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

立新中学九年级数学第一次质量检测 (满分120分，时间120分钟) 2026.10 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1.方程x2-2x=0的根是() A.X1=X2=0B.X1=X2=2C.X1=0,X2=2 D.X1=0,X2=-2 2.若△ABC∽△AB'C',相似比为3：2，则△ABC与△A'B'C的周长比为() A.3:2 B.2:3 C.3:V2 D.9:4 3.如图，△ABC中，DE/BC,AD=3,BD=1,则DE的值是() S△ABC A B.3 C. D. D B (3题图) (4题图) (8题图) 4.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是() A.∠D=∠B B.∠E=∠C D.AD=DE AB BC 5.若关于x的一元二次方程x2+x-2=0有两个实数根，则实数k的取值范围是() Ak≤-8 B.k>-且k≠0C.k≥-且k≠0D.k2-且k≠0 6.用配方法解方程x2-3x+2=0,下列配方正确的是() A.(x-3= B-- Cx-3驴=}D.e-P- 7.目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2023年底有5G用户3万户， 计划到2025年底全市5G用户数累计达到10万户.设全市5G用户这几年的平均增长 率都为x,则可列方程为() A.3(1+x)2=10 B.3+3(1+x)+3(1+x)2=10 C.3+(1+x)+(1+x)2=10 D.3+x+(1+x)2=10 8.两千多年前，古希腊数学家发现了“黄金分割”的美妙比例：将一条线段分为两部分， 较长线段与整体线段长度的比值等于较短线段与较长线段长度的比值，如图，点P为线 段AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么AP的长度是( ) A.(5V5-5)cm B.(15-5V5)cmC.6.18cm D.(5V5+5)cm 9.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2DE,EC交对角线BD于点 F,若EC=3,则EF的长为( ) A.3 2 B吉 C.1 D.3 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,动点P,Q分别从点A,B 同时开始移动，点P的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s.当点Q移动到点C时，点P也 随之停止移动.若△PBQ和。ABC相似，则点P移动的时间为() A. 24 B 8 C 24或16 D. 8或6 11 5 5 h D (9题图) (10题图) (12题图) 二、填空题（共5小题，每小题3分，只写最后结果） 11.若方程x2+3x+k一1=0的一个根是1，则另一个根是 12.我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有Y国军队在活动，为了估 算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸 我方竖立的旗杆遮住，如图所示、若此时眼睛到食指距离l约为63cm,食指AB长约为7cm, 旗杆CD高度为28米，则对方与我军距离d约为 米。 13.若a,β是方程x2-3x-2027=0的两个实数根，则代数式a2-2B-5o的值 为 14.《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载了“圆中方形”问题，其大意为 “有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好为 72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个图形中，应该能求出正方形的 边长和圆的直径”.如图，设正方形的边长是x步，则可列出的方程是 15.如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在 AC、AB上，BC=15,BC边上的高是10，则正方形的边长为 H 3 B E (14题图) (15题图) 三、解答题（共8小题，共7巧分。请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16.用适当的方法解下列方程（每题4分） (1)x2+10x+16=0 (2)2x2-2V2x=-1 (3)4x(x-1)=6-6x (4)2x2-4x-1=0 17.(本小题8分) 如图，AB/CD,AC与BD交于点E,且AB=8, B A AE=4,AC=16 E (1)求CD的长： (2)求证：△ABE∽△ACB. D 18.(本小题6分) 已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+2m-1=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根： (2)若该方程有一根为1，求m的值和该方程的另一个根。 19.(本小题9分) 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具 (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能 源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆车.求从10月份到12月份 该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率. (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为 15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时， 平均每周售出8辆：售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价 使平均每周的销售利润为96万元.为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客， 求下调后每辆汽车的售价. 20.(本小题8分) 综 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度， 主 题 情 境 方 (1)如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿AC斜靠在墙AB上，量出距竹竿C点1米的D 任 点离地面的高度为0.6米，请你求出墙的垂直高度AB 务 (2)如图2，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图，点D处放一水平的平面镜， 光线从点E出发经平面镜反射后刚好射到墙AB的顶端A处，已知C、D、B在同一条直线 上，EC1BC,如果测得CE=0.6米，CD=1.2米，DB=4米，请求此处墙的垂直高度AB. 题 任 问题 (本小题10分) 合与实践 “知耕园”生态农场田地设计 为了让同学们懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；学校决定建立“知 耕园”生态农场，开展种菜、采摘等劳动课程，老师请同学们参与一块长为60 米，宽为40米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过 程. 要求：设计的每一条小路宽度相同，并且连接矩形菜地的一组对边同学们设计 的方案主要有如图所示的甲、乙、丙三种典型的方案，三幅图中AB=CD== EF KL=HG. CD IJ CD D E B B E HG KL HG KL HG KL 甲：直径简洁型 乙： 垂直倾斜型 丙：曲径通幽型 (1)①以上三种方案中小路面积的大小关系？ 你的判断是 ；(填“相等”或“不相等”) ②为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求菜地面积为2262平方米，则每条 小路的宽度是 米 为了便于开展更多的劳动课程，学校打算在农场旁边建一个花圃如图，花圃 边利用水池，其它边用长为150米的篱笆围成中间隔有一道篱笆EF的矩形花圃 ABCD. 5 A E D B P (2)若可利用的水池长70米，花圃的面积刚好为1800平方米，求矩形花圃的 边AB的长， 22.(本小题8分) 如图，四边形ABCD中，E为边CD上一点，连接BD,AE交于点F,且DE2=EF ∠EAD. (1)求证：AB//CD: (2若DE=4,EF=2,BF=9,求AD的长. 23.(本小题10分) AE,∠ABD= 阅读与思考： 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务， 在△ABC中，AB=8,BC=5,AC=4,D是线段AB上-点，且DB=6,过点D作DE交AC 于点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长。 如图，过点D作DE BC,交AC于点E,则△ADE~△ABC. DEAD A BC DB DE=0BC=ABDB,BC-号 DB DB B 这个解答中有两个错误，其中有一个是比例式写错了！ 解决问题： (1)写出正确的比例式及后续解答 (2)指出另一个错误，并给出正确解答. 拓展延伸： 如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动：同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度 向A点匀速运动，是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在， 直接写出t的值：若不存在，请说明理由. B D N立新中学第一次阶段检测答案 一、选择题 1.【答案】C 【解析】解：x2-2x=0, xx-2)=0, X=0或x-2=0, 所以x1=0,x2=2. 故选：C. 先利用因式分解法把方程转化为x=0或x一2=0，然后解两个一次方程即可. 本题考查了解一元二次方程一因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方 法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法. 2.【答案】A 【解析】解：△ABC∽△A'B'C',相似比为3：2， △ABC与△A'BC的周长的比为3：2. 故选：A. 根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键， 3.【答案】D 【解析】解：AD=3,BD=1, ∴.AB=AD+BD=4, DE//BC △ADE∽△ABC, 小=(0P==6 S△ABC 故选：D 由AD=3,BD=1,求得AB=4,由DE/BC,证明△ADBO△ABC,测B=0P=品 S△ABC 于是得到问题的答案。 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键， 4.【答案】D 【解析】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似； C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似， 故选：D. 根据L1=∠2，可知LDAE=∠BAC,因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可. 此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似： ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似. 5.【答案】C 【解析】解：由题意，△≥0且k≠0， ∴.1+8k≥0 k之-司 “k≥-后詛k≠0. 故选：C 根据一元二次方程kx2+x一2=0有两个实数根，构建不等式求解。 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0的根与4=b2- 4ac有如下关系： ①当4>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当4=0时，方程有两个相等的实数根： ③当4<0时，方程无实数根. 6.【答案】B 【解析】解：原方程移项可得： x2-3X=-2, 父-3x+=-2+星 (x- 1 故选：B. 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果， 本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确计算是解题的关键. 7.【答案】B 8.【答案】A 【解析】解：由条件可知：AB= AP V5-1 2 铝 解得：AP=(5V5-5)cm. 故选：A. 根据题意得出岩-， 即可求解。 本愿主要考查了黄金分制，解愿的关键是掌握黄金分制比为一 9.【答案】D 【解析】解：DE/BC, ∴.∠EDF=∠CBF,∠EFD=∠CFB, ∴△EDF∽△CFB ED、EF BC-CF .AE=2DE,EC=3, . EF 3ED=EC-EF=3 解得： BF- 故选：D 证明出△EDF∽△CFB,建立等式求解. 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的 判定定理. 10.【答案】A 【解析】本题考查了相似三角形的性质，设点P移动的时间为ts,由题意得，AP=t,BQ=2tcm, 然后求出0≤t≤3，再分①当△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ△CBA时两种情况分析即 可，掌握相似三角形的性质是解题的关键， 【详解】解：设点P移动的时间为ts,由题意得，AP=t,BQ=2tcm, .PB=(8-t)cm, .2t≤6， .0≤t≤3， ①当△PBQ∽△ABC时， 器器 8。告解得：t=<3,此时符合题意 ②当△PBQ∽△CBA时， P8=8g CB BA 8。:告解得：t=吕>3，此时不符合题意： 6 =8 综上可得：t-益 故选：A. 二、填空题 11.【答案】-4 【解析】本题考查方程的根，熟练掌握方程的根是解题的关键.利用一元二次方程根与系数 的关系，根据已知根求另一个根. 【详解】解：设方程x2+3x+k-1=0的另一个根为r, 由根与系数的关系，两根之和为一合是一3， 已知一个根为1，则1+r=-3, 解得r=一4， 故答案为-4. 12.【答案】252 【解析】将实际问题转化为三角形相似问题求解进而得出答案. 【详解】解：63cm=0.63m,AB=7cm=0.07m, AB∥CD .∴.△AB0c∽△CDO, AB0.63 CD d 0.07=0.63 28 d d=252m, 故答案为：252. 13.【答案】2021 【解析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解.将α代入原方程得到 a2-3a=2027,再结合a+B的值整体代入目标式即可. 【详解】解：a是方程x2-3x-2027=0的根， .a2-3a-2027=0,即a2-3a=2027, ·,B是方程x2-3x-2027=0的两个实数根， .a+B=3, .2+2B=6, .a2-2B-5a =a2-3a-2β-2a =2-3a-(2β+2am) =2027-6 =2021, 14【答案】π：(9-2=72 【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据圆的直径与正方形边长之间的关 系，可得出圆的直径为x+6步，根据除水池外圆内可耕地的面积恰好为72平方步，即可 列出关于x的一元二次方程，此题得解.找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键， 【详解】解：从水池边到圆周，每边相距3步远，且正方形的边长是x步， 圆的直径为x+3×2=化+6步， 根据题意得：π·（ )》 -x2=72 故答案为：π·（ -x2=72. 15.【答案】6 【解析】解：如图，BC边上的高是1O,过点A作AM1BC于点M,交GH于点N, AM=10,∠AME=90°， 四边形EFGH是正方形， ∴.GH/∥EF,EH=HG=EF,∠GHE=∠HEF=90°， ∴.∠AME=∠GHE=∠HEF, 四边形EHNM是矩形， .MN =EH =GH=EF, GH/BC,AM⊥BC, ∴△AHG∽△ABC,AN⊥GH 器-0即=00w=0 15 10 10 解得：GH=6, 正方形的边长为6： 故答案为：6. 由题意易得GH/EF,EH=HG=EF,∠GHE=∠HEF=90°，过点A作AM⊥BC于点M,交GH 于点N,然后可得△AHG∽△ABC,AN L GH,进而根据相似三角形的性质可进行求解. 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质及相似三角 形的性质与判定是解题的关键， 三、解答题 16(102,为-8(2)=%=竖(3)名==1《4)=1+9为=1- 17.【答案】1)解：AE=4,AC=16. ∴.CE=AC-AE=16-4=12: .AB//CD, △CDE∽△ABE, 器3 AB CD=AB-CE=8X12=24: AE 4 (2证明：AE=4、1 AB-8-Z 架品 .∠A=∠A, ∴.△ABE∽△ACB 18.【答案】【小题1】 由题意，得△=[-(m+2P-4×1×(2m-1)=m2+4m+4-8m+4=(m-22+4.(m 22≥0，∴(m-22+4>0,即4>0..一元二次方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相 等的实数根 【小题2】 设一元二次方程x2-m+2)x+2m-1=0的另一个根为，则1+=m+2,1×a=2m- 1.1+2m-1=m+2,解得m=2..=2m-1=3..m的值为2，该方程的另一个根为3 19.【答案】【小题1】 解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x, 由题意得，3(1+x)2=4.32, 解得x=0.2=20%或x=-2.2(舍去)， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%： 【小题2】 解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，(25-15-m(8+)=96, 整理得m2-6m+8=0, 解得m=2或m=4, 此次销售尽量让利于顾客， .m=4, 25-m=21, 答：下调后每辆汽车的售价为21万元. 【解析】1. 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键， 设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,根据10月份和12月 份的销售量建立方程求解即可； 2. 设汽车的售价下调万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可. 20.【答案】【小题1】 AB⊥BC,DE⊥BC, .AB//DE, .△CDE△CAB, AB=1.8, 答：墙的垂直高度AB为1.8米. 【小题2】 .CE⊥BC,AB⊥BC, ∴.∠ECD=∠B=90°. ∠CDE=∠ADB, ∴.aCDE△BDA, 品器 兴治 .AB=2. 答：墙的垂直高度AB为2米. 【解析】1. 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 根据相似三角形的判定和性质即可得到结论， 2. 根据相似三角形的判定和性质即可得到结论， 21.【答案】①相等：②1： 30米 【解析】解：(1①将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ( (C)A D E B H G L (K) 三种方案小路面积相等： 故答案为：相等： ②每条小路的宽度是x米。 根据题意得，(60-2x40-x)=2262, 解得x1=1,x2=69(不符合题意，舍去， 每条小路的宽度是1米： 故答案为：1： (2)设矩形花圃的一边AB的长为y米，则BC的长为(150一3y)米， 水池长70米， ÷150-3y≤70，解得y≥26子， 根据题意得，y150-3y)=1800, 解得y1=30,y2=20(不符合题意，舍去)， 答：AB的长为30米. (1①根据图形平移的性质，即可得出答案；②设每条小路的宽度是x米，根据除小路后菜 地面积约为2262平方米列方程，解方程即得答案： (2)设矩形花圃的一边AB的长为y米，则BC的长为(150-3y)米，根据花圃的面积刚好为1800 平方米列方程，解方程即得答案 本题考查了一元二次方程的应用，生活中的平移现象，正确理解题意是解题的关键 22.【答案】【小题1】 证明：DE2=EF·AE, 器品 ∠DEF=∠AED, ∴△ADE△DFE, .∠EDF=∠DAE, .∠ABD=∠EAD, ∴.∠ABD=∠EDF, ..AB//CD; 【小题2】 解：DE2=EF·AE,DE=4,EF=2, .42=2AE,即AE=8, ∴.AF=AE-EF=6, .AB//CD, 器票即吗会 DF=3, △ADE△DFE, .AD=6. 23.【答案】解正确比例式是：是=0 D5=0.4208C-2-是 AB AB (2)另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作LADE=∠ACB, D E C 又LA=LA, △ADE∽△ACB, DE=400e-2- AC 4 综合以上可得：DE为或 3分两种情况： ①当△ADC∽△MAN时， AD CD AMAN 即略。 解得：t= 59 ②当△ADC∽△NAM时， AD CD ANAM 即。- 解得：t是 当t=或t=号时，以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似. 【解析】(2写出正确的比例式，并补充完整； (2)当△ADE∽△ACB时，列比例式可得结论； (3)先根据动点问题可得AM=t,AN=6-2t,分两种情况：①当△ADC∽△MAN时，②当 △ADC∽△NAM时，列比例式可得结论， 此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关 键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.