第3章 图形的初步认识（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过考点分级与表格对比构建《图形的初步认识》知识体系，以框架图梳理立体图形与平面图形转化、点线角概念性质等核心内容，用表格区分直线射线线段特征、角的分类等易混点，突出立体图形展开图、几何语言表达等重难点内在联系。 讲义亮点在于题型分层设计与方法技巧提炼，如“双中点模型”“动角问题分类讨论”等技巧培养推理意识，典例结合变式覆盖基础到综合题，如立体图形三视图还原（空间观念）、角平分线综合计算（几何直观）。基础学生可通过方法指导掌握规范表达，优秀学生能突破动态问题，助力教师实施精准分层教学。

第3章 图形的初步认识 教学目标 1.掌握立体图形与平面图形的特征，能实现两者的相互转化（如视图与展开图）。 2.理解点、线、角的核心概念及性质，熟练运用线段公理、对顶角相等、余补角性质等。 3.能规范进行线段、角的度量与计算，解决和差倍分及中点、角平分线相关问题。 4.初步运用几何语言描述图形关系，具备简单几何说理和实际问题建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）线段、射线、直线与角的概念及表示方法。 （2）立体图形与平面图形的转化（视图、展开图）。 （3）线段与角的度量、和差倍分运算。 （4）余角、补角、对顶角的性质及应用。 2.难点 （1）立体图形展开图的辨析与视图还原立体图形。 （2）几何语言的规范表达与简单说理推理。 （3）线段中点、角平分线相关的综合计算。 （4）动角、双中点等易错题型的分析与求解。 考点01立体图形与平面图形 核心知识点： 1.立体图形分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体（表面为曲面）。 2.三视图：主视图、左视图、俯视图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 3.正方体展开图：1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型、3-3型（共11种）。 4.平面图形：三角形（按角/边分类）、四边形、圆等，由线段或曲线围成。 5.点线面体关系：点动成线、线动成面、面动成体。 考点02直线、射线、线段 核心知识点： 1.三者区别（表格呈现）： 名称 端点个数 延伸性 度量性 表示方法 直线 0 向两端无限延伸 不可度量 直线AB（BA）、直线l 射线 1 向一端无限延伸 不可度量 射线OA（O为端点） 线段 2 不可延伸 可度量 线段AB（BA）、线段a 2.基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短（两点间线段长度为距离）。 3.线段中点：若M是AB中点，则。 考点03角的概念与表示 核心知识点： 1.定义：静态（公共端点的两条射线组成）、动态（射线绕端点旋转形成）。 2.表示方法：（顶点在中间）、（顶点唯一）。 3.分类：锐角（）、直角（）、钝角（）、平角（）、周角（）。 4.度分秒换算：，(大单位转小单位乘60，小单位转大单位除60)。 考点04角的平分线与余角、补角 核心知识点： 角平分线：若OC平分，则。 余角：，同角(等角)的余角相等。 补角：，同角(等角)的补角相等。 考点05线段与角的计算 核心知识点： 1.线段计算：结合和差关系、中点、n等分点(如三等分点则)求解。 2.角的计算：结合和差关系、角平分线、n等分线求解，注意分类讨论(射线在角内部/外部)。 3.模型结论：双中点模型(若M、N分别是AC、BC中点，无论C位置如何，)；双角平分线模型(若OD、OE分别平分、，则)。 考点06方位角与钟面角 核心知识点： 方位角：以正北/正南为基准，如北偏东、南偏西(不可说东偏北/西偏南)。 钟面角：时针每分钟转，分针每分钟转；计算时针与分针夹角时，先算初始夹角，再结合转动时间修正。 考点07线段与角的动态问题 核心知识点： 1.动点问题：路程=速度×时间，结合线段和差、中点分析(注意“射线运动”需考虑延长线)。 2.动角问题：旋转角度=速度×时间，结合角平分线、余补角关系，分类讨论旋转方向(顺时针/逆时针)。 3.定值问题：通过表达式化简判断(如为定值），核心是消去动态变量。 题型01立体图形与平面图形的识别 方法技巧： 1.区分立体图形（含长、宽、高三维特征，如圆柱、棱柱、圆锥）与平面图形（仅二维平面，如三角形、圆）。 2.牢记正方体展开图的4种类型：“一四一型”“二三一型”“二二二型”“三三型”，排除“凹字形”“田字形”无效展开图。 3.由三视图还原几何体：遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，优先匹配柱体、锥体的视图特征。 【典例1】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，六个正方形中分别写有，，，8，2，，折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是 ． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 题型02直线、射线、线段的概念与区分 方法技巧： 1.核心差异：端点数量（直线0个、射线1个、线段2个）、延伸性（直线双向、射线单向、线段不可延伸）、度量性（仅线段可度量）。 2.表示方法：直线用“”或“”，射线需“端点在前”（如），线段用“”或“”。 3.基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短（应用于最短路径问题）。 【典例1】（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【变式3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 题型03角的度量与度分秒换算 方法技巧： 1.换算公式：，，大单位转小单位×60，小单位转大单位÷60（如）。 2.度量工具：量角器中心对齐角顶点，0刻度线对齐角的一边，读取另一边对应刻度。 3.注意：周角、平角、直角，锐角，钝角。 【典例1】．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中） ． 【变式2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，从量角器的中心出发的直线分别经过表示、的点，则的度数是 ． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型04线段中点的基础计算 方法技巧： 1.定义：若是中点，则，。 2.解题步骤：标注已知线段长度→利用中点转化线段关系→列等式求解（如已知，为中点，求：）。 3.关键：转化线段关系，将未知线段用已知线段表示。 【典例1】．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【变式1】．（24-25六年级下·山东东营·月考）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C、D是线段上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段和的中点，若，则线段的长为 ． 题型05角平分线的基础应用 方法技巧： 1.定义：若平分，则，。 2.解题关键：找准角的和差关系，结合角平分线将角转化为倍数或一半关系。 3.易错点：区分“角平分线”与“线段中点”，避免混淆图形类型。 【典例1】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 题型06余角与补角的识别与计算 方法技巧： 1.定义：互余，互补。 2.性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 3.计算技巧：已知，余角为，补角为，补角比余角大。 【典例1】．（2025七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式3】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 题型07线段的和差倍分计算 方法技巧： 1.标注图形：在图中明确已知线段长度和未知线段，用“ ”“”表示线段关系（如，）。 2.多中点问题：若、分别为、中点，则（无论在线段上或延长线上）。 3.比例问题：设每份为，根据比例关系列方程（如，设，）。 【典例1】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 【变式2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【变式3】．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型08角的和差倍分与角平分线综合 方法技巧： 1.复杂图形分解：将大角拆分为多个小角，利用角平分线转化为相等关系（如，平分则）。 2.方程思想：设未知角为，根据和差倍分关系列方程（如，，求）。 整体思想：若、分别平分、，则（整体代入求解）。 【典例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 【变式2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数． 解：，平分 ___________=___________． 又 _________________________________． 平分 ___________． 【变式3】．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 题型09方位角与钟面角计算 方法技巧： 1.方位角：以正北、正南为基准，描述为“北偏东”“南偏西”，不可用“东偏北”（可称东北/西北/东南/西南）。 2.钟面角：时针转速分，分针转速分，夹角公式：（为小时，为分钟），结果取小于的角。 【典例1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【变式1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【变式3】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 题型10立体图形的表面展开图与截面问题 方法技巧： 1.正方体展开图：判断相对面（“一四一型”中中间四个面的相对面为上下两个面）。 2.截面形状：圆柱截面可能为圆、长方形、椭圆；圆锥截面可能为圆、三角形、椭圆；长方体截面可能为长方形、三角形、五边形。 3.无盖立体图形展开图：计算表面积时需减去盖子面积（如无盖正方体展开图为5个正方形）。 【典例1】．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 【变式1】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是 ． 【变式2】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26七年级上·广东梅州·阶段练习）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 题型11线段与角的实际应用 方法技巧： 1.最短路径：利用“两点之间线段最短”解决路线选择、建桥选址等问题。 2.角度测量：利用三角板组合（，）或量角器测量实际物体角度（如两墙面夹角）。 3.建模思想：将实际问题转化为几何图形（如航行路线转化为方位角图形，道路长度转化为线段长度）。 【典例1】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，A，B之间是一座山，一条铁路要通过A，B两地，在A地测得铁路的走向是北偏东，如果A，B两地同时开工，那么在B地按南偏西多少度施工，才能使铁路在山腹中准确接通？为什么？ 【变式2】．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 【变式3】．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 题型12线段与角的动态问题（动点/动角） 方法技巧： 1.动点问题：设运动时间为秒，用表示线段长度（如速度为，则路程为)，结合中点、和差关系列方程。 2.动角问题：设旋转时间为秒，用表示旋转角度(如转速为秒，则旋转角为)，结合角平分线、余补角关系列方程。 3.易错点：注意旋转方向(顺时针/逆时针)和范围(旋转角)。 【典例1】．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【变式1】．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 【变式2】．（20-21七年级上·山西运城·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【变式3】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的初步认识 教学目标 1.掌握立体图形与平面图形的特征，能实现两者的相互转化（如视图与展开图）。 2.理解点、线、角的核心概念及性质，熟练运用线段公理、对顶角相等、余补角性质等。 3.能规范进行线段、角的度量与计算，解决和差倍分及中点、角平分线相关问题。 4.初步运用几何语言描述图形关系，具备简单几何说理和实际问题建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）线段、射线、直线与角的概念及表示方法。 （2）立体图形与平面图形的转化（视图、展开图）。 （3）线段与角的度量、和差倍分运算。 （4）余角、补角、对顶角的性质及应用。 2.难点 （1）立体图形展开图的辨析与视图还原立体图形。 （2）几何语言的规范表达与简单说理推理。 （3）线段中点、角平分线相关的综合计算。 （4）动角、双中点等易错题型的分析与求解。 考点01立体图形与平面图形 核心知识点： 1.立体图形分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体（表面为曲面）。 2.三视图：主视图、左视图、俯视图，遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则。 3.正方体展开图：1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型、3-3型（共11种）。 4.平面图形：三角形（按角/边分类）、四边形、圆等，由线段或曲线围成。 5.点线面体关系：点动成线、线动成面、面动成体。 考点02直线、射线、线段 核心知识点： 1.三者区别（表格呈现）： 名称 端点个数 延伸性 度量性 表示方法 直线 0 向两端无限延伸 不可度量 直线AB（BA）、直线l 射线 1 向一端无限延伸 不可度量 射线OA（O为端点） 线段 2 不可延伸 可度量 线段AB（BA）、线段a 2.基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短（两点间线段长度为距离）。 3.线段中点：若M是AB中点，则。 考点03角的概念与表示 核心知识点： 1.定义：静态（公共端点的两条射线组成）、动态（射线绕端点旋转形成）。 2.表示方法：（顶点在中间）、（顶点唯一）。 3.分类：锐角（）、直角（）、钝角（）、平角（）、周角（）。 4.度分秒换算：，(大单位转小单位乘60，小单位转大单位除60)。 考点04角的平分线与余角、补角 核心知识点： 角平分线：若OC平分，则。 余角：，同角(等角)的余角相等。 补角：，同角(等角)的补角相等。 考点05线段与角的计算 核心知识点： 1.线段计算：结合和差关系、中点、n等分点(如三等分点则)求解。 2.角的计算：结合和差关系、角平分线、n等分线求解，注意分类讨论(射线在角内部/外部)。 3.模型结论：双中点模型(若M、N分别是AC、BC中点，无论C位置如何，)；双角平分线模型(若OD、OE分别平分、，则)。 考点06方位角与钟面角 核心知识点： 方位角：以正北/正南为基准，如北偏东、南偏西(不可说东偏北/西偏南)。 钟面角：时针每分钟转，分针每分钟转；计算时针与分针夹角时，先算初始夹角，再结合转动时间修正。 考点07线段与角的动态问题 核心知识点： 1.动点问题：路程=速度×时间，结合线段和差、中点分析(注意“射线运动”需考虑延长线)。 2.动角问题：旋转角度=速度×时间，结合角平分线、余补角关系，分类讨论旋转方向(顺时针/逆时针)。 3.定值问题：通过表达式化简判断(如为定值），核心是消去动态变量。 题型01立体图形与平面图形的识别 方法技巧： 1.区分立体图形（含长、宽、高三维特征，如圆柱、棱柱、圆锥）与平面图形（仅二维平面，如三角形、圆）。 2.牢记正方体展开图的4种类型：“一四一型”“二三一型”“二二二型”“三三型”，排除“凹字形”“田字形”无效展开图。 3.由三视图还原几何体：遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则，优先匹配柱体、锥体的视图特征。 【典例1】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）某几何体看到的图形如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从不同方向上看几何体，根据从前面、左面、上面看到的图形形状，判断该几何体的组成部分，从而即可确定选项，正确识图是解题的关键． 【详解】解：从前面看是三角形和长方形，从左面看是三角形和长方形，从上面看是圆，由此可知该几何体下半部分是圆柱，上半部分是圆锥， 故选：． 【变式1】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，六个正方形中分别写有，，，8，2，，折成正方体后，如果相对面上的两数互为相反数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体展开图的相对面关系及相反数的概念，熟练掌握正方体展开图中相对面的位置特征是解题的关键． 先确定正方体展开图中相对的面，再根据“相对面的数互为相反数”列等式，求出、的值，最后计算． 【详解】解：由正方体展开图可知：与是相对面，与是相对面，与是相对面， ∵ 相对面上的两数互为相反数， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）把图中的一个直角三角形和一个直角梯形拼在一起，可以拼成几种不同的常见平面图形？画出你所拼出的图形． 【答案】见解析 【分析】本题要求将一个直角三角形和一个直角梯形通过相等的边拼接在一起，形成不同的平面图形，需要理解直角三角形和直角梯形的边长关系，并通过不同的拼接方式形成多种平面图形，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：直角三角形的较短直角边与直角梯形的上底拼接，形成一个直角三角形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个等腰梯形，如图： ； 直角三角形的较长直角边与直角梯形的高拼接，形成一个平行四边形，如图： 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，形成一个正方形，如图： ， 直角三角形的斜边与直角梯形的腰拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ， 直角三角形的较长直角边与直角梯形的下底拼接，如图： ． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，一个几何体是由几个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)该几何体由______个小正方形组成； (2)请分别画出该几何体的主视图、左视图； (3)若小正方形的边长为1，请求出该几何体的表面积（含下底面）？ 【答案】(1) (2)画图见详解 (3) 【分析】题考查组合体的三视图，发挥空间想象能力是解决问题的关键． （1）从上到下逐层数出小正方体的个数即可得到答案； （2）由组合体的构成，从正面看、从左面看即可得到其平面图形； （3）该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和，数出能看到的各个面求和即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该几何体由个小正方形组成， 故答案为：； （2）解：如图所示： （3）解：小正方形的边长为1， 小正方体的每一个面的面积为1， 如图所示： 该几何体的表面积就是能看到的小正方体的各个面的面积之和， 则该几何体的表面积为：． 题型02直线、射线、线段的概念与区分 方法技巧： 1.核心差异：端点数量（直线0个、射线1个、线段2个）、延伸性（直线双向、射线单向、线段不可延伸）、度量性（仅线段可度量）。 2.表示方法：直线用“”或“”，射线需“端点在前”（如），线段用“”或“”。 3.基本事实：两点确定一条直线，两点之间线段最短（应用于最短路径问题）。 【典例1】．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）如图，A，B在直线l上，下列说法错误的是（    ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线是同一条直线 C．线段和线段是同一条线段 D．图中以点A为端点的射线有两条 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线，线段的定义．直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线，射线，线段的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 射线和射线不是同一条射线，原说法错误； B． 直线和直线是同一条直线，原说法正确； C． 线段和线段是同一条线段，原说法正确； D． 图中以点A为端点的射线有两条，原说法正确； 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列语句准确规范的是（   ） A．直线，相交于一点 B．延长直线 C．延长射线 D．延长线段到点，使 【答案】D 【分析】本题主要考查几何语言的规范性，准确掌握规范的几何语言是学好几何的保障． 根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误，不符合题意； B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，故本选项错误，不符合题意； C、射线向一个方向无限延伸，故延长射线，说法错误，不符合题意； D、延长线段到点，使，说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ）． A．图中共有2条线段 B．直线与直线表示的是同一条直线 C．射线与射线表示的是同一条射线 D．线段与线段表示的是同一条线段 【答案】A 【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A．图中有线段、线段、线段，共3条线段，故错误，符合题意； B．直线与直线表示的是同一条直线，正确，不符合题意； C．射线与射线表示的是同一条射线，正确，不符合题意； D．线段与线段表示的是同一条线段，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式3】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意． 故选：D． 题型03角的度量与度分秒换算 方法技巧： 1.换算公式：，，大单位转小单位×60，小单位转大单位÷60（如）。 2.度量工具：量角器中心对齐角顶点，0刻度线对齐角的一边，读取另一边对应刻度。 3.注意：周角、平角、直角，锐角，钝角。 【典例1】．（25-26七年级上·山东济南·期中）当时钟指针指向3点40分时，分针与时针的夹角是（    ）度． A．120 B．130 C．140 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查了钟面角、绝对值、角的和差等知识点，确定时针和分针在3点40分时的角度位置是解题的关键． 先确定时针和分针在3点40分时的角度位置，求其差值的绝对值，并取小于180度的角即可解答． 【详解】解：∵ 时针每分钟移动度，分针每分钟移动6度， ∴ 在3点40分时，时针角度度，分针角度度． ∴ 两针夹角度． 故选B． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中） ． 【答案】55.7 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练计算是解题的关键． 根据度分秒的换算规律求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，从量角器的中心出发的直线分别经过表示、的点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差计算，正确运用量角器进行计算是解题的关键． 根据量角器的度数直接进行相减计算即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的进率及换算方法． （1）用乘以即可得到结果； （2）根据进行转换； （3）把转化为，再把转化为秒； （4）把秒转化为分，再把分转化为度即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ，， ， 故答案为：，，； （4）解：， ， ， ， 故答案为：． 题型04线段中点的基础计算 方法技巧： 1.定义：若是中点，则，。 2.解题步骤：标注已知线段长度→利用中点转化线段关系→列等式求解（如已知，为中点，求：）。 3.关键：转化线段关系，将未知线段用已知线段表示。 【典例1】．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段中点，掌握两点间的距离、线段的和差计算是解题的关键．根据题意得出，，计算即可得出答案． 【详解】解：∵P，Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 【变式1】．（24-25六年级下·山东东营·月考）如图，已知，M为的中点，点P在上，N为的中点． (1)图中共有 条线段； (2)若，求的长． 【答案】(1)10 (2)6 【分析】本题考查线段定义及线段的中点定义，根据图形进行线段的和与差是解答的关键． （1）根据线段定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，，进而进行线段和与差即可求解． 【详解】（1）解：如图，图中的线段共有（条）， 故答案为：10； （2）解：∵，M为的中点， ∴， ∵N为的中点，， ∴， ∴． 【变式2】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，P是的中点，C、D分别是线段、上的点，且，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离．根据线段中点的定义，线段的和差关系，根据线段中点定义得出，再根据线段间的和差关系，进行计算即可． 【详解】解：∵，P是的中点， ∴， ∵C、D分别是线段上的点，且，， ∴，， ∴． 【变式3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点C、D是线段上的两点（点C在D的左侧），点E、F分别是线段和的中点，若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】 本题考查了线段的和与差，线段的中点，两点间的距离，数形结合是解本题的关键．先根据中点定义得出，，再根据即可求解． 【详解】 解：∵点E、F分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：4． 题型05角平分线的基础应用 方法技巧： 1.定义：若平分，则，。 2.解题关键：找准角的和差关系，结合角平分线将角转化为倍数或一半关系。 3.易错点：区分“角平分线”与“线段中点”，避免混淆图形类型。 【典例1】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线和射线在内部，且，，射线分别平分，，则 【答案】5 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义， 根据已知条件，计算和的度数，再利用角平分线的定义得到和度数，最后求的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴． ∵平分， ∴ ． ∵，平分， ∴． ∴． 故答案为：5． 【变式1】．（25-26七年级上·广东揭阳·月考）如图所示，已知，．平分，平分．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的运算． 根据角平分线的定义得到，，进而得到，则，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差、角的平分线等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由直角的定义、角的和差可得，再根据角平分线的定义可得、，再求得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06余角与补角的识别与计算 方法技巧： 1.定义：互余，互补。 2.性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 3.计算技巧：已知，余角为，补角为，补角比余角大。 【典例1】．（2025七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺按下列不同的位置摆放，与互余的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了余角的定义，三角板中角度的计算，度数之和为90度的两个角互余，据此结合三角板中角度的特点求解即可． 【详解】解：A、由余角性质可得，该选项不合题意； B、由图可得，与互补，该选项不合题意； C、由图可得，该选项不合题意； D、由图可得，与互余，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，在的内部，在的内部，是的三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直的定义、余角的性质、角等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 先根据余角的定义可得，再根据是的三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的三等分线， ∴或， ∵，， ∴当时，； 当时，； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【变式2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 题型07线段的和差倍分计算 方法技巧： 1.标注图形：在图中明确已知线段长度和未知线段，用“”“”表示线段关系（如，）。 2.多中点问题：若、分别为、中点，则（无论在线段上或延长线上）。 3.比例问题：设每份为，根据比例关系列方程（如，设，）。 【典例1】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，是中点，点在上，，那么线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的计算，线段和差的计算，数形结合是解题的关键．根据线段中点的性质得出，根据点在上，且，得到，由即可求解． 【详解】解：∵线段，是中点， ∴， ∵点在上，且， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，C是线段的中点，D是线段的三等分点且在点C的左侧．设线段的长为a，若F是直线上一点，且，求线段的长． 【答案】的长为a或 【分析】本题考查了线段中点，线段的和差，注意分类讨论； 分点F位于点A的左侧或点B的右侧两种情况考虑，利用中点与在等分点的意义，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意得：点F位于点A的左侧或点B的右侧， 当点F位于点A的左侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 当点F位于点B的右侧时，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵，D是线段的三等分点且在点C的左侧． ∴， ∴； 综上所述，的长为a或． 【变式2】．（25-26七年级上·河北唐山·期中）线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【分析】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 【变式3】．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论． 先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则， 故， 点D是的中点， 故， 点E是的三等分点， 故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故选：B ． 题型08角的和差倍分与角平分线综合 方法技巧： 1.复杂图形分解：将大角拆分为多个小角，利用角平分线转化为相等关系（如，平分则）。 2.方程思想：设未知角为，根据和差倍分关系列方程（如，，求）。 整体思想：若、分别平分、，则（整体代入求解）。 【典例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知，射线、在的内部，且． (1)求的度数； (2)若射线平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差与角平分线的性质，运用比例分析与角的分解思想，关键是根据角的比例和角平分线定义计算各角，易错点是角的和差关系或比例分配时计算错误； （1）根据与的比例及的度数，按比例分配求； （2）先由角平分线求，再结合求． 【详解】（1）解： ∵， ， ∴， 即． （2）解：∵若射线平分，， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 和都是直角． (1)如果， 那么的度数是多少? (2)找出图中相等的角．如果， 它们还会相等吗? 【答案】(1) (2)；还会相等 【分析】本题考查余角和补角，正确观察并分析图形，熟练掌握余角的定义是解答本题的关键． （1）根据，求出即可； （2）根据，，故． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：图（1）中相等的角：， 如果，它们还会相等， ，，，． 【变式2】．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，，，平分，平分，求的度数． 解：，平分 ___________=___________． 又 _________________________________． 平分 ___________． 【答案】；45；；45；15；30 【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题关键．首先根据角平分线的定义计算出的度数，进而根据角的和差关系算出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数． 【详解】解：，平分， ， 又， ， 平分， ． 故答案为：；45；；45；15；30． 【变式3】．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）已知，是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，，求的度数； (2)在图①，，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究与的度数之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查角的和差关系及角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系及角平分线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解； （3）由题意易得，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：由已知得， 又是直角，平分， ． （2）解：由（1）得， 即． （3）解：． 理由：，平分， ． 则得， 即． 题型09方位角与钟面角计算 方法技巧： 1.方位角：以正北、正南为基准，描述为“北偏东”“南偏西”，不可用“东偏北”（可称东北/西北/东南/西南）。 2.钟面角：时针转速分，分针转速分，夹角公式：（为小时，为分钟），结果取小于的角。 【典例1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 【变式1】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角的计算，解题的关键是掌握分针和时针的转速，分别计算它们在10：15时的转过的角度，再求夹角． 【详解】解：分针每分钟转，15分钟转；时针每小时转，每分钟转，10时15分时针转； 夹角为，取小于的角，． 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）极地科学考察站既是我国极地工作者开展科学考察的平台，又是我国对外科学交流的重要窗口．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（    ）． A．北偏东 B．西偏南 C．南偏西 D．东偏北 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．由 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间即可解答． 【详解】解：如图： 与正南方向的夹角是，且在正南与正西之间， 表示的方向为南偏西， 故选：C． 【变式3】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）以灯塔为观察点： （1）A岛在 偏 方向上，距离是 千米； （2）B岛在 偏 方向上，距离是 千米． 【答案】 北 东 3 西 南 4 【分析】本题考查方位图，掌握用方位表示位置的方法是解题的关键． 直接根据题干所给的图进行解答即可． 【详解】解：由图可知， A岛在北偏东方向上，距离是3千米； B岛在西偏南方向上，距离是4千米； 故答案为： 北，东，，3；西，南，，4． 题型10立体图形的表面展开图与截面问题 方法技巧： 1.正方体展开图：判断相对面（“一四一型”中中间四个面的相对面为上下两个面）。 2.截面形状：圆柱截面可能为圆、长方形、椭圆；圆锥截面可能为圆、三角形、椭圆；长方体截面可能为长方形、三角形、五边形。 3.无盖立体图形展开图：计算表面积时需减去盖子面积（如无盖正方体展开图为5个正方形）。 【典例1】．（25-26七年级上·山西晋中·期中）如图：已知图2是图1所示的正方体的平面展开图，则在图2中，与棱对应的线段是 ． 【答案】c 【分析】本题考查了正方体平面展开图与立体图形的棱的对应关系，解题的关键是掌握正方体展开图还原立体图的棱对应规律． 还原正方体平面展开图，根据相对面、相邻棱的位置关系确定与棱对应的线段． 【详解】解：将正方体展开图按对应顶点还原，棱在立体图中对应的相邻棱关系与线段完全匹配． 故答案为：． 【变式1】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图所示，则数字6的对面是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相对面上的数字． 根据正方体表面展开图的判断“邻面”和“对面”即可． 【详解】解：由第一个和第二个正方体可知，与数字1所在的面相邻的面上数字是3、2、4、6，因此，与数字2所在的面相对的面上的数字是6， 即“6”与“2”相对， 故答案为：2． 【变式2】．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的截面，熟练掌握不同几何体的截面形状特点是解题的关键． 分别分析每个几何体被平面截得的截面形状，判断是否能得到三角形截面． 【详解】解：长方体用平面斜着截去一个角时，可得到三角形截面，A项不符合题意； 圆锥用平面沿着母线去截，可得到三角形截面，B项不符合题意； 三棱柱用平面斜着截，可得到三角形截面，C项不符合题意； 圆柱的截面形状有圆、长方形、椭圆等，无论怎么截都不能得到三角形截面，D项符合题意， 故选：D． 【变式3】．（25-26七年级上·广东梅州·阶段练习）如图1，一个五棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都是． (1)这个五棱柱共多少个面？哪些面的形状、面积完全相同？ (2)如图2，图3，用一个平面去截该五棱柱，分别写出图2，图3中截面的形状．用任意一个平面去截五棱柱，写出一个你认为截面不可能出现的平面图形． 【答案】(1)7个面：2个五边形底面和5个矩形侧面，底面形状相同，侧面形状相同 (2)图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形；；不可能出现圆形截面 【分析】本题考查了棱柱的特征，包含面的数量，形状以及截面相关知识，解决本题的关键是熟练掌握棱柱的特征． （1）此五棱柱是由上下2个底面以及5个矩形侧面组成，由此求解即可； （2）根据图示的截面求解即可． 【详解】（1）解：这个五棱柱共7个面， 包括2个五边形底面和5个矩形侧面， 其中2个五边形底面形状、面积完全相同， 5个矩形侧面形状、面积完全相同； （2）解：图2中截面的形状为三角形，图3中截面的形状为五边形； 用任意一个平面去截五棱柱，不可能出现圆形截面． 题型11线段与角的实际应用 方法技巧： 1.最短路径：利用“两点之间线段最短”解决路线选择、建桥选址等问题。 2.角度测量：利用三角板组合（，）或量角器测量实际物体角度（如两墙面夹角）。 3.建模思想：将实际问题转化为几何图形（如航行路线转化为方位角图形，道路长度转化为线段长度）。 【典例1】．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在一条河的两岸有两个村庄A，B，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从村庄A到村庄B的距离最短？画出从村庄A到村庄B的最短路径． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置． 【详解】解：如答图，过点A作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点N，过点N于点M，则为所建桥的位置，从村庄A到村庄B的最短路径为A→M→N→B． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，A，B之间是一座山，一条铁路要通过A，B两地，在A地测得铁路的走向是北偏东，如果A，B两地同时开工，那么在B地按南偏西多少度施工，才能使铁路在山腹中准确接通？为什么？ 【答案】B地应按南偏西施工，原因见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和方向角的应用，解题的关键是理解南北方向线互相平行，以及方向角之间的关系． 确定A、B两地的南北方向线互相平行；A地测得的北偏东方向与形成的角，和B地施工需形成的南偏西方向与形成的角是内错角；根据两直线平行，内错角相等，可知两个角的度数相等． 【详解】解：B地应按南偏西施工． 理由：根据方向角的定义，分别从A，B两点作出正北，正南方向的线，它们互相平行，这时和是内错角，当时，A，B两地的铁路形成一条直线，因此在B地按南偏西施工，才能使铁路在山腹中准确接通． 【变式2】．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判． 情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由． 【答案】情景一：原因是两点之间线段最短；情景二：图见解析，理由是两点之间线段最短 【分析】本题考查数学定理的实际应用． 本题两个情景均可用“两点之间线段最短”这一定理解答． 【详解】解：情景一：从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,根据两点之间线段最短可知可少走几步路. 情景二：连接线段与的交点为P，如下图所示，理由是两点之间线段最短． ． 【变式3】．（25-26九年级上·广东·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，；） (1)若，则的度数为_____； (2)若点在的上方，设（），求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是补角和余角的定义，掌握图形相关角的和与差的关系是解题的关键． （1）利用角的和与差的关系即可求值； （2）利用角的和与差的关系即可求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， ． 题型12线段与角的动态问题（动点/动角） 方法技巧： 1.动点问题：设运动时间为秒，用表示线段长度（如速度为，则路程为)，结合中点、和差关系列方程。 2.动角问题：设旋转时间为秒，用表示旋转角度(如转速为秒，则旋转角为)，结合角平分线、余补角关系列方程。 3.易错点：注意旋转方向(顺时针/逆时针)和范围(旋转角)。 【典例1】．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，动点C从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点D从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设点C运动时间为t秒． (1)①两点之间的距离为_______，线段的中点表示的数为_______． ②用含t的代数式表示：t秒后，点C表示的数为_______，点D表示的数为_________． (2)当时，描述C、D 两点的位置关系． (3)点C运动4秒后，动点E从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向右匀速运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1)①12，1；②， (2)C、D 两点重合，理由见解析； (3)不随着时间t的变化而变化，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数；②根据点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案； （2）将代入（1）②中代数式，得到点，点所表示的数，即可解答； （3）根据题意表示出秒后，点所表示的数，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为7， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； 故答案为：，； ②t秒后，点C表示的数为；点D表示的数为； 故答案为：，； （2）解：当时， 点所表示的数为， 点所表示的数为， 则C、D 两点重合； （3）解：点C运动4秒后，点E表示的数为， ∴， ∴． ∴的值不随着时间t的变化而变化． 【变式1】．（19-20七年级上·内蒙古赤峰·期末）如图①，已知线段，点为上的一个动点，点，分别是和的中点． (1)若点恰好是中点，则的长是多少？（直接写出结果） (2)若，求的长． (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． (4)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试求出的大小，并说明的大小与射线的位置是否有关？ 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 (4)，的大小与射线的位置无关，理由见解析． 【分析】本题主要考查了线段中点和角平分线的性质，熟练掌握线段中点及角平分线的性质是解题的关键． （1）利用线段中点的性质先求出，，再利用线段中点的性质求出与即可； （2）先求出，再利用线段中点的性质求出与即可； （3）利用线段中点的性质证明即可； （4）利用双角平分线的性质证明即可． 【详解】（1）解：点是中点，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）解：，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （3）解：点，分别是和的中点， ，， ， 不论取何值（不超过），的长不变； （4）解：，分别平分和， ，， ， ， ， ∴的大小与射线的位置无关． 【变式2】．（20-21七年级上·山西运城·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案； ②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案； ③设，根据②的方法求解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 【变式3】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 特例感知： （1）如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．若，则线段_____； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （3）已知在内部的位置如图②所示，，，且，，请直接写出______°．（用含的式子表示） 综合提升： （4）如图③所示，若，，射线、分别在和的内部．且，，请直接写出______°． 【答案】（1）7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1），， ， 点，分别是和的中点， ，， ， 故答案为：7； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ． 故答案为：； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：80． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $