第2章一元二次方程能力提升卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•永川区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x3﹣2x＝0 B．x2+y＝3 C．x2﹣5x+6＝0 D．2x﹣1＝0 2．（2026秋•迎泽区校级月考）一元二次方程2x2﹣5＝x的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2，﹣5 B．2，1 C．2，﹣1 D．2，0 3．（2026秋•东西湖区月考）方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．（2026秋•海沧区校级月考）若关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值不可以是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 5．（2026秋•和平区校级月考）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10 6．（2026秋•城中区校级月考）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+2x＝168 B．1+x2＝168 C．x+x2＝168 D．1+x+x（1+x）＝168 7．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 8．（2026秋•乌鲁木齐校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0的两个不相等实数根x1，x2，满足3x1x2﹣2x1﹣2x2﹣2＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 9．（2026秋•皇姑区校级月考）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为18m的墙（图中阴影部分），另外三边用35m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为144m2，所列方程正确的是（　　） A．x（36﹣2x）＝144 B．x（34﹣2x）＝144 C．（x﹣1）（36﹣2x）＝144 D．（x﹣1）（35﹣2x）＝144 10．（2026秋•新华区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•西城区校级月考）若关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a_______ ． 12．（2026秋•江夏区校级月考）方程x（x﹣2026）＝0的解是_________________ ． 13．（2026秋•南安市校级月考）若关于x的方程x2+6x+k＝0的两个根x1，x2满足，则k的值为_______ ． 14．（2026秋•江宁区校级月考）若关于x的一元二次方程mx2+n＝0的一个根为1，则方程m（x+2）2+n＝0的根是________________ ． 15．（2026秋•城中区校级月考）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有x个班参加比赛，根据题意，列方程为____________________ ． 16．（2026秋•新华区校级月考）我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为（x+x+5）2，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此有（x+x+5）2＝81，可得方程的正数解为x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则m+n的值为_________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•成都月考）解方程： （1）16（x+2）20； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 18．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 19．（2026秋•海沧区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等实数根． （2）若x1，x2为方程的实数根，且（x1+1）（x2+1）＝2，求k的值． 20．（2026秋•秦淮区校级月考）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 21．（2026秋•李沧区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝26cm，P从A出发，以2cm/s的速度向D运动，同时Q从C出发，以2cm/s的速度向B运动．当一个点到达终点时两个点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）t为何值时，点P恰好在∠BCD的角平分线上？ （3）t为何值时，点C恰好在PQ的垂直平分线上？ （4）是否存在t值，使得△DQC是等腰三角形？直接写出t值． 22．（2026秋•万州区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）判断方程x2﹣2x﹣6＝0是否是“邻根方程”：_____ （填“是”或“否”）； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“邻根方程”，且c＝b+2，求：b2﹣2c的值． 第2章一元二次方程能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•永川区校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x3﹣2x＝0 B．x2+y＝3 C．x2﹣5x+6＝0 D．2x﹣1＝0 【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下： A、x3﹣2x＝0，未知数x的最高次数为3，不符合“二次”条件． B、x2+y＝3，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件． C、x2﹣5x+6＝0，仅含一个未知数x，且最高次数为2，符合所有条件． D、2x﹣1＝0，未知数x的最高次数为1，不符合“二次”条件． 故选：C． 2．（2026秋•迎泽区校级月考）一元二次方程2x2﹣5＝x的二次项系数和一次项系数分别是（　　） A．2，﹣5 B．2，1 C．2，﹣1 D．2，0 【解答】解：2x2﹣5＝x， 2x2﹣x﹣5＝0， 所以二次项系数是2，一次项系数是﹣1， 故选：C． 3．（2026秋•东西湖区月考）方程x2﹣2x+5＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×5＝﹣16＜0， ∴没有实数根． 故选：A． 4．（2026秋•海沧区校级月考）若关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有实数根，则k的取值不可以是（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【解答】解：∵一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（﹣6）2﹣4×9k≥0， 解得：k≤1， 观察各选项，不满足k≤1的为选项A，故A不符合题意，其它选项均符合题意； 故选：A． 5．（2026秋•和平区校级月考）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则3x1+3x2的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．10 D．﹣10 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根， ∴x1+x22， ∴3x1+3x2＝3（x1+x2）＝3×2＝6； 故选：A． 6．（2026秋•城中区校级月考）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+2x＝168 B．1+x2＝168 C．x+x2＝168 D．1+x+x（1+x）＝168 【解答】解：两轮传染后总患病人数为1+x+x（1+x），由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为1+x+x（1+x）＝168． 故选：D． 7．（2026•江阳区模拟）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 8．（2026秋•乌鲁木齐校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0的两个不相等实数根x1，x2，满足3x1x2﹣2x1﹣2x2﹣2＝0，则a的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【解答】解：∵x1，x2为方程x2+4x+a＝0的实数根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝a， ∴3x1x2﹣2x1﹣2x2﹣2＝3a﹣2×（﹣4）﹣2＝0， 解得：a＝﹣2． ∵方程x2+4x+a＝0有两个不相等实数根， ∴Δ＝42﹣4a＝16﹣4a＞0， 解得：a＜4， ∴a＝﹣2符合题意． 故选：B． 9．（2026秋•皇姑区校级月考）如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为18m的墙（图中阴影部分），另外三边用35m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为144m2，所列方程正确的是（　　） A．x（36﹣2x）＝144 B．x（34﹣2x）＝144 C．（x﹣1）（36﹣2x）＝144 D．（x﹣1）（35﹣2x）＝144 【解答】解：∵篱笆的总长为35m，且花圃与墙垂直的一边长为xm， ∴花圃与墙平行的一边长为35+1﹣2x＝（36﹣2x）m． 根据题意得：x（36﹣2x）＝144． 故选：A． 10．（2026秋•新华区校级月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．0个 【解答】解：若a+b+c＝0，则x＝1为方程的解，所以b2﹣4ac≥0，所以①正确； 若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＝02﹣4ac＞0，即4ac＜0， 对于方程ax2+bx+c＝0，Δ＝b2﹣4ac＞0，所以方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，所以②正确； 把x＝c代入ax2+bx+c＝0得ac2+bc+c＝0，当c≠0时，ac+b+1＝0，所以③错误； 若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则a≠0且Δ＝b2﹣4ac＞0，则当c≠0时，方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实数根，所以④错误． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•西城区校级月考）若关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，则a　≠1　 ． 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程， ∴a﹣1≠0， ∴a≠1． 故答案为：≠1． 12．（2026秋•江夏区校级月考）方程x（x﹣2026）＝0的解是x1＝0，x2＝2026　 ． 【解答】解：x（x﹣2026）＝0， x＝0或x﹣2026＝0， 解得x1＝0，x2＝2026， 故答案为：x1＝0，x2＝2026． 13．（2026秋•南安市校级月考）若关于x的方程x2+6x+k＝0的两个根x1，x2满足，则k的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2+6x+k＝0有两个根x1，x2． ∴x1+x2＝﹣6，x1x2＝k， ∵3， ∴3， ∴x2+x1＝3x1x2， ∴﹣6＝3k， ∴k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 14．（2026秋•江宁区校级月考）若关于x的一元二次方程mx2+n＝0的一个根为1，则方程m（x+2）2+n＝0的根是x1＝﹣1，x2＝﹣3　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+n＝0的一个根为1， ∴m+n＝0，即， ∴方程m（x+2）2+n＝0可化为（x+2）2＝1， ∴x+2＝±1， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3． 15．（2026秋•城中区校级月考）我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了21场，设共有x个班参加比赛，根据题意，列方程为　21　 ． 【解答】解：由题意可得， 21， 故答案为：21． 16．（2026秋•新华区校级月考）我国古代数学家赵爽研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为（x+x+5）2，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此有（x+x+5）2＝81，可得方程的正数解为x＝2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出类似的图形，若大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则m+n的值为　5或11　 ． 【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0， ∴x（x+m）＝n， ∵大正方形的面积为41，小正方形的面积为9， 即， ∴或， ∴m+n＝5或11． 故答案为：5或11． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•成都月考）解方程： （1）16（x+2）20； （2）2（x﹣1）3+16＝0． 【解答】解：（1）原方程变形可得： 16（x+2）2＝9， ， ， ，； （2）移项可得： 2（x﹣1）3＝﹣16， （x﹣1）3＝﹣8， x﹣1＝﹣2， x＝﹣1． 18．（2026•仪征市一模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+3x﹣2＝0的根． 【解答】解：原式 ， 由题意得，x2+3x﹣2＝0， x2+3x＝2， x（x+3）＝2， ∴． 19．（2026秋•海沧区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0． （1）求证：方程有两个不相等实数根． （2）若x1，x2为方程的实数根，且（x1+1）（x2+1）＝2，求k的值． 【解答】（1）证明：已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0， ∴方程有两个不相等实数根； （2）解：∵x1，x2为方程的实数根， ∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣1， ∵（x1+1）（x2+1）＝2， ∴x1x2+x1+x2+1＝2， ∴﹣1+k+1＝2， 解得：k＝2． 20．（2026秋•秦淮区校级月考）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件．直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件．若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件．求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 【解答】解：设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣50）元，日销售量为80+10（70﹣x）＝（780﹣10x）件， 根据题意得：（x﹣50）（780﹣10x）＝1950， 整理得：x2﹣128x+4095＝0， 解得：x1＝63，x2＝65． 答：当售价定为63元或65元时，日销售利润为1950元． 21．（2026秋•李沧区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝26cm，P从A出发，以2cm/s的速度向D运动，同时Q从C出发，以2cm/s的速度向B运动．当一个点到达终点时两个点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ （2）t为何值时，点P恰好在∠BCD的角平分线上？ （3）t为何值时，点C恰好在PQ的垂直平分线上？ （4）是否存在t值，使得△DQC是等腰三角形？直接写出t值． 【解答】解：（1）设运动时间为t秒，则AP＝2tcm，CQ＝2tcm， ∴DP＝AD﹣AP＝（20﹣2t）cm，BQ＝BC﹣CQ＝（26﹣2t）cm． ∵AD∥BC， ∴当DP＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形， ∴20﹣2t＝2t， 解得t＝5， ∴t＝5时，四边形PQCD为平行四边形． （2）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠E＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝180°﹣∠E＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝26cm，CE＝AB＝8cm， ∴DE＝AE﹣AD＝26﹣20＝6（cm）， 由勾股定理可得，． 当点P在∠BCD的角平分线上时，∠DCP＝∠BCP， ∵AD∥BC， ∴∠DPC＝∠BCP， ∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝DC， ∴20﹣2t＝10，解得t＝5． ∴t＝5时，点P恰好在∠BCD的角平分线上． （3）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠E＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ECB＝180°﹣∠E＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AE＝BC＝26cm，CE＝AB＝8cm， ∴DE＝AE﹣AD＝26﹣20＝6（cm）， ∴PE＝PD+DE＝20﹣2t+6＝（26﹣2t）cm， 由勾股定理可得，． 当点C恰好在PQ的垂直平分线上时，PC＝QC， ∴， 解得， ∴时，点C恰好在PQ的垂直平分线上． （4）存在，分以下三种情况讨论： ①如图，若CQ＝CD，则△DQC是等腰三角形， ∴2t＝10，解得t＝5． ②如图，若DQ＝DC，则△DQC是等腰三角形， 过点D作DF⊥BC于点F，则∠DFC＝∠DFB＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠DFC＝∠B， ∴AB∥DF， ∵AD∥BC， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴▱ADFB是矩形， ∴DF＝AB＝8cm，BF＝AD＝20cm， ∴CF＝BC﹣BF＝26﹣20＝6（cm）， ∵DQ＝DC，DF⊥BC， ∴CQ＝2CF， ∴2t＝12，解得t＝6． ③如图，若DQ＝CQ，则△DQC是等腰三角形， 由②可得CF＝6cm，DF＝8cm，∠DFQ＝90°， ∴FQ＝CQ﹣CF＝2t﹣6（cm）， 由勾股定理可得，， ∵DQ＝CQ， ∴， 解得． 综上所述，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形． 22．（2026秋•万州区校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）判断方程x2﹣2x﹣6＝0是否是“邻根方程”：　否　 （填“是”或“否”）； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“邻根方程”，且c＝b+2，求：b2﹣2c的值． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0， 整理得：x2﹣2x＝6， 配方得：x2﹣2x+1＝6+1， 即（x﹣1）2＝7， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1， ∵1（1）＝21， ∴方程x2﹣2x﹣6＝0不是“邻根方程”， 故答案为：否； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）， 因式分解得：（x﹣m）（x+1）＝0， 解得：x1＝m，x2＝﹣1， ∵它是“邻根方程”， ∴m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1， 解得：m＝0或﹣2； （3）若关于x的方程x2+bx+c＝0（b，c是常数）是“邻根方程”， 设较小的实数根为p，则较大的实数根为p+1， 则p2+bp+c＝0①，（p+1）2+b（p+1）+c＝0②， 将②整理得：p2+2p+1+bp+b+c＝0③， ③﹣①得：2p+1+b＝0， 整理得：p， 将p，c＝b+2代入①得（）2+b•（）+b+2＝0， 整理得：b2﹣4b＝9， 配方得：b2﹣4b+4＝9+4， 即（b﹣2）2＝13， 直接开平方得：b﹣2＝±， 则b＝2±， ∵b2﹣4b＝9， ∴b2＝4b+9， ∵c＝b+2， ∴b2﹣2c＝4b+9﹣2（b+2）＝2b+5， 当b＝2时， b2﹣2c＝2（2）+5＝9+2； 当b＝2时， b2﹣2c＝2（2）+5＝9﹣2； 综上，b2﹣2c的值为9+2或9﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $