第2章 整式及其加减（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

该初中数学“整式及其加减”单元复习讲义通过表格对比与知识框架系统梳理核心概念，将代数式、整式、同类项等概念按“定义-性质-辨析”逻辑呈现，用思维导图串联合并同类项、去括号等运算规则，清晰标注去括号符号处理、整体代入等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，基础题强化概念辨析（如代数式书写规范判断），提升题突出运算能力（如整式化简求值），拓展题培养模型意识（如几何图形面积表示），提供易错陷阱提醒与解题模板，助力不同学生掌握方法，支持教师实施精准分层教学。

第2章 整式及其加减 教学目标 1. 梳理本章知识框架，熟练掌握代数式、单项式、多项式、整式、同类项等核心概念，能够准确辨析。 2. 熟练掌握列代数式、求代数式的值、合并同类项、去括号、整式加减运算，减少符号类计算错误。 3. 会运用整体代入、非负性等方法完成化简求值，能解决不含某项、与字母取值无关的参数问题。 4. 可以结合几何图形、生活实际完成列式与计算，掌握数字、图形类规律探究的基本思路。 5. 建立符号意识，提升代数运算能力，能识别本章常见易错陷阱。 教学重难点 重点： （1）代数式、整式相关概念辨析，代数式书写规范 （2）合并同类项、去括号法则，整式加减基础运算 （3）整式化简求值，整体代入思想的运用 （4）利用整式加减处理简单实际、几何问题 难点： （1）去括号运算中的符号处理，避免漏乘、漏变号 （2）整体代入求值，不含某项、与字母无关类参数求解 （3）数轴结合绝对值的整式化简 （4）数字、图形规律探究，归纳通用代数式 知识点 01：用字母表示数与代数式 1. 用字母可以表示数、运算律、公式、实际情境中的数量；同一个问题不同量要用不同字母表示，字母取值要让式子具备实际意义。 2. 代数式定义：用运算符号把数或字母连接而成的式子，单独一个数、单独一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不属于代数式。 3. 代数式书写规范：数字写在字母前面；带分数化为假分数；除法写成分数形式；加减式子带单位整体加括号；系数为时省略数字 1。 4. 列代数式：把文字描述的数量关系转化为符号式子，抓关键词，理清运算顺序，合理添加括号。 【即学即练】 1．某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是_________．（用代数式表示结果） 知识点 02：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算得到的结果，叫做代数式的值。 2. 代入注意：负数、分数做乘方运算，必须添加括号；省略的乘号代入数值后要还原。 3. 求值方法：直接代入法、整体代入法；可结合绝对值、平方的非负性先求字母取值。 【即学即练】 1．若，互为相反数，那么________． 知识点 03：单项式、多项式与整式 1. 单项式：数与字母的积组成的代数式，单独数或字母也是单项式；分母不能含有字母。 2. 单项式系数：数字因数，包含符号，是常数计入系数；次数是所有字母指数之和，非零常数次数为 0。 3. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；每一项要连带前面符号，不含字母的项叫常数项；多项式次数为最高次项的次数。 4. 整式：单项式和多项式统称整式；分母含有字母的式子不是整式。 5. 多项式升降幂排列：移动项必须连带符号；降幂按指定字母指数从大到小，升幂按指数从小到大，常数项指数视作 0。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（ ） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 知识点 04：同类项与合并同类项 1. 同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同；所有常数项都是同类项；与系数、字母顺序无关。 2. 合并同类项法则：系数相加，字母和对应指数保持不变。 3. 合并步骤：找同类项、移项（带符号）、合并系数、写出化简结果；没有同类项的项要保留。 【即学即练】 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点 05：去括号与添括号 1. 去括号：括号前为正号，括号内各项符号不变；括号前为负号，括号内全部项变号；括号外有数字，要遍乘括号内每一项，禁止漏乘。 2. 多层括号一般由内向外逐层去掉。 3. 添括号：括号前是正号，内部符号不变；括号前是负号，内部全部变号；添括号和去括号互为逆运算，可以互相检验。 【即学即练】 1．下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点 06：整式的加减运算 1. 运算顺序：有括号先去括号，再合并同类项，结果化为最简整式。 2. 两个多项式做减法，被减多项式整体添加括号。 3. 化简求值流程：先化简，后代入，再计算。 4. 两个重要结论：化简后不含某项，则该项系数等于 0；代数式的值与某字母无关，则全部含该字母项的系数等于 0。 【即学即练】 1．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点 07：规律探究（数字、图形） 1. 数字规律：对比每一项和序号之间关系，归纳代数式，再代入检验。 2. 图形规律：统计前几组图形对应数据，转为数字序列，推导含的通用式子。 【即学即练】 1．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 题型 01 代数式识别与书写规范判断 排除等式、不等式；对照书写规则逐项检查，重点关注数字位置、带分数、除法、单位格式。 【典例1】. （25-26六年级上·山东烟台·期末）下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】. （25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 【变式3】. （25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 题型 02 列代数式（文字、数位、基础实际情境） 抓取关键词，分清运算先后顺序，必要时添加括号，严格遵守书写要求。 【典例2】. （2026·贵州·中考真题），两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和； (2)a与b的差的倒数； (3)a与b两数的平方和加上它们积的两倍； (4)a与b两数和的平方减去它们差的平方． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）试引进字母，用适当的代数式表示： (1)能被3整除的整数： (2)除以3余数是2的整数． 【变式3】. （26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 题型 03 单项式、多项式、整式概念辨析 看分母是否含字母；找单项式系数、次数注意符号与；多项式取最高次项次数作为多项式次数。 【典例3】. （25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 多项式 次数 项数 项 多项式 次数 2 2 3 项数 2 3 2 项 【变式2】. （2026·广东广州·一模）多项式的次数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 题型 04 同类项识别与利用同类项求参数 字母、对应指数全部相同即为同类项；利用指数相等建立等式求解参数，做好检验。 【典例4】. （25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】. （25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】. （2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 【变式3】. （25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 题型 05 去括号、添括号运算 正号不变、负号全变；括号外系数要乘遍括号内每一项；可以反向检验结果正误。 【典例5】. （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·黑龙江大庆·一模）的相反数是（　  ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 题型 06 多项式升幂、降幂排列 只看指定字母指数，移动项连同符号一起移动，区分升幂与降幂要求。 【典例6】. （2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【变式1】. （25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【变式3】. （25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 题型 07 整式化简求值 先化简后代入；负数、分数乘方务必加括号；利用平方、绝对值非负性求出字母再计算。 【典例7】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）若，则代数式___________． 【变式1】. （25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】. （25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 题型 08 整体代入求值 观察已知式和目标式结构，整体替换，不必单独求出每个字母的值。 【典例8】. （2026·江苏徐州·一模）已知，则的值为_______． 【变式1】. （2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【变式2】. （25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【变式3】. （25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 题型 09 整式加减不含某项、与字母取值无关问题 化简整式，令对应项的系数等于 0，列等式求解参数。 【典例9】. （25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【变式2】. （25-26七年级下·新疆·开学考试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 【变式3】. （25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 题型 10整式加减几何图形应用 分割或者补全图形，用代数式表示边长，通过整式加减求周长、阴影面积。 【典例10】. （25-26七年级上·广东东莞·期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）窗户形状如图，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形． (1)若小正方形边长为，计算窗户的面积及窗框的总长． (2)当时，窗户的面积及窗框的总长分别为多少？（，精确到） 【变式2】. （25-26七年级上·湖北随州·期末）如图，正方形的边长为a． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分图形的面积． (2)当，时，求阴影部分图形的面积． 【变式3】. （25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 题型 11 数字与图形规律探究 列出前几组数据，对比序号找变化，归纳含的代数式，代入前几组验证正确性。 【典例11】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【变式3】. （25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 题型 12 整式加减实际应用题（计费、数量关系） 读懂题意建立整式模型，分段问题区分取值区间，化简代数式再作答。 【典例12】. （25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【变式1】. （25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）为了丰富学生在学校的生活，提升学生的审美能力，某校组织开展“发现生活中的美”主题绘画比赛，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 数量/件 _____ ______ (1)请用含的代数式把表格补全（填最简形式）； (2)当时，求购买件奖品所需的总费用． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林长春·期末）某书店销售图书和笔记本，图书每本定价40元，笔记本每本定价5元，“读书月”期间推出两种优惠方案： 方案一：买1本图书送1本笔记本； 方案二：图书和笔记本都打八八折销售． 现有一名读者计划购买图书15本，笔记本y本． (1)按方案一购买，需付款_____________元；按方案二购买，需付款_____________元．（用含y的代数式表示） (2)当时，选择哪种方案更省钱？请计算说明． (3)若该读者想买15本图书和30本笔记本，如何组合购买最节省？需要花费多少元？ 【变式3】. （25-26七年级上·河南平顶山·期末）请完成以下两个问题： (1)某三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边短，第三条边比第二条边的2倍还长，求这个三角形的周长； (2)某水库水位第一天连续下降了a小时，平均每小时下降2厘米；第二天连续上升了a小时，平均每小时上升厘米．这两天这个水库水位总体的变化情况如何？ 一、单选题 1．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 2．若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 3．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 5．已知单项式与的和为单项式，则________． 6．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 三、解答题 7．根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 8．用代数式表示： (1)面积为S的圆的半径； (2)面积为S且两条邻边的比为的长方形的两邻边长． 9．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 1．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有（ ）块，第幅图中白色六边形地砖有（ ）块． 4．对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 5．若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则． (1)填空： ； (2)证明任意“双生数”的一定能被10整除； (3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 整式及其加减 教学目标 1. 梳理本章知识框架，熟练掌握代数式、单项式、多项式、整式、同类项等核心概念，能够准确辨析。 2. 熟练掌握列代数式、求代数式的值、合并同类项、去括号、整式加减运算，减少符号类计算错误。 3. 会运用整体代入、非负性等方法完成化简求值，能解决不含某项、与字母取值无关的参数问题。 4. 可以结合几何图形、生活实际完成列式与计算，掌握数字、图形类规律探究的基本思路。 5. 建立符号意识，提升代数运算能力，能识别本章常见易错陷阱。 教学重难点 重点： （1）代数式、整式相关概念辨析，代数式书写规范 （2）合并同类项、去括号法则，整式加减基础运算 （3）整式化简求值，整体代入思想的运用 （4）利用整式加减处理简单实际、几何问题 难点： （1）去括号运算中的符号处理，避免漏乘、漏变号 （2）整体代入求值，不含某项、与字母无关类参数求解 （3）数轴结合绝对值的整式化简 （4）数字、图形规律探究，归纳通用代数式 知识点 01：用字母表示数与代数式 1. 用字母可以表示数、运算律、公式、实际情境中的数量；同一个问题不同量要用不同字母表示，字母取值要让式子具备实际意义。 2. 代数式定义：用运算符号把数或字母连接而成的式子，单独一个数、单独一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不属于代数式。 3. 代数式书写规范：数字写在字母前面；带分数化为假分数；除法写成分数形式；加减式子带单位整体加括号；系数为时省略数字 1。 4. 列代数式：把文字描述的数量关系转化为符号式子，抓关键词，理清运算顺序，合理添加括号。 【即学即练】 1．某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是_________．（用代数式表示结果） 【答案】 【分析】本题考查了代数式的应用． 根据平均速度是总路程与总时间的比值求解即可． 【详解】解：设上山路程为，则总路程为， 上山时间为，下山时间为，总时间为， 平均速度为． 故答案为：． 知识点 02：代数式的值 1. 定义：用数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算得到的结果，叫做代数式的值。 2. 代入注意：负数、分数做乘方运算，必须添加括号；省略的乘号代入数值后要还原。 3. 求值方法：直接代入法、整体代入法；可结合绝对值、平方的非负性先求字母取值。 【即学即练】 1．若，互为相反数，那么________． 【答案】0 【分析】根据相反数定义得到，将代数式变形，再将整体代入变形后的式子求解，即可解题． 【详解】解：，互为相反数， ， ． 知识点 03：单项式、多项式与整式 1. 单项式：数与字母的积组成的代数式，单独数或字母也是单项式；分母不能含有字母。 2. 单项式系数：数字因数，包含符号，是常数计入系数；次数是所有字母指数之和，非零常数次数为 0。 3. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；每一项要连带前面符号，不含字母的项叫常数项；多项式次数为最高次项的次数。 4. 整式：单项式和多项式统称整式；分母含有字母的式子不是整式。 5. 多项式升降幂排列：移动项必须连带符号；降幂按指定字母指数从大到小，升幂按指数从小到大，常数项指数视作 0。 【即学即练】 1．下列说法中，正确的是（ ） A．单项式的系数是 B．单项式x的系数是1，次数是0 C．多项式是二次三项式 D．多项式的次数是2 【答案】A 【详解】解：∵单项式的数字因数为，即系数是，∴A说法正确，符合题意； ∵单项式的系数为，次数为，∴B说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，该多项式是三次三项式，∴C说法错误，不符合题意； ∵多项式的最高次项是，次数为，即多项式的次数是， ∴D说法错误，不符合题意． 知识点 04：同类项与合并同类项 1. 同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同；所有常数项都是同类项；与系数、字母顺序无关。 2. 合并同类项法则：系数相加，字母和对应指数保持不变。 3. 合并步骤：找同类项、移项（带符号）、合并系数、写出化简结果；没有同类项的项要保留。 【即学即练】 1．下列运算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、不是同类项，不能合并，原计算错误； D、，原计算正确. 知识点 05：去括号与添括号 1. 去括号：括号前为正号，括号内各项符号不变；括号前为负号，括号内全部项变号；括号外有数字，要遍乘括号内每一项，禁止漏乘。 2. 多层括号一般由内向外逐层去掉。 3. 添括号：括号前是正号，内部符号不变；括号前是负号，内部全部变号；添括号和去括号互为逆运算，可以互相检验。 【即学即练】 1．下列变号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的变号操作，需逐一验证每个等式是否成立. 【详解】对于选项A：∵ ，∴ 等式成立. 对于选项B：左边 ，右边 ，∵ ，∴ 等式不成立. 对于选项C：∵ ，∴ ，∴ ，等式成立. 对于选项D：右边 ，与左边相等，∴ 等式成立. 故变号不正确的是B. 知识点 06：整式的加减运算 1. 运算顺序：有括号先去括号，再合并同类项，结果化为最简整式。 2. 两个多项式做减法，被减多项式整体添加括号。 3. 化简求值流程：先化简，后代入，再计算。 4. 两个重要结论：化简后不含某项，则该项系数等于 0；代数式的值与某字母无关，则全部含该字母项的系数等于 0。 【即学即练】 1．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 知识点 07：规律探究（数字、图形） 1. 数字规律：对比每一项和序号之间关系，归纳代数式，再代入检验。 2. 图形规律：统计前几组图形对应数据，转为数字序列，推导含的通用式子。 【即学即练】 1．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 题型 01 代数式识别与书写规范判断 排除等式、不等式；对照书写规则逐项检查，重点关注数字位置、带分数、除法、单位格式。 【典例1】. （25-26六年级上·山东烟台·期末）下列式子，符合代数式书写格式的是（   ） A．人 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的正确书写格式，需掌握核心规范：①带单位的和/差形式代数式需添加括号；②带分数与字母相乘时要转化为假分数；③数字与字母相乘时，数字前置且省略乘号；④除法运算需写成分数形式． 【详解】解：∵选项A中，带单位的差形式代数式应写为人，不符合书写格式； 选项B中，带分数与字母相乘应化为假分数形式，即，不符合书写格式； 选项C中，数字与字母相乘应写为，不符合书写格式； 选项D中，除法运算写成分数形式，符合代数式书写格式； 故选：D． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）有下列各式：①；②；③米；④ ；⑤；⑥．其中，不符合代数式书写规范要求的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写，代数式写法规则为：数与字母相乘时，数写在字母的前面，数字是带分数的化为假分数或小数，除号用分数线表示，代数式不含单位；据此解答即可． 【详解】解： ① 中使用了“”号，不符合规范； ② 中数字1未省略，不符合规范； ③米，代数式中含有单位，不符合规范； ④书写正确； ⑤中使用了除号，不符合规范； ⑥ 中使用了带分数，不符合规范， ∴不符合规范的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：D． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 【答案】4 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，且不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念逐个判断即可． 【详解】解：是代数式； 是代数式； 是方程，不是代数式； 是代数式； 是代数式． ∴代数式有4个， 故答案为：4． 【变式3】. （25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的概念，能区分代数式与等式是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐一判断每个式子是否符合定义，统计符合条件的式子数量，从而得出答案． 【详解】解：∵代数式的定义为：用运算符号把数字与字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，等式不是代数式， ∴①是代数式， ②是代数式， ③是等式，不是代数式， ④是代数式， ⑤是代数式， ⑥是代数式， ⑦是代数式， ⑧是代数式， ∴符合代数式定义的共7个， 故选：C． 题型 02 列代数式（文字、数位、基础实际情境） 抓取关键词，分清运算先后顺序，必要时添加括号，严格遵守书写要求。 【典例2】. （2026·贵州·中考真题），两数的平方差用代数式可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目要求表示，两数的平方差， ∴运算顺序为：先分别求，的平方，再求两个平方的差， ∵的平方为，的平方为， ∴两数的平方差可表示为． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）用代数式表示： (1)a的3倍与b的一半的和； (2)a与b的差的倒数； (3)a与b两数的平方和加上它们积的两倍； (4)a与b两数和的平方减去它们差的平方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意确定运算顺序，按照代数式书写规范写出对应代数式即可， （1）先算倍数和一半，再求和， （2）先算差，再求倒数， （3）先算两数的平方，再求和，最后加积的两倍， （4）先算两数和的平方，再算两数差的平方，最后求差． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）试引进字母，用适当的代数式表示： (1)能被3整除的整数： (2)除以3余数是2的整数． 【答案】(1) 引进整数，能被3整除的整数表示为（为整数）． (2) 引进整数，除以3余数是2的整数表示为（为整数）． 【分析】根据题意，按要求写出关于所引进字母的代数式即可． 【详解】（1）解：引进整数，能被3整除的整数表示为（为整数）． （2）解：引进整数，被除数=除数×商+余数，除以3余数是2的整数表示为（为整数）． 【变式3】. （26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某地某天凌晨的温度比上午9时的温度低，中午12时的温度比凌晨的温度高，晚上9时的温度比中午12时的温度低，若该地当天上午9时的温度记为，则当天晚上9时的温度应记为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式化简即可． 【详解】解：由题意得晚上9时温度为． 题型 03 单项式、多项式、整式概念辨析 看分母是否含字母；找单项式系数、次数注意符号与；多项式取最高次项次数作为多项式次数。 【典例3】. （25-26八年级下·江西吉安·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【答案】C 【详解】解：选项A：∵分母含有字母，不是整式，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵近似数万，单位为万，最后一位有效数字0对应实际数位是百位，因此精确到百位，不是百分位，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵是数字与字母的积，属于单项式，所有字母的指数和为，次数为2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵多项式中，的次数为，是各项中最高次数，因此该多项式是四次三项式，∴D错误，不符合题意． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）填表： 多项式 次数 项数 项 【答案】 多项式 次数 2 2 3 项数 2 3 2 项 【分析】多项式的相关定义：多项式中次数最高的项的次数，叫做多项式的次数；多项式中的每个单项式叫做多项式的项，单项式的个数就是多项式的项数． 【详解】解： ：最高次项是，次数为，共有个单项式，故次数为，项数为，项为，； ：最高次项是，次数为，共有个单项式，故次数为，项数为，项为，，； ：的次数是，的次数是，最高次数为，共有个单项式，故次数为，项数为，项为，． 【变式2】. （2026·广东广州·一模）多项式的次数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】找出多项式中次数最高项的次数即可得到答案． 【详解】解：∵ 的次数为，中的指数为，的指数为，次数为，常数项的次数为， ∴ 该多项式次数最高项的次数为， 即该多项式的次数是． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)项：，；次数： (2)项：，，，；次数： (3)项：，，；次数： 【分析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数． 【详解】（1）解：项：，；次数：； （2）解：项：，，，；次数：； （3）解：项：，，；次数：． 题型 04 同类项识别与利用同类项求参数 字母、对应指数全部相同即为同类项；利用指数相等建立等式求解参数，做好检验。 【典例4】. （25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项， A、与所含字母相同，但的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，相同字母的指数都是，的指数都是，符合同类项定义，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与中x的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意． 【变式1】. （25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义中相同字母的指数相同，列方程求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， 解得，， 将，代入，得． 【变式2】. （2026·广东佛山·三模）已知和是同类项，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：和是同类项， ∴，， 解得，， ． 【变式3】. （25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 题型 05 去括号、添括号运算 正号不变、负号全变；括号外系数要乘遍括号内每一项；可以反向检验结果正误。 【典例5】. （25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 【变式1】. （2026·黑龙江大庆·一模）的相反数是（　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义，对原式添加负号后去括号化简，匹配得到正确选项，即可作答． 【详解】解：的相反数是． 【变式2】. （25-26七年级上·福建漳州·期中）下列去括号中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号规则：括号前有系数时需将系数乘以括号内每一项，括号前是负号，去括号后括号内各项都改变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于合并同类项和去括号． （1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 06 多项式升幂、降幂排列 只看指定字母指数，移动项连同符号一起移动，区分升幂与降幂要求。 【典例6】. （2026·吉林长春·一模）将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． 【变式1】. （25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林·期末）已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念（次数、常数项、项的系数）以及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的基本概念是解题的关键． （1）根据多项式次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）、三次项系数（三次项前的数字因数）的定义，分析多项式的各项即可； （2）按的降幂排列，即把多项式各项按的次数从高到低排列． 【详解】（1）解：∵多项式各项： 的次数：； 的次数：； 的次数：； 的次数：． ∴该多项式的次数是．常数项是，三次项是，其系数是， 故答案为：，，； （2）解：将多项式按的降幂排列为． 【变式3】. （25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 题型 07 整式化简求值 先化简后代入；负数、分数乘方务必加括号；利用平方、绝对值非负性求出字母再计算。 【典例7】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）若，则代数式___________． 【答案】4050 【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】. （25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【变式2】. （25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， ， 当，时， 原式． 【变式3】. （25-26七年级上·山东济南·期中）按要求解答 (1)已知： 计算 ； 若和时（1）中式子的值相等，求的值． (2)已知：有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． 若， ，的相反数是，求，，的值； 化简： ． 【答案】(1)； (2)；化简为． 【详解】（1）解：原式 当 时，中式子的值为 ，当时，中式子的值为， ，解得， ． （2）解：由数轴可知， 故由解得， 由解得， 由的相反数是得； ， ． 题型 08 整体代入求值 观察已知式和目标式结构，整体替换，不必单独求出每个字母的值。 【典例8】. （2026·江苏徐州·一模）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查整式加减运算的化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则即可求解，先化简代数式，再整体代入已知条件求值． 【详解】解： ∵， ∴原式． 【变式1】. （2026·四川成都·中考真题）已知，则_____． 【答案】16 【分析】先去括号，再合并同类项化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式2】. （25-26七年级上·湖南永州·期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 【变式3】. （25-26七年级上·北京海淀·期末）小聪同学遇到这样一道题目：“已知，求的值．” 由题目中的已知条件不能求出和的值．小聪同学对进行如下变形： ． 小聪同学把作为一个整体解决问题，原式． 请仿照上面的解题方法，解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，以及整体代入法求代数式的值． (1)整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值； (2)整理多项式可得：原式，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 题型 09 整式加减不含某项、与字母取值无关问题 化简整式，令对应项的系数等于 0，列等式求解参数。 【典例9】. （25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 【变式1】. （25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·新疆·开学考试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 【答案】（1），20；（2）①② 【分析】（1）要求代数式先去括号，再合并同类项，再把，代入计算即可； （2）原式先去括号，再合并同类项，得最简结果： ①代入、进行化简即可； ②由原式与的值无关可得含的项系数为0，从而可求出的值． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2） ； ①当、时，原式； ②∵原式与的值无关， ∴ 解得：． 【变式3】. （25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将与代入，去括号后合并同类项，然后把，代入化简后的式子，计算得出结果； （2）根据“代数式的值与无关”意味着含的项的系数为，据此列方程求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 当，时， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴，解得． 题型 10整式加减几何图形应用 分割或者补全图形，用代数式表示边长，通过整式加减求周长、阴影面积。 【典例10】. （25-26七年级上·广东东莞·期中）我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积即可； （2）将代入（1）中求出的代数式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，． ∴图中阴影部分的面积为． 【变式1】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）窗户形状如图，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形． (1)若小正方形边长为，计算窗户的面积及窗框的总长． (2)当时，窗户的面积及窗框的总长分别为多少？（，精确到） 【答案】(1)窗户的面积为，窗框的总长为 (2)窗户的面积为，窗框的总长为 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，根据题意列出窗户面积和窗框总长的代数式，再根据的数值，代入代数式求值． 【详解】（1）解：∵小正方形边长为， ∴窗户下方矩形的面积为：， 窗户上方半圆的面积为：， 下方矩形部分的窗框长度为：， 上方半圆部分的窗框长度为：， ∴窗户的面积为，窗框的总长为； （2）解：当时， 窗户的面积为， 窗框的总长为． ∴窗户的面积为，窗框的总长为． 【变式2】. （25-26七年级上·湖北随州·期末）如图，正方形的边长为a． (1)根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分图形的面积． (2)当，时，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1)阴影部分的面积为 (2)阴影部分的面积为58 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）用正方形面积减去三角形面积即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：由题意知： ， 答：阴影部分的面积为； （2）解：当，时， ， 答：阴影部分的面积为58． 【变式3】. （25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 【答案】(1) (2)减少了 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，正确的列出代数式是解题的关键： （1）求出的长，利用面积公式进行求解即可； （2）求出图2的面积，用图1的面积减去图2的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，米； ∴园子的面积为； （2）解：由题意，米， ∴图2园子的面积为， ∵， ∴园子的面积与图1中园子的面积相比，减少了． 题型 11 数字与图形规律探究 列出前几组数据，对比序号找变化，归纳含的代数式，代入前几组验证正确性。 【典例11】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【答案】885 【分析】先用倒序相加法化简，(n为正整数且)，再取，3，4，5，…，60得到，，，，…对应的值，所得结果再用倒序相加法计算即可． 【详解】设(n为正整数且)，则， ∴ ∴ 故 设，则， ∴ ∴， 即． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)小明用长度相同的小棒按如图所示的规律拼摆图形，第n个图形需要多少根小棒？ (2)小颖给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆，第n个图形所需小棒的根数为．请你画图表示小颖的拼摆方式． (3)请你设计出其他有规律的拼摆方式，根据你的拼摆规律提出问题并加以解决． 【答案】(1)第n个图形需要根小棒 (2)如图所示： (3)如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 答：第n个图形需要根小棒 【详解】（1）解：第1个图形需要小棒：（根）； 第2个图形需要小棒：（根）； 第3个图形需要小棒：（根）； 以此类推，第n个图形需要根小棒； （2）解：如图所示： 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形有小棒：（根）； （3）解：如图所示： 提出问题：第n个图形需要多少根小棒？ 第1个图形有小棒：（根）； 第2个图形有小棒：（根）； 第3个图形有小棒：（根）， 以此类推，第n个图形需要根小棒． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）按如图示的方式摆放餐桌和餐椅． (1)n张餐桌可以摆放多少把餐椅？ (2)8张餐桌可以摆放多少把餐椅？10张呢？15张呢？ 【答案】(1) (2)34；42；62 【分析】（1）观察摆放的餐桌和椅子图示，得到摆放1张，2张，3张桌子，…，放的椅子数依次是6，10，14，…从中得到一个规律，那么根据摆放规律，就能表示出摆放n张餐桌，应放的椅子数为，再进一步解答即可． （2）将，10，15，分别代入进行计算即可． 【详解】（1）解：由图示，摆放1张，2张，3张，…桌子，放的椅子数依次是6，10，14，… ， ， ， … ∴摆放n张餐桌应放的椅子数为． （2）解：当时，， 当时，， 当时，． 【变式3】. （25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 题型 12 整式加减实际应用题（计费、数量关系） 读懂题意建立整式模型，分段问题区分取值区间，化简代数式再作答。 【典例12】. （25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由如下： 当时，， ， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【分析】（1）直接根据素材1，列出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式即可； （2）将代入（1）所得的解析式，求得购物车列的车身总长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为． （2）略 【变式1】. （25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）为了丰富学生在学校的生活，提升学生的审美能力，某校组织开展“发现生活中的美”主题绘画比赛，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价/元 数量/件 _____ ______ (1)请用含的代数式把表格补全（填最简形式）； (2)当时，求购买件奖品所需的总费用． 【答案】(1)， (2)购买件奖品所需的总费用为元 【分析】（1）根据二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件，可知二等奖的奖品件数为件，三等奖的奖品件数为件； （2）根据奖品的单价列出表示奖品总费用的代数式，把代入代数式计算求值． 【详解】（1）解：二等奖的奖品件数比一等奖的奖品件数的倍少件， 二等奖的奖品件数为件， 三等奖的奖品件数为件； （2）解：总费用为元， 当时， 可得：， 答：购买件奖品所需的总费用为元． 【变式2】. （25-26七年级上·吉林长春·期末）某书店销售图书和笔记本，图书每本定价40元，笔记本每本定价5元，“读书月”期间推出两种优惠方案： 方案一：买1本图书送1本笔记本； 方案二：图书和笔记本都打八八折销售． 现有一名读者计划购买图书15本，笔记本y本． (1)按方案一购买，需付款_____________元；按方案二购买，需付款_____________元．（用含y的代数式表示） (2)当时，选择哪种方案更省钱？请计算说明． (3)若该读者想买15本图书和30本笔记本，如何组合购买最节省？需要花费多少元？ 【答案】(1) ， (2) 方案二更省钱 (3) 选择方案二购买最节省，需要花费660元 【分析】（1）根据优惠方案列式子即可； （2）把分别代入方案一，方案二中，计算结果比较即可； （3）按方案一，方案二，方案一购买15本图书（获赠15本笔记本），余下的15本笔记本按方案二购买三种购买方式计算出所需付款的钱数比较即可解答． 【详解】（1）解：方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元． （2）解：当时，方案一需付款（元）； 方案二需付款（元）； ∵， 按方案二购买更省钱． （3）解：当时，方案一需付款（元）； 方案二需付款（元）； 先按方案一购买15本图书（获赠15本笔记本），余下的15本笔记本按方案二购买，需付款（元）． ∵， 按方案二购买更省钱，需要花费元． 【变式3】. （25-26七年级上·河南平顶山·期末）请完成以下两个问题： (1)某三角形的第一条边长为，第二条边比第一条边短，第三条边比第二条边的2倍还长，求这个三角形的周长； (2)某水库水位第一天连续下降了a小时，平均每小时下降2厘米；第二天连续上升了a小时，平均每小时上升厘米．这两天这个水库水位总体的变化情况如何？ 【答案】(1) (2)水库的水位总体下降了厘米 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，理解题意，是解题的关键． （1）先表示出三条边长，然后求出三角形的周长即可； （2）设下降2厘米记作“厘米”，则上升厘米就记作“厘米”，根据题意列出算式，进行求解即可． 【详解】（1）解：这个三角形的第一条边是： 第二条边是： 第三条边是： ∴这个三角形的周长是：； （2）解：设下降2厘米记作“厘米”，则上升厘米就记作“厘米”，根据题意得（厘米） 答：水库的水位总体下降了厘米． 一、单选题 1．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【分析】多项式中单项式的个数为多项式的项数，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数为多项式的次数． 【详解】解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 2．若则的值为（     ） A．3 B．9 C．8 D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值和平方式的非负性求得a、b，再代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 3．生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，第个图案用了个矩形，，则第个图案需要用矩形的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据3个图中矩形个数的变化，总结出规律即可． 【详解】解：由题意可知，第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； 第个图案用了（个）矩形； ∴第个图案用了（个）矩形． 二、填空题 4．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 5．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 6．用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】（1）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （2）用长方形的长除以2，计算出长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，面积=长×宽即可解答． （3）根据三角形的周长等于三边的和，解答即可． （4）一个平行四边形的一边长为a，这条边上的高是这条边长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出平行四边形的高是多少，再根据平行四边形的面积=底×高进行解答即可． 【详解】解：（1）乘法对加法的分配律：； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是，面积是； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，故该边上的高为， 故这个平行四边形的面积是． 三、解答题 7．根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 8．用代数式表示： (1)面积为S的圆的半径； (2)面积为S且两条邻边的比为的长方形的两邻边长． 【答案】(1)面积为S的圆的半径是． (2)两邻边长度：短边为，长边为． 【分析】（1）根据圆的面积公式，即可求出半径． （2）根据比例设未知数，利用长方形的面积公式列方程，再开平方即可求出边长． 【详解】（1）解：设圆的半径为，则圆的面积， 半径是正数，所以取算术平方根，得到． （2）解：设长方形短边长度为，则长边长度为， 长方形的面积为， 解得，则， 所以两邻边短边长度为，长边长度为． 9．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 1．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 2．代数式的值（      ） A．当时，原式 B．当时，原式 C．当时，原式 D．不论x取何值，原式都等于12 【答案】D 【详解】解：原式 ， ∴ 不论取何值，原式都等于． 3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派经常用“数形结合”的方法研究数学问题．如图，由黑白两种正六边形地砖组成，第1幅图中白色六边形地砖有6块，第2幅图中白色六边形地砖有10块，第3幅图中白色六边形地砖有14块，那么第5幅图中白色六边形地砖有( )块，第幅图中白色六边形地砖有( )块． 【答案】 22 【分析】第1幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下四块，（块）；第2幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下两个四块，（块）；第3幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下三个四块，（块）；依次类推，第幅图中白色六边形地砖可分成最左边两块和余下个四块，（块）． 【详解】解：（块）， （块）． 4．对于，可以用10个手指直观地展示出来：如图，将两手平伸，手心向上，从左边开始数至第3个手指，将它弯起，此时它的左边有2个手指，右边有7个手指，“27”正是“”的结果．类似地，，……，也可以用手指直观地展示出来．请用本章学过的知识解释其中的道理． 【答案】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，则组成的两位数为． 【分析】用字母a表示这九个数中的任意一个数，设弯下去的是第个手指，则左边的手指数为，作为十位数字，右边的手指数为，作为个位数字，根据两位数的组成规则列代数式，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】略 5．若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：3131、4646都是“双生数”；将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若 则． (1)填空： ； (2)证明任意“双生数”的一定能被10整除； (3)若一个“双生数”，当能被整除时，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； (3)9898 【分析】（1）根据进行求解即可； （2）设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则，然后根据进行求解即可； （3）由题意易得，则有，然后可得能被整除， 要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数），进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：设任意“双生数”，即， 将这个任意“双生数”的百位和十位交换位置后得到一个四位数，则， ∴， ∴任意“双生数”的一定能被10整除； （3）解：∵， ∴， ∵能被整除， ∴的结果为整数， ∴能被整除， 要使的值为最大，则的值要为最大，且，即，（b为整数） ∴当时，则，不能被7整除，故不符合题意； 当时，则，能被7整除， ∴， ∴这个“双生数”的最大值为9898． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $