第三章 图形的相似 单元测试 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版第三章相似三角形单元测试2026—2027学年九上数学 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，在中，，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在同一时刻，身高的小丽在阳光下的影长为，一棵大树的影长为，则这棵大树的高度为（   ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定的是（ ） A．， B． C．，且 D．，且 6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． （第2题） （第4题） （第6题） 7．如图，四边形为平行四边形，则图中相似的三角形共有（     ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（     ） A．27 B．36 C．24 D．38 （第7题） （第8题） 二、填空题 9．如果两个相似三角形的面积之比是，那么它们的对应高之比是_________ 10．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为________． （第10题） （第11题） （第14题） 11．如图，已知，若，，则的度数是________． 12．如果两个相似三角形的对应中线之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为________． 13．在和中，，且的周长为．的周长为____________． 14．如图，BCEFAD，BC＝5，AD＝3，则EF长为______． 15．如图，在中，．点在边上（点不与点重合），连结，作，与边交于点．当时，则___________ 16．如图，已知，，如果，，那么的长是______． 17．如图，，分别是的边，上的点，，，，，则和的周长之比为___． （第15题） （第16题） （第17题） 18．如图，、分别是的边、上的点，，若与交于点，，则__________． 三、解答题 19．如图，，求证：． 20．如图，在中，，分别与相交于点D，E．若，，则的值为多少？ 21．如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 22．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．求证：． 23．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：；(2)若，，，求的长． 24．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 25．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 26．已知：如图，在和中，．求证：． 27．综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 28．如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《北师大版第三章相似三角形单元测试2026—2027学年九上数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C D D C B 1．C 【分析】根据比例的性质：内项积等于外项积，可知如果四条线段其中两条线段的长度之积等于另外两条线段的长度之积，这四条线段就是成比例线段，根据比例的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：，这四条线段不成比例，故选项A不符合题意； B选项：，这四条线段不成比例，故选项B不符合题意； C选项：，这四条线段成比例，故选项C符合题意； D选项：，这四条线段不成比例，故选项D不符合题意． 2．D 【分析】利用三角形相似对应边成比例，得到，根据，求出． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，相似比为， ． 4．C 【分析】设这棵树的高度为，根据“同一时刻，影长之比等于对应物体高度之比”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设这棵树的高度为，根据题意可得： ， 解得， 即这棵树的高度是． 5．D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项：，，符合两角分别相等的判定规则，可以判定 ； 选项：，符合三边成比例的判定规则，可以判定； 选项：，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，可以判定； 选项：，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，不能判定． 6．D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 7．C 【分析】由题意得出，进而得出相似三角形即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似的三角形共有3对． 8．B 【分析】先证明，由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出的面积，减去面积得到四边形面积，最后加上面积得到矩形面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ∴． ，， ，相似比 ，， ∴， ∴， 与，高的比，底的比， ， ． ． ． 9． 【分析】相似三角形的面积之比等于相似比的平方，对应高之比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比是， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比是． 10． 【分析】由相似多边形的性质得出，，再由四边形内角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，， ∴． 11． 【分析】根据相似三角形对应角相等得出和的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在中，， ∴． 12．20 【分析】由相似三角形的性质可知，对应中线比等于相似比，周长比等于相似比，结合周长和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的对应中线之比为， 两个相似三角形的相似比为， 两个相似三角形的周长之比为， 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为， 由题意，得 ， 解得， 因此较小三角形的周长为． 13． 【分析】由三边对应成比例可得两个三角形相似，相似比等于对应边的比，利用相似三角形周长比等于相似比计算即可. 【详解】解：∵， ∴，相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， . 14． 【分析】因为，所以与相似，可得与的比例关系和对应边的比例；因为，所以与相似，可得与的比例关系和对应边的比例．将两个相似得到的比例式中的公共边比例相加，利用线段和为1的关系建立方程，求解即可得到的长度． 【详解】因为 ，可得 ，因此对应边成比例： 因为 ，可得 ，因此对应边成比例： 将(1)(2)两式左右分别相加，注意到 ， ， 代入已知 ，： ， 计算得 ， 解得 ． 15．或 【分析】根据三角形的外角定理可知，进而可知，根据相似三角形的性质构造方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴ ∴, ∴, ∵， ∴ ∴, ∴或． 16． 【详解】解：如下图所示，延长，交于一点， ， ，， ，． ， 设，， ，，代入得， 解得， ，，代入得， 解得． 17． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和的周长之比. 18． 【分析】由推出，得到，再由得，推出，得到，两个三角形与同高，面积之比等于底边长之比． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 与同高， ． 19．证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 20． 【分析】证明，即可解答． 【详解】解：， ， ． 21． 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 22． 证明：∵四边形为的内接四边形， ，， ，， ，， ． 【分析】根据圆内接四边形可得，，根据两角对应相等即可得证． 【详解】略 23．(1) 证明：， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 24．(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 25．(1)证明：∵四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用菱形的性质可得，从而得是的中位线，推出，又由平行四边形的定义可得四边形是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形． （2）证明，即可由对应线段成比例求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，即，， 由（1）知四边形是矩形， ． ， ， ． 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 26．证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 27．(1)①；② (2)证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． （2）略 （3）解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 28．(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $