精品解析：黑龙江哈尔滨市第七中学2026-2027学年上学期八年级数学学科10月错再练

哈七中八年级数学学科10月错题再练 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 3. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，6 C. 3，4，8 D. 3，4，5 4. 如图，已知，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形三个内角的度数之比为5：4：9，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 8. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共10题） 11. 如图，，若，，则的度数为______． 12. 将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 13. 已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是_______． 14. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为______． 15. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 16. 如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 17. 如图有一材质均匀的薄板由两个矩形组成，建立平面直角坐标系，发现矩形的重心坐标为，矩形的重心坐标为，则此薄板的重心坐标为_______． 18. 如图，在的方格纸中，__________ ． 19. 已知分别为的角平分线和高，，，则______． 20. 如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 三、解答题（21题10分，22题6分，23题6分，24题8分，25，26，27各10分．） 21. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 22. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 23. 实践与探究：活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． （1）勤学小组在图的网格中构造出，使，且这两个三角形沿直线翻折能够完全重合，请画出符合条件的． （2）善思小组在图的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合，请画出符合条件的． （3）笃行小组在图的网格中构造出，使，与相交于点，且平分．请画出符合条件的． 24. 如图，中，为边上一点，过作，交于为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 25. 【综合与实践】，，相交于点E， （1）如图1，求证：． （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别作，，垂足分别为点，连接．求的度数．小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算能够求出的度数．根据以上思路，完成解答过程． 26. 按要求完成下列各题： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为，在中，，三点都在直线上，且，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点．若，求． 27. 在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，且是方程组的解． （1）如图，分别求出点的坐标． （2）如图，动点同时从原点出发，以相同的速度分别沿轴、轴正方向运动，连接．延长交于点，连接，求的度数． （3）如图，点为上一点，，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈七中八年级数学学科10月错题再练 一、选择题（每题3分，共10题） 1. 如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 2. 如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形的两边之和大于第三边 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 3. 下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，3，6 C. 3，4，8 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项能否构成三角形即可． 【详解】解：A选项：最长边为5，，不满足三边关系，不能构成三角形，A选项错误； B选项：最长边为6，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项：最长边为8，，不满足三边关系，不能构成三角形； D选项：最长边为5，，满足三边关系，能构成三角形． 4. 如图，已知，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 5. 如图，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 6. 如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 7. 一个三角形三个内角的度数之比为5：4：9，这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的判定，能通过角度对三角形进行分类是解题关键． 【详解】解：设三角形内角分别为， 三角形内角和为， ， 解得：， 故三角形三个内角的度数分别为，，． 故三角形为直角三角形． 8. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 9. 如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 10. 如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知和都是等腰三角形，先说明，从而①正确；根据全等三角形对应角相等可知，从而说明②正确；根据全等三角形对应边上的高相等可知④正确；③不能确定． 【详解】解：在和中， ， ， 即， 在和中， ，故①正确； 设与交于点， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ，故②正确； ，， 边上的高等于边上的高， 即点A到和到的距离相等，故④正确； 与大小关系不确定，， 故无法确定平分，故③不正确． 综上可知，正确的说法有个． 二、填空题（每题3分，共10题） 11. 如图，，若，，则的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 12. 将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度## 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 13. 已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要先读懂尺规作图的痕迹，得到三组对应相等的条件，再根据全等三角形的判定定理得到作图依据． 【详解】解：由作图痕迹得：， ∴， 因此作图的依据为． 14. 如图，在中，，的两条内角平分线、交于点，则的度数为______． 【答案】133 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解 【详解】、平分, 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练以上知识是解题的关键． 15. 如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 17. 如图有一材质均匀的薄板由两个矩形组成，建立平面直角坐标系，发现矩形的重心坐标为，矩形的重心坐标为，则此薄板的重心坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个矩形面积，再根据重心坐标公式计算即可． 【详解】解：∵矩形的横向长度为，纵向高度为， ∴面积， ∵矩形的横向长度为，纵向高度为， ∴面积， ∴此薄板的重心的横坐标， 纵坐标， ∴薄板的重心坐标为． 18. 如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 已知分别为的角平分线和高，，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】分在的左侧和右侧两种情况，分别画出图形，根据三角形高和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：如图，当在的左侧时， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 如图，当在的右侧时， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上，或． 20. 如图，在中，，分别为，边上中点，，交于点．若的面积为6，则的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据中点定义得出为中线，再根据中线的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， ∵分别为边上中点， ∴为的中线， ∴，，，为的中线， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 三、解答题（21题10分，22题6分，23题6分，24题8分，25，26，27各10分．） 21. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质，结合全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】略． 22. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． （1）求证：； （2）若，试求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 实践与探究：活动课上，老师和同学们一起以“网格中的全等三角形”为主题展开探究．他们在网格中构造出顶点均在格点（网格中小正方形的顶点）上的全等三角形，使其满足一定的条件． （1）勤学小组在图的网格中构造出，使，且这两个三角形沿直线翻折能够完全重合，请画出符合条件的． （2）善思小组在图的网格中构造出，使，且线段的中点与线段的中点重合，请画出符合条件的． （3）笃行小组在图的网格中构造出，使，与相交于点，且平分．请画出符合条件的． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】（）根据全等形的特征和轴对称图形的性质画图即可； （）根据全等形的特征画图即可； （）根据全等形的特征画图即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，中，为边上一点，过作，交于为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：平分； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得出，，结合，得出，即可证明； （2）在中，根据三角形内角和为求出，则，根据对顶角相等，得 ，再根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 【综合与实践】，，相交于点E， （1）如图1，求证：． （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点重合），分别作，，垂足分别为点，连接．求的度数．小明发现，借助问题1的结论，可以利用“一边一角构造全等”的思路来解决问题2．如图3，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算能够求出的度数．根据以上思路，完成解答过程． 【答案】（1）证明： （2） 【解析】 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：在线段上截取，连接 由小问1可知 ，即 为等腰直角三角形， ． 26. 按要求完成下列各题： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为，在中，，三点都在直线上，且，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点．若，求． 【答案】（1）证明：∵直线，直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：成立，证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）证明，得到，，进而即可求证； （）同理（）证明即可； （）过点作于点，过点作，交的延长线于点，由（）和（）的结论可知，，即得，进而根据三角形的面积公式得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则， 由（）和（）的结论可知，， ∴， ∵，， ∴ 27. 在平面直角坐标系中，点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，且是方程组的解． （1）如图，分别求出点的坐标． （2）如图，动点同时从原点出发，以相同的速度分别沿轴、轴正方向运动，连接．延长交于点，连接，求的度数． （3）如图，点为上一点，，若，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用加减法求出方程组的解即可求解； （）证明，得到，进而推出，过作于，于，再证明，得到，即得平分，即可求解； （）由（）知，得，进而得到，即可证，得到，，即可得，过作轴于，利用勾股定理得，再根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：解方程组，得， ∴，； 【小问2详解】 解：∵点，， ∴， ∵动点运动速度和时间均相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过作于，于， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴； 【小问3详解】 解：由（）知， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过作轴于， ∵， ∴，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $