专题特训4 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 专题特训四 一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系的应用 类型一 根的判别式的应用 (一)判断方程根的情况 1.[2025安徽中考]下列方程中，有两个不相等的实数根的是 () A.x2+1=0 B.x2+2x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 2.[2025广州中考]关于x的方程x2-x+k2+2=0的根的情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 3.定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=ab+3,如3*4=3×4+3=15.若关于x的 方程x*(x十1)=0，则此方程 (填“有两个不相等”“有两个相等”或“没有”)实数根。 4.已知关于x的方程x2一(2k十4)x十k2+4k+2=0,则方程的实数根的情况是 (二)求参数的值或取值范围 5.[2025厦门思明期末]若关于x的一元二次方程ax2+4x+1=0有两个实数根，则实数a的取值 范围是 () A.a≥4 B.a≤4且a≠0 C.a≥-4且a≠0D.a≤-4 6.已知关于x的方程x2一(2k一2)x十k2一1=0有两个实数根，则代数式√(k-3)2一√/(2-k)2的 化简结果是 () A.-1 B.1 C.2k-5 D.-1-2k 7.[2025成都期末]小亮在解一元二次方程x2一6x+[]=0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个 一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为 8.关于x的方程x2+2x十m一1=0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是 类型二根与系数的关系的应用 (一)已知一根，求另一根及字母的值 9.[2025南宁期末]已知关于x的一元二次方程2x2+kx一4=0的一个根x1=一2，则方程的另一 个根x2和k的值为 () A.1,2 B.2,2 C.1,-1 D.2,-1 10.已知关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两个根分别记为x1,x2.若x1=-1,则a一x x的值为 (二)求与两根和、积有关的代数式的值 11.[2025鲁山期末]已知a,b是一元二次方程x2+x一8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+ b一ab的值为 () A.-1 B.1 C.15 D.17 12.已知一元二次方程x2+2x-8=0的两个根为x1,x2,则+2x1x2十= 34 第二章一元二次方程 (三)已知与两根和、积有关式子的值，求字母的取值（范围） 13.若x1与x2是一元二次方程x2+2x十2m=0的两个实数根，且x?+x号=8，则m的值为 14.已知关于x的一元二次方程x2一4x十m一1=10的实数根x1,x2满足3.x1x2一x1一x2>2,则 m的取值范围是 15.已知实数k,7m,n(m≠n),且满足m2-2m=3k+1,n2一2m=3k+1. (1)求证：m十n的值为定值 (2)若m,n同号，求k的取值范围. 类型三判别式及根与系数的关系的综合应用 16.已知关于x的一元二次方程x2-4x一m2+3=0. (1)求证：此方程有两个不相等的实数根， (2)若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根」 17.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2一2(m+1)x十m2+5=0的两个实数根. (1)求m的取值范围. (2)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值. (3)已知等腰三角形ABC的一边长为7，另外的两边长恰好是x1,x2,求△ABC的周长. 18.已知关于x的一元二次方程x2一(2k+3)x+k2一2k一1=0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围. (2)当方程x2一(2k+3)x十k2一2k一1=0的根的判别式的值为33时，且该方程的两根为x1, x2,求代数式(x1+1)(x2+1)的值 (3)在(2)的条件下，若a,b为方程x2一(2k+3)x+k2一2k一1=0的两个根，且|a|,|b分别 为菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长，求菱形ABCD的周长. “答案与解析”见P22 35方法归纳 综合运用根的意义、根与系数的关系求代数式的值 求与一元二次方程两根有关的代数式的值时，若代 数式中出现相关字母的次数大于或等于2，往往需要先 利用一元二次方程根的意义降次，有时需要多次降次， 再结合根与系数的关系整体代值，通过不断地变换，化 简，最终求得代数式的值. 4 13.由题意，3x2-4x-2=0,x1十x2=3x1x2 设=号十，=号 3 -k,.x2= (停+)（得-）=号音-=- 3六k= 土原方程的解为号+号 14.(1):关于x的一元二次方程x2-2x十m-2=0有 两个实数根，∴.△=（一2）2-4×1×(m-2)=12-4m≥ 0,解得m≤3.∴.m的取值范围为m≤3. (2)思路导引 根与系数 a+b=2 的关系： ab=m-2 a2+b2=(a+b)2-2ab =4-2(m-2) m2+a2+b=16 m2+4-2(m-2)=16 m≤3 m2-2m-8=0 解方程求m的值 :a,b是关于x的一元二次方程x2-2x十m-2=0的两 个根，∴.a+b=2,ab=m-2.m2+a2+b2=16, .m2+(a+b)2-2ab-16=0.∴.m2+4-2(m-2)- 16=0..m2-2m-8=0,解得m1=-2,m2=4.又 m≤3，.m=一2，即m的值为一2. 15.(1)2:3·(2)由题意知mn是方程3x2-x-2=0 的两个根，·△=（一1）2一4×3×（一2）=25>0，∴.方程 有两个不相等的实数根，即m≠n.六m十n=3,mm= 景品+=m- n n mn （信》-2x(-号）_188把+微+7=0的两 6 3 边同时除以2，得7·()广°+29·+1=0，实数：和 可看作方程7x2+29x+1=0的根，5+1=-29. 7· 271s1-3-2973229,1三29、-19 氵-29·1=-29(+）-1-=-29×(-9） 1-7=119. 专题特训四一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系的应用 1.D根据根的判别式进行判断，x2+1=0,此时△=0一 4<0,此方程没有实数根，选项A错误：x2+2x十1=0，此 时△=4一4=0，此时方程有两个相等的实数根，选项B错 误：x2十x十1=0，此时△=1一4=-3<0，此方程没有实 数根，选项C错误；x2十x-1=0,△=1一4×1×(-1)= 5>0,此方程有两个不相等的实数根，选项D正确。 2.C由题知，△=(-1)2-4(k2+2)=-42-7<0, 方程无实数根. 3.没有由题意得，x*(x十1)=x(x十1)十3=x2十x十 3=0,:a=1,b=1,c=3,.△=b2-4ac=12-4×1× 3=一11<0..此方程没有实数根. 4.有两个不相等的实数根，a=1,b=一(2k十4)，c= k2+4+2,∴.根的判别式△=b2-4ac=[-(2k+4)]一 4×1×(k2+4k+2)=4k2+16k+16-4k2-16k-8=8> 0.∴.方程有两个不相等的实数根. 5.B:关于x的一元二次方程ax2+4.x+1=0有两个 实数根，∴.△=b2-4ac=42-4×a×1=16-4a≥0. ∴.a≤4.，方程ax2十4x十1=0是一元二次方程，∴.a≠ 0.∴.a≤4且a≠0. 6.B:关于x的方程x2-(2k-2)x十k2-1=0有两个 实数根，∴.△=[-(2k一2)]-4(k2-1)≥0，解得k≤1. .k-3<0,2-k>0..√(k-3)7-√(2-k)7=3- k-(2-k)=3-k-2+k=1. 7.9设常数项为k,由题意得△=（一6）2一4k=36-4k, :一元二次方程有两个相等的实数根，∴.△=0，即36一 4k=0,解得k=9.∴.丢掉的常数项为9. 8.1,关于x的方程x2+2x十m一1=0有两个不相等 的实数根，∴.△=b2-4ac>0,即22-4×1×(m-1)>0, 解得m<2..m可取的最大整数是1. 9.A,关于x的一元二次方程2x2十kx一4=0的一个 根是x1=-2,.x1x2=-2x2=-2,x1十x2=一2十x2 -专解得=1k=2 10.一7关于x的一元二次方程x2一2x一a=0的两 个根分别记为x1x2,.x十x2=2,x1x2=一a.x1 -1,∴.x2=3..x1x2=-3=-a.∴.a=3.∴.a-x2 x号=3-(-1)2-32=3-1-9=-7. 11.C,a,b是一元二次方程x2十x一8=0的两个实数 根，∴.a十b=-1,ab=一8，a2十a一8=0..a2十a=8. .a2+2a+b-ab=(a2+a)+(a+b)-ab=8+(-1) (-8)=15. 2号 :一元二次方程x2+2x一8=0的两个根为 x12x1十x2=-2,x1x2=-8..2+21x2+ 4=2x1++=2x1x,++,-2红=2X (-8)+-2)2-2X(-8)=-37 -8 2 13.一1：x1,x2是一元二次方程x2十2x十2m=0的 两个实数根，x1十x2=一2，x1x2=2m.x子十x号=8， 即(x1十x2)2-2x1x2=8,.（-2)2-2×2m=8.∴m= -1. 14.13<m≤15由一元二次方程根与系数的关系，得 x1x2=m-11,x1+x2=4.3x1x2-x1-x2>2, ..3(m-11)-4>2,解得m>13.又.·△=（一4）2 4(m-11)≥0，，.m15..∴.13m15. 15.(1)m2-2m=3k+1,n2-2n=3k+1(m≠n), .m,n为关于x的方程x2一2x=3k十1的两个不相等的 实数根.由根与系数的关系得，m十n=2,∴，m十n的值为 定值.(2)由(1)得nm=-(3k+1),∴.m=-(3k+1)> 0,解得<-子又：(-2)+4(3+1)>0,1k> 16.(1)根据根的判别式可得△=4一4×1×（一m2十 3)=4十4m2>0,,.此方程有两个不相等的实数根. 2 (2)设方程的两根分别为t,3t,则t十3t=4,∴.t=1.∴.方 程的两个根为x1=1,x2=3. 17.(1),一元二次方程x2-2(m十1)x十m2+5=0有 两个实数根，.△≥0，即[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0，解 得m≥2.∴.m的取值范围是m≥2.(2)，x1,x2是关 于x的一元二次方程x2-2(m+1).x十m2十5=0的两个 实数根，.x1十x2=2m十2，x1x2=m2+5.（x1一 1)(x2-1)=28,.x1x2-(x1+x2)+1=28..m2+5 (2m十2)+1=28，解得m=6或m=一4.由(1)知m≥2， ∴.m的值为6.(3)当7为底边长时，等腰三角形的腰长 分别为x1和x2x1=x2..一元二次方程x2-2(m十 1)x十m2十5=0有两个相等的实数根，.△=0，即 [-2(m+1)]-4(m2+5)=0,解得m=2,此时一元二次 方程为x2-6x+9=0..x1十x2=6<7,此时△ABC不 存在.当7为腰长时，x1,x2中有一个为7，∴一元二次方 程x2-2(m十1)x十m2+5=0有一个根为x=7.∴.72 2(m十1)×7+m2+5=0,解得m=4或m=10.若m=4, 则一元二次方程为x2-10x+21=0,解得x=3或x=7, .△ABC的周长为3+7+7=17.若m=10,则一元二次 方程为x2一22x+105=0,解得x=7或x=15,由于7+ 7<15,故此时△ABC不存在.综上所述，△ABC的周长 为17. 18.(1)△=[-(2k+3)]2-4(k2-2k-1)=20k+13>0, 解得>一品 (2):△=[-(2k+3)]2-4(k2-2k- 1)=20k十13=33，∴.k=1.∴.方程为x2-5x-2=0.根 据根与系数的关系可得x1十x2=5,x1x2=一2.(x1十 1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+5+1=4. (3)由条件可知a十b=5,ab=一2，设两条对角线AC,BD交 于点0，则A0=00= 2 ,B0=D0= ,.AB= 2 AO2+OB2= 4 P二2X(-2)29.·.AB=4 4 /厚-图.菱形ABCD 四=2√2 的周长为4AB=4X2 4一元二次方程的应用 第1课时几何问题与古代数学问题 1.A设矩形田地的长为x步(x>30),则宽为(60一x)