精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市二中联合学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测 数学试题 一、单选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A. 3、8、2 B. 2、5、4 C. 6、3、5 D. 9、15、7 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可． 【详解】2+3＜8，A不能组成三角形； 2+4＞5，B能组成三角形； 3+5＞6，C能组成三角形； 7+9＞15，D能组成三角形； 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 4. 如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（ ） A. 甲、乙两种作法都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确、乙正确 D. 甲乙两种作法都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．分别根据甲、乙的条件证明即可． 【详解】解：甲：作底边的中线，则， 在与中， ， ， ， 故甲的作法正确； 乙：作平分交于C，则有， 在与中， ， ， ， 故乙的作法正确． 综上所述，甲、乙都正确． 故选A． 5. 如图，，，，则的度数为( ) A. B. C. 和之间 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证，得,所以，．熟记全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】在和中 , 所以，， 所以，, 所以，． 故选：B． 6. 如图，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查了三角形外角的性质，根据，得出答案即可．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键． 【详解】解：∵，，为的外角， ∴． 故选：C． 7. 如图，已知与全等，其中点在边上，，的对应角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在边上， ∴， ∵与全等，， ∴与是对应边， 又∵， ∴与不是对应边， ∴与是对应边，与是对应边， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于，根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，进而求得答案． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ，， 阴影部分的面积． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求面积，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（每空3分，共30分） 11. 等腰三角形的周长为20，一边长为5，则底边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系验证，排除不成立的情况即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 若为等腰三角形的腰长，则底边长为； ∵ ，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴ 此情况不成立，舍去； ② 若为等腰三角形的底边长，则腰长为； ∵ ，，满足三角形三边关系， ∴ 此情况成立； 综上，底边长为． 12. 如图，已知，要用来证明，还需添加的一个条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，，则需要添加一角相等，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，，则要用来证明，还需要条件一角相等（不能使是两组相等角的夹边），即， 故答案为：． 13. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】如详解图，把绕点逆时针旋转到的位置，即可求得答案． 【详解】解：如图，设小正方形的边长为，则， ， ， ， ． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 15. 已知AD是△ABC的中线，点D在BC上，△ABD的周长比△ACD的周长多2，AB与AC的和为12，则AB的长为 _____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD=CD，根据三角形的周长公式得到AB-AC=2，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答． 【详解】∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长多2， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝2， 则， 解得：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查三角形的中线、二元一次方程组的解法，三角形的一个顶点与对边中点所连的线段叫做三角形的中线． 16. 若△ABC三条边长为a，b，c，化简_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 【答案】或 【解析】 【分析】由，需再找两个边对应相等即可； 分类讨论：，求解两种情况下的长即可完成解答． 【详解】解：和中， ，， 要使与全等， 只有：和两种情况． 当时，． 当时，． 综上，当或时，才能使与全等． 18. 在△ABC中，AB=5， AC=7，则BC边上的中线的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】延长AE到D，使AE=DE，通过证明△AEC≌△DEB△，可得BD=AC，根据三角形的三边关系，得出即可． 【详解】 解：延长AE到D，使AE=DE，连接BD． ∵AE是中线， ∴BE=CE，∠AEC=∠DEB， ∴△AEC≌△DEB△（SAS）， ∴BD=AC=7，又AE=a， ∴2＜2a＜12， ∴1＜a＜6． 故答案为1＜a＜6． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 19. 定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可． 【详解】解：设善美角的度数为， 则，或，或， ∴或或， 故答案为或或． 【点睛】本题为新定义题型，涉及到了三角形的内角和定理和一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，分类讨论并正确计算． 20. 已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图（1），连接，图中有1对全等三角形；如图（2），连接，图中有3对全等三角形；如图（3），连接，图中有6对全等三角形，…，依此规律，第2026个图形中全等三角形是____________对． 【答案】2053351 【解析】 【分析】根据题意，除点A外，当有1个点时，图中有1对全等三角形；除点A外，当有2个点时，图中有对全等三角形；除点A外，当有3个点时，图中有对全等三角形；由此得到规律即可计算出结果． 【详解】解：根据题意，图（1）中有1对全等三角形； 图（2）中有对全等三角形； 图（3）中有对全等三角形； 由此得到规律，除点A外，当有2026个点时， 第2026个图中有对全等三角形． 三、解答题（共60分） 21. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， 在与中， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 22. 如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点E，与交于点O．已知，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，对顶角相等，垂线的定义，解题的关键是利用垂线的定义求出，再利用对顶角相等求出，再利用三角形内角和求出结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 23. （1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】 （1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】略 24. 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】 图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【解析】 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 25. 探究解题： 【问题】 （1）如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 （2）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （3）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）．理由如下： 由三角形的外角性质得，，， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，，然后整理即可得解． 【小问1详解】 解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 【小问2详解】 解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测 数学试题 一、单选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 2. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A. 3、8、2 B. 2、5、4 C. 6、3、5 D. 9、15、7 4. 如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边的中线 乙：作平分交于C，则（ ） A. 甲、乙两种作法都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确、乙正确 D. 甲乙两种作法都不正确 5. 如图，，，，则的度数为( ) A. B. C. 和之间 D. 以上都不对 6. 如图，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知与全等，其中点在边上，，的对应角是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每空3分，共30分） 11. 等腰三角形的周长为20，一边长为5，则底边长为________． 12. 如图，已知，要用来证明，还需添加的一个条件是________． 13. 如图是由相同的小正方形组成的网格，点均在格点上，则的度数为____________． 14. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 15. 已知AD是△ABC的中线，点D在BC上，△ABD的周长比△ACD的周长多2，AB与AC的和为12，则AB的长为 _____． 16. 若△ABC三条边长为a，b，c，化简_______． 17. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 18. 在△ABC中，AB=5， AC=7，则BC边上的中线的取值范围是__________ 19. 定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______． 20. 已知为的平分线，…为的平分线上的若干点．如图（1），连接，图中有1对全等三角形；如图（2），连接，图中有3对全等三角形；如图（3），连接，图中有6对全等三角形，…，依此规律，第2026个图形中全等三角形是____________对． 三、解答题（共60分） 21. 如图，已知，，，求证：． 22. 如图，在中，点D是延长线上一点，过点D作于点E，与交于点O．已知，，求和的度数． 23. （1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 24. 已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 25. 探究解题： 【问题】 （1）如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 （2）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （3）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $