专题 09 圆的面积 核心考点举一反三-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（人教版+新教材）

专题 09 圆的面积 核心考点举一反三 考点目录 考点一 圆的面积公式的推导 1 考点二 已知半径求圆的面积 2 考点三 已知直径求圆的面积 3 考点四 已知周长求圆的面积 3 考点五 圆环的面积 4 考点六 外方内圆与外圆内方 4 考点七 组合图形的面积 5 考点八 半径变化与面积变化 6 考点九 圆的面积的实际应用 6 考点十 拓展：扇形、扇环与围地问题 7 综合提升训练 8 考点一 圆的面积公式的推导 把圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（πr），宽近似于半径（r），所以圆的面积 S=πr×r=πr²。 【典例分析】在研究圆的面积计算公式时，把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆的（ ），宽近似于圆的（ ）。 A. 周长的一半；半径 B. 周长；半径 C. 直径；半径 D. 周长的一半；直径 【答案】A 【思路引导】拼成的近似长方形，长是圆周长的一半（πr），宽是半径（r）。 【详解】近似长方形的长＝圆周长的一半＝πr。 近似长方形的宽＝圆的半径＝r。 所以圆的面积＝πr×r＝πr²，选A。 【牛刀小试1】把圆平均分成16等份拼成近似长方形，若近似长方形的长是12.56厘米，则这个圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 12.56 B. 25.12 C. 50.24 D. 100.48 【牛刀小试2】把一个圆平均分成若干等份拼成近似长方形，长方形的长是9.42厘米，这个圆的半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【牛刀小试3】两个半径不同的圆，都能通过等分剪拼得到近似长方形，且长方形的宽都等于圆的半径。 考点二 已知半径求圆的面积 已知半径 r，直接用公式 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆的半径是3厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 A. 18.84 B. 28.26 C. 9.42 D. 56.52 【答案】B 【思路引导】S=πr²=3.14×3²=28.26平方厘米。 【详解】S =3.14×3×3 =28.26（平方厘米），选B。 【牛刀小试1】一个圆的半径是7厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【牛刀小试2】半径是2厘米的圆，面积是（ ）平方厘米。 A. 6.28 B. 12.56 C. 25.12 D. 50.24 【牛刀小试3】圆的半径是0.7米，面积约是（ ）平方米（保留两位小数）。 考点三 已知直径求圆的面积 已知直径 d，先求半径 r=d÷2，再用 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆形茶几桌面的直径是1米，它的面积是（ ）平方米。 A. 0.785 B. 3.14 C. 0.314 D. 7.85 【答案】A 【思路引导】r=1÷2=0.5米，S=3.14×0.5²=0.785平方米。 【详解】半径=1÷2=0.5（米）。 S =3.14×0.5×0.5 =0.785（平方米），选A。 【牛刀小试1】一个圆的直径是10厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【牛刀小试2】直径是8厘米的圆，面积是（ ）平方厘米。 A. 25.12 B. 50.24 C. 100.48 D. 200.96 【牛刀小试3】一个圆的直径是4.5米，面积约是（ ）平方米（保留一位小数）。 考点四 已知周长求圆的面积 已知周长 C，先求半径 r=C÷π÷2，再用 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆形蓄水池的周长约是31.4米，它的占地面积约是（ ）平方米。 A. 31.4 B. 78.5 C. 314 D. 15.7 【答案】B 【思路引导】r=31.4÷3.14÷2=5米，S=3.14×5²=78.5平方米。 【详解】半径=31.4÷3.14÷2=5（米）。 3.14×5×5=78.5（平方米），选B。 【牛刀小试1】小刚量得一棵树的树干横截面的周长是125.6厘米，树干的横截面近似于圆，它的面积大约是（ ）平方厘米。 【牛刀小试2】用一根长31.4厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的面积约是（ ）平方厘米。 A. 31.4 B. 78.5 C. 314 D. 15.7 【牛刀小试3】一个圆形花坛的周长是62.8米，它的占地面积是（ ）平方米。 考点五 圆环的面积 圆环面积=大圆面积-小圆面积，即 S=πR²-πr²=π(R²-r²)。 【典例分析】一块环形铁片，内圆半径是5厘米，外圆半径是10厘米，这块环形铁片的面积是（ ）平方厘米。 A. 75π B. 20π C. 15π D. 5π 【答案】A 【思路引导】S环=π(R²-r²)=π(10²-5²)=75π平方厘米。 【详解】S环=π×(10×10-5×5)=π×(100-25)=75π（平方厘米），选A。 【牛刀小试1】一个圆形环岛的直径为50米，中间是一个直径为10米的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是（ ）平方米。 【牛刀小试2】一个半径8米的圆形花坛，周围有一条2米宽的小路，这条小路的面积是（ ）平方米。 A. 36π B. 28π C. 4π D. 64π 【牛刀小试3】一个圆环，外圆直径是26.3厘米，内圆直径是5.4厘米，这个圆环的面积约是（ ）平方厘米（得数保留一位小数）。 考点六 外方内圆与外圆内方 外方内圆：正方形边长等于圆的直径，圆面积是正方形面积的 π/4；外圆内方：正方形面积是圆半径平方的2倍，圆面积是正方形面积的 π/2。 【典例分析】在边长10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的（ ）。 A. B. π/2 C. D. π/4 【答案】D 【思路引导】正方形边长=直径，圆面积=πr²，正方形面积=4r²，圆面积是正方形的π/4。 【详解】正方形面积=4r²，圆面积=πr²。 圆面积÷正方形面积=π/4，选D。 【牛刀小试1】已知正方形的面积是20平方厘米，它里面最大的圆的面积是（ ）平方厘米。 【牛刀小试2】“外圆内方”中，圆面积是正方形面积的（ ）。 A. π/4 B. π/2 C. D. 2倍 【牛刀小试3】“外方内圆”和“外圆内方”中，无论图形有多大，正方形和圆面积之间的倍数关系是一定的。 考点七 组合图形的面积 求涂色（组合）部分面积：先看图形由哪些基本图形组成，用基本图形面积相加或相减。 【典例分析】如图，图形是由一个大半圆挖去一个小半圆组成的，大半圆半径5厘米、小半圆半径3厘米，涂色部分面积是（ ）平方厘米。 A. 25.12 B. 28.26 C. 12.56 D. 18.84 【答案】A 【思路引导】涂色面积=大半圆面积-小半圆面积=3.14×5²÷2-3.14×3²÷2=39.25-14.13=25.12平方厘米。 【详解】大半圆面积=3.14×5×5÷2=39.25（平方厘米）。 小半圆面积=3.14×3×3÷2=14.13（平方厘米）。 涂色=39.25-14.13=25.12（平方厘米），选A。 【牛刀小试1】一个半圆形花坛的直径是8米，在花坛里留出一个最大的直角三角形区域种玫瑰（三角形的底是直径、顶点在圆弧上），其余部分种草。种草部分的面积是（ ）平方米。 【牛刀小试2】一枚铜钱形状如右图，圆的直径为28毫米，中间正方形的边长为6毫米，这枚铜钱的面积约是（ ）平方毫米。 A. 615.44 B. 579.44 C. 561.44 D. 543.44 【牛刀小试3】右图中的花瓣状门洞的边是由4个直径都是1米的半圆组成的，这个门洞的面积是（ ）平方米。 考点八 半径变化与面积变化 半径扩大（或缩小）到原来的 n 倍，面积扩大到原来的 n² 倍；半径增加 m，面积增加用“新面积-原面积”算。 【典例分析】一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 【答案】B 【思路引导】S=πr²，r×2 则 S×2²=4 倍。 【详解】面积与半径的平方成正比。 2×2=4，面积扩大到原来的4倍，选B。 【牛刀小试1】一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。 【牛刀小试2】一个圆的直径由4厘米增加到10厘米，它的面积增加了（ ）平方厘米。 A. 84 B. 21π C. 21 D. 84π 【牛刀小试3】一个圆的周长是12.56米，半径增加2米后，新的圆的面积是（ ）平方米。 考点九 圆的面积的实际应用 喷灌、井盖、风电机组等圆形物体，先找半径，再用 S=πr² 求覆盖/扫过面积。 【典例分析】公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10米，它能喷灌的面积是（ ）平方米。 A. 31.4 B. 62.8 C. 314 D. 78.5 【答案】C 【思路引导】射程即半径：S=3.14×10²=314平方米。 【详解】射程10米就是圆的半径。 3.14×10×10=314（平方米），选C。 【牛刀小试1】全球首台20兆瓦海上风电机组的叶轮半径为150米，风起时叶轮转动形成一个圆，这个叶轮的扫风面积约是（ ）平方米。 【牛刀小试2】一个圆形井盖的直径是80厘米，这个井盖的面积约是（ ）平方厘米。 A. 251.2 B. 502.4 C. 200.96 D. 5024 【牛刀小试3】数学课本第62页例题：风电机组扫风面积70650平方米，一个标准足球场长105米、宽68米，扫风面积大约相当于（ ）个足球场（得数保留整数）。 考点十 拓展：扇形、扇环与围地问题 扇形面积按圆心角占整个圆的比例求；扇环面积=大扇形-小扇形；周长一定时，围成圆的面积最大。 【典例分析】一个圆的周长和正方形的周长都是6.28分米，圆的面积（ ）正方形的面积。 A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法比较 【答案】A 【思路引导】周长相等时圆面积最大：r=1分米，S圆=3.14；正方形边长=1.57分米，S正=2.4649，圆面积大。 【详解】圆半径=6.28÷3.14÷2=1（分米），S圆=3.14×1×1=3.14。 正方形边长=6.28÷4=1.57（分米），S正=1.57×1.57=2.4649。 3.14>2.4649，圆面积大，选A。 【牛刀小试1】一根绳子长31.4米，用这根绳子在操场上围出一块地，围成（ ）形面积最大，最大面积是（ ）平方米。 【牛刀小试2】有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗，拴狗的绳子长4米，这条狗活动区域的面积约是（ ）平方米。 A. 50.24 B. 37.68 C. 12.56 D. 25.12 【牛刀小试3】《九章算术》记载圆环面积=（内圆周长+外圆周长）÷2×径。若圆环形地垫剪开展开成等腰梯形，上底12.56米、下底18.84米，则地垫面积是（ ）平方米。 综合提升训练 一、选择题 【典例分析】 1. 一个圆的面积是50.24平方厘米，它的半径是（ ）厘米。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 16 【变式1】 2. 一个圆的半径是3厘米，一个正方形的边长是3厘米，圆的面积和正方形的面积相比，（ ）。 A. 圆面积大 B. 正方形面积大 C. 一样大 D. 无法比较 【变式2】 3. 把一张圆形纸片剪拼成一个近似长方形，长方形的长是18.84厘米，这个圆的周长是（ ）厘米。 A. 18.84 B. 37.68 C. 113.04 D. 6.28 【变式3】 4. 一个圆的半径由2厘米增加到3厘米，下列说法正确的是（ ）。 A. 直径增加3厘米，周长增加3.14厘米，面积增加15.7平方厘米 B. 直径增加2厘米，周长增加6.28厘米，面积增加15.7平方厘米 C. 直径增加2厘米，周长增加3.14厘米，面积增加6.28平方厘米 D. 直径增加6厘米，周长增加6.28厘米，面积增加3.14平方厘米 【典例分析】 5. 一个圆的半径是4厘米，它的面积是（ ）平方厘米，周长是（ ）厘米。 【变式1】 6. 一个圆形喷水池的周长是25.12米，它的占地面积是（ ）平方米。 【变式2】 7. 一个环形垫片，外圆半径5厘米、内圆半径3厘米，垫片的面积是（ ）平方厘米。 【变式3】 8. 在边长6厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 【典例分析】 10. 用圆规画一个半径是2厘米的圆，标出圆心O和半径r，并计算这个圆的面积。 【典例分析】 11. 如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？（单位：米，π取3.14） 【变式1】 12. 公园有两块一样大的半圆形草坪，它们的周长都是128.5米，这两块草坪的总面积是多少平方米？（π取3.14） 【变式2】 13. 已知三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC=10分米。以锐角顶点A为圆心、AB长为半径画出一个扇形（如图涂色部分），涂色部分的面积是多少平方分米？（π取3.14） 【变式3】 14. 一个圆环形的土楼，外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少平方米？（π取3.14） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 09 圆的面积 核心考点举一反三 考点目录 考点一 圆的面积公式的推导 1 考点二 已知半径求圆的面积 3 考点三 已知直径求圆的面积 4 考点四 已知周长求圆的面积 5 考点五 圆环的面积 6 考点六 外方内圆与外圆内方 7 考点七 组合图形的面积 8 考点八 半径变化与面积变化 10 考点九 圆的面积的实际应用 11 考点十 拓展：扇形、扇环与围地问题 12 综合提升训练 14 考点一 圆的面积公式的推导 把圆平均分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形，长方形的长近似于圆周长的一半（πr），宽近似于半径（r），所以圆的面积 S=πr×r=πr²。 【典例分析】在研究圆的面积计算公式时，把圆平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆的（ ），宽近似于圆的（ ）。 A. 周长的一半；半径 B. 周长；半径 C. 直径；半径 D. 周长的一半；直径 【答案】A 【思路引导】拼成的近似长方形，长是圆周长的一半（πr），宽是半径（r）。 【详解】近似长方形的长＝圆周长的一半＝πr。 近似长方形的宽＝圆的半径＝r。 所以圆的面积＝πr×r＝πr²，选A。 【牛刀小试1】把圆平均分成16等份拼成近似长方形，若近似长方形的长是12.56厘米，则这个圆的面积是（ ）平方厘米。 A. 12.56 B. 25.12 C. 50.24 D. 100.48 【答案】C 【思路引导】长=πr=12.56厘米→r=4厘米，S=3.14×4²=50.24平方厘米。 【详解】πr =12.56，r =12.56÷3.14 =4（厘米）。 S =3.14×4×4 =50.24（平方厘米），选C。 【牛刀小试2】把一个圆平均分成若干等份拼成近似长方形，长方形的长是9.42厘米，这个圆的半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】 3；28.26 【思路引导】长=πr=9.42→r=3；S=3.14×3²=28.26。 【详解】πr =9.42，r =9.42÷3.14 =3（厘米）。 S =3.14×3×3 =28.26（平方厘米）。 【牛刀小试3】两个半径不同的圆，都能通过等分剪拼得到近似长方形，且长方形的宽都等于圆的半径。 【答案】√ 【思路引导】无论圆多大，剪拼成的近似长方形宽都近似等于半径 r。 【详解】拼成的近似长方形宽近似等于圆的半径。 与圆的大小无关，说法正确，画√。 考点二 已知半径求圆的面积 已知半径 r，直接用公式 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆的半径是3厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 A. 18.84 B. 28.26 C. 9.42 D. 56.52 【答案】B 【思路引导】S=πr²=3.14×3²=28.26平方厘米。 【详解】S =3.14×3×3 =28.26（平方厘米），选B。 【牛刀小试1】一个圆的半径是7厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 153.86 【思路引导】S=3.14×7²=153.86平方厘米。 【详解】 3.14×7×7=153.86（平方厘米）。 【牛刀小试2】半径是2厘米的圆，面积是（ ）平方厘米。 A. 6.28 B. 12.56 C. 25.12 D. 50.24 【答案】B 【思路引导】S=3.14×2²=12.56平方厘米。 【详解】 3.14×2×2=12.56（平方厘米），选B。 【牛刀小试3】圆的半径是0.7米，面积约是（ ）平方米（保留两位小数）。 【答案】 1.54 【思路引导】S=3.14×0.7²=3.14×0.49=1.5386，保留两位小数约1.54平方米。 【详解】 0.7×0.7=0.49。 3.14×0.49=1.5386≈1.54（平方米）。 考点三 已知直径求圆的面积 已知直径 d，先求半径 r=d÷2，再用 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆形茶几桌面的直径是1米，它的面积是（ ）平方米。 A. 0.785 B. 3.14 C. 0.314 D. 7.85 【答案】A 【思路引导】r=1÷2=0.5米，S=3.14×0.5²=0.785平方米。 【详解】半径=1÷2=0.5（米）。 S =3.14×0.5×0.5 =0.785（平方米），选A。 【牛刀小试1】一个圆的直径是10厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 78.5 【思路引导】r=10÷2=5，S=3.14×5²=78.5平方厘米。 【详解】半径=10÷2=5（厘米）。 3.14×5×5=78.5（平方厘米）。 【牛刀小试2】直径是8厘米的圆，面积是（ ）平方厘米。 A. 25.12 B. 50.24 C. 100.48 D. 200.96 【答案】B 【思路引导】r=8÷2=4，S=3.14×4²=50.24平方厘米。 【详解】半径=8÷2=4（厘米）。 3.14×4×4=50.24（平方厘米），选B。 【牛刀小试3】一个圆的直径是4.5米，面积约是（ ）平方米（保留一位小数）。 【答案】 15.9 【思路引导】r=4.5÷2=2.25，S=3.14×2.25²=3.14×5.0625=15.89625≈15.9平方米。 【详解】半径=4.5÷2=2.25（米）。 3.14×2.25×2.25=15.89625≈15.9（平方米）。 考点四 已知周长求圆的面积 已知周长 C，先求半径 r=C÷π÷2，再用 S=πr² 求面积。 【典例分析】一个圆形蓄水池的周长约是31.4米，它的占地面积约是（ ）平方米。 A. 31.4 B. 78.5 C. 314 D. 15.7 【答案】B 【思路引导】r=31.4÷3.14÷2=5米，S=3.14×5²=78.5平方米。 【详解】半径=31.4÷3.14÷2=5（米）。 3.14×5×5=78.5（平方米），选B。 【牛刀小试1】小刚量得一棵树的树干横截面的周长是125.6厘米，树干的横截面近似于圆，它的面积大约是（ ）平方厘米。 【答案】 1256 【思路引导】r=125.6÷3.14÷2=20，S=3.14×20²=1256平方厘米。 【详解】半径=125.6÷3.14÷2=20（厘米）。 3.14×20×20=1256（平方厘米）。 【牛刀小试2】用一根长31.4厘米的铁丝围成一个圆，这个圆的面积约是（ ）平方厘米。 A. 31.4 B. 78.5 C. 314 D. 15.7 【答案】B 【思路引导】铁丝长即圆周长：r=31.4÷3.14÷2=5，S=3.14×5²=78.5平方厘米。 【详解】半径=31.4÷3.14÷2=5（厘米）。 3.14×5×5=78.5（平方厘米），选B。 【牛刀小试3】一个圆形花坛的周长是62.8米，它的占地面积是（ ）平方米。 【答案】 314 【思路引导】r=62.8÷3.14÷2=10，S=3.14×10²=314平方米。 【详解】半径=62.8÷3.14÷2=10（米）。 3.14×10×10=314（平方米）。 考点五 圆环的面积 圆环面积=大圆面积-小圆面积，即 S=πR²-πr²=π(R²-r²)。 【典例分析】一块环形铁片，内圆半径是5厘米，外圆半径是10厘米，这块环形铁片的面积是（ ）平方厘米。 A. 75π B. 20π C. 15π D. 5π 【答案】A 【思路引导】S环=π(R²-r²)=π(10²-5²)=75π平方厘米。 【详解】S环=π×(10×10-5×5)=π×(100-25)=75π（平方厘米），选A。 【牛刀小试1】一个圆形环岛的直径为50米，中间是一个直径为10米的圆形花坛，其他地方是草坪。草坪的占地面积是（ ）平方米。 【答案】 1884 【思路引导】外半径25米，内半径5米，S环=3.14×(25²-5²)=3.14×600=1884平方米。 【详解】外半径=50÷2=25（米），内半径=10÷2=5（米）。 3.14×(25×25-5×5) =3.14×600 =1884（平方米）。 【牛刀小试2】一个半径8米的圆形花坛，周围有一条2米宽的小路，这条小路的面积是（ ）平方米。 A. 36π B. 28π C. 4π D. 64π 【答案】A 【思路引导】外半径=8+2=10米，S小路=π(10²-8²)=36π平方米。 【详解】外半径=8+2=10（米）。 3.14×(10×10-8×8) =3.14×36 =36π（平方米），选A。 【牛刀小试3】一个圆环，外圆直径是26.3厘米，内圆直径是5.4厘米，这个圆环的面积约是（ ）平方厘米（得数保留一位小数）。 【答案】 520.1 【思路引导】外半径13.15厘米、内半径2.7厘米，S环=3.14×(13.15²-2.7²)=3.14×165.6325≈520.1平方厘米。 【详解】外半径=26.3÷2=13.15（厘米），内半径=5.4÷2=2.7（厘米）。 3.14×(13.15×13.15-2.7×2.7)=3.14×165.6325≈520.1（平方厘米）。 考点六 外方内圆与外圆内方 外方内圆：正方形边长等于圆的直径，圆面积是正方形面积的 π/4；外圆内方：正方形面积是圆半径平方的2倍，圆面积是正方形面积的 π/2。 【典例分析】在边长10厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积占正方形面积的（ ）。 A. B. π/2 C. D. π/4 【答案】D 【思路引导】正方形边长=直径，圆面积=πr²，正方形面积=4r²，圆面积是正方形的π/4。 【详解】正方形面积=4r²，圆面积=πr²。 圆面积÷正方形面积=π/4，选D。 【牛刀小试1】已知正方形的面积是20平方厘米，它里面最大的圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 15.7 【思路引导】圆面积是正方形面积的π/4：20×3.14÷4=15.7平方厘米。 【详解】最大圆面积=正方形面积×π/4。 20×3.14÷4=15.7（平方厘米）。 【牛刀小试2】“外圆内方”中，圆面积是正方形面积的（ ）。 A. π/4 B. π/2 C. D. 2倍 【答案】B 【思路引导】外圆内方正方形面积=2r²，圆面积=πr²，圆面积是正方形的π/2。 【详解】外圆内方正方形可看作两个三角形，面积=2r²。 圆面积÷正方形面积=π/2，选B。 【牛刀小试3】“外方内圆”和“外圆内方”中，无论图形有多大，正方形和圆面积之间的倍数关系是一定的。 【答案】√ 【思路引导】倍数关系只与图形位置关系有关，与大小无关。 【详解】外方内圆：圆面积是正方形的π/4。 外圆内方：圆面积是正方形的π/2，与大小无关，画√。 考点七 组合图形的面积 求涂色（组合）部分面积：先看图形由哪些基本图形组成，用基本图形面积相加或相减。 【典例分析】如图，图形是由一个大半圆挖去一个小半圆组成的，大半圆半径5厘米、小半圆半径3厘米，涂色部分面积是（ ）平方厘米。 A. 25.12 B. 28.26 C. 12.56 D. 18.84 【答案】A 【思路引导】涂色面积=大半圆面积-小半圆面积=3.14×5²÷2-3.14×3²÷2=39.25-14.13=25.12平方厘米。 【详解】大半圆面积=3.14×5×5÷2=39.25（平方厘米）。 小半圆面积=3.14×3×3÷2=14.13（平方厘米）。 涂色=39.25-14.13=25.12（平方厘米），选A。 【牛刀小试1】一个半圆形花坛的直径是8米，在花坛里留出一个最大的直角三角形区域种玫瑰（三角形的底是直径、顶点在圆弧上），其余部分种草。种草部分的面积是（ ）平方米。 【答案】 9.12 【思路引导】种草=半圆面积-三角形面积=3.14×4²÷2-8×4÷2=25.12-16=9.12平方米。 【详解】半径=8÷2=4（米），半圆面积=3.14×4×4÷2=25.12（平方米）。 最大三角形底8米、高4米，面积=8×4÷2=16（平方米）。 种草=25.12-16=9.12（平方米）。 【牛刀小试2】一枚铜钱形状如右图，圆的直径为28毫米，中间正方形的边长为6毫米，这枚铜钱的面积约是（ ）平方毫米。 A. 615.44 B. 579.44 C. 561.44 D. 543.44 【答案】B 【思路引导】圆面积=3.14×14²=615.44，正方形=6×6=36，铜钱=615.44-36=579.44平方毫米。 【详解】半径=28÷2=14（毫米），圆面积=3.14×14×14=615.44。 正方形面积=6×6=36。 615.44-36=579.44（平方毫米），选B。 【牛刀小试3】右图中的花瓣状门洞的边是由4个直径都是1米的半圆组成的，这个门洞的面积是（ ）平方米。 【答案】 2.57 【思路引导】门洞=中间正方形（边长1米）+4个半圆（合2个整圆）：1+2×3.14×0.5²=1+1.57=2.57平方米。 【详解】中间正方形面积=1×1=1（平方米）。 4个半圆=2个整圆，半径=1÷2=0.5（米），面积=2×3.14×0.5×0.5=1.57（平方米）。 门洞面积=1+1.57=2.57（平方米）。 考点八 半径变化与面积变化 半径扩大（或缩小）到原来的 n 倍，面积扩大到原来的 n² 倍；半径增加 m，面积增加用“新面积-原面积”算。 【典例分析】一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。 A. 2 B. 4 C. 3 D. 8 【答案】B 【思路引导】S=πr²，r×2 则 S×2²=4 倍。 【详解】面积与半径的平方成正比。 2×2=4，面积扩大到原来的4倍，选B。 【牛刀小试1】一个圆的半径扩大到原来的3倍，它的面积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】 9 【思路引导】3²=9，面积扩大到原来的9倍。 【详解】半径×3，面积×3×3=9（倍）。 【牛刀小试2】一个圆的直径由4厘米增加到10厘米，它的面积增加了（ ）平方厘米。 A. 84 B. 21π C. 21 D. 84π 【答案】B 【思路引导】原半径2厘米、新半径5厘米，增加=π(5²-2²)=21π平方厘米。 【详解】原半径=4÷2=2（厘米），新半径=10÷2=5（厘米）。 增加面积=π×(5×5-2×2)=21π（平方厘米），选B。 【牛刀小试3】一个圆的周长是12.56米，半径增加2米后，新的圆的面积是（ ）平方米。 【答案】 50.24 【思路引导】原半径=12.56÷3.14÷2=2米，新半径=4米，S=3.14×4²=50.24平方米。 【详解】原半径=12.56÷3.14÷2=2（米）。 新半径=2+2=4（米）。 3.14×4×4=50.24（平方米）。 考点九 圆的面积的实际应用 喷灌、井盖、风电机组等圆形物体，先找半径，再用 S=πr² 求覆盖/扫过面积。 【典例分析】公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10米，它能喷灌的面积是（ ）平方米。 A. 31.4 B. 62.8 C. 314 D. 78.5 【答案】C 【思路引导】射程即半径：S=3.14×10²=314平方米。 【详解】射程10米就是圆的半径。 3.14×10×10=314（平方米），选C。 【牛刀小试1】全球首台20兆瓦海上风电机组的叶轮半径为150米，风起时叶轮转动形成一个圆，这个叶轮的扫风面积约是（ ）平方米。 【答案】 70650 【思路引导】S=3.14×150²=3.14×22500=70650平方米。 【详解】 3.14×150×150=70650（平方米）。 【牛刀小试2】一个圆形井盖的直径是80厘米，这个井盖的面积约是（ ）平方厘米。 A. 251.2 B. 502.4 C. 200.96 D. 5024 【答案】D 【思路引导】r=80÷2=40，S=3.14×40²=5024平方厘米。 【详解】半径=80÷2=40（厘米）。 3.14×40×40=5024（平方厘米），选D。 【牛刀小试3】数学课本第62页例题：风电机组扫风面积70650平方米，一个标准足球场长105米、宽68米，扫风面积大约相当于（ ）个足球场（得数保留整数）。 【答案】 10 【思路引导】105×68=7140，70650÷7140≈10个。 【详解】足球场面积=105×68=7140（平方米）。 70650÷7140≈10（个）。 考点十 拓展：扇形、扇环与围地问题 扇形面积按圆心角占整个圆的比例求；扇环面积=大扇形-小扇形；周长一定时，围成圆的面积最大。 【典例分析】一个圆的周长和正方形的周长都是6.28分米，圆的面积（ ）正方形的面积。 A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 无法比较 【答案】A 【思路引导】周长相等时圆面积最大：r=1分米，S圆=3.14；正方形边长=1.57分米，S正=2.4649，圆面积大。 【详解】圆半径=6.28÷3.14÷2=1（分米），S圆=3.14×1×1=3.14。 正方形边长=6.28÷4=1.57（分米），S正=1.57×1.57=2.4649。 3.14>2.4649，圆面积大，选A。 【牛刀小试1】一根绳子长31.4米，用这根绳子在操场上围出一块地，围成（ ）形面积最大，最大面积是（ ）平方米。 【答案】圆；78.5 【思路引导】周长一定，围成圆的面积最大：r=31.4÷3.14÷2=5，S=3.14×5²=78.5平方米。 【详解】周长一定时，圆的面积最大。 半径=31.4÷3.14÷2=5（米）。 3.14×5×5=78.5（平方米）。 【牛刀小试2】有一栋底面呈长方形的建筑物，墙角有一根木桩，木桩上拴着一条狗，拴狗的绳子长4米，这条狗活动区域的面积约是（ ）平方米。 A. 50.24 B. 37.68 C. 12.56 D. 25.12 【答案】B 【思路引导】狗活动区域是半径为4米的圆：×3.14×4²=37.68平方米。 【详解】活动区域=半径为4米的圆去掉，即圆。 3.14×4×4×=37.68（平方米），选B。 【牛刀小试3】《九章算术》记载圆环面积=（内圆周长+外圆周长）÷2×径。若圆环形地垫剪开展开成等腰梯形，上底12.56米、下底18.84米，则地垫面积是（ ）平方米。 【答案】 15.7 【思路引导】内周长12.56米→内半径2米；外周长18.84米→外半径3米；径=1米；(12.56+18.84)÷2×1=15.7平方米。 【详解】内半径=12.56÷3.14÷2=2（米），外半径=18.84÷3.14÷2=3（米）。 径=3-2=1（米）。 (12.56+18.84)÷2×1=15.7（平方米）。 综合提升训练 一、选择题 【典例分析】 1. 一个圆的面积是50.24平方厘米，它的半径是（ ）厘米。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 16 【答案】A 【思路引导】r²=50.24÷3.14=16，r=4厘米。 【详解】 50.24÷3.14=16。 4×4=16，半径是4厘米，选A。 【变式1】 2. 一个圆的半径是3厘米，一个正方形的边长是3厘米，圆的面积和正方形的面积相比，（ ）。 A. 圆面积大 B. 正方形面积大 C. 一样大 D. 无法比较 【答案】A 【思路引导】S圆=3.14×9=28.26，S正=9，圆面积大。 【详解】圆面积=3.14×3×3=28.26（平方厘米）。 正方形面积=3×3=9（平方厘米）。 28.26>9，选A。 【变式2】 3. 把一张圆形纸片剪拼成一个近似长方形，长方形的长是18.84厘米，这个圆的周长是（ ）厘米。 A. 18.84 B. 37.68 C. 113.04 D. 6.28 【答案】B 【思路引导】长=πr=18.84→r=6，周长=2πr=37.68厘米。 【详解】πr =18.84，r =18.84÷3.14 =6（厘米）。 周长=2×3.14×6=37.68（厘米），选B。 【变式3】 4. 一个圆的半径由2厘米增加到3厘米，下列说法正确的是（ ）。 A. 直径增加3厘米，周长增加3.14厘米，面积增加15.7平方厘米 B. 直径增加2厘米，周长增加6.28厘米，面积增加15.7平方厘米 C. 直径增加2厘米，周长增加3.14厘米，面积增加6.28平方厘米 D. 直径增加6厘米，周长增加6.28厘米，面积增加3.14平方厘米 【答案】B 【思路引导】r由2到3：直径增2厘米，周长增2×3.14=6.28厘米，面积增3.14×(3²-2²)=15.7平方厘米。 【详解】直径由4增到6，增加2厘米；周长由12.56增到18.84，增加6.28厘米。 面积由12.56增到28.26，增加15.7平方厘米。 选B。 二、填空题 【典例分析】 5. 一个圆的半径是4厘米，它的面积是（ ）平方厘米，周长是（ ）厘米。 【答案】 50.24；25.12 【思路引导】S=3.14×4²=50.24，C=2×3.14×4=25.12。 【详解】面积=3.14×4×4=50.24（平方厘米）。 周长=2×3.14×4=25.12（厘米）。 【变式1】 6. 一个圆形喷水池的周长是25.12米，它的占地面积是（ ）平方米。 【答案】 50.24 【思路引导】r=25.12÷3.14÷2=4，S=3.14×4²=50.24平方米。 【详解】半径=25.12÷3.14÷2=4（米）。 3.14×4×4=50.24（平方米）。 【变式2】 7. 一个环形垫片，外圆半径5厘米、内圆半径3厘米，垫片的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 50.24 【思路引导】S环=3.14×(5²-3²)=3.14×16=50.24平方厘米。 【详解】 3.14×(5×5-3×3) =3.14×16 =50.24（平方厘米）。 【变式3】 8. 在边长6厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是（ ）平方厘米，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 28.26；7.74 【思路引导】最大圆直径=6厘米，半径3厘米，S圆=28.26；剩余=36-28.26=7.74平方厘米。 【详解】最大圆半径=6÷2=3（厘米），圆面积=3.14×9=28.26。 正方形面积=6×6=36，剩余=36-28.26=7.74（平方厘米）。 9. 一个半圆形纸片的周长是15.42厘米，它的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 14.13 【思路引导】半圆周长=πr+2r=5.14r=15.42→r=3，半圆面积=3.14×3²÷2=14.13平方厘米。 【详解】 5.14r =15.42，r =15.42÷5.14 =3（厘米）。 半圆面积=3.14×3×3÷2=14.13（平方厘米）。 三、操作题 【典例分析】 10. 用圆规画一个半径是2厘米的圆，标出圆心O和半径r，并计算这个圆的面积。 【答案】画图略；面积12.56平方厘米 【思路引导】用圆规两脚叉开2厘米画圆，标圆心O、半径r；S=3.14×2²=12.56平方厘米。 【详解】用圆规画半径2厘米的圆。 标出圆心O，从圆心到圆上画半径r并标“2厘米”。 S =3.14×2×2 =12.56（平方厘米）。 四、解答题 【典例分析】 11. 如图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少米？面积是多少平方米？（单位：米，π取3.14） 【答案】周长300.48米；面积4003.84平方米 【思路引导】周长=圆周长+两条直边=3.14×32+100×2；面积=圆面积+长方形面积。 【详解】圆周长=3.14×32=100.48（米），两条直边=100×2=200（米）。 周长=100.48+200=300.48（米）。 圆面积=3.14×(32÷2)²=803.84（平方米），长方形面积=100×32=3200。 总面积=803.84+3200=4003.84（平方米）。 答：周长300.48米，面积4003.84平方米。 【变式1】 12. 公园有两块一样大的半圆形草坪，它们的周长都是128.5米，这两块草坪的总面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】 1962.5 【思路引导】半圆周长=πr+2r=5.14r=128.5→r=25米；两块合成一个整圆，面积=3.14×25²=1962.5平方米。 【详解】半圆周长=3.14r+2r=5.14r=128.5。 r =128.5÷5.14 =25（米）。 两块草坪合成一个整圆：3.14×25×25=1962.5（平方米）。 答：总面积1962.5平方米。 【变式2】 13. 已知三角形ABC是等腰直角三角形，AB=BC=10分米。以锐角顶点A为圆心、AB长为半径画出一个扇形（如图涂色部分），涂色部分的面积是多少平方分米？（π取3.14） 【答案】 39.25 【思路引导】∠A是锐角=45°，扇形半径10分米、圆心角45°，面积=3.14×10²×=3.14×100÷8=39.25平方分米。 【详解】∠A =45°，扇形半径 =AB =10（分米）。 扇形面积=3.14×10×10×=3.14×100÷8=39.25（平方分米）。 答：涂色部分面积39.25平方分米。 【变式3】 14. 一个圆环形的土楼，外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少平方米？（π取3.14） 【答案】 376.8 【思路引导】面积差=π[(17²-7²)-(13²-7²)]=3.14×(289-169)=3.14×120=376.8平方米。 【详解】第一座外半径17米、内半径7米；第二座外半径13米、内半径7米。 面积差=3.14×[(17×17-7×7)-(13×13-7×7)]。 =3.14×(289-169) =3.14×120 =376.8（平方米）。 答：相差376.8平方米。 15. 如图，从圆环上截取的部分叫作扇环，求这个扇环的面积。（外圆半径5分米，内圆半径4分米，扇环圆心角是120°，π取3.14） 【答案】 9.42 【思路引导】扇环面积=大扇形-小扇形=3.14×(5²-4²)×=3.14×9×=9.42平方分米。 【详解】大扇形面积=3.14×5×5×≈26.17（平方分米）。 小扇形面积=3.14×4×4×≈16.75（平方分米）。 扇环=26.17-16.75=9.42（平方分米）。 答：扇环面积9.42平方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $