第3章 图形的初步认识 单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

第3章 图形的初步认识 教学目标 　　1. 认识生活中的立体图形与平面图形，了解点、线、面、体的关系，掌握柱体、锥体、球体的特征。 　　2. 会画简单立体图形的三视图，能根据三视图确定立体图形；认识常见立体图形的表面展开图，能判断正方体的展开图。 　　3. 掌握直线、射线、线段的有关概念和性质（两点确定一条直线、两点之间线段最短），理解线段的中点并能进行线段的和差计算。 　　4. 掌握角的概念、表示方法、度量与换算，会画角的平分线，理解余角、补角及其性质。 　　5. 会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，体会数学与实际生活的联系。 教学重难点 　　1. 重点： 　　（1）直线、射线、线段的性质与线段的中点、和差计算； 　　（2）角的概念、角的平分线、余角与补角及其相关计算； 　　（3）三视图的画法及立体图形的表面展开图。 　　2. 难点： 　　（1）度分秒的换算与角的相关计算（含分类讨论）； 　　（2）与线段、角有关的动点、动角问题； 　　（3）根据三视图还原立体图形。 知识点01 生活中的立体图形与点、线、面、体 　　1. 几何图形的分类：立体图形（各部分不都在同一个平面内，如圆柱、圆锥、棱柱、球）与平面图形（各部分都在同一个平面内，如三角形、圆、长方形）。 　　2. 常见立体图形的分类如下表： 类型 图形 主要特征 柱体 圆柱、棱柱（三棱柱、四棱柱等） 有两个底面且互相平行，侧面是曲面（圆柱）或长方形（棱柱） 锥体 圆锥、棱锥（三棱锥、四棱锥等） 有一个底面，有一个顶点，侧面是曲面（圆锥）或三角形（棱锥） 球体 球 表面是曲面，无棱无顶点 　　3. 点、线、面、体：包围着体的是面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。点动成线、线动成面、面动成体，如把长方形绕一边旋转一周可得圆柱。 　　4. 常见棱柱、棱锥的面、棱、顶点数可用"欧拉公式"关系核对：面数＋顶点数－棱数＝。 知识点02 立体图形的视图（三视图） 　　1. 投影：物体在光线下产生的影子叫投影。太阳光等平行光产生的投影叫平行投影；点光源（如灯光）产生的投影叫中心投影。 　　2. 三视图：从正面观察得到的叫主视图（正视图），从左面观察得到的叫左视图，从上面观察得到的叫俯视图。 　　3. 画三视图的规则：长对正（主、俯视图长相等）、高平齐（主、左视图高相等）、宽相等（俯、左视图宽相等）。 　　4. 由三视图确定立体图形：可先由俯视图确定底层小正方体的摆放，再结合主视图、左视图确定各层小正方体的个数。 知识点03 立体图形的表面展开图 　　1. 表面展开图：将立体图形的表面沿某些棱剪开，可以展开成平面图形，这个平面图形叫它的表面展开图。 　　2. 正方体的表面展开图共有种，常见的有"一四一"型（种）、"二三一"型（种）、"二二二"型（种）、"三三"型（种）；判断时记住"一线不过四、田凹应弃之"。 　　3. 正方体展开图中找相对面：隔一行（或隔一列）的两个正方形相对；相邻的两个面为相邻面。 　　4. 常见立体图形的展开图：圆柱展开为长方形＋两个圆，圆锥展开为扇形＋一个圆，棱柱展开为两个相同的多边形＋若干个长方形。 知识点04 平面图形与直线、射线、线段 　　1. 平面图形：三角形、圆、长方形、正方形、梯形等都在同一平面内，是平面图形。 　　2. 直线、射线、线段的区别如下表： 名称 端点个数 表示方法与延长情况 直线 0个 用两个大写字母表示（或）；可向两方无限延伸 射线 1个 用端点和另一个点表示（射线）；只能向一方无限延伸 线段 2个 用两个端点表示（线段）；不能延伸，可度量 　　3. 直线的性质（基本事实）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 　　4. 线段的性质（基本事实）：两点之间，线段最短；连接两点的线段的长度，叫做这两点之间的距离。 知识点05 线段的中点与线段的和差 　　1. 线段的长短比较：度量法（量长度比较）与叠合法（一端对齐比较另一端）。 　　2. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，即若点是线段的中点，则。 　　3. 线段的和差与等分点：线段等分点把线段分成条相等的线段，相邻等分点间的距离为线段的。 　　4. 常用方法：当线段的倍数关系较多时，常设其中一段为未知数，列方程求解。 知识点06 角的概念、表示与度量 　　1. 角的定义：由两条有公共端点的射线组成的图形（静态）；也可以看作一条射线绕端点旋转而成（动态）。公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。 　　2. 角的表示方法：用三个大写字母（顶点写在中间，如）、用一个大写字母（顶点处只有一个角时）、用数字或希腊字母表示。 　　3. 角的分类：锐角（大于小于）、直角（）、钝角（大于小于）、平角（）、周角（）。 　　4. 度分秒换算（进制）：，；换算时逐级进行，满进，借当。 　　5. 方向角（方位角）：用"北偏东（西）""南偏东（西）"描述方向，如北偏东。 知识点07 角的大小比较与角的平分线 　　1. 角的大小比较：度量法（量角器量）与叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。 　　2. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，即若射线平分，则。 　　3. 角的等分线：把角分成个相等角的射线称为角的等分线。 知识点08 余角与补角 　　1. 余角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角（互余）。 　　2. 补角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角（互补）。 　　3. 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 知识点09 尺规作图 　　1. 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，要求保留作图痕迹，写出结论。 　　2. 作一条线段等于已知线段：画一条射线，在射线上以一端为圆心、已知线段长为半径截取即可。 　　3. 作一个角等于已知角：先画一条射线，以顶点为圆心画弧交两边，再以相同半径在射线截弧，用圆规量取对应弦长确定另一交点，连接即得（依据是三边对应相等构造全等三角形）。 题型01 生活中的立体图形与点线面体 　　 　　1. 识别立体图形：按"柱、锥、球"分类，数清底面、侧面、顶点、棱。 　　2. 旋转成体：用"面动成体"判断平面图形绕轴旋转一周得到的立体图形。 3. 数棱、顶点、面数时按一定顺序，并结合"面＋顶点－棱＝"核对。 【典例1】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】D 【详解】解：图中有棱柱、圆锥、圆柱，没有球． 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若一个n棱柱有14个顶点，则这个棱柱有______个面、______条侧棱，底面形状是______边形． 【答案】 9 7 七 【分析】因为n棱柱上下两个底面都是n边形，每个n边形有n个顶点，所以总顶点数为，结合已知的14个顶点，即可求出n的值．基于求出的n，根据n棱柱面数的构成规律，面包含2个底面和n个侧面，即可得到总面数．根据n棱柱侧棱的数量特征，侧棱数量和底面边数相等，即可得到侧棱的条数．底面多边形的边数和n相等，即可得到底面的形状． 【详解】我们可以根据n棱柱的基本规律推导： 任意n棱柱的顶点总数为，题目里顶点共14个， 因此， 解得， 也就是这是七棱柱． n棱柱的面包括2个底面和n个侧面，总面数为， 代入得总面数为． n棱柱的侧棱数量和底面的边数相等，就是n， 因此侧棱共7条． n棱柱的两个底面都是n边形，因此七棱柱的底面是七边形． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒． (1)这个直七棱柱形笔筒共有_____面，_____条棱，_____个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积． 【答案】(1)9，21，14； (2)． 【分析】（1）直接观察七棱柱即可解答； （2）根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，有9个面，21条棱，14个顶点； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是． 【变式3】. （26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五棱柱有个面，条棱，则___________． 【答案】22 【分析】根据题意得出五棱柱有7个面，15条棱，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：五棱柱有7个面，15条棱， ∴， ∴． 题型02 三视图的识别与画法 　　 　　1. 明确观察方向：主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）。 　　2. 画图守则"长对正、高平齐、宽相等"，先画主视图再画左、俯视图。 3. 由三视图求小正方体个数：先用俯视图定底层，再结合主、左视图确定每列最高的层数。 【典例2】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：该几何体的俯视图是． 【变式1】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看看到的图形是一个长方形，靠近左右两侧分别有一条竖线，靠近中间左右两侧分别有两条竖线，即看到的图形如下： 故选项C符合题意． 【变式2】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【答案】这个几何体的三视图如下： 【详解】略 【变式3】. （25-26七年级上·江西吉安·期末）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形． 【答案】 从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形如图所示： 【分析】本题考查了画小方块堆砌的组合体从不同方向看到的图形，关键是从正面、左面、上面三个方向观察小正方体的堆叠方式，确定每个方向能看到的小正方形的数量与位置． 【详解】解：从正面看，底层有3个小正方形，上层最右侧有1个小正方形； 从左面看，底层有2个小正方形，上层左侧有1个小正方形； 从上面看，前排有2个小正方形，且间隔分开，后排有3个小正方形． 题型03 立体图形的表面展开图 　　 　　1. 熟记正方体种展开图，用"一线不过四、田凹应弃之"快速排除。 　　2. 找相对面：隔一行（或一列）的两个正方形相对。 3. 还原时先固定一个面，再看其余面与它的相邻、相对关系。 【典例3】. （26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，那么在原正方体中，与“学”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．启 B．智 C．笃 D．思 【答案】C 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答。 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，与“学”字所在面相对的面上的汉字是“笃”。 【变式1】. （26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面相对的面是__________； (2)若，，，，且相对两个面所表示的数的和都相等，求、表示的数． 【答案】(1)F (2) 【分析】（1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答； （2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此确定各个面的对面，再根据相对两个面所表示的数的和都相等求解即可． 【详解】（1）解：由正方体展开图的特点可知，与面相对的面是F； （2）解：由正方体展开图的特点可知，面A与面D相对， 面与面F相对， 面C与面E相对， ∵相对两个面所表示的数的和都相等， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 【变式2】. （26-27六年级上·山东东营·阶段检测）下面的图形折叠后得到的立体图形与名称不相符的是（     ） A．长方体 B．三棱锥 C．正方体 D．四棱锥 【答案】B 【详解】解：A、C、D折叠后得到的立体图形与名称都相符，B应该是三棱柱． 【变式3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的表面展开图如图①所示．若把这三个纸盒按图②所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是（     ） A．52，27 B．51，26 C．50，26 D．49，27 【答案】B 【分析】先由正方体展开图确定对面数字，算出单个正方体6个面总和；三个正方体总数字和减去被遮挡面（贴桌面正方体相贴接触面）的数字和，就是可见面数字和；要最大值就使遮挡面数字和最小，要最小值就使遮挡面数字和最大． 【详解】解：由展开图得：和相对，和相对，和相对． 单个正方体数字和：， 三个正方体总和：， 共遮挡7个面：3个贴桌面，2处2个正方体相贴， 个遮挡面． 求最大值：遮挡面数字尽量小，最小7个数字：，，3，，，，， 遮挡和的最小值：， 可见最大值：， 求最小值：遮挡面数字尽量大，最大7个数字：，，6，，，，， 遮挡和的最大值：， 可见最小值：， 故最大值和最小值分别是51，26． 题型04 直线、射线、线段及两个基本事实 　　 　　1. 直线无端点、射线一个端点、线段两个端点，据此识别与书写。 　　2. "两点确定一条直线""两点之间线段最短"常用来解释生活现象。 3. 数线段、射线条数：按端点顺序有序计数，避免重复与遗漏。 【典例4】. （26-27七年级上·山西太原·阶段检测）传统油纸伞撑开时，一根根伞骨绕伞柄顶端转动，扫出圆形的伞面．若把其中一根伞骨近似看作一条线段，这一现象说明的数学道理是：______． 【答案】线动成面 【详解】解：由题意得，这一现象说明的数学道理是线动成面． 【变式1】. （25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）下列现象中体现点动成线的是（     ）． A．流星划过天空 B．旋转一枚硬币 C．用扫把扫地 D．汽车雨刮器 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体的关系是解题的关键． 【详解】解：根据点、线、面、体的运动关系判断： A、流星可看作点，划过天空的轨迹是线，体现点动成线，符合题意； B、旋转硬币属于面动成体，不符合题意； C、D、扫把扫地、汽车雨刮器工作均属于线动成面，均不符合题意． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段． 【答案】图中的直线：直线． 图中的射线： 以A为端点：射线； 以B为端点：射线，射线； 以C为端点：射线． 图中的线段：线段，线段，线段． 3条射线为：射线，射线，射线． 3条线段为：线段，线段，线段． 【分析】先确定直线、射线、线段的概念．直线：没有端点，向两端无限延伸，过两点确定一条直线．射线：有一个端点，向一端无限延伸，每个点可向左右各形成一条射线．线段：有两个端点，不能延伸，是两点之间的部分．根据定义，即可找出直线、射线、线段． 【详解】略． 【变式3】. （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 【答案】(1)直线，射线，线段如图所示； (2)点即为所求作的点； (3) ； 理由：，点在线段上， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型05 角的概念、表示与度分秒换算 　　 　　1. 角的表示选合适方法：一个顶点角用一个大写字母，其余用三个大写字母、数字或希腊字母。 　　2. 度分秒换算：、，逐级换算，满进、借当。 3. 按大小范围判断锐角、直角、钝角、平角、周角。 【典例5】. （26-27七年级上·山西大同·开学考试）角的两条边是两条（     ）． A．直线 B．射线 C．线段 D．以上答案都正确 【答案】B 【分析】根据角的定义即可解答． 【详解】解：根据定义，所有的角都是由一个顶点两条射线组成，因此角的两条边是两条射线． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）任意画一个，在的内部引射线、，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来． 【答案】共有6个角，分别是、、、、、 【详解】解：如图，共有6个角，分别是、、、、、 【变式2】. （25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度． 【答案】75 【分析】钟面一圈为，共分为12个大格，先计算每个大格的度数，再确定时时针和分针的位置，即可求出二者的最小夹角． 【详解】解：， ∵时，分针指向数字6，时针指向数字3和4的正中间， ∴时针和分针组成的角最小为． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 【答案】(1)2700 (2)1.3 (3)52，21，36 (4)49.5225 【分析】本题考查角度单位换算，涉及度、分、秒之间的相互转换．换算依据是：，，因此．进行换算时，度化分乘以60，分化秒乘以60，秒化度除以3600；小数度转换为度分秒时，整数部分为度，小数部分化分，再小数部分化秒． （1）根据度与分之间的换算依据计算即可； （2）根据秒与度之间的换算依据计算即可； （3）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可； （4）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 题型06 线段的中点与和差计算 　　 　　1. 中点定义：，常先求出总长再分段。 　　2. 倍数关系较多时设一段为，列方程求解。 3. 注意点在线段上还是延长线上，对应不同图形与答案。 【典例6】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】先求出的长度，再利用中点的定义即可求出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 【变式1】. （25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 【变式2】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 【变式3】. （25-26六年级下·山东东营·阶段检测）如图，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． (1)直接写出线段_________，_________； (2)求线段的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据，计算即可； （2）先求出和的值，进而根据中点的定义得到，，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵点M和点N分别是线段和的中点， ∴，， ∴． 题型07 角的计算与角的平分线 　　 　　1. 角平分线：。 　　2. 两条角平分线的夹角：两条角平分线夹角等于两个角和的（角在外部时为差的）。 3. 借助平角、直角建立等量关系列方程。 【典例7】. （26-27七年级上·江西·期中）计算：______． 【答案】/100度 【分析】根据角度的计算方法求解即可，注意角度值的进率为60． 【详解】解：． 【变式1】. （26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·山东临沂·期中）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 射线平分， ． 题型08 余角与补角及其性质 　　 　　1. 互余两角和为，互补两角和为。 　　2. 同角（或等角）的余角相等、补角相等，用于等角转化。 3. 由"某角余角与补角的关系"列方程求角。 【典例8】. （25-26七年级上·广东湛江·期末）若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角之和为，因此的余角等于减去． 【详解】解：因为， 所以的余角为． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据互余的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角度数即可． 【详解】解： 与互余， ∴， ∴的补角的度数为． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）根据补角的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的补角为，，. 【变式3】. （25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：． 理由：点在直线上，， ， 解得． 由（1），得． ． ． 【分析】（1）根据平角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （2）根据题意求出，再根据即可证明结论． 【详解】（1）解：点在直线上，， ． 平分， ． ； （2）略 题型09与角有关的作图 　　 　　1. 作线段等于已知线段：画射线、在射线上截取。 　　2. 作角等于已知角：画弧定两边交点，再用圆规量弦长构造对应点（依据为三边相等）。 　　3. 作图题保留痕迹，用规范语言写出"如图，即所求作"。 【典例9】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知和，利用尺规作图作，使． 【答案】如图所示，为所求． 【分析】先画一条射线，以点C为圆心，先作一个角等于，以新作的这个角的一边为公共边，在它的外部作一个角等于． 【详解】解：1、任意画一条射线； 2、以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于两点（我们记为M，N）； 3、保持圆规的半径不变，以点C为圆心，画一条弧，交射线于点P； 4、以点P为圆心，的长度为半径画弧，与上一步画的弧交于点Q； 5、连接并延长得到射线，此时，就等于； 6、以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于两点（我们记为R，S）； 7、保持圆规的半径不变，以点C为圆心，画一条弧，这条弧交射线于点T； 8、以点T为圆心，的长度为半径画弧，与上一步画的弧交于点D（注意，这个交点D应该在的外部）； 9、连接并延长得到射线； 10、． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角． 【答案】即为所求， 【分析】根据补角的定义，先作出的补角，再利用“作一个角等于已知角”的尺规作图方法，作出一个角等于该邻补角即可． 【详解】略． 【变式2】. （25-26七年级上·北京·期末）按照下列要求完成作图及问题解答： 如图，已知点C和线段．    (1)请按照下列步骤画图（保留作图痕迹） ①作线段； ②作射线； ③延长至点D，使得； (2)①写出图中的一组互补的角 ②由图可知： （填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) 如图所示，线段，射线，点D即为所求： (2)①与（答案不唯一），②> 【分析】本题考查了尺规作图-作线段、射线、线段的延长与截取，互补角的定义及三角形外角的性质． （1）①用直尺连接点A和点C，得到线段； ②以点C为端点，经过点B作射线； ③测量出线段的长度，从点A沿着的反方向延长（远离B的方向），截取，此时点D满足； （2）①互补的角指的是和为的两个角，图中是平角，所以，因此与是一组互补的角（答案不唯一，也可写与平角内的对应补角组合等）； ②根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，即可判断． 【详解】（1）略 （2）解：①， 图中的一组互补的角为与． 故答案为：与； ②在中，是的一个外角，是与不相邻的内角， ∴， 故答案为：>． 【变式3】. （25-26七年级上·河南周口·期末）如图，方格图中有一个． (1)画出的一个补角； (2)画出的两个余角，； (3)与相等吗？说明你的理由． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，，即为所求： (3) 解：与相等．理由如下： ∵，是的两个余角， ∴． 【分析】本题考查了余角和补角，同角的余角相等，熟记概念并准确画图是解题的关键； （1）根据补角的定义结合网格线完成作图即可； （2）根据余角的定义结合网格线完成作图即可； （3）根据同角的余角相等即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型10 方向角与钟面角 　　 　　1. 方向角用"北偏东（西）""南偏东（西）"表示，可画图定位。 　　2. 钟面角：分针每分钟转，时针每分钟转、每小时转。 3. 两针夹角等于两者转过的角度差，注意取不超过的角。 【典例10】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线： (1)南偏东； (2)北偏西； (3)西南方向（即南偏西）． 【答案】(1) 解：表示北偏东方向的一条射线； 如图，表示南偏东方向的射线； (2) 解：如图，表示北偏西方向的射线； (3) 解：如图，表示西南方向（南偏西）的射线； 【分析】根据方向角的表示方法，画图即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】. （2026·河北邯郸·二模）如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 【变式2】. （25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是________度． 【答案】 【分析】分针转动周对应经过小时，转动周即经过小时，钟面一圈为，被平均分为个对应小时的大格，先求每小时时针转过的角度，再计算小时转过的总角度． 【详解】解：∵分针转动1周对应经过小时， ∴分针转动两周对应经过小时， ∵钟面一圈总角度为，且被平均分为个对应小时的大格， ∴每经过小时，时针转过的角度为， ∴经过小时，时针转过的总角度为． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·周测）图所示的是一个时钟的钟面． (1)在这一时刻，分针与时针所夹的较小角是多少度？ (2)再过30min，分针与时针所夹的较小角是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了钟面角，每份的度数乘以时针与分针相距的份数是解题的关键． 根据钟面平均分成分，可得每份为30°，根据每份的度数乘以时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】（1）解：． 故分针与时针所夹的较小角是． （2）解：． 故再过30min，分针与时针所夹的较小角是． 题型11 与线段有关的动点问题 　　 　　1. 用"路程＝速度×时间"表示动点位置，用含时间的代数式表示线段长。 　　2. 结合数轴、中点、距离关系建立等量关系列方程。 3. 注意动点往返、速度不同、相遇与追及等不同阶段要分段讨论。 【典例11】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 【变式1】. （25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线上，动点P，Q同时以和的速度从点A，B向射线方向运动，点M为的中点，点N为的中点，t秒时________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式．以点A为原点，建立数轴，则点P表示的数为，设点B表示的数为，点Q表示的数为，根据点M为的中点，点M表示的数为，根据点N为的中点，得出点表示的数为，根据两点间距离公式得出，即可得出答案． 【详解】解：以点A为原点，建立数轴，则点P表示的数为，设点B表示的数为，点Q表示的数为，如图所示： 则， ∵点M为的中点， ∴点M表示的数为， ∵点N为的中点， ∴点表示的数为， ∵，， ∴， ∴点N在点M的右侧， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】. （25-26七年级上·山东日照·期末）如图，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2)①，；②线段的长度不变， 【分析】本题考查线段的和差运算，掌握线段的和差运算是解题的关键． （1）根据题意求出，根据线段的和与差求出，再由中点的意义可求出； （2）①由中点意义可求出，由线段的和与差求出，由中点意义可求出； ②不会发生变化，根据，代入相关数据计算可得结论． 【详解】（1）解：当时， 所以 因为点是线段的中点， 所以； （2）解：①由题意得， 因为点是线段的中点， 所以， 因为点是线段的中点， 所以； ②线段的长度不变， 由①得； 所以 所以线段的长度不变， 【变式3】. （25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了线段中点的性质、线段的和差计算，以及动态行程问题中的方程思想．掌握中点公式的运用，并能根据运动过程的不同阶段（相遇前、相遇后、追及等）准确建立方程是解题的关键． （1）直接利用M、N分别为和中点的条件，将的长度表示为与之和，再通过等量代换转化为的一半，即可求解； （2）本问在（1）的基础上增加了线段，解题关键在于将的长度通过中点公式转化为与之和，并注意减去重叠部分，经过代数化简最终得到； （3）本问为综合行程问题．核心是根据甲、乙不同的运动阶段（相向而行、相遇后、乙在B地休息后返回）及甲先到达终点C的情况，分类讨论两人相距的条件．需分别针对“未相遇”、“已相遇”、“乙返回后未追上甲”及“乙返回后追上甲”等多种情形建立方程求解，并检验解是否符合对应阶段的时空范围． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 题型12 与角有关的旋转（动角）问题 　　 　　1. 用"角速度×时间"表示旋转角，用含时间的式子表示各角。 　　2. 由"角平分线""两角相等"等建立方程求解。 3. 注意射线相遇、超越等临界时刻，分阶段列方程。 【典例12】. （25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知，过点引射线和 (1)如图1，若平分平分，求； (2)如图2，若为内任一射线，平分，求的值； (3)射线从射线的位置出发以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置出发以每秒的速度顺时针旋转，、分别平分和，当秒时，为何值，与互余？ 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，互余的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． （1）根据角平分线的定义进行求解即可； （2）假设，则，根据角的和差以及角平分线的定义表示出相关的角，然后求比值即可； （3）假设时间为秒时，根据互余求出的度数，分两种情况进行讨论，根据角平分线的定义以及角的和差列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：假设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图所示， 假设时间为秒时，与互余， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分和， ∴， ∴， 解得； ②如图所示， 假设时间为秒时，与互余， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分和， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 【变式1】. （2025七年级上·江苏·专题练习）已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差关系，正确识图是解题的关键． （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由角平分线的定义得，，进而根据角的和差关系解答即可求解； （）由题意得，即得，又可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴； （2）解:∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：∵射线以为起始位置，以每秒的速度逆时针旋转秒，， ∴． ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【变式2】. （25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 的大小不发生变化，恒为，理由如下： 、分别是和的平分线， ，， ， ∴的大小不发生变化，恒为； (2)①； ②，理由如下： 由题意得，， ， ∴； ③，理由如下： ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）①根据平角的定义，即可得出结论；②根据角的和差关系进行求解即可；③根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①∵， ∴； ②略． ③略． 【变式3】. （25-26七年级上·广东河源·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段cm，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若cm，则线段___________cm； ②若cm，则线段___________cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图3所示，，，且 ，，则___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①8；②8；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． [特例感知]（1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同上； [知识迁移]（2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； [拓展探究]（3）根据角平分线的定义得到，，则，由即可求解． 【详解】解：[特例感知] （1）①，， ∴， ∵分别是和的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②同理，， 故答案为：； [知识迁移] （2），射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； [拓展探究] （3）∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 2．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“少”相对的字是（     ） A．有 B．我 C．强 D．国 【答案】C 【分析】根据正方体相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面． 【详解】解：由题意得，与“少”字相对的面上的字是“强”． 3．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：该几何体的主视图为： ∵小正方体的棱长为1， ∴该几何体主视图的面积为． 二、填空题 4．在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，这符合__________的几何规律；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为___________；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明___________． 【答案】 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】枪尖（点）运动划出光痕（线），扇骨（线）运动形成扇面（面），硬币（面）旋转形成球（体）． 【详解】解：枪尖是一个点，在空气中划出一道光痕，是点运动形成线，即点动成线； 打开折扇时，扇骨（线）移动形成一个扇面，是线运动形成面，即线动成面； 一枚硬币（圆面）在光滑桌面上快速旋转形成一个球，是面运动形成体，即面动成体． 5．直角三角形两条直角边分别是3和4，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________．（结果保留） 【答案】或 【分析】根据题意得出旋转的几何体，然后分两种情况进行讨论，利用圆锥的体积公式进行求解． 【详解】解：当绕长度为4的直角边旋转一周时， 得到几何体为圆锥，其体积为； 当绕长度为3的直角边旋转一周时， 得到几何体为圆锥，其体积为； 综上，几何体的体积是或． 6．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 【答案】 【分析】根据题意画出从上面看最多和最少的情形即可得到答案． 【详解】解：根据左视图和俯视图可得小立方块最多时，如图所示，图中的数字表示该位置上小立方块的个数． ∴它最多需要个小立方块； 根据左视图和俯视图可得小立方块最少时，即第一层为，，的组合，第二层为，的组合，第三层为，，如图所示（图不唯一）， ∴它最少需要个小立方块； 三、解答题 7．如图，用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．阴影为剪去部分，虚线为折痕，若，求这样制作的长方体纸盒的体积． 【答案】 【分析】分别求出长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：根据题意可知，无盖的长方体纸盒长为，宽为，高为， 则该长方体的体积为． 8．如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 9 五棱柱 10 六棱柱 8 (2)设n棱柱（n为正整数，且）的顶点数为a、棱数为b、面数为c，根据表中数据猜想 ． 【答案】(1) 顶点数 面数 棱数 三棱柱 6 5 9 五棱柱 10 7 15 六棱柱 12 8 18 (2) 【分析】（1）结合三棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表； （2）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，根据这个规律得出之间的关系． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得知棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴． 9．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【分析】（1）①利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 1．如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：由正方体的展开图可知，x的对面是3，y的对面是2，z的对面是， 所以 ， 所以 ． 2．如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去某长方体的两个角，则新立方体的棱有（    ） A．6条 B．12条 C．15条 D．18条 【答案】D 【详解】解：原本的长方体一共有12条棱． 截去1个角（顶点）时，切割面会和原本交于这个顶点的3条棱分别相交，相当于把这3条原本的棱各截去一小段，同时新增3条属于切割面的新棱，也就是截1个角会净增加3条棱． 一共截去2个角，总共新增条棱， 因此新立体的总棱数为条． 3．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______． 【答案】①③ 【分析】根据题意可得，，根据每个选项的假设，逐一判断即可． 【详解】解：， ，即，故①正确； 、分别经过刻度线40和60， ， 与互补， ， ， ， ，即射线经过刻度线160，故②错误； ，， ， 经过刻度线60，射线经过刻度线90， ， ， 和互为余角，故③正确， 所以其中所有正确结论的序号为①③． 4．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 5．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的初步认识 教学目标 　　1. 认识生活中的立体图形与平面图形，了解点、线、面、体的关系，掌握柱体、锥体、球体的特征。 　　2. 会画简单立体图形的三视图，能根据三视图确定立体图形；认识常见立体图形的表面展开图，能判断正方体的展开图。 　　3. 掌握直线、射线、线段的有关概念和性质（两点确定一条直线、两点之间线段最短），理解线段的中点并能进行线段的和差计算。 　　4. 掌握角的概念、表示方法、度量与换算，会画角的平分线，理解余角、补角及其性质。 　　5. 会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，体会数学与实际生活的联系。 教学重难点 　　1. 重点： 　　（1）直线、射线、线段的性质与线段的中点、和差计算； 　　（2）角的概念、角的平分线、余角与补角及其相关计算； 　　（3）三视图的画法及立体图形的表面展开图。 　　2. 难点： 　　（1）度分秒的换算与角的相关计算（含分类讨论）； 　　（2）与线段、角有关的动点、动角问题； 　　（3）根据三视图还原立体图形。 知识点01 生活中的立体图形与点、线、面、体 　　1. 几何图形的分类：立体图形（各部分不都在同一个平面内，如圆柱、圆锥、棱柱、球）与平面图形（各部分都在同一个平面内，如三角形、圆、长方形）。 　　2. 常见立体图形的分类如下表： 类型 图形 主要特征 柱体 圆柱、棱柱（三棱柱、四棱柱等） 有两个底面且互相平行，侧面是曲面（圆柱）或长方形（棱柱） 锥体 圆锥、棱锥（三棱锥、四棱锥等） 有一个底面，有一个顶点，侧面是曲面（圆锥）或三角形（棱锥） 球体 球 表面是曲面，无棱无顶点 　　3. 点、线、面、体：包围着体的是面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。点动成线、线动成面、面动成体，如把长方形绕一边旋转一周可得圆柱。 　　4. 常见棱柱、棱锥的面、棱、顶点数可用"欧拉公式"关系核对：面数＋顶点数－棱数＝。 知识点02 立体图形的视图（三视图） 　　1. 投影：物体在光线下产生的影子叫投影。太阳光等平行光产生的投影叫平行投影；点光源（如灯光）产生的投影叫中心投影。 　　2. 三视图：从正面观察得到的叫主视图（正视图），从左面观察得到的叫左视图，从上面观察得到的叫俯视图。 　　3. 画三视图的规则：长对正（主、俯视图长相等）、高平齐（主、左视图高相等）、宽相等（俯、左视图宽相等）。 　　4. 由三视图确定立体图形：可先由俯视图确定底层小正方体的摆放，再结合主视图、左视图确定各层小正方体的个数。 知识点03 立体图形的表面展开图 　　1. 表面展开图：将立体图形的表面沿某些棱剪开，可以展开成平面图形，这个平面图形叫它的表面展开图。 　　2. 正方体的表面展开图共有种，常见的有"一四一"型（种）、"二三一"型（种）、"二二二"型（种）、"三三"型（种）；判断时记住"一线不过四、田凹应弃之"。 　　3. 正方体展开图中找相对面：隔一行（或隔一列）的两个正方形相对；相邻的两个面为相邻面。 　　4. 常见立体图形的展开图：圆柱展开为长方形＋两个圆，圆锥展开为扇形＋一个圆，棱柱展开为两个相同的多边形＋若干个长方形。 知识点04 平面图形与直线、射线、线段 　　1. 平面图形：三角形、圆、长方形、正方形、梯形等都在同一平面内，是平面图形。 　　2. 直线、射线、线段的区别如下表： 名称 端点个数 表示方法与延长情况 直线 0个 用两个大写字母表示（或）；可向两方无限延伸 射线 1个 用端点和另一个点表示（射线）；只能向一方无限延伸 线段 2个 用两个端点表示（线段）；不能延伸，可度量 　　3. 直线的性质（基本事实）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直线。 　　4. 线段的性质（基本事实）：两点之间，线段最短；连接两点的线段的长度，叫做这两点之间的距离。 知识点05 线段的中点与线段的和差 　　1. 线段的长短比较：度量法（量长度比较）与叠合法（一端对齐比较另一端）。 　　2. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，即若点是线段的中点，则。 　　3. 线段的和差与等分点：线段等分点把线段分成条相等的线段，相邻等分点间的距离为线段的。 　　4. 常用方法：当线段的倍数关系较多时，常设其中一段为未知数，列方程求解。 知识点06 角的概念、表示与度量 　　1. 角的定义：由两条有公共端点的射线组成的图形（静态）；也可以看作一条射线绕端点旋转而成（动态）。公共端点是角的顶点，两条射线是角的两边。 　　2. 角的表示方法：用三个大写字母（顶点写在中间，如）、用一个大写字母（顶点处只有一个角时）、用数字或希腊字母表示。 　　3. 角的分类：锐角（大于小于）、直角（）、钝角（大于小于）、平角（）、周角（）。 　　4. 度分秒换算（进制）：，；换算时逐级进行，满进，借当。 　　5. 方向角（方位角）：用"北偏东（西）""南偏东（西）"描述方向，如北偏东。 知识点07 角的大小比较与角的平分线 　　1. 角的大小比较：度量法（量角器量）与叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。 　　2. 角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，即若射线平分，则。 　　3. 角的等分线：把角分成个相等角的射线称为角的等分线。 知识点08 余角与补角 　　1. 余角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角（互余）。 　　2. 补角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角（互补）。 　　3. 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 知识点09 尺规作图 　　1. 尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，要求保留作图痕迹，写出结论。 　　2. 作一条线段等于已知线段：画一条射线，在射线上以一端为圆心、已知线段长为半径截取即可。 　　3. 作一个角等于已知角：先画一条射线，以顶点为圆心画弧交两边，再以相同半径在射线截弧，用圆规量取对应弦长确定另一交点，连接即得（依据是三边对应相等构造全等三角形）。 题型01 生活中的立体图形与点线面体 　　 　　1. 识别立体图形：按"柱、锥、球"分类，数清底面、侧面、顶点、棱。 　　2. 旋转成体：用"面动成体"判断平面图形绕轴旋转一周得到的立体图形。 3. 数棱、顶点、面数时按一定顺序，并结合"面＋顶点－棱＝"核对。 【典例1】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）若一个n棱柱有14个顶点，则这个棱柱有______个面、______条侧棱，底面形状是______边形． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒． (1)这个直七棱柱形笔筒共有_____面，_____条棱，_____个顶点； (2)求这个棱柱的侧面积． 【变式3】. （26-27七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五棱柱有个面，条棱，则___________． 题型02 三视图的识别与画法 　　 　　1. 明确观察方向：主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面）。 　　2. 画图守则"长对正、高平齐、宽相等"，先画主视图再画左、俯视图。 3. 由三视图求小正方体个数：先用俯视图定底层，再结合主、左视图确定每列最高的层数。 【典例2】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【变式3】. （25-26七年级上·江西吉安·期末）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形． 题型03 立体图形的表面展开图 　　 　　1. 熟记正方体种展开图，用"一线不过四、田凹应弃之"快速排除。 　　2. 找相对面：隔一行（或一列）的两个正方形相对。 3. 还原时先固定一个面，再看其余面与它的相邻、相对关系。 【典例3】. （26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，那么在原正方体中，与“学”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．启 B．智 C．笃 D．思 【变式1】. （26-27七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与面相对的面是__________； (2)若，，，，且相对两个面所表示的数的和都相等，求、表示的数． 【变式2】. （26-27六年级上·山东东营·阶段检测）下面的图形折叠后得到的立体图形与名称不相符的是（     ） A．长方体 B．三棱锥 C．正方体 D．四棱锥 【变式3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的表面展开图如图①所示．若把这三个纸盒按图②所示摆放在不透明的桌面上，则所有能看到的纸盒面上的数字之和的最大值和最小值分别是（     ） A．52，27 B．51，26 C．50，26 D．49，27 题型04 直线、射线、线段及两个基本事实 　　 　　1. 直线无端点、射线一个端点、线段两个端点，据此识别与书写。 　　2. "两点确定一条直线""两点之间线段最短"常用来解释生活现象。 3. 数线段、射线条数：按端点顺序有序计数，避免重复与遗漏。 【典例4】. （26-27七年级上·山西太原·阶段检测）传统油纸伞撑开时，一根根伞骨绕伞柄顶端转动，扫出圆形的伞面．若把其中一根伞骨近似看作一条线段，这一现象说明的数学道理是：______． 【变式1】. （25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）下列现象中体现点动成线的是（     ）． A．流星划过天空 B．旋转一枚硬币 C．用扫把扫地 D．汽车雨刮器 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）指出下图中的直线、射线、线段，并分别写出3条射线和3条线段． 【变式3】. （25-26七年级上·四川广元·期末）如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 题型05 角的概念、表示与度分秒换算 　　 　　1. 角的表示选合适方法：一个顶点角用一个大写字母，其余用三个大写字母、数字或希腊字母。 　　2. 度分秒换算：、，逐级换算，满进、借当。 3. 按大小范围判断锐角、直角、钝角、平角、周角。 【典例5】. （26-27七年级上·山西大同·开学考试）角的两条边是两条（     ）． A．直线 B．射线 C．线段 D．以上答案都正确 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）任意画一个，在的内部引射线、，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来． 【变式2】. （25-26七年级上·江苏连云港·开学考试）钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 题型06 线段的中点与和差计算 　　 　　1. 中点定义：，常先求出总长再分段。 　　2. 倍数关系较多时设一段为，列方程求解。 3. 注意点在线段上还是延长线上，对应不同图形与答案。 【典例6】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【变式1】. （25-26七年级上·山西吕梁·期末）若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【变式2】. （25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【变式3】. （25-26六年级下·山东东营·阶段检测）如图，已知线段，点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点． (1)直接写出线段_________，_________； (2)求线段的长． 题型07 角的计算与角的平分线 　　 　　1. 角平分线：。 　　2. 两条角平分线的夹角：两条角平分线夹角等于两个角和的（角在外部时为差的）。 3. 借助平角、直角建立等量关系列方程。 【典例7】. （26-27七年级上·江西·期中）计算：______． 【变式1】. （26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·山东临沂·期中）直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【变式3】. （25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线，相交于点，射线平分，，，求的度数． 题型08 余角与补角及其性质 　　 　　1. 互余两角和为，互补两角和为。 　　2. 同角（或等角）的余角相等、补角相等，用于等角转化。 3. 由"某角余角与补角的关系"列方程求角。 【典例8】. （25-26七年级上·广东湛江·期末）若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西汉中·期末）已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【变式3】. （25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，点在直线上，，射线，在直线两侧，平分． (1)若，求的度数； (2)若与垂直吗？请说明理由． 题型09与角有关的作图 　　 　　1. 作线段等于已知线段：画射线、在射线上截取。 　　2. 作角等于已知角：画弧定两边交点，再用圆规量弦长构造对应点（依据为三边相等）。 　　3. 作图题保留痕迹，用规范语言写出"如图，即所求作"。 【典例9】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知和，利用尺规作图作，使． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角． 【变式2】. （25-26七年级上·北京·期末）按照下列要求完成作图及问题解答： 如图，已知点C和线段．    (1)请按照下列步骤画图（保留作图痕迹） ①作线段； ②作射线； ③延长至点D，使得； (2)①写出图中的一组互补的角 ②由图可知： （填“>”“<”或“=”） 【变式3】. （25-26七年级上·河南周口·期末）如图，方格图中有一个． (1)画出的一个补角； (2)画出的两个余角，； (3)与相等吗？说明你的理由． 题型10 方向角与钟面角 　　 　　1. 方向角用"北偏东（西）""南偏东（西）"表示，可画图定位。 　　2. 钟面角：分针每分钟转，时针每分钟转、每小时转。 3. 两针夹角等于两者转过的角度差，注意取不超过的角。 【典例10】. （26-27七年级上·全国·课后作业）如图，是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线： (1)南偏东； (2)北偏西； (3)西南方向（即南偏西）． 【变式1】. （2026·河北邯郸·二模）如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）时钟的表面上，分针转动两周时，时针同时转过的角是________度． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·周测）图所示的是一个时钟的钟面． (1)在这一时刻，分针与时针所夹的较小角是多少度？ (2)再过30min，分针与时针所夹的较小角是多少度？ 题型11 与线段有关的动点问题 　　 　　1. 用"路程＝速度×时间"表示动点位置，用含时间的代数式表示线段长。 　　2. 结合数轴、中点、距离关系建立等量关系列方程。 3. 注意动点往返、速度不同、相遇与追及等不同阶段要分段讨论。 【典例11】. （25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【变式1】. （25-26七年级上·贵州六盘水·期末）如图，在射线上，动点P，Q同时以和的速度从点A，B向射线方向运动，点M为的中点，点N为的中点，t秒时________． 【变式2】. （25-26七年级上·山东日照·期末）如图，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着线段向点运动，当点到达点时停止运动．已知，点是线段的中点，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长． (2)在运动过程中，若的中点为． ①用含的代数式表示线段的长． ②请问线段的长度是否变化？若不变，求线段的长；若变化，说明理由． 【变式3】. （25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 题型12 与角有关的旋转（动角）问题 　　 　　1. 用"角速度×时间"表示旋转角，用含时间的式子表示各角。 　　2. 由"角平分线""两角相等"等建立方程求解。 3. 注意射线相遇、超越等临界时刻，分阶段列方程。 【典例12】. （25-26七年级上·湖北武汉·期末）已知，过点引射线和 (1)如图1，若平分平分，求； (2)如图2，若为内任一射线，平分，求的值； (3)射线从射线的位置出发以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置出发以每秒的速度顺时针旋转，、分别平分和，当秒时，为何值，与互余？ 【变式1】. （2025七年级上·江苏·专题练习）已知：，是内的射线． (1)如图，若平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (2)如图，若，平分，平分．当绕点在内旋转时，求的大小； (3)在（）的条件下，若以为起始位置，当在内绕着点以/秒的速度逆时针旋转秒时，，求的值． 【变式2】. （25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）解答下列各题： (1)如图1，P是直角三角板斜边上的一个动点，、分别是和的平分线．试探究：当点P在斜边上移动时，的大小是否会发生变化，请说明你的理由； (2)①把直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上，点A和点B在直线的上方，如图2，此时与的数量关系是　　； ②当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A在直线的下方，点B在直线的上方时，如图3，探究与的数量关系，并说明理由； ③当把这把直角三角板绕顶点C旋转到点A和点B都在直线的下方时，如图4，探究与的数量关系，并说明理由． 【变式3】. （25-26七年级上·广东河源·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段cm，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点． ①若cm，则线段___________cm； ②若cm，则线段___________cm． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）已知在内部的位置如图3所示，，，且 ，，则___________（用含的代数式表示）． 一、单选题 1．如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 2．一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“少”相对的字是（     ） A．有 B．我 C．强 D．国 3．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．在《哪吒之魔童闹海》电影中，哪吒用火尖枪刺向敌人时，枪尖在空气中划出一道红色光痕，这符合__________的几何规律；打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为___________；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明___________． 5．直角三角形两条直角边分别是3和4，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________．（结果保留） 6．用若干个相同的小立方块搭成一个几何体，使它从左面和从上面看到的形状图如图所示．这样的几何体有多种情况，它最多需要_________个小立方块，最少需要________个小立方块． 三、解答题 7．如图，用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．阴影为剪去部分，虚线为折痕，若，求这样制作的长方体纸盒的体积． 8．如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 9 五棱柱 10 六棱柱 8 (2)设n棱柱（n为正整数，且）的顶点数为a、棱数为b、面数为c，根据表中数据猜想 ． 顶点数 面数 棱数 三棱柱 6 5 9 五棱柱 10 7 15 六棱柱 12 8 18 9．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 1．如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个有理数，且相对面上的两个有理数互为相反数，则的值为_______． 2．如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去某长方体的两个角，则新立方体的棱有（    ） A．6条 B．12条 C．15条 D．18条 3．如图，点O是量角器的中心点，射线经过刻度线90．若．射线、分别经过刻度线40和60，在刻度线的右侧．下列结论：①；②若与互补，则射线经过刻度线165；③若，则和互为余角．其中所有正确结论的序号为______． 4．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 5．爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $