精品解析：河北沧州市青县第五中学2026-2027学年 上学期九年级数学第一次教学质量检测

2026～2027学年第一学期第一次教学质量监测 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________． 14. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 15. 如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 16. 已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解答 （1）用适当的方法解下列方程： ①； ②； ③． （2）把下列二次函数一般式改为顶点式 ① ； ②． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根． （2）若且，求的值． 19. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 20. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 21. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 22. 阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： （1）； （2）． 23. 已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）的面积能否等于？请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； （3）在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； （4）点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年第一学期第一次教学质量监测 一、选择题（共12题，每题3分，共36分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A的方程含，两个未知数，不是一元二次方程． 选项B的方程未说明，当时不是二次方程，不一定是一元二次方程． 选项C的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． 选项D的方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， ∴常数项为． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x＋3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x＋3）2＋2． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 6. “少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x个队参赛，根据首轮需要安排28场比赛列方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛， 根据题意，得． 故选：D． 7. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 8. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A、，开口向下，原说法错误； B、对称轴是直线，原说法错误； C、顶点坐标为，说法正确； D、当时，y随x的增大而减大，原说法错误； 故选：C． 9. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10. 抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 11. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 12. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤． 【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，， 它的对称轴为直线， ，， ， ，故①正确； 该抛物线的顶点在x轴的上方， 它的顶点的纵坐标，故②正确； 它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4， 当时，，故③正确； 由③知点B的横坐标在4与5之间， 它的对称轴为直线， 点A的横坐标在0与-1之间， 方程其中一个解的取值范围为， 故⑤错误； 故当时，， ， ， 即，故④错误， 故正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. 若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________． 【答案】－2 【解析】 【分析】根据二次函数的定义解答． 【详解】由题意知，且， 解得：， 故答案为：－2． 【点睛】本题考查二次函数的定义，属于基础题型． 14. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 15. 如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 符合题意，不符合题意，舍去， ． 16. 已知二次函数的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则的值为__________． 【答案】0或4##4或0 【解析】 【分析】根据判别式判断二次函数图象与轴的交点个数，分两种情况讨论图象与坐标轴共有个公共点的情况，分别求解的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当二次函数图象与轴只有个交点，与轴交于另一点时，此时共有个公共点， 由， 将代入，得， 化简得，解得． ②当二次函数图象与轴有个交点，且其中一个交点为原点，即原点是二次函数与轴、轴的公共交点，此时共有个公共点， 将代入得： ，即． 此时二次函数解析式为，与坐标轴交点为和，符合条件． 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解答 （1）用适当的方法解下列方程： ①； ②； ③． （2）把下列二次函数一般式改为顶点式 ① ； ②． 【答案】（1）① ， ② ， ③ ， （2）① ② 【解析】 【分析】（1）①使用公式法解方程； ②使用因式分解法解方程； ③使用直接开方法解方程； （2）①利用配方法转化为顶点式； ②先提取公因数，再利用配方法转化为顶点式． 【小问1详解】 解：①， ∴，，， ∴， ∴，； ②， ∴， ∴，； ③， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：①； ②． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根． （2）若且，求的值． 【答案】（1） 证明：方程的判别式 ， 无论为何值，方程总有实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，是方程的两个实数根， ，． ， ，整理得， 解得． 19. 定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的“倒方程”是______； （2）若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出c的值； （3）m是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）观察定义可知，一组“倒方程”之间，二次项系数与常数项互换，一次项系数相同，根据此规则求解即可． （2）先列出原方程的“倒方程”，再将代入原方程的“倒方程”后即解出常数项． （3）同样先列出原方程的“倒方程”，将代入，再将方程变形后整体代入即可求解． 【小问1详解】 解：根据新定义，方程的倒方程是：． 【小问2详解】 解：由题可知，方程的倒方程为， 将代入此方程， 得， 解得． 【小问3详解】 解：由题知，一元二次方程的倒方程是， 是此方程的一个实数根， ， ， ． 20. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图， 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 21. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售．经统计，2024年11月份的销售量为256件，若2024年12月份和2025年1月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025年1月份的销售量为400件．从2025年1月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价降了x元，请完成下列问题： （1）降价x元后的月销售量为 _________件；(用含x的式子表示) （2）试求2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率． （3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）； （2）2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为； （3）当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）该款吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，设降价降了x元，则降价x元后的月销售量为件； （2）设每月销售量的增长率为m，根据“11月份的销售量为256件，2025年1月份的销售量为400件”列方程解答即可； （3）设降价降了x元，则每件的利润为元，月销售量为件，根据月销售利润为元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件． 故答案为：； 【小问2详解】 解：设2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为m，根据题意，得 ， 解之，得，（不合题意，舍去） 答：2024年12月份和2025年1月份每月销售量的增长率为． 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，． 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元． 22. 阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【小问1详解】 解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． 【小问2详解】 解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 23. 已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ （3）的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）3秒 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【小问1详解】 设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由得， 整理得：， 解得：或舍， 答：1秒后的面积等于 ； 【小问2详解】 设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，(舍)， ∴3秒后，的长度为； 【小问3详解】 假设经过t秒后，的面积等于， 即，， 整理得：， 由于， 则原方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； （3）在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； （4）点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 【答案】（1） （2）；或 （3） （4）；面积的最大值 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式，然后根据函数图象直接得出时x的取值范围即可； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出点M的坐标即可； （4）过作y轴的平行线交于H，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将和分别代入中，得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 根据函数图象可得：时x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于抛物线的对称轴，直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 把代入得：， ∴点M的坐标为． 【小问4详解】 解：过作y轴的平行线交于H，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $