第三章 图形的相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦图形的相似，以文化传承与现实应用为情境，覆盖相似判定、位似变换等核心知识，适配九年级上册第三章复习，助力能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段（1题）、相似多边形性质（2题）、黄金分割（9题）|融入《九章算术》古算题（7题），考查数学文化| |填空题|6/18|比例中项（11题）、位似坐标变换（13题）、动态相似（16题）|结合新定义“准直角三角形”（16题），培养创新意识| |解答题|9/72|相似证明（17题）、测量实践（20题）、综合探究（25题）|设计镜面反射测高（20题）与折叠问题（25题），体现数学眼光与应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 2．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 3．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 8．如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交于点．则的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据是三个全等的等腰三角形，得出，，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图， 是三个全等的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①只要证明是△的中位线即可得出结论； ②根据四边形是正方形，是的平分线可求出即可求出结论； ③是的中位线等已知条件可得出，设正方形的边长为，表示出、即可得出结论； ④由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的性质即可得出结论． ⑤结合④和③即可判断． 【详解】解：①在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为正方形对角线的中点， ， 是的中位线， ，故①正确； 四边形是正方形，是的平分线， ， ， ， 是的中点， ， ， ，故②正确； ③是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ，故③不正确； ④由②知， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， ，即是的中点 ， ， ，， ， ， ， ，故⑤正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 12．已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 14．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线、平行线分线段成比例，解题关键是通过构造中位线得到平行线，利用相似三角形或平行线分线段成比例定理，将已知的线段比转化为所求的的比值． 【详解】解：取中点，连接， 因为是的中线， 所以是的中点， 又是的中点，根据三角形中位线定理，， 已知，即， 因为， 所以，即， 因为， 所以． 故答案为：． 15．如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点．若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形性质、角平分线与全等三角形、相似三角形的综合应用，熟练运用平行四边形对边平行且相等、全等及相似三角形判定定理是解题关键．先利用角平分线垂线证得到，算出长度，再结合平行线证，借助相似比列式求出的长． 【详解】解：在中，，， 平分， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 16．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理得出，再由题意分两种情况讨论，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】解：， ∴在中，由勾股定理得，． 根据题意，分两种情况讨论： ①当时， 如图1，过点D作于点E， 设，则， ∴． ，即， ∴， ∴， ∴，即平分． 又，， ∴． ∵， ∴， ， ∴； ②当时， 如图2， 设，且， ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 19．（25-26九年级上·全国·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 【答案】(1)，，， (2) 证明：由（1），知 ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∴，即； (3) 【分析】本题考查比例的计算，理解题干中的共边三角形的概念和性质是解题关键． （1）根据“共边三角形”的概念找到以为边的三角形，由性质可知求解即可； （2）由（1）中的面积关系求解即可； （3）由题意易得求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得以为公共边的“共边三角形”有，，， ∵D，E分别为，的中点， ， 由“共边三角形”的性质，得， ∴， ∵， ， ； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由“共边三角形”的性质，得 ， ， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； (3)如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， 平分， ， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解； （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点，得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：是角平分线， ∴， ∵，，, ∴， 解得， 经检验：符合题意． （3）解：是角平分线，，， ∴， ∴， ， 是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． (1)设，，按照定义恒成立，请你推导黄金比； (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形里分割出一个正方形，那么右边窗户还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) 解： ， ． 将看作常数，将此方程看作关于的一元二次方程， 则，，， ． ． ，， ． ． (2) 解：右边窗户是黄金矩形． 证明：∵矩形是黄金矩形， ∴设，． ∵四边形是正方形， ． ． ． ． ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分割比． （1），得，将看作常数，将此方程看作关于的一元二次方程，解方程即可得与之间的关系式，即可得证； （2）根据黄金分割设出矩形的长和宽，然后表示出矩形的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 25．综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设与的交点为，根据正方形的性质证明，即可求解． （2）过点作于点，与的交点为，先证明四边形是矩形，得到，，再证明，即可求出的值． （3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值． （4）连接，利用折叠的性质，证明，得到，再结合（2）得出，然后作点关于的对称点，连接，当三点共线时，有最小值为的长，最后结合勾股定理求出的最小值． 【详解】（1）解：如图，设与的交点为， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作，与的交点为， 四边形是矩形， ，， ， ， 所以四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ． （3）解：如图，过点作于点，与的交点为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，，，， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（2），同理可得，即， ， 作点关于的对称点，连接， ，，则， ， 当三点共线时，有最小值为的长，即有最小值为的长， ， 有最小值， 有最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章图形的相似·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B C A C A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1123 13.（3,-1) 4 15.2cm 2√214v21 16.7或21 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.()证明：：BD川AC, .∠ABD=∠CAB」 .∠BAD=∠ACB=90°」 .△ABC∽△BDA;3分 (2)解：：AC=3,BC=4, ∴AB=5 △ABC∽△BDA, BD BA :.AB AC BD 5 即53’ 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 解得：BD= 3· .6分 18. 【详解】(1)略2分 （2)略….4分 (3)解：如图，点S即为所求。 可得5(6，-4 .6分 19. 【详解】(I)解：由题意，得以BF为公共边的“共边三角形”有△ABF,△CBF,△DBF, D,E分别为BC,AD的中点， .BD14E-1, BC 2'DE S.DRE =BD=1 S.ABE=AE=1 由“共边三角形”的性质，得S.CBF BC2'S,DrDE S.CBF =2S.DBF =2S.40F 5.c.r+8.c=35.m=45 S4e号S4c=5=Sa5,Sc2S30:2分 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ABE=1 (2)证明：由(1)，知Scr2, AF 1 由“共边三角形”的性质，得CF2: .CF =2AF, ·4C=4F+C=AF+2=31,即4f=写4C:4分 3 (3)解：：BD:DC=2:3,BC=BD+DC, .BD:BC=2:5, S.DBE BD2 S.ADE=AE=1 由“共边三角形”的性质，得S.CBF BC5,S.DBF DE SF:S.DF:S.CoF=2:2:5 S.ARE=AF SACBF CF .AF:CF=2:5, 故答案为：2：5.6分 20. 【详解】(I)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又∠ABC=∠EDC, :△ABC∽△EDC, BC AB CD DE 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5DE' 解得DE=l0m, 故旗杆ED的高度为l0m;3分 (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90°， 四边形BCDG为矩形， 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ~目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m,BC=GD=18m, ~LADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， .△DGAADFE, AG EF DG DF' DF=0.8米，EF=0.4米， AG0.4 180.8 解得AG=9, 4B=4G+BG=9+1.6=10.6m) 答：旗杆AB的高度10.6米..6分 21.(1) 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, CE∥DA, BD BA ·CDAE,∠CAD=∠ACE,∠BAD=LE' :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. ∴.∠ACE=∠E, ..AE=AC, AB BD ·AC CD: 2分 (2)解：AD是角平分线 ABBD ∴ACCD' AB=5,AC=4,BC=7, 5 BD 47-BD' 解得BD=3 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经检验： BD= 35 符合题意.5分 (3)解：AD是角平分线，AB=11,AC=9, AB BD 11 ∴ACCD9, ..CD= 9BD 11, .BC=CD+BD= D, 11 E是BC中点， CE-EB-10BD 11 .EF∥AD, 10BD10 BE-BE BD AB BDBD 11 :FB=104B=10 11 8分 22.(1) 解 .n(m+n)=m2 .n2+mn-m2=0 将m看作常数，将此方程看作关于n的一元二次方程， 则a=1,b=m,c=-m2, △=m2-4×1×-m2)=5m2 n=-m±V5m2 :m>0,n>0, 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .n=m+v5m 2. -m+5m =2二 m -1+5_5-10.618.4分 2 2 (2) 解：右边窗户BCNM是黄金矩形. 证明：，矩形ABCD是黄金矩形， AD=5-1 . ,4B=x. ,四边形AMND是正方形， AD-AM=MN=5-1 :MB-AB-AM=x-5-1x=3-5 2 2 3-√5 :MB=2 x3-5(3-55+_25-2-5-1 5-x5-1(W5-5+ 4 2 2 :M8:MN=5-1 2 .矩形BCWM是黄金矩形.8分 23 【详解】(I)解：EF∥BC,AD⊥BC, △AEF∽△ABC,△AEP△ABD,ADLEF, AP AE EF AE ·ADAB'BCAB AP EF .AD BC, 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又BC=6,AD=4,AP=x, x EF .46, 3 EF=3x 2 ,正方形EFGH, ∴，EF=EH,∠FEH=∠EHG=90°， 又PD⊥BC, ∴.四边形EPDH是矩形， 3 PD-EH-EF-, 又AD=AP+PD, 解得8 5, 4即经号号4分 (2)解：设AP=x, 由（山）同理可求EF=: Γ2，PD=EM=4-x: .GH在△ABC外部， :正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6， .四边形EMNF的面积为6， 3 2x(4-x)=6. 解得戈=2 即AP的值为2..8分 24. 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：·∠BAC=∠DAE, .LBAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△AEC中， AB=AC ∠DAB=∠EAC AD=AE ,△ADB≌△AEC(SAS) .BD=CE.2分 (2)解①，△ABC∽△ADE, AB AC AD-AE ZBAC=ZDAE' AB AD ·ACAE,∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, .△ABDP△ACE, BD AB 3 CE-AC=4;5分 ②∠DAE+∠DFE=180°. 证明：记AC、BF交于点O, 图2 由①知△ABD8△ACE, ∴.∠ABD=∠ACE ,∠AOB=∠COF, .∠BAC=∠BFC, 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠BFC, :LBFC+∠DFE=180°， .∠DAE+∠DFE=180°：8分 (3)①证明：：△AEF∽△ABC, AB AC ∠BAC=∠EAF,AEAF· ABAE ∴·∠BAC-∠CAE=∠EAF-LCAE,ACAF, .∠BAE=∠CAF. .△ABE△ACF, ∴.∠ACF=∠ABE=90°， .∠BCD=90°， .∠ACF=∠BCD .∠ACF-∠ACD=∠BCD-∠ACD」 ∠DCF=∠ACB；10分 ②由①知∠ACF=90°， 点F在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，有最小值，如图， 图3 ·∠DCF=∠ACB,∠DFC=∠ABC=90 .△DCF△ACB, DF CD .AB AC' AB=3,BC=4, 4C=AB+BC2=5 DF3 .35’ 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..DF=9 9 ,即DF的最小值为5：12分 25 【详解】(I)解：如图，设DE与CF的交点为O, A D 四边形 是正方形， C. ABCD ∠A=∠ADC=90°，AD=CD. .∠ADE+∠AED=90°. :DE⊥CF, ∠D0F=90°， .∠ADE+∠CFD=90°， ∴.∠AED=∠CFD ∴.△ADE=△DCF(AAS) .DE=CF .3分 (2)解：如图，过点E作EK⊥BC,EF与DG的交点为H, A E D 四边形 是矩形， B F C. ABCD ∠A=∠B=90°，AB=CD=3, ,EK⊥BC .∠BKE=90°=∠A=∠B, 所以四边形ABKE是矩形， .EK=AB=3,∠AEK=∠DEK=90°， .∴.∠DEH+∠FEK=90° EF⊥DG, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DHE=90°， ∠EDH+∠DEH=90°， .∠FEK=∠EDH, 又：∠A=∠EKF=90°， ∴△EFK~△DGA EF EK 3 DGAD4·6分 (3)解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,CE与BF的交点为H, H EG B∠ACB=90°AC=3BC=4 .AB=AC2+BC2=5 :S。ABc= 心A@BC=2AB·G ∴CG=AC·BC12 AB5 ,CG⊥AB ∴.∠CGE=∠DAB=90° ∠ECG+∠CEG=90°， .CE LBF, .∠BHE=90°， ∴.∠HBE+∠BEH=90° :∠EGC=∠DAB=90°， :ACGE~△BAF, 12 :CE-CG-5.12 BF=AB=5=25 9分 (4)解：如图，连接AG、BG, 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质可知，AB=HG,BF=GF,EF⊥BG,∠ABF=∠HGF, .∠FBG=∠FGB ∴∠ABF-∠FBG=∠HGF-∠FGB,即∠ABG=∠HGB, AB=HG ∠ABG=∠HGB 在 和 中， ABG'△HGB BG=GB ∴.△ABG=△HGB(SAS) ..AG=BH, EF 3 由(2)，同理可得BG4,即3BG=4EF, ..6BH+8EF=6BH+6BG=6(BH+BG) 作点B关于CD的对称点B',连接AB、CB、B'G, ，则 B= F ∴.BG=B'GBC=B'C=4 BB'=8 AG+B'G≥AB', 当A、G、B三点共线时，AG+B'G有最小值为AB的长，即BH+BG有最小值为AB的长， :AB=VAB2+BB2=V32+82=√73 ..BH+BG 有最小值万 6BH+8EF有最小信6 分.12分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 6．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 8．如图，，，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交于点．则的长为（    ） A． B．3 C．2 D． 9．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 12．已知，则__________． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 14．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 15．如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点．若，，则的长度为______． 16．定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，，点D在AC边上，若是“准直角三角形”，则的长为______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 19．（25-26九年级上·全国·期末）【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图①，与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质如下：连接并延长，交于点E，则 【问题解决】如图②，在 中，D 为的中点，E为的中点，的延长线交于点F，连接． (1)找出以 为公共边的所有“共边三角形”．若的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积． (2)求证： (3)若将“D为的中点”改为“”，则= ． 20．（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (2)如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； (3)如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 22．将一条线段分割成长、短两条线段、，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段、的比例中项），则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． (1)设，，按照定义恒成立，请你推导黄金比； (2)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在．我们把宽与长的比为的矩形叫黄金矩形，比如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子母窗户结构示意图，在一个黄金矩形里分割出一个正方形，那么右边窗户还是黄金矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 23．如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 25．综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】 (1)如图1，在正方形中，点，分别是，上的点，连接，，若，则线段与的数量关系为________； 【类比探究】 (2)如图2，在矩形中，，，点，分别是边，上的点，点是边上一点，连接，，若，求的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形中，，点，分别在线段，上，且，连接，若，，，则的值为________； 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各组中的四条线段成比例的是() A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=5,c=4,d=10 c.a=4.b=6c=5d=10 D.a=2.b=3c=2d=5 2.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则∠D的 度数为() E 809 B人70 G A.100° B.110° C.120° D.130° 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件不能判定这两个三角形相似的是() A.∠A=55°，∠D=35° B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9 4.(25-26九年级上·河南周口期末)如图，已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中，正确的是() AB/ CXD E AD BC BC DF AB AD CD AD A.DF CE B.CE AD C.CDBC D.EF AF 5.(25-26八年级下~山东威海期末)在平面直角坐标系中，△4BC的顶点A的坐标为 2,3) ,若以原点0 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为位似中心，画△ABC的位似图形△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC的相似比为2，则点A'的坐标为() B.(2,6) D.(2,6)或(-2，-6) 6.(25-26八年级下·山东烟台期末)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△AB'C'的位置，如果 点A'恰好是△ABC的重心，A'B',AC分别与BC交于点M,N,那么△A'MN的面积与△ABC的面积之 比是() D B M B A.2 B c.3 7.(25-26九年级下·山东烟台期末)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今 有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的 意思是：如图，M,N分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点，ME⊥AD,NF⊥AB,EF过点A,且 ME=100步，NF=225步，那么该正方形城邑边长AD约为()步. M B C A.300 B.250 C.225 D.150 8.如图，△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上，且 4B=5,C-,益接F,分别交1C,DC,DE于点PQR.则2的张为() OF 于点 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.2 9.(25-26九年级下山东烟台期末)在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法. 如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连结BE,在EA的延长线上取点F,使 EF=BE,以AF为边作正方形AFGH.则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金 分割点的有() G B D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.(25-26八年级下~山东烟台期末)如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交 CD于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连 接GH,则以下五个结论中0OH=号BF:②∠C=45:③8C=(2+2]cH:④r=HE.HB:同 CF EH 2BCBE·正确结论的个数是() 0 A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.己知线段a=6cm,b=2cm,则线段a,b的比例中项为 cm a ce I a+c+e 12.已知bdf3,则b+d+f 13.(25-26八年级下江苏苏州期未)如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为0,4)，日点坐标为 2,0) 以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形AB'C'D',使其 与正方形ABCD位似，且OAOA'=21,则点C'的坐标是 BD 14.如图，BE是AABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则DC 15.如图，在口ABCD中，CE平分∠BCD,DH⊥CE于点H,交BC于点G,交AB的延长线于点F.若 AB=4cm,AD=6cm,则BF的长度为一 E B 16.定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=2,点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.(25-26八年级下江苏苏州期未)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD‖AC,AD⊥AB,BD, AD交于点D. B (I)求证：△ABC∽△BDA: (2)若AC=3,BC=4,求BD的长. 18.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格 点上（网格线的交点）· B (1)画出△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的△4BC; (2)以原点0为位似中心，在轴的上方画出 △4，C,使△4B,G与△18C位似，且位似比为2：1， 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6△4，B,C和△4AC关于点5位似。直接写出点S的坐标为 19.(25-26九年级上全国期末)【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”·如图①， △ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连接DC并延长，交 S.AMCCE AB于点E,则S.ABD DE D E E D ① ② 【问题解决】如图②，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于点F,连接 DF (I)找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面 积. (2)求证：AF=AC. 3 3)若将“D为BC的中点”改为“BD:DC=2:3”,则AF:CF=. 20.(25-26八年级下·山东泰安·期末)淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的 高度. G B B C 图① 图② (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法.将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E, 己知淇淇眼晴A到地面的距离AB=1.6m,且AB⊥BC,旗杆ED⊥BC.BC=0.8m,CD=5m,求旗杆 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ED的高度. (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量旗杆AB的高度，他通过调整测量位置，使斜边DE与地 面BC保持平行，并使一直角边DF与旗杆顶点A在同一直线上.已知DF=0.8米，EF=0.4米，目测点 D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米，求旗杆AB的高度 21.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线 定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC, AB BD 则4CCD·下面是这个定理的部分证明过程. D C DE ① ② ③ 证明：如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. ∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE,. ()请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分： (2)如图①，在△ABC中，AD是角平分线，AB=5,AC=4,BC=7.求BD的长： (3)如图③，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AB于F,若AB=11,AC=9, 求线段FB的长， 22.将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB,若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与 PB AP 全长之比，即4P=AB(此时线段AP叫做线段PBAB的比例中项)，则可得出这一比值等于0.618， 这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点。 A P B ()设AP=m'PB=n'按照定义mm+n ”=m=x(m>0,n>0)恒成立，请你推导黄金比 x=5-0.6185≈2.236 2 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5- :1 (②)黄金分割在自然界、建筑、艺术等领域无处不在.我们把宽与长的比为2的矩形叫黄金矩形，比 如按照黄金比例定制的窗户令人赏心悦目，它给我们协调、匀称的美感！如图，是某同学为自家设计的子 母窗户结构示意图，在一个黄金矩形ABCD里分割出一个正方形AMND,那么右边窗户BCM还是黄金 矩形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由. M 23.如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6,AD=4,动点P沿线段AD从点A向点D运动， 过点P作EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方形EFGH. D H DG H G 图1 图2 图3 (I)设AP长为x,利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为EF= 如图 2,当x= 时，GH恰好落在边BC上，此时EF长为 ； (2)如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求 AP的值)· 24.(25-26八年级下山东烟台期末)【尝试发现】 8/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 B 图3 备用图 (I)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，,请直接写出线段BD和CE的数 量关系是_ 【变式探究】 AB 3 (②)如图2，△ABC∽AADE,连接BD和CE,BD的延长线交CE于点F,AC4: BD ①求CE的值； ②判断∠DAE和∠DFE的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,AC是对角线.E是边BC上一动点，连接AE,以AE为直 角边向逆时针方向作△AEF,使△AEF∽aABC,连接CF,DF. ①求证：∠DCF=∠ACB: ②直接写出线段DF长度的最小值， 25.综合与实践 某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： G 图1 图2 图3 图4 【初探猜想】 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的点，连接DE,CF,若DE⊥CF,则线段 DE与CF的数量关系为. 【类比探究】 (②)如图2，在矩形ABCD中，AD=4,CD=3,点E,F分别是边AD,BC上的点，点G是边AB上一 EF 点，连接EF,DG,若EF⊥DG,求DG的值； 【知识迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，点E,F分别在线段AB,AD上，且CE⊥BF,连接AC, CE 若∠ACB=90°，AC=3,BC=4:则BF的值为一： 【拓展应用】 (4)如图4，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F分别在边AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻 折，点B的对应点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H,则6BH+8EF的最小值为 10/10