专题3.2 立体图形的视图 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.2 立体图形的视图 教学目标 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影，发展抽象能力。 2.知道主视图、左视图、俯视图的概念，会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图。 3.能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体，发展几何直观和空间观念。 4.掌握三视图"长对正、高平齐、宽相等"的关系及画法。 教学重难点 1.重点 （1）平行投影与中心投影的区别 （2）主视图、俯视图、左视图的概念 （3）三视图的画法与"长对正、高平齐、宽相等"关系 2.难点 （1）由三视图确定几何体的形状 （2）由俯视图中所标数字推断主视图或左视图 （3）根据三视图求小正方体的最多个数与最少个数 知识点01：投影 1.投影：用光线照射物体，在某个面（地面、墙壁、幕布等）上得到的影子叫做物体的 。 2.相关概念：照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做 。 3.形成投影的三个条件：投影线（光源）、物体（在光源与投影面之间）、投影面。 4.投影按光源分类： 、 。 【即学即练】 1．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 知识点02：平行投影与中心投影 1.平行投影：由 形成的投影，如物体在太阳光下形成的影子。太阳光线看成 。 2.中心投影：由 形成的投影，即投影线交于一点，如灯泡发出的光照射下物体形成的影子。 3.平行投影与中心投影的区别： （1）平行投影光源是太阳等，光线平行，同一时刻不同物体的影长与物高成比例，影子方向总相同； （2）中心投影光源是灯泡等点光源，光线发散，同一时刻影长与物高不一定成比例，影子方向随点光源位置变化而变化。 4.正投影：当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影叫做正投影，正投影是特殊的平行投影。 【即学即练】 1．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 知识点03：三视图的概念 1.视图：从某一方向观察物体时，看到的 叫做物体的一个视图，视图可以看作平行光线下物体的 。 2.三视图：从物体的 、 和 （左面或右面）三个不同方向观察，可以得到三个投影： （1）从正面观察得到的投影，叫做主视图； （2）从上面观察得到的投影，叫做俯视图； （3）从侧面观察得到的投影叫做侧视图，有左视图和右视图。 3.通常将主视图、俯视图和左（或右）视图称为一个物体的三视图。 4.注意：正面、上面和侧面都是针对观察者而言的；三视图与物体的摆放位置有关，同一立体图形的三视图中的长、宽、高应一致。 【即学即练】 1．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 知识点04：三视图之间的关系及画法 1.位置关系：主视图画在左 ，其下方是 ， 在主视图右方。 2.大小关系（口诀"长对正、高平齐、宽相等"）：主视图与俯视图长相等；主视图与左视图高相等；俯视图与左视图宽相等。 3.主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 4.画法：确定主视图位置并画出；在主视图正下方画俯视图（长对正）；在主视图正右方画左视图（高平齐、宽相等）。 5.注意：画视图时，看得见的轮廓线画实线，被遮挡看不见的轮廓线画虚线。 【即学即练】 1．如图，添线补全各物体的三视图． 知识点05：由三视图确定几何体的形状 1.确定形状：根据各个视图确定从 观察到的物体形状。 2.确定大小：利用"主俯长对正、主左高平齐、左右俯宽相等"确定轮廓线位置及尺寸。 3.综合成体：综合上述两步还原几何体。 4.注意：一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，有多种可能性，如主视图是正方形的几何体可能是三棱柱、长方体、圆柱等。 【即学即练】 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 题型01 判断投影的类型（平行投影、中心投影、正投影） 由太阳等平行光源形成的是平行投影，由点光源（灯泡、路灯）形成的是中心投影；投影线垂直于投影面时为正投影。 【典例1】. （2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【变式2】. （2025九年级·全国·专题练习）下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】. （25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 题型02 光源变化下影子大小变化的判断 平行投影下太阳高度变化影响影长；中心投影下离点光源越近影子越短、越远越长，注意从路灯正下方走过时影子先短后长。 【典例2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）小高在太阳光下的影子如图所示，请画出此时婷婷在太阳光下的影子（用线段表示）． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【变式2】. （24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为________． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 题型03 判断简单几何体的三视图 从对应方向观察物体，抓住几何体在该方向呈现的平面形状，注意实线、虚线区分。 【典例3】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·四川·期中）如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27九年级上·贵州·期中）下列立体图形的俯视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断组合体的三视图 从各方向看组合体，逐列逐层判断，注意被遮挡部分与叠加部分的呈现。 【典例4】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27七年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 题型05 画出指定几何体的三视图 先观察几何体结构，利用"长对正、高平齐、宽相等"在方格纸中规范作图，看得见画实线、看不见画虚线。 【典例5】. （26-27九年级上·全国·课后作业）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【变式3】. （26-27九年级·全国·暑假作业）如图，添线补全各物体的三视图． 题型06 根据三视图判断几何体形状 结合三个视图综合想象，先定大致类型，再核对各视图，必要时用实物或展开图验证。 【典例6】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）一个几何体的主视图和左视图如图所示，你能想象出与之对应的几何体的形状吗？请画出这个几何体的草图，结合草图画出它的俯视图，并描述这个几何体的形状． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 题型07 根据三视图求小正方体的最多/少个数 以俯视图为基底，结合主视图、左视图确定每列、每层能放的最大个数，取可行最大值和最小值。 【典例7】. （26-27七年级上·江西吉安·期中）如图，这是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是_________． 【变式1】. （26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？ 【变式3】. （26-27九年级上·全国·期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 题型08 由三视图求侧面积或表面积 先由三视图还原几何体形状，再按几何体的侧面积、表面积公式计算，注意单位统一。 【典例8】. （24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 【变式1】. （2026·宁夏银川·三模）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【变式2】. （25-26九年级上·山东威海·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【变式3】. （25-26九年级下·全国·单元复习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积． 题型09 三视图综合应用（添加或取走小正方体） 分析移动、添加、取走小正方体后各方向视图的变化，找出影响各视图的关键位置。 【典例9】. （2026·河北廊坊·一模）廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1为园区内一处休息区的座椅，其主视图尺寸如图2所示． (1)请用含b的代数式表示a； (2)已知，求这个主视图的面积． 【变式1】. （25-26九年级上·山东威海·期末）如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【变式2】. （25-26九年级下·山西·期末）阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的主视图和左视图（每个小方格的边长为）； (2)该几何体的表面积（包含底面）为___________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加___________块小正方体． 一、单选题 1．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 2．如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 3．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 5．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有______个． 6．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭一个这样的立体图形至少要( )个小正方体，最多要( )个小正方体． 三、解答题 7．如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 8．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 9．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 1．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数不可能为（） A．6 B．8 C．10 D．12 2．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由a个小立方块组成，最少由b个小立方块组成，则_______． 3．图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 立体图形的视图 教学目标 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影，发展抽象能力。 2.知道主视图、左视图、俯视图的概念，会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图。 3.能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体，发展几何直观和空间观念。 4.掌握三视图"长对正、高平齐、宽相等"的关系及画法。 教学重难点 1.重点 （1）平行投影与中心投影的区别 （2）主视图、俯视图、左视图的概念 （3）三视图的画法与"长对正、高平齐、宽相等"关系 2.难点 （1）由三视图确定几何体的形状 （2）由俯视图中所标数字推断主视图或左视图 （3）根据三视图求小正方体的最多个数与最少个数 知识点01：投影 1.投影：用光线照射物体，在某个面（地面、墙壁、幕布等）上得到的影子叫做物体的投影。 2.相关概念：照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 3.形成投影的三个条件：投影线（光源）、物体（在光源与投影面之间）、投影面。 4.投影按光源分类：平行投影、中心投影。 【即学即练】 1．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查的是投影的分类，灵活运用中心投影与平行投影的定义是解题的关键．根据投影的定义可知，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，而灯光属于点光源，因此秦腔演员在灯光下表演的影子是中心投影． 【详解】解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，灯光属于点光源，秦腔演员在灯光下的影子是由该点光源发出的光线形成的投影，因此是中心投影． 故答案为：中心． 知识点02：平行投影与中心投影 1.平行投影：由平行光线形成的投影，如物体在太阳光下形成的影子。太阳光线看成平行光线。 2.中心投影：由一点发出的光线形成的投影，即投影线交于一点，如灯泡发出的光照射下物体形成的影子。 3.平行投影与中心投影的区别： （1）平行投影光源是太阳等，光线平行，同一时刻不同物体的影长与物高成比例，影子方向总相同； （2）中心投影光源是灯泡等点光源，光线发散，同一时刻影长与物高不一定成比例，影子方向随点光源位置变化而变化。 4.正投影：当投影线垂直于投影面时，产生的平行投影叫做正投影，正投影是特殊的平行投影。 【即学即练】 1．如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了中心投影，能够掌握中心投影是点光源与物体，影子的对应点在同一直线上是解题的关键． 根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上逐一进行判断可得结果． 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断： A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意； C、选项中的影子不符合题意； D、选项中的影子符合题意． 故选：D． 知识点03：三视图的概念 1.视图：从某一方向观察物体时，看到的平面图形叫做物体的一个视图，视图可以看作平行光线下物体的正投影。 2.三视图：从物体的正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向观察，可以得到三个投影： （1）从正面观察得到的投影，叫做主视图； （2）从上面观察得到的投影，叫做俯视图； （3）从侧面观察得到的投影叫做侧视图，有左视图和右视图。 3.通常将主视图、俯视图和左（或右）视图称为一个物体的三视图。 4.注意：正面、上面和侧面都是针对观察者而言的；三视图与物体的摆放位置有关，同一立体图形的三视图中的长、宽、高应一致。 【即学即练】 1．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图都相同的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据简单几何体的三视图判断即可． 【详解】解：A．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故A符合题意； B．三棱柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意； C．圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是带圆心的圆，故C不符合题意； D．圆柱的主视图和左视图都是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意． 知识点04：三视图之间的关系及画法 1.位置关系：主视图画在左上方，其下方是俯视图，左视图在主视图右方。 2.大小关系（口诀"长对正、高平齐、宽相等"）：主视图与俯视图长相等；主视图与左视图高相等；俯视图与左视图宽相等。 3.主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 4.画法：确定主视图位置并画出；在主视图正下方画俯视图（长对正）；在主视图正右方画左视图（高平齐、宽相等）。 5.注意：画视图时，看得见的轮廓线画实线，被遮挡看不见的轮廓线画虚线。 【即学即练】 1．如图，添线补全各物体的三视图． 【答案】解： 左视图、俯视图如图①． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线表示． 【详解】略 知识点05：由三视图确定几何体的形状 1.确定形状：根据各个视图确定从各方向观察到的物体形状。 2.确定大小：利用"主俯长对正、主左高平齐、左右俯宽相等"确定轮廓线位置及尺寸。 3.综合成体：综合上述两步还原几何体。 4.注意：一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，有多种可能性，如主视图是正方形的几何体可能是三棱柱、长方体、圆柱等。 【即学即练】 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 题型01 判断投影的类型（平行投影、中心投影、正投影） 由太阳等平行光源形成的是平行投影，由点光源（灯泡、路灯）形成的是中心投影；投影线垂直于投影面时为正投影。 【典例1】. （2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 【变式1】. （25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）台灯照射书本所形成的影子属于______投影．(填“平行”或“中心”) 【答案】中心 【分析】平行投影的光线是平行的(例如太阳光)，中心投影的光线来自同一点光源(例如灯光)．台灯属于点光源，其光线从同一点发散，因此形成的投影为中心投影． 【详解】解：∵台灯的灯光是从点光源发出的光线，而由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影， ∴台灯照射书本所形成的影子属于中心投影． 【变式2】. （2025九年级·全国·专题练习）下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 【变式3】. （25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 题型02 光源变化下影子大小变化的判断 平行投影下太阳高度变化影响影长；中心投影下离点光源越近影子越短、越远越长，注意从路灯正下方走过时影子先短后长。 【典例2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）小高在太阳光下的影子如图所示，请画出此时婷婷在太阳光下的影子（用线段表示）． 【答案】婷婷在太阳光下的影子，如图所示： 【分析】首先连接小高头顶点和影子的顶点得到光线，然后从婷婷头的顶点作小高的太阳光线的平行线即可． 【详解】略 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列关于两个人身高的说法正确的是（     ） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法判断 【答案】D 【详解】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，所以虽然影子一样长，但无法判断谁的身高高． 【变式2】. （24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小________．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为________． 【答案】 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 题型03 判断简单几何体的三视图 从对应方向观察物体，抓住几何体在该方向呈现的平面形状，注意实线、虚线区分。 【典例3】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的特点，知道俯视图从图形的上面看到一个矩形，在面上有纵向线段． 【详解】解：该几何体的俯视图，如图所示， 【变式1】. （26-27九年级上·四川·期中）如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画几何体左视图，应从几何体的左面往右面看，得到的平面图形，看不见的棱，画虚线，看得见的棱画实线． 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 【变式2】. （26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 解：从左边看，看到的图形是一个长方形，且内部有一条看不见的线，即用虚线表示， 所以D正确． 【变式3】. （26-27九年级上·贵州·期中）下列立体图形的俯视图为圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各个几何体的俯视图的形状进行判断即可． 【详解】解：选项中只有球的俯视图是圆． 题型04 判断组合体的三视图 从各方向看组合体，逐列逐层判断，注意被遮挡部分与叠加部分的呈现。 【典例4】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）如图所示的几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从左面看几何体，一共有两列，左边第一列有两个正方体，第二列有一个正方体，第一列与第二列下对齐． 【变式1】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出从左面看到的图形即可． 【详解】解：该几何体的左视图是一个长方形，并且有一条隐藏的线用虚线表示， 如图所示： ． 【变式2】. （26-27九年级上·陕西·期中）如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，看得到的是实线，看不到的是虚线，可知从正面看到两个长方形，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图是： 【变式3】. （26-27七年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：几何体的俯视图为： 题型05 画出指定几何体的三视图 先观察几何体结构，利用"长对正、高平齐、宽相等"在方格纸中规范作图，看得见画实线、看不见画虚线。 【典例5】. （26-27九年级上·全国·课后作业）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【答案】(1)解：画图如下： (2)解：画图如下： 【分析】根据三视图的概念画图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 【分析】根据画物体的三视图的口诀进行求解即可，主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【答案】(1)如图， (2)如图， 【分析】（1）主视图为三角形，左视图为矩形，俯视图为矩形，中间有一条竖直的线段； （2）主视图为大正方形，内部中间有实线轮廓的小正方形，左视图为大正方形，内部有两条水平的虚线，俯视图为大正方形，内部有两条竖直的虚线． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】. （26-27九年级·全国·暑假作业）如图，添线补全各物体的三视图． 【答案】解：主视图正确， 左视图、俯视图如图②． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线表示． 【详解】略 题型06 根据三视图判断几何体形状 结合三个视图综合想象，先定大致类型，再核对各视图，必要时用实物或展开图验证。 【典例6】. （26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．长方体 【答案】A 【分析】根据常见几何体的三视图可得出答案． 【详解】解：根据主视图和俯视图是长方形可知，该几何体是柱体，左视图判断几何体的底面形状是圆，说明几何体是圆柱． 【变式1】. （26-27九年级上·黑龙江·期中）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，即可解答． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选项B符合题意． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·课后作业）一个几何体的主视图和左视图如图所示，你能想象出与之对应的几何体的形状吗？请画出这个几何体的草图，结合草图画出它的俯视图，并描述这个几何体的形状． 【答案】解：该几何体是一个正方体截去后得到的几何体． 【分析】根据几何体的三视图的意义，三视图的画法，求解即可． 【详解】解：略． 【变式3】. （26-27九年级上·全国·课后作业）两个几何体的三种视图如图所示，你能想象出它们的形状吗？请画出这两个几何体的草图． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）略 题型07 根据三视图求小正方体的最多/少个数 以俯视图为基底，结合主视图、左视图确定每列、每层能放的最大个数，取可行最大值和最小值。 【典例7】. （26-27七年级上·江西吉安·期中）如图，这是由一些小正方体搭成的几何体从正面看和上面看得到的形状图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是_________． 【答案】16 【分析】根据从正面看和上面看得到的形状图分别画出最多的图形即得答案． 【详解】解：根据题意：如图，若要搭成该几何体的正方体的个数最多是16个， 【变式1】. （26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 【答案】 【分析】最多时让每个底面位置都放立方体，每个位置的高度取主视图对应列高度与左视图对应行高度中的较小值，使两个视图的各列高度要求都独立满足；最少时让同一立柱尽可能同时满足主视图和左视图对应列的高度要求，只在必须的位置放置立方体，其余位置空置。 【详解】①如图放置为最多的小立方体个数为13个， ， ②如图放置为最少的小立方体个数为5个， ． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？ 【答案】组合体中正方体的个数至少有8个，至多有10个 【分析】俯视图定位置，主视图定个数，进行求解即可. 【详解】解：如图， 至少有（个）； 至多有（个）. 答：组合体中正方体的个数至少有8个，至多有10个. 【变式3】. （26-27九年级上·全国·期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． 题型08 由三视图求侧面积或表面积 先由三视图还原几何体形状，再按几何体的侧面积、表面积公式计算，注意单位统一。 【典例8】. （24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 【答案】18 【分析】先根据俯视图的面积求出圆的半径，也就是主视图的长和左视图的宽，然后利用矩形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：设俯视图的半径为， ∵俯视图的面积为， ∴， ∴， ∴左视图的长为， ∴左视图的面积为：． 【变式1】. （2026·宁夏银川·三模）如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为的正方形，左视图是宽为的矩形，俯视图是直径为的半圆，这个几何体的表面积是________． 【答案】 【分析】根据三视图特征得到该几何体为底面半径、高为的半圆柱，进而求出这个几何体的表面积． 【详解】解：由三视图可得，该几何体是底面为半圆的半圆柱， 底面半圆直径为，因此半径；由主视图为边长的正方形，可知半圆柱的高（母线长）， 半圆柱的表面积由三部分组成： 两个半圆形底面：两个半圆可拼接为个完整的圆， 面积：， 曲面侧面积：等于完整圆柱侧面积的一半， 面积：， 轴截面（矩形平面）：即半圆柱的截面，长为圆柱的高，宽为底面直径， 面积：， 总表面积：． 【变式2】. （25-26九年级上·山东威海·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：），求该几何体的表面积． 【答案】该几何体的表面积是 【分析】先通过三视图得出几何体是一个圆柱上半部分切除半圆柱，分别算出侧面积和以及底面积和，然后两者相加即可． 【详解】解：． ， ， 所以，该几何体的表面积是． 【变式3】. （25-26九年级下·全国·单元复习）一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的名称，并根据图中所给的数据求出它的侧面积和体积． 【答案】四棱柱，它的侧面积是，体积是 【分析】此题主要考查的是几何体的侧面积和体积，由三视图判断几何体，关键是先判断几何体的形状，然后求其侧面积和体积． 由已知三视图可以确定为四棱柱，首先得到棱柱底面菱形的对角线长，则求出菱形的边长，从而求出它的侧面积和体积． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是四棱柱， 棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm，3cm， ∴菱形的边长为， 棱柱的侧面积为， 棱柱的体积为， 故它的侧面积是，体积是． 题型09 三视图综合应用（添加或取走小正方体） 分析移动、添加、取走小正方体后各方向视图的变化，找出影响各视图的关键位置。 【典例9】. （2026·河北廊坊·一模）廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1为园区内一处休息区的座椅，其主视图尺寸如图2所示． (1)请用含b的代数式表示a； (2)已知，求这个主视图的面积． 【答案】(1) (2)56 【分析】（1）根据主视图尺寸得到，变形后即可得到答案； （2）根据，可设，，，列方程并解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）根据，可设，，， 由（1）得， 解得， ∴，，， ∴这个主视图的面积为． 【变式1】. （25-26九年级上·山东威海·期末）如图，是由7个大小相同的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多可以再添加__________个小正方体． 【答案】(1) 解：如图所示： (2)2 【分析】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键． （1）从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，2，1，2，依此画出图形即可； （2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添一个，即最多可再添加2个小正方体． 故答案为：2 【变式2】. （25-26九年级下·山西·期末）阅读与思考 阅读材料：如图，它是由6个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2厘米，从不同的方向看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题： (1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； (2)试求出其表面积； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加　　　个小正方体． 【答案】(1) 如图， (2) (3) 【分析】此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． （）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置． 【详解】（1）略 （2）解：几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：要使这个几何体的左视图和俯视图不变，可以在如图位置各放一个小正方体， 所以最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 【变式3】. （25-26七年级上·吉林长春·期末）如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的主视图和左视图（每个小方格的边长为）； (2)该几何体的表面积（包含底面）为___________； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加___________块小正方体． 【答案】(1) 该几何体的主视图和左视图如下图所示： (2) (3) 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据几何体的特征可进行作图； （2）根据三视图可进行求解； （3）根据几何体的特征及三视图可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：该几何体俯视图如下： 结合其主视图、左视图、俯视图， 得表面积为， 故答案为：． （3）解：由题意可得在备注数字的位置添加相应数量的小正方体， 所以最多可以添加个， 故答案为：． 一、单选题 1．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线，根据三视图的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是该几何体的俯视图，故不符合题意； B、是该几何体的左视图，故不符合题意； C、不是该几何体的三视图，故不符合题意； D、 是该几何体的主视图，故符合题意． 2．如图，是一个几何体的主视图，则这个几何体可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图的定义，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A.该几何体的主视图为，本选项不符合题意； B. 该几何体的主视图为，本选项符合题意； C. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意； D. 该几何体的主视图为，本选项不符合题意． 3．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若增加一个正方体木块，保证左视图不变，则添加的小正方体只能在左边或右边． 【详解】解：分析可知，有以下种摆法： 二、填空题 4．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【答案】 【分析】观察可知，几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，根据圆柱体的体积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，该几何体的体积为. 5．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有______个． 【答案】8 【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少有（个）． 6．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭一个这样的立体图形至少要( )个小正方体，最多要( )个小正方体． 【答案】 4 7 【详解】 解：先用最少的小正方体满足正视图和左视图，满足后即得到最少（个），在不破坏正视图和左视图的前提下增加小正方体个数，即得到最多（个）． 三、解答题 7．如图是一块钢材的示意图，请画出它的三视图． 【答案】 【详解】略 8．某校墙边有甲、乙两根立柱，已知乙立柱的高度为． (1)某一时刻甲立柱在太阳光下的影子如图所示．请画出此时乙立柱的影子． (2)在图中，当乙立柱移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？请画出此时乙立柱的位置和影子． (3)在（2）的情形下，如果测得甲、乙立柱的影子长分别为和，那么甲立柱的高度是多少？ 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)解：由题意，作图如下： (3)甲立柱的高度是. 【分析】（1）利用太阳光线是平行光线进而得出乙立柱的影子； （2）利用平移即可得出答案； （3）根据同一时刻，同一地点，物高和影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设甲立柱的高度是， 由题意， 解得； 答：甲立柱的高度是. 9．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 【答案】(1) (2)该几何体的表面积是 【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形； （2）分别得到各个方向看的正方形面数，相加后乘1个面的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 故该几何体的表面积是． 1．如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，组成这个几何体的小正方体的个数不可能为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】由俯视图确定底层小正方体的个数及位置，由主视图确定每一列的最大高度，从而计算出小正方体总个数的最小值和最大值，进而判断不可能的数值． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体最底层共有个小正方体，分布为左列个，右列个，由主视图可知，左列最高为层，右列最高为层， 左列位置只能放个小正方体.右列个位置中，至少有一个位置放个小正方体，其余位置最少放个，最多放个， 小正方体个数最少为， 小正方体个数最多为， 小正方体个数的取值范围是 不可能是． 2．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从它的正面和上面看到的形状图如图所示，若这个几何体最多由a个小立方块组成，最少由b个小立方块组成，则_______． 【答案】 【分析】根据从正面看，从上面看，列式计算即可． 本题考查了几何体构成数目计算，熟练掌握从不同方向看的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 故， 故答案为：． 3．图1所示几何体是由七个大小相同的小立方块搭成． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)请你将这七个小立方块重新搭成一个几何体，要求： ①从左面看这个几何体，看到的形状图如图2所示； ②所搭的几何体从正面、左面、上面看到的形状图面积之和最小． 请画出你所搭的新几何体从上面看到的形状图，并在所画的方格内标出该位置上小立方块的个数．（只要画出一种满足条件的图形） 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 或或或 【分析】本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是注意小立方块的数目及位置． （1）由题意观察图形可知，从正面看到的图形是3列，从左往右正方形个数依次是3，2，1，从左面看到的图形是2列，从左往右正方形个数依次是3， 1，据此即可画图． （2）左视图为的正方形，说明：① 几何体有2行2列（前后2行、左右2列）；② 每行每列的小立方块层数最多为2层（否则左视图会超出2层高度）．总小立方块数为7个，需在的基底上分布，且使三视图（正面、左面、上面）的面积之和最小． 【详解】（1）略 （2）略 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