4.1相交线（基础篇） 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

4.1相交线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 对顶角 1. 定义：有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。例如，两条直线相交形成的四个角中，∠1 和∠3、∠2 和∠4 就是对顶角。 1. 性质：对顶角相等。这是因为同角的补角相等，如∠1 + ∠2 = 180°，∠3+∠2 = 180°，所以∠1 = ∠3。 · 垂线 2. 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。例如，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，若∠AOC = 90°，则 AB⊥CD，点 O 是垂足。 2. 性质： 2. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。比如，过直线 l 外一点 P，只能作一条直线与 l 垂直。 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说，垂线段最短。例如，点 P 到直线 l 的距离，就是点 P 到直线 l 的垂线段 PO 的长度（设垂足为 O）。 · 同位角、内错角、同旁内角 3. 同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，并且在被截两直线的同一方，那么这样的一对角叫做同位角。 3. 内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的两侧，并且在被截两直线之间，那么这样的一对角叫做内错角。 3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，并且在被截两直线之间，那么这样的一对角叫做同旁内角。 型 习 练 题 对顶角的定义 1．下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 4．下面四个图形中与是对顶角的图形有（   ）个． A． B．1 C． D． 5．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 对顶角相等 6．如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 邻补角的定义 11．下列各图中，和是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 12．把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．如图1，这是一把剪刀的示意图，我们可将其想象成一个相交线模型（如图2），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 15．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 垂线的定义 16．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 18．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 19．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 20．如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 垂线段最短 21．运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 22．如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 23．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 24．测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线 25．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 点到直线的距离 26．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 27．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 28．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 29．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1相交线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 对顶角 1. 定义：有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角。例如，两条直线相交形成的四个角中，∠1 和∠3、∠2 和∠4 就是对顶角。 1. 性质：对顶角相等。这是因为同角的补角相等，如∠1 + ∠2 = 180°，∠3+∠2 = 180°，所以∠1 = ∠3。 · 垂线 2. 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。例如，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，若∠AOC = 90°，则 AB⊥CD，点 O 是垂足。 2. 性质： 2. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。比如，过直线 l 外一点 P，只能作一条直线与 l 垂直。 2. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说，垂线段最短。例如，点 P 到直线 l 的距离，就是点 P 到直线 l 的垂线段 PO 的长度（设垂足为 O）。 · 同位角、内错角、同旁内角 3. 同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，并且在被截两直线的同一方，那么这样的一对角叫做同位角。 3. 内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的两侧，并且在被截两直线之间，那么这样的一对角叫做内错角。 3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在截线的同侧，并且在被截两直线之间，那么这样的一对角叫做同旁内角。 型 习 练 题 对顶角的定义 1．下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键．两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【详解】解：．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与互为对顶角，故该选项符合题意； ．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．下面各图中∠1和∠2是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B．∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； C．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D．∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的概念，熟练掌握对顶角的概念是解决本题的关键． 根据对顶角的概念，即如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，由此判断选项即可． 【详解】解：根据对顶角的概念可知，选项A与选项C的所在边不是所在边的反向延长线， 选项D的与没有公共顶点， 只有选项B满足对顶角的定义，是对顶角． 故选：B ． 4．下面四个图形中与是对顶角的图形有（   ）个． A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义．如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，根据对顶角的定义进行求解． 【详解】解：根据定义可得，个图中与均不是对顶角． 故选：A． 5．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，“具有共同的顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角”，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A．根据对顶角的定义，A中的与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； B．根据对顶角的定义，B中与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意； C．根据对顶角的定义，C中与不具有共同的顶点，不是对顶角，故不符合题意； D．根据对顶角的定义，D中与具有共同的顶点且两边互为反向延长线，是对顶角，故符合题意． 故选：D 对顶角相等 6．如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，由对顶角相等求解，再利用邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平角定理和对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 如图，，得到，再根据求解即可． 【详解】如图， 则，即， 解得， （对顶角相等）． 故选：C． 8．如图，用量角器测得的度数为，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由对顶角相等可得， 故选：B． 9．下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、两角互补的性质、三角形外角性质，准确分析判断是解题的关键． 根据对顶角相等判断，根据两角互补且判断，根据直角三角形的内角和三角形外角性质判断、即可得解． 【详解】、与是对顶角，故，故符合题意； 、且，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、是三角形的外角，所以，故不符合题意． 故选． 10．如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：A． 邻补角的定义 11．下列各图中，和是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的定义，正确把握定义：有公共顶点，一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义判断即可． 【详解】解：A．没有公共顶点，不是邻补角，故A不符合题意； B．没有公共顶点，不是邻补角，故B不符合题意． C．没有公共顶点，不是邻补角，故C不符合题意； D．符合邻补角的定义，故D符合题意； 故选D． 12．把两根笔直的筷子交叉放在一起，如图，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义等知识，根据对顶角的性质可得出，，根据邻补角的定义可得，即可判断． 【详解】解∶根据题意，得，，， 根据已知无法得出，，， 故选∶A． 13．如图1，这是一把剪刀的示意图，我们可将其想象成一个相交线模型（如图2），若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角，根据对顶角相等得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 14．将两根矩形木条如图放置，固定其中的一根，转动另一根，若增大，则下列说法正确的是（ ） A．减少 B．减少 C．增大 D．的度数不变 【答案】A 【分析】本题考查角度关系，涉及对顶角、邻补角等知识，根据题意，数形结合，逐项分析角度变化即可得到答案．数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 与是对顶角，即；与是对顶角，即；， A、若增大，则减少，故A正确，符合题意； B、若增大，则增大，故B错误，不符合题意； C、若增大，则减少，故C错误，不符合题意； D、若增大，则减少，故D错误，不符合题意； 故选：A． 15．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，熟记邻补角的定义是解答的关键．根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，因此的一个邻补角是，． 故选：C． 垂线的定义 16．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为， ∴， 故选：A． 17．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质等知识，根据垂直的定义得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 19．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 【答案】A 【分析】本题考查角度的计算，垂直的定义，根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 20．如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 垂线段最短 21．运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 22．如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 23．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 24．测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度．其中的数学道理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线 【答案】C 【分析】本题考查点到直线的距离、两点确定一条直线、两点之间线段最短、垂线、垂线段最短．把踏板看作一条直线，落地点（脚跟处）看作一点，为了公平准确，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度，即利用了点到直线的距离原理．据此选择正确选项即可． 【详解】解：利用点到直线的距离原理，测量跳远成绩时，要把卷尺的端点固定在落地点（脚跟处），再把卷尺拉向踏板，使卷尺与踏板前沿边线垂直，最后量出长度． 故选：C． 25．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 点到直线的距离 26．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离． 根据高的定义作答即可． 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 27．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 28．下列作图能表示点A到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 点到的距离就是过向作垂线的垂线段的长度． 【详解】解：A、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； B、表示点到的距离，故此选项正确，符合题意； C、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； D、表示点到的距离，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 29．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 30．如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离， ∴能表示点到直线的距离的线段共有5条， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $