第2章 一元二次方程 能力提升卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第2章一元二次方程能力提升卷，通过长鑫存储营收、河图洛书等真实情境，融合基础概念与创新应用，适配单元复习，发展抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|一元二次方程定义（第1题）、根的判别式（第2题）、实际应用（第5题）|科技情境（长鑫存储增长）、文化创新（洛书积运算）| |填空题|6|根与系数关系（第12题）、几何应用（第13题）|杨辉数学史问题（第14题）、新运算定义（第16题）| |解答题|5|方程求解（第17题）、利润问题（第19题）、新定义证明（第21题）|劳动教育实践（扩建基地）、邻根方程探究（逻辑推理）|

第2章一元二次方程能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 3．如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．关于的方程有两个不相等的实数根，，若，则实数（     ） A． B． C． D．或 5．长鑫存储作为国内存储芯片的龙头企业，近几年营收实现了高速增长．已知2023年公司营收为亿元，到2025年营收达到亿元．设这两年间的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（） A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有两个实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（     ） A． B．0 C．1 D．3 7．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛．花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为，另外三边使用总长为的防腐木栅栏围成．若要使这个花坛的面积恰好达到，那么边的长度应为（     ）． A． B．或 C． D． 9．如图，在等腰直角三角形ABC中，°， ，以BC为边在BC下方作等边三角形BCD，延长DB至点E，连接AE，使． 以BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点E的横坐标为（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 12．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 13．如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 14．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 15．已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______． 16．定义新运算：，其中为正整数．如果，则________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． 19．某超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低1元，每天销量会增加4袋． (1)若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ (2)该超市每天能否通过降低价格实现250元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 20．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 21．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求k的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程能力提升卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B A D A C 1．B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2．C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．C 【分析】原方程已有一个根，方程有三个根要求二次式对应的一元二次方程有两个实根，则，再结合三角形三边关系列出不等式求解的范围即可． 【详解】解：由方程，可得一个根， ∵方程有三个根， ∴有两个实根， ∴， 解得， 设一元二次方程的两个根为， ∴，， ∵三角形边长为正数，，     ∴， ∵三个根可作为三角形三边，，已满足两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴， 代入，得，， 解得， 综上所述，的取值范围为． 4．C 【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已知条件列方程求，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】对于方程 ，其中 ，，， ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 代入计算得 ， 解得 ， 根据根与系数的关系可得 ，， ∵ ， ∴ 代入得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 ， ∵ ， ∴． 5．C 【分析】解题思路是根据年平均增长率依次推导得到2025年营收的表达式，进而得到正确方程． 【详解】解：∵已知2023年营收为亿元，年平均增长率为， ∴2024年营收为亿元， ∴2025年营收为亿元 又∵2025年营收为亿元 ∴可列方程． 6．B 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根确定的取值范围，再解分式方程，根据解为正整数筛选符合条件的整数，最后计算和即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且； 解分式方程， 方程两边同乘，得：， 整理得，解得， ∵分式方程的解为正整数，且分母不为0即， ∴，，且是正整数， ∴，，且为正偶数，即为奇数， 结合且，可得符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 7．A 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 8．D 【分析】设，则，根据题意列出方程求出的值，再根据墙长限制确定的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意得，，   整理得，， 解得，， ∵墙长为， ∴， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴，即边的长度应为． 9．A 【分析】以中点为原点，为轴，为轴建立坐标系。先由等腰直角三角形和等边三角形的性质确定、、三点坐标，再写出直线的方程，利用列方程求的横坐标，最后根据"在延长线上"舍去与重合的解． 【详解】解：在等腰直角中，，， ， 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系， ，， ，， ，等边的边长为，高为， ∵在下方， ， 直线过和， 设直线解析式为， ， 解得，， ∴直线解析式为， 设， ， ， ，（舍去）， 点的横坐标为． 10．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 11．且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 12．1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 13． 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 14． 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 15．5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，用含m的式子表示，求出的值，从而将已知条件转化为关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式求出m的取值范围，确定最终结果即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，， 由根的判别式，可知， 解得或， ∴， 解得或， ∵， ∴不符合题意， ∴ ． 16． 【分析】根据定义得出，令，则，展开得出，建立关于x的一元二次方程，利用十字相乘法得出x，再验算即可得出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 令， 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 解得，． 当，则，与为正整数不符舍去， 当，则，与为正整数符合． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：， ∴ 解得，． 18．(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1）先将方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，配方后利用完全平方的非负性证明判别式恒大于0，即可证明结论； （2）将已知根代入原方程求出的值，再将代回方程求解即可得到另一个根． 【详解】（1）证明： 将原方程整理为一般形式得 ， ∵无论取何实数， ∴，即 ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：把代入原方程得， 整理得， 解得， 把代入原方程得， 整理得， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 19．(1)每袋薯片应降价5元 (2)不能实现每天250元的利润，理由如下： 设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现250元的利润． 【分析】（1）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设每袋薯片应降价元，根据题意，列出方程，再根据根的判别式判断是否有根即可求解． 【详解】（1）解：设每袋薯片应降价元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片应降价5元； （2）略 20．(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 21．(1)③ (2)或 (3)证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $