精品解析：河北省沧州市青县第四中学2024-2025学年上 学期九年级数学第二次月考模拟试题

2024-2025学年青县第四中学九年级数学第二次月考试题 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中是一元二次方程的有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列函数是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 4. 某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ） A. 2（1﹣x）＝75% B. 1﹣2x＝75% C. 1﹣x＋（1﹣x）2＝75% D. （1﹣x）2＝75% 5. 如图所示，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转60°，点旋转到点，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A B. C. D. 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 7. 下表中所列的，的对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标： 若，是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 该函数的最小值为 D. 当，时（为常数）， 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( ) A. 4.8 B. 10 C. 12 D. 8或10 9. 为了节省材料，某工厂利用岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域(如图)，若米，则下列4个结论：①米；②；③；④长方形的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 12. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点在第四象限，则m的取值范围是 _____． 14. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为_____ 15. 关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，x取m和m＋2时，代数式x2＋bx＋c的值都等于n，则n=____． 16. 如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是_____． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，将点绕着点顺时针旋转，求旋转后点的坐标． 19. 已知 ． （1）当时，求x的值； （2）若，求M的值； （3）求证：． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为α，β，，求m的值． 21. 在学习乘法公式运用时，我们常用配方法求最值． 例如：求代数式的最小值．总结出如下解答方法： 解： ∵≥0，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴≥1，∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：； （2）若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； （3）已知a、b、c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并说明理由． 22. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为； （2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）画出△ABC关于点B的中心对称图形． 23. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 24. 如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． （1）当时，求四边形面积； （2）当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青县第四中学九年级数学第二次月考试题 一、选择题(共12题，共36.0分) 1. 有下列关于x的方程：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中是一元二次方程的有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不一元二次方程； ②，，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个， 故选A 2. 下列函数是y关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由二次函数的定义：“形如（其中为常数，且）”的函数叫做二次函数可知：A、B、D选项均不符合定义要求，只有C符合定义，故选C. 3. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 4. 某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，则（ ） A. 2（1﹣x）＝75% B. 1﹣2x＝75% C. 1﹣x＋（1﹣x）2＝75% D. （1﹣x）2＝75% 【答案】D 【解析】 【分析】根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的75%，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：（1-x）2=75%． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5. 如图所示，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转60°，点旋转到点，且，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积=整个图形的面积-原来的半圆面积计算即可； 【详解】阴影部分的面积=整个图形的面积-原来的半圆面积， 整个图形的面积=扇形面积+旋转后的半圆面积， ∴阴影部分的面积=扇形面积+旋转后的半圆面积-原来的半圆面积， ∵旋转后半圆面积=原来半圆面积， ∴阴影部分的面积=扇形面积=； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算和旋转的性质，准确计算是解题的关键． 6. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 7. 下表中所列的，的对值是二次函数的图象上的点所对应的坐标： 若，是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 该函数的最小值为 D. 当，时（为常数）， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从表格中获取信息，二次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 观察表格中的数据，，，，可知抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大，据此即可判断出选项，错误；当和时，的值都是，所以对称轴为直线，顶点的纵坐标的值为最小值，由表中数据可知，最小值不是，故选项错误；根据可知这两个点关于对称轴对称，所以，故选项正确．由此即可得出答案． 【详解】解：根据表格中的数据可得：抛物线开口向上，在对称轴左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大，故选项，错误，不符合题意； 根据表格可知，抛物线的对称轴为直线，顶点的纵坐标的值为最小值，最小值不是，故选项错误，不符合题意； ， 这两个点关于对称轴对称， ， 故选项正确，符合题意； 故选：． 8. 一个等腰三角形两条边长分别是方程x2-6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( ) A. 4.8 B. 10 C. 12 D. 8或10 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，即可得出三角形的边长，再求周长即可． 【详解】解：解方程得 ，， ①等腰三角形的三边是2，2，4 ， 不符合三角形三边关系定理，不符合题意，舍去； ②等腰三角形的三边是2，4，4，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是； 即等腰三角形的周长是10． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理等知识点，要注意分类讨论思想和三角形三边关系． 9. 为了节省材料，某工厂利用岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域(如图)，若米，则下列4个结论：①米；②；③；④长方形的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】长方形 ， ， 的面积相等，且 ，根据图示（见详解）可知 ，则，设 ，则， 根据面积相等，可以找出 与 的关系，由此即可求出答案． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设 ， ，且， ∵长方形 ， ， 的面积相等， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ ， 结论①，根据分析得， ， ， ∴ ， ， ∵用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 故结论①错误，不符合题意； 结论②，根据图示，设 ，由①的分析，可知 ， ， ∵， ∵得， ， ∴ ， ∵ ， ∴， 故结论②错误，不符合题意； 结论③，根据题意，设 ，由结论①得论证结果可知 ， ∴ 故结论③正确，符合题意； 结论④， 根据结论②的推理可知长方形的宽，， ∴ ， ∴长方形 的面积是： ， ∴根据抛物线的顶点可知， ， ∴ 故结论④正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在几何图形中的运用，根据三个长方形的面积相等即可求出长方形的长与宽的数量关系，由此可推出长方形的长、宽、面积之间的关系，理解和掌握长方形的性质，一元二次方程的知识是解题的关键． 10. 关于x的方程，有两个不相等的实数根，且，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 则且， 由， 解得， ，， 又， ，， 那么， ， 即， 解得， 最后的取值范围为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到． 11. 如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 有两个实根，但无法确定是否相等 D. 无实根 【答案】A 【解析】 【分析】M是三条角平分线的交点，过M作，则得出，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：，即可求解． 【详解】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴∠1=∠2， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， △DBM∽△EMC， ∴， 即：， 即． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键． 12. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】解：令中y=0，得x1=-，x2=5， 令，则 设直线的解析式为，将 解得 ∴直线AC的解析式为， 设P（x，）， ∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1 ∴PQ2=PB2-BQ2， =(x-5)2+（）2-1， =， ∵＞0， ∴PQ2有最小值=， ∴PQ的最小值是， 故选D 【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键. 二、填空题(共4题，共12.0分) 13. 平面直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点在第四象限，则m的取值范围是 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称的性质和解不等式组，根据横纵坐标均互为相反数可得A点关于原点的对称点的坐标，然后根据第二象限点的坐标特征列出不等式组并解答． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为， 根据题意，得：， 解得或． 故答案为：或． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据判别式等于0即可求解． 详解】解：， 原方程可变形为． ∵该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是根据判别式列出方程求解即可． 15. 关于x的方程x2＋bx＋c=0有两个相等的实数根，x取m和m＋2时，代数式x2＋bx＋c的值都等于n，则n=____． 【答案】1 【解析】 【分析】 由已知条件可得m2+bm=m2+4m+4+bm+2b，所以有b=-2m-2，把b=-2m-2分别代入m2+bm+c=n与b2-4c=0可得n=-m2-2m+c与c=m2+2m+1，把最后式子代入其前的式子即可得到解答． 【详解】解：∵关于x的方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根 ∴b2-4c=0 ∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n， ∴m2+bm+c=n,(m+2)2+b(m+2)+c=n， ∴m2+bm+c=(m+2)2+b(m+2)+c， 即m2+bm+c=m2+4m+4+bm+2b+c， ∴4m+4+2b=0， 即2m+b+2=0， ∴b=-2m-2， 把b=-2m-2代入m2+bm+c=n，得 m2+(-2m-2)m+c=n， ∴m2-2m2-2m+c=n， ∴n=-m2-2m+c， 把b=-2m-2代入b2-4c=0中，得 (-2m-2)2-4c=0， ∴4m2+8m+4-4c=0， 即4c=4m2+8m+4， ∴c=m2+2m+1， ∵n=-m2-2m+c， ∴n= -m2-2m+m2+2m+1=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程解的意义并灵活运用是解题关键． 16. 如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正六边形的性质和二次函数的性质，根据正六边形的性质求得，，，正六边形的每一个内角为，进而求得，从而求得，设．则，根据等腰三角形的性质求得，根据三角形的面积就可得出从而得出的面积的最大值． 【详解】解：连接，作于M，如图， ∵六边形是正六边形， ∴，，，正六边形的每一个内角为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴就是的边的高， 设则， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为：． 故答案为：． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先计算判别式，再由求根公式代值求解即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，． 18. 在平面直角坐标系中，将点绕着点顺时针旋转，求旋转后的点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．解题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的问题． 作轴于C，利用点A、B的坐标得到，，根据旋转的定义，把绕着点B顺时针旋转得到，如图，利用旋转的性质得，作轴于，根据三角形全等得，，于是可得到点的坐标． 【详解】解：作轴于C， ∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， 把绕着点B顺时针旋转得到，如图， ∴，作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 19. 已知 ． （1）当时，求x的值； （2）若，求M的值； （3）求证：． 【答案】（1）， （2）1或 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，配方法的应用： （1）将的值代入，解一元二次方程即可； （2）令M相等，解一元二次方程即可； （3）将M配方，即可得． 【小问1详解】 解：当时， 即， ， ∴，； 【小问2详解】 解：若，则 即， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，M的值为1或； 【小问3详解】 证明：， ∵， ∴， ∴． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为α，β，，求m的值． 【答案】（1）m≤0 （2）m的值为-2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到，然后解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于m的方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得， ∴m的取值范围是m≤0． 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴，即， 解得，（舍去）． 故m的值为-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两根时，，． 21. 在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值． 例如：求代数式的最小值．总结出如下解答方法： 解： ∵≥0，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴≥1，∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：； （2）若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ； （3）已知a、b、c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2），小， （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义．熟练掌握完全平方公式，不等式的性质，等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解作答即可； （2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可； （3）由题意得，则，由，可得，根据，判断作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是； 故答案：，小，； 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴的最大值为4，即， ∵， ∴是等腰三角形． 22. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． （1）以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为； （2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数； （3）画出△ABC关于点B的中心对称图形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据是边长为2的正方形对角线的长，然后利用点A平移找出点B即可； （2）分两种情况分析，以AB为腰不合要求，以AB为底，在AB的垂直平分线上在个点即可； （3）利用平移找出A1和C1点即可 【小问1详解】 解：∵每个小正方形的边长都为1，根据勾股定理，小正方形对角线长为， 以点A为一端点的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上（即小正方形的顶点），且长度为 ∴边长为2的小正方形对角线的长为， ∴点向下2格，再向右2格得点B，如图 【小问2详解】 解： 以AB=为底，腰长AC=BC=，或腰长AC′=C′B=，符合要求，如图； 【小问3详解】 解：点B向下3个向左1格的C1，点B向下2格，再向右2格得A1，连结A1C1， 则如图△ABC与△A1BC1是中心对称图形， 点B向右3格，再向上1格，得点C1′，点B向下2格，再向右2格得A1，，连结A1C1′， 则△ABC′与△A1BC1′是中心对称图形， 【点睛】本题考查网格作图与勾股定理，中心对称，等腰三角形，图形平移，掌握网格作图与勾股定理，中心对称，等腰三角形是解题关键． 23. 如图：在△AOB中,∠AOB=90°，OA=12cm，AB=cm,点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s(厘米/秒)的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用x(秒)表示时间(0≤x≤6)，那么： （1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2； （2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？ 【答案】（1）1秒或5秒；（2）秒或3秒 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值； （2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论 【详解】解：（1）∵∠AOB=90° ∴BO2=AB2-AO2 ∴BO=6. 在Rt△OPQ中，OQ=6-x，OP=2x， OQ·OP=5， 可求得x1=1，x2=5. （2）当△OPQ∽△OAB时,=,即=，解得x=3秒； 当△OPQ∽△OBA,= ,即=,解得x=秒． 综上所述,当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似 【点睛】本题考查了相似三角形的判定, 一元二次方程的应用, 勾股定理，解题的关键是分情况讨论 24. 如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． （1）当时，求四边形的面积； （2）当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作于，于，连接，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，则 ，即为直径，，根据，计算求解即可； （2）如图1，设，由勾股定理得，，即，，，则，，，则，当时，四边形的面积最大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：如图，作于，于，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即为直径， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 【小问2详解】 解：如图， 设， 由勾股定理得，，即，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形的最大面积是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$