江苏省东海县2026—2027学年第一学期九年级数学期中考前卷

江苏省东海县2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考前卷 解析版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0 解：由x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，得a≠0． 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程x2﹣10x＝3时，方程两边应同时（　　） A．加10 B．减10 C．加25 D．减25 解：x2﹣10x＝3， x2﹣10x+25＝3+25，即（x﹣5）2＝28， 故选：C． 3. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示： … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 4．下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 解：A、直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，说法错误，故不符合题意； B、等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，说法错误，故不符合题意； C、圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，说法错误，故不符合题意； D、半圆是圆的一条弧，其度数为180°，说法正确，故符合题意． 故选：D． 5．如图，同时改变方程中三个符号中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使该方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．任意两个都成立 解：根据根的判别式改变①②、①③、②③处符号逐项分析判断如下： ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣2）×1＝9＞0， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为2x2+x+1＝0， ∴Δ＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为2x2﹣x﹣1＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为﹣2x2+x﹣1＝0， ∴Δ＝12﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝﹣7＜0， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B． 6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示： ∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC， ∴A、C、B、D四点共圆， ∵量角器上点D对应的读数是100°， ∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°， ∴∠BCD∠BOD＝40°， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 8．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 解：如图： 根据图形我们可以发现，当△ABC的内切圆的半径确定时，∠A在增大的过程中，△ABC的外接圆的半径先减小，后增大； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．写出一个一次项系数为0的一元二次方程：　 ． 解：根据一元二次方程的定义，构造一个二次项系数不为0、一次项系数为0的方程可以为：a＝1，b＝0，c＝﹣1． 故答案为：x2﹣1＝0（答案不唯一）． 10．若m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为　 ． 解：∵m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根， ∴由根与系数的关系，得m+n＝5，mn＝2， ∴m+n﹣mn＝5﹣2＝3， 故答案为：3． 11．若n是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3+2n﹣n2的值是　 ． 解：将n代入方程得n2﹣2n＝1， 则﹣3+2n﹣n2＝﹣3﹣（n2﹣2n）＝﹣3﹣1＝﹣4． 故答案为：﹣4． 12．反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是　 ． 解：∵反比例函数y的图象位于第一、第三象限， ∴k+1＞0， ∴k＞﹣1． 故答案为：k＞﹣1． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上，∠C＝57°，则∠D＝　 °． 解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上，∠C＝57°， ∴∠ADB＝90°，∠ACE＝∠ADE＝57°， ∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝33°． 故答案为：33． 14．如图，两个正六边形的边长都为3，将它们的一边重合在一起，顶点A，B之间的距离为　 ． 解：如图所示，连接正六边形的对角线，三条对角线交于点C， 可得：， ∵正六边形是轴对称图形， ∴CB＝CE， ∴△BCE是等边三角形， ∴BC＝BE＝CD＝AD＝3， ∴AB＝AD+CD+CE＝3+3+3＝9， ∴顶点A，B之间的距离为9． 故答案为：9． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 ． 解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 16．如图，线段PQ在⊙O的直径AB上运动，AB＝4，PQ＝2，分别过点P，Q作PC⊥AB，QD⊥AB，与⊙O分别相交于点C，D．设的长度为l，则l的大小范围是　 ． 解：作CH⊥QD于点H，连接CD，则∠CHD＝∠CHQ＝90°， ∵∠CPQ＝∠DQP＝90°， ∴CH＝PQ，QH＝CP， ∵PQ＝2， ∴CH＝2， ∴， ∴CD随着点C和点D的高度差的增大而增大， ∴当点C和点D在AB的同侧，且CP＝DQ时，CD取得最小值，此时l取最小值；当点C和点D在AB的异侧，且CP＝DQ时，CD取得最大值，此时l取最大值； 当点C和点D在AB的同侧，且CP＝DQ时， ∵PC⊥AB，QD⊥AB， ∴CP∥DQ， 又∵CP＝DQ，∠CPQ＝∠DQP＝90°， ∴CD＝PQ＝2， ∵⊙O的直径AB＝4， ∴OC＝OD＝2， ∴OC＝OD＝CD， ∴∠COD＝60°， ∴l的最小值为， 当点C和点D在AB的异侧，且CP＝DQ时， 在Rt△CPO和Rt△DQO中， ， ∴△CPO≌△DQO， ∴∠COP＝∠DOQ， ∴∠COP+∠AOD＝∠DOQ+∠AOD＝180°， ∴l的最大值为， ∴l的大小范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，合计102分） 17．（本题满分10分）解方程： （1）3x（x+2）＝2x+4； （2）2x2+3x﹣5＝0； 解：（1）3x（x+2）＝2x+4， 3x（x+2）＝2（x+2）， （3x﹣2）（x+2）＝0， ∴3x﹣2＝0或x+2＝0， ∴x1，x2＝﹣2； （2）∵2x2+3x﹣5＝0， ∴（x﹣1）（2x+5）＝0， 则x﹣1＝0或2x+5＝0， 解得：x＝1或x； 18．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，直角边OB在x轴上，AB的中点C的坐标为（4，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求k的值及点A的坐标； （2）将线段AO沿x轴向左平移一定的距离，使得点O的对应点E落在x轴上，点A的对应点D恰好落在反比例函数y的图象上，求平移的距离． 解：（1）∵AB的中点C的坐标为（4，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C， ∴k＝xy＝4×2＝8， ∵C为AB的中点，∠ABO＝90°， ∴A（4，4）； （2）∵将线段AO沿x轴向左平移一定的距离，使得点O的对应点E落在x轴上， ∴设D（a，4）， ∵k＝8， ∴反比例函数的解析式为y， ∴4，解得a＝2， ∴D（2，4）， ∴平移的距离为4﹣2＝2． 19．（本题满分8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，，作OE⊥AB，交⊙O于点E，延长EO交CD于点F，连结BD． （1）求证：AB∥CD． （2）若EF＝CD＝8，求⊙O的半径． （1）证明：∵， ∴∠B＝∠D， ∴AB∥CD； （2）解：如图，连接OC， ∵OE⊥AB，AB∥CD， ∴EF⊥CD， ∴DF＝CFCD＝4， 设⊙O的半径为r， ∵EF＝8， ∴OF＝8﹣r， 由勾股定理得：OF2+CF2＝OC2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， 则⊙O的半径为5． 20．（本题满分10分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，x＝2都不可能是原方程的根． 解：（1）x2+（2k+1）x+k2＝0， ∵a＝1，b＝2k+1，c＝k2， ∴b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴4k+1＞0， 解得：； （2）将x＝2代入方程得4+2（2k+1）+k2＝0， 整理得：k2+4k+6＝0， ∴Δb2﹣4ac＝16﹣24＝﹣8＜0， ∴k无解， ∴无论k取何值，x＝2都不可能是原方程的根． 21．（本题满分10分）徐州汉文化景区附近的商店推出“两汉风华”特色纪念章，每个纪念章的成本为5元．当售价为10元时，平均每天可售出400个．商店为了弘扬两汉文化，让更多游客把徐州记忆带回家，决定降价销售．经市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个． （1）若要使每天销售旅游纪念章获利2400元，则售价应降低多少元？ （2）商店希望每天获利不低于2600元，下列说法正确的有　 ． ①现有条件下，尽量降价来增加销量，从而实现目标 ②现有条件下，减少降价，增加单个纪念章的利润，从而实现目标 ③现有条件下，不能实现目标 ④改进工艺，使每个纪念章成本降为4元，其余条件不变，能够实现目标 解：（1）设售价应降低a元， 由题意得：， 整理得：a2﹣3a+2＝0， 解得a＝1或a＝2， ∵商店为了弘扬两汉文化，让更多游客把徐州记忆带回家， ∴a＝2， 答：售价应降低2元． （2）解售价应降低x元，每天获利y元， 由题意得：， ∴当时，y的值最大，最大值为2450＜2600， 即现有条件下，通过降价，最大利润为2450元，不能实现每天获利不低于2600元的目标，则说法①和②错误，③正确； 当成本降为4元，其余条件不变时， 则， ∴当x＝2时，y的值最大，最大值为3200＞2600， 即改进工艺，使每个纪念章成本降为4元，其余条件不变，能够实现每天获利不低于2600元的目标，则说法④正确； 综上，说法正确的有③④， 故答案为：③④． 22．（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点D是BC上一点，以CD为直径作⊙O交AC点E，且点E是AC中点，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若，BD＝1，求图中阴影部分的面积． （1）证明：连接OE，DE， ∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，E是AC的中点， ∴BE＝AE＝CEAC，∠C＝30°， ∴∠A＝∠ABE＝60°，∠OEC＝∠C＝30°， ∵∠AEB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BEO＝180°﹣∠AEB﹣∠OEC＝90°， ∴OE⊥BE， ∵OE是⊙O的半径， ∴BE是⊙O的切线； （2）解：∠DOE＝∠OEC+∠C＝60°， 由（1）知∠BEO＝90°， ∴∠OBE＝30°， ∴OB＝2OE， 设⊙O的半径为R， ∴1+R＝2R， ∴R＝1， ∴阴影部分的面积＝三角形OBE的面积﹣扇形ODE的面积1． 23．（本题满分10分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】如表是测试所得的数据： 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 【直观呈现】 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 解：（1）如图， （2）观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）由题意，要求视野角度不小于80度，即f≥80，代入函数表达式得：， 因为行车速度v＞0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变： 4000≥80v， 解得v≤50， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h． 24．（本题满分10分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，△ABC的顶点均为格点，在AB边上找到一点M，连结CM，使∠MCB＝∠A； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作⊙O的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在AC上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作∠MBN，使∠MBN＝∠A． 解：（1）如图，点M即为所求； 证明：∵AC2，BC，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵CM⊥AB， ∴∠MCB＝∠A＝90°﹣∠B； （2）如图，直线KL即为所求； 由网格线可知∠OBL＝45°+45°＝90°， ∴KL是切线； （3）如图，∠MBN即为所求； 证明：∵AB为直径， ∴∠ANB＝90°， 由（2）知BM是圆O切线， ∴∠ABM＝90°， ∴∠MBN＝∠A＝90°﹣∠ABN． 25．（本题满分12分）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1与y的关系时，由函数表达式得2x﹣1，去分母得2x2﹣x﹣1＝0，因为Δ＝9＞0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①y，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“　 函数”，①与③是“　 函数”； （2）若y1（m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x的取值范围是　 ；若y（n≠0）与y＝2x﹣6是“相连函数”，则n的值为　 ； （3）如图3，过点C（0，6）的直线l1，l2对应的函数分别与y，y是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2与x轴分别交于A，B两点，已知AB＝6，k1k2＝﹣18，求的值． 解：（1）对于①与②，联立得， 整理得，x2+1＝0， ∵x2+1≥1， ∴该方程无实数解，即与y＝2x无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理得，3x2﹣x﹣2＝0， 解得或x＝1， ∴与y＝﹣3x+1有两个交点， ∴①与③是“友好函数”， 故答案为：陌生；友好； （2）由图可知，两个函数的交点的横坐标为﹣3和1，且在x＜﹣3和0＜x＜1部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1； 联立与y＝2x﹣6，得， 整理得，2x2﹣6x﹣n＝0， 当x＝0时，n＝0，与n≠0矛盾， ∴x≠0， ∵与y＝2x﹣6是“相连函数”， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣n）＝0，解得， 故答案为：x＜﹣3或0＜x＜1，； （3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6， 联立y＝k3x+6与，得， 整理，得， 当x＝0时，k1＝0与题意矛盾， ∴x≠0， ∵y＝k3x+6与是“相连函数”， ∴Δ＝62﹣4k3（﹣k1）＝0， ∴k1k3＝﹣9，即， ∴直线l1的函数解析式为， 将y＝O代入，得， ∴点A的坐标为， 同理，点B的坐标为， ∴，即k2﹣k1＝9， ∴． 26．（本题满分14分）【问题情境】有一张平行四边形纸片ABCD，AD＝2AB，AB＝a，∠DAB＝60°，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°． 【问题探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）∠AOB＝　 °；所在的圆的半径长为　 （用含a的代数式表示）． 【类比探究】请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题情境】中纸片ABCD上有一点P，且∠APB＝30°． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接CP，求线段CP的最小值（用含a的代数式表示）． 【拓展应用】（4）如图3，四边形ABCD是一块平行四边形空地，经测量AB＝100m，AD＝200m，∠DAB＝60°．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形ABCD内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为AQ，BQ，CQ，DQ，且∠DCQ＝∠CBQ．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中△ADQ区域种植牡丹．为节约成本，要求△ADQ面积尽可能的小．则△ADQ面积的最小值为　　 ． 解：（1）∵平行四边形纸片ABCD，AB＝a，点P在以AB为弦的圆弧上，∠APB＝45°， ∴∠AOB＝2∠APB＝90°， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴， ∴所在的圆的半径长为； 故答案为：90，； （2）所有满足条件的P，如图2.1，中的任意一点P即为所求； （3）如图2.2，连接OC，交于点P， 此时CP的值最小， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝2AB，AB＝a，∠DAB＝60°， ∴AB＝CD＝a，∠ADC＝120°， ∴由作图可知：OA＝OD＝AB＝CD＝a， ∴∠DOC＝∠DCO＝30°， 过点D作DE⊥OC于点E， ∴DEODa， 在直角三角形DOE中，由勾股定理得：OE＝CEa， ∴OCa， ∵OP＝a， ∴CPa﹣a， 即CP的最小值为； （4）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝100m，AD＝200m，∠DAB＝60°， ∴AB＝CD，AD＝BC＝200m，AD∥BC， ∴∠ADC+∠DCB＝180°，即∠ADC+∠DCQ+∠BCQ＝180°， ∵∠CBQ+∠BQC+∠BCQ＝180°，∠DCQ＝∠CBQ， ∴∠BQC＝∠ADC＝180°﹣60°＝120°， 由∠BQC是定值，且所对的线段也是定值，可知点Q的运动轨迹是一段圆弧，如图3，连接OB，OC，过点O作OH⊥AD于点H，交BC，⊙O分别于点F，G， ∵AD∥BC， ∴OF⊥BC， 由（3）可知：HFAB＝150m，BF＝CFBC＝100m， 要使△ADQ的面积最小，由图可知当且仅当点Q与点G重合时最小， ∵∠BQC＝120°， ∴优弧BC所对的圆心角度数为240°， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， 同理（3）可得OFBF＝100m，OBBF＝200m＝OG， ∴HG＝OF+HF﹣OG＝50m， ∴△ADQ的面积最小为：20050＝5000（m2）； 故答案为：m2． 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省东海县2026-2027学年度第一学期九年级数学期中考前卷 原卷版 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0 2．用配方法解一元二次方程x2﹣10x＝3时，方程两边应同时（　　） A．加10 B．减10 C．加25 D．减25 3. 在某闭合电路中，经过电路的电流（单位：）与电阻（单位：）的数据如下表所示： … 4 5 6 … … 30 20 … 已知是的反比例函数，则表格中的值为（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 28 4．下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 5．如图，同时改变方程中三个符号中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使该方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．任意两个都成立 6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．80° 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8．在△ABC中，AB＝AC，当△ABC的内切圆的半径确定时，随着∠A的度数增大，△ABC的外接圆的半径（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．写出一个一次项系数为0的一元二次方程：　 ． 10．若m，n是方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+n﹣mn的值为　 ． 11．若n是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣3+2n﹣n2的值是　 ． 12．反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是　 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都在⊙O上，∠C＝57°，则∠D＝　 °． 14．如图，两个正六边形的边长都为3，将它们的一边重合在一起，顶点A，B之间的距离为　 ． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　 ． 16．如图，线段PQ在⊙O的直径AB上运动，AB＝4，PQ＝2，分别过点P，Q作PC⊥AB，QD⊥AB，与⊙O分别相交于点C，D．设的长度为l，则l的大小范围是　 ． 三、解答题（本大题共10题，合计102分） 17．（本题满分10分）解方程： （1）3x（x+2）＝2x+4； （2）2x2+3x﹣5＝0； 18．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB为直角三角形，直角边OB在x轴上，AB的中点C的坐标为（4，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求k的值及点A的坐标； （2）将线段AO沿x轴向左平移一定的距离，使得点O的对应点E落在x轴上，点A的对应点D恰好落在反比例函数y的图象上，求平移的距离． 19．（本题满分8分）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，，作OE⊥AB，交⊙O于点E，延长EO交CD于点F，连结BD． （1）求证：AB∥CD． （2）若EF＝CD＝8，求⊙O的半径． 20．（本题满分10分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，x＝2都不可能是原方程的根． 21．（本题满分10分）徐州汉文化景区附近的商店推出“两汉风华”特色纪念章，每个纪念章的成本为5元．当售价为10元时，平均每天可售出400个．商店为了弘扬两汉文化，让更多游客把徐州记忆带回家，决定降价销售．经市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个． （1）若要使每天销售旅游纪念章获利2400元，则售价应降低多少元？ （2）商店希望每天获利不低于2600元，下列说法正确的有　 ． ①现有条件下，尽量降价来增加销量，从而实现目标 ②现有条件下，减少降价，增加单个纪念章的利润，从而实现目标 ③现有条件下，不能实现目标 ④改进工艺，使每个纪念章成本降为4元，其余条件不变，能够实现目标 22．（本题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，点D是BC上一点，以CD为直径作⊙O交AC于点E，且点E是AC中点，连接BE． （1）求证：BE是⊙O的切线； （2）若，BD＝1，求图中阴影部分的面积． 23．（本题满分10分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】如表是测试所得的数据： 行车速度v（km/h） 40 45 55 70 80 100 视野角度f（度） 100 89 73 57 50 40 【直观呈现】 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 （2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 （3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 24．（本题满分10分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，△ABC的顶点均为格点，在AB边上找到一点M，连结CM，使∠MCB＝∠A； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作⊙O的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在AC上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作∠MBN，使∠MBN＝∠A． 25．（本题满分12分）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1与y的关系时，由函数表达式得2x﹣1，去分母得2x2﹣x﹣1＝0，因为Δ＝9＞0，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 （1）对于函数①y，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“　 函数”，①与③是“　 函数”； （2）若y1（m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x的取值范围是　 ；若y（n≠0）与y＝2x﹣6是“相连函数”，则n的值为　 ； （3）如图3，过点C（0，6）的直线l1，l2对应的函数分别与y，y是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2与x轴分别交于A，B两点，已知AB＝6，k1k2＝﹣18，求的值． 26．（本题满分14分）【问题情境】有一张平行四边形纸片ABCD，AD＝2AB，AB＝a，∠DAB＝60°，请在纸片上找一点P，使得∠APB＝45°． 【问题探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以AB为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）∠AOB＝　 °；所在的圆的半径长为　 （用含a的代数式表示）． 【类比探究】请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题情境】中纸片ABCD上有一点P，且∠APB＝30°． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接CP，求线段CP的最小值（用含a的代数式表示）． 【拓展应用】（4）如图3，四边形ABCD是一块平行四边形空地，经测量AB＝100m，AD＝200m，∠DAB＝60°．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形ABCD内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为AQ，BQ，CQ，DQ，且∠DCQ＝∠CBQ．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中△ADQ区域种植牡丹．为节约成本，要求△ADQ面积尽可能的小．则△ADQ面积的最小值为　　 ． 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $