专题3.3 立体图形的表面展开图（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.3 立体图形的表面展开图 教学目标 1.了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等常见几何体的表面展开图，能根据展开图想象几何体，发展几何直观和空间观念。 2.掌握正方体的表面展开图类型，会判断图形经过折叠后能否围成一个正方体。 3.能在正方体的表面展开图中确定相对的面。 4.了解截一个几何体的截面概念，能判断常见几何体的截面形状。 教学重难点 1.重点 （1）常见柱体、锥体的表面展开图 （2）正方体的11种表面展开图及判断方法 （3）正方体表面展开图中相对面的确定 2.难点 （1）由展开图想象并还原几何体 （2）判断平面图形能否折叠成正方体或棱柱 （3）判断几何体被平面截切后的截面形状 知识点01：常见柱体、锥体的表面展开图 1.表面展开图：将立体图形的表面沿某些棱（或线）剪开，展开后得到的 叫作该立体图形的 。 2.常见几何体的表面展开图： （1）棱柱：两个相同的多边形和若干个长方形（侧面），n棱柱的展开图是两个 和n个 ； （2）圆柱：两个相同的 和 ； （3）圆锥：一个 和一个 ； （4）棱锥：一个多边形和若干个三角形（侧面）。 3.注意： （1）棱柱表面展开图中，上、下底面的边数与侧面长方形的个数相等； （2）柱体展开图中，两个底面不能在侧面展开图的同一侧； （3）同一几何体展开方式不同，表面展开图一般不同，但折叠成的几何体都是同一个； （4）球没有表面展开图。 【即学即练】 1．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 知识点02：正方体的表面展开图 1.正方体是特殊的 ，六个面都是大小相同的 ，沿某些棱剪开可得11种不同的展开图，分为四类： （1）一四一型（中间四个面，上下各一面），共6种； （2）二三一型（中间三个面，一二隔河见，即一三二型），共3种； （3）二二二型（中间两个面，楼梯天天见），共1种； （4）三三型（中间没有面，三三连一线），共1种。 2.不能作为正方体表面展开图的常见情况：四个以上正方形排成一排，或出现"田"字形、"凹"字形。 3.口诀：一线不过四，凹田应弃之。 4.折叠与展开是互逆过程，折叠成正方体就是把正方体的表面展开图通过折叠还原成正方体。 【即学即练】 1．下列图形中，是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 知识点03：正方体表面展开图中相对面的确定 1.方法一：利用规律确定相对面。 （1）"隔一相对"：上下 或左右 的两个面相对； （2）"Z端是对面"：呈"Z"字形的 所在面相对。 2.方法二：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置，按"上对下""左对右""前对后"确定相对面。 3.找邻面口诀："隔二""拐角"邻面知。 4.注意：正方体中相对的两个面，在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点。 【即学即练】 1．有一个正方体，每个面上分别写着数字1，2，3，4，5，6，从不同的角度观察到如图情况．与2相对的数字是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 题型01 识别常见几何体的表面展开图 抓住各几何体展开图的构成（棱柱是两个多边形加长方形，圆柱是两个圆加长方形，圆锥是一个圆加扇形，棱锥是一个多边形加三角形）进行判断。 【典例1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（     ） A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥 【变式2】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 题型02 判断平面图形能否围成正方体 用"一线不过四、凹田应弃之"排除，或对比11种展开图，或利用空间想象折叠验证。 【典例2】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·宁夏·期中）下列图形中是正方体展开图的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 题型03 正方体相对两个面上的文字（或数字） 利用"隔一相对""Z端是对面"确定相对面，再根据要求判断。 【典例3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“国”字所在的面相对的面上标的字是（     ） A．文 B．明 C．校 D．园 【变式1】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“学”字面相对的面是（     ） A．而 B．时 C．之 D．不 【变式2】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为，2的对面的数字为，那么的值为（     ） A．8 B．7 C．9 D．6 【变式3】. （26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置．请你判断数字4对面的数字是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型04 带图案的正方体表面展开图的认识 结合图案的位置关系和相对关系，先排除相邻面错误选项，再核对图案方向。 【典例4】. （26-27七年级上·山西太原·阶段检测）手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·江西吉安·期中）如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）“有志者事竟成”出自《后汉书》．将这6个字书写于正方体的6个面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“志”相对的汉字为（     ） A．有 B．者 C．事 D．成 【变式3】. （2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 题型05 由表面展开图求面积或体积 先由展开图还原几何体，标出长、宽、高（或半径、母线）等尺寸，再用表面积、体积公式计算。 【典例5】. （26-27九年级上·山西长治·阶段检测）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．求： (1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积． 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图1所示的几何体，侧棱长为，底面是边长为的等边三角形． (1)该几何体的名称是___________． (2)图2方框中的图形是该几何体的表面展开图的一部分，请将它补全． (3)要将该几何体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开___________条棱，求出该几何体的侧面积． 【变式2】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)图2给出的四种纸样、、、，正确的有_________；（写出所有正确答案） (2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）． 【变式3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了______条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有______种方法． (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 题型06 表面展开图综合应用 综合运用展开图判断、相对面确定、表面积体积计算及截面知识，解决实际生活中的包装、裁剪等问题。 【典例6】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图示意图如图1、图2所示，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1、图2所示的图形，制作的收纳盒形状均为______（填几何体的名称）； (2)这两种设计，哪一种收纳盒的体积更大？请根据图中所给信息（图中数据单位相同）计算说明． 【变式1】. （25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 【变式2】. （25-26七年级上·甘肃白银·期中）一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)图2给出的四种纸样中，正确的有 ．（写出所有正确答案） (2)根据图1中的数据（单位：），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积． 【变式3】. （24-25九年级下·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 一、单选题 1．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．一个小立方块六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，D，E对面的字母分别是（    ） A．A，E，B B．A，B，F C．E，B，A D．F，E，B 二、填空题 4．如下图，是正方体的一种表面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与它对面的数字之和是_________． 5．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________． 6．如图是一个正方体的表面展开图，如果将它折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，那么y的值为________． 三、解答题 7．如图所示的是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是_________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 8．如图1是三个几何体的表面展开图，图是一个正方体的表面展开图． (1)写出图中对应几何体的名称：___________，___________，___________； (2)将图的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 1．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2026次后，骰子朝下一面的点数是（     ） A．2点 B．3点 C．4点 D．5点 2．如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 3．在正方体展开图上标有，，，，，，，，，，的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 4．【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 (1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______． 【问题进阶】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 立体图形的表面展开图 教学目标 1.了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等常见几何体的表面展开图，能根据展开图想象几何体，发展几何直观和空间观念。 2.掌握正方体的表面展开图类型，会判断图形经过折叠后能否围成一个正方体。 3.能在正方体的表面展开图中确定相对的面。 4.了解截一个几何体的截面概念，能判断常见几何体的截面形状。 教学重难点 1.重点 （1）常见柱体、锥体的表面展开图 （2）正方体的11种表面展开图及判断方法 （3）正方体表面展开图中相对面的确定 2.难点 （1）由展开图想象并还原几何体 （2）判断平面图形能否折叠成正方体或棱柱 （3）判断几何体被平面截切后的截面形状 知识点01：常见柱体、锥体的表面展开图 1.表面展开图：将立体图形的表面沿某些棱（或线）剪开，展开后得到的平面图形叫作该立体图形的表面展开图。 2.常见几何体的表面展开图： （1）棱柱：两个相同的多边形和若干个长方形（侧面），n棱柱的展开图是两个n边形和n个长方形； （2）圆柱：两个相同的圆和一个长方形； （3）圆锥：一个圆和一个扇形； （4）棱锥：一个多边形和若干个三角形（侧面）。 3.注意： （1）棱柱表面展开图中，上、下底面的边数与侧面长方形的个数相等； （2）柱体展开图中，两个底面不能在侧面展开图的同一侧； （3）同一几何体展开方式不同，表面展开图一般不同，但折叠成的几何体都是同一个； （4）球没有表面展开图。 【即学即练】 1．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【答案】A 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 知识点02：正方体的表面展开图 1.正方体是特殊的棱柱，六个面都是大小相同的正方形，沿某些棱剪开可得11种不同的展开图，分为四类： （1）一四一型（中间四个面，上下各一面），共6种； （2）二三一型（中间三个面，一二隔河见，即一三二型），共3种； （3）二二二型（中间两个面，楼梯天天见），共1种； （4）三三型（中间没有面，三三连一线），共1种。 2.不能作为正方体表面展开图的常见情况：四个以上正方形排成一排，或出现"田"字形、"凹"字形。 3.口诀：一线不过四，凹田应弃之。 4.折叠与展开是互逆过程，折叠成正方体就是把正方体的表面展开图通过折叠还原成正方体。 【即学即练】 1．下列图形中，是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图有11种情况，主要分为“”型、“”型、“”型、“”型．判断时可根据口诀“一线不过四，田凹应弃之”进行筛选． 【详解】A．第一行4个正方形，第二行2个正方形，属于“”型，折叠后会有两个面重合，不是正方体展开图； B．含有“田”字格结构，根据“田凹应弃之”，不是正方体展开图； C．折叠后会有两个面重合，不是正方体展开图； D．中间一行4个正方形，上下各1个，属于“”型，是正方体展开图． 故选D． 知识点03：正方体表面展开图中相对面的确定 1.方法一：利用规律确定相对面。 （1）"隔一相对"：上下隔一行或左右隔一列的两个面相对； （2）"Z端是对面"：呈"Z"字形的两端所在面相对。 2.方法二：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置，按"上对下""左对右""前对后"确定相对面。 3.找邻面口诀："隔二""拐角"邻面知。 4.注意：正方体中相对的两个面，在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点。 【即学即练】 1．有一个正方体，每个面上分别写着数字1，2，3，4，5，6，从不同的角度观察到如图情况．与2相对的数字是（     ） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据正方体每个面有4个相邻面和1个相对面的特征，通过观察图形找出与数字6相邻的所有数字，利用排除法即可确定与2相对的数字． 【详解】解：由第1个图可知，与6相邻的数字有3，5， 由第2个图可知，与6相邻的数字有1，4， ∴与6相邻的数字有1，3，4，5， ∴与6相对的数字是2，即与2相对的数字是6． 题型01 识别常见几何体的表面展开图 抓住各几何体展开图的构成（棱柱是两个多边形加长方形，圆柱是两个圆加长方形，圆锥是一个圆加扇形，棱锥是一个多边形加三角形）进行判断。 【典例1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、两底面一个是直角三角形，一个是等边三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误； B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误； C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确； D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误． 【变式1】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个几何体的展开图，这个几何体是（     ） A．五棱柱 B．四棱柱 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】观察展开图的面数与形状，确定底面与侧面特征即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，该展开图由个三角形和个长方形组成，符合三棱柱展开图的特征，故这个几何体是三棱柱． 【变式2】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）下列图形中，不是三棱柱展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱展开图的特征是侧面为个长方形，底面为个三角形，且个三角形位于侧面展开图的两侧，由此观察图形即可． 【详解】、两个选项中，两个三角形位于三个长方形的两侧，三个长方形均能围成三棱柱的侧面； 选项较为特殊，但两个三角形位于三个长方形的两侧，折叠后外侧的长方形同样能够围成三棱柱的侧面； 选项中两个三角形位于三个长方形的同侧，折叠后重合，不能围成三棱柱． 【变式3】. （25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图是某几何体的平面展开图，该几何体是（     ） A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．三棱锥 【答案】C 【分析】根据各几何体的展开图，进行判断即可． 【详解】解：∵圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形， ∴这个几何体是圆锥． 题型02 判断平面图形能否围成正方体 用"一线不过四、凹田应弃之"排除，或对比11种展开图，或利用空间想象折叠验证。 【典例2】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的各种展开图即可判断． 【详解】略 【变式1】. （26-27七年级上·宁夏·期中）下列图形中是正方体展开图的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题． 【详解】正方体的展开有以下几种类型： 141型（分3行，中间4个，上下各1个，共6种情况）； 132型（分3行，中间3个，上行1个，下行2个连在一起，共3种情况）； 222型（每行2个，呈阶梯状，1种情况）； 33型（每行3个，下一行跟末尾一个相连）； 由此可知，只有选项B符合题意． 【变式2】. （2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． 【变式3】. （25-26九年级下·广东深圳·期中）下面图形不能拆成正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 题型03 正方体相对两个面上的文字（或数字） 利用"隔一相对""Z端是对面"确定相对面，再根据要求判断。 【典例3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“国”字所在的面相对的面上标的字是（     ） A．文 B．明 C．校 D．园 【答案】C 【详解】解：根据正方体的表面展开图可知， 原正方体中“国”字所在的面相对的面上标的字是“校”． 【变式1】. （26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图是一个正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“学”字面相对的面是（     ） A．而 B．时 C．之 D．不 【答案】D 【详解】解： 由图得：与“学”字面相对的面是“不”． 【变式2】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为，2的对面的数字为，那么的值为（     ） A．8 B．7 C．9 D．6 【答案】B 【分析】根据题意易得6的对面数字是3，2的对面的数字是4，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：与相邻，与相邻， ∴1的对面数字是5，3的对面数字是6， ∴2的对面的数字是4， 即， ∴． 【变式3】. （26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）如图，有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置．请你判断数字4对面的数字是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据第 1 个正方体和第 2 个正方体，可以得出4 的相邻数字有： ， ，，；因为正方体一共 6 个面，且各面都写着不同的数字，所以数字4对面的数字是3． 【详解】解：从第 1 个正方体，可以看到：4 相邻的数字是和； 从第 2 个正方体，可以看到：4 相邻的数字是和； ∴4 的相邻数字有： ， ，，； 又∵正方体一共 6 个面，每个面上的数字分别为 1，2，3，4，5，6； 去掉 4 本身，再去掉 4 个相邻数字， ，，，剩下只有数字， 所以 4 的对面是 3． 题型04 带图案的正方体表面展开图的认识 结合图案的位置关系和相对关系，先排除相邻面错误选项，再核对图案方向。 【典例4】. （26-27七年级上·山西太原·阶段检测）手工课上，小华制作了一个画有图案的正方体礼品盒．下图是该正方体的平面展开图，折叠完成后，原正方体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的表面展开图找出它们的相对面、相邻面之间的位置关系进行判断． 【详解】解∶根据题意得：原正方体可能是 【变式1】. （26-27七年级上·江西吉安·期中）如图，下面四个图形中是左面正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：由正方体上三个图案的位置关系即可得到正方体的展开图的是． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）“有志者事竟成”出自《后汉书》．将这6个字书写于正方体的6个面，展开图如图所示，则折叠成正方体后与“志”相对的汉字为（     ） A．有 B．者 C．事 D．成 【答案】C 【分析】根据正方体展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形求解即可． 【详解】解：正方体展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形. ∵“志”与“事”中间隔着“者”， ∴“志”与“事”相对. 同理，“者”与“竟”相对，“有”与“成”相对. 故与“志”相对的汉字为“事” 【变式3】. （2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 题型05 由表面展开图求面积或体积 先由展开图还原几何体，标出长、宽、高（或半径、母线）等尺寸，再用表面积、体积公式计算。 【典例5】. （26-27九年级上·山西长治·阶段检测）如图，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为．求： (1)剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积求解； （2）利用长方体的体积公式求解． 【详解】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为； （2）解：长方体盒子的体积为． 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图1所示的几何体，侧棱长为，底面是边长为的等边三角形． (1)该几何体的名称是___________． (2)图2方框中的图形是该几何体的表面展开图的一部分，请将它补全． (3)要将该几何体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开___________条棱，求出该几何体的侧面积． 【答案】(1)正三棱柱 (2)如图（答案不唯一）； (3)； 【分析】（1）利用正三棱柱的概念解题； （2）利用三棱柱及其表面展开图的特点解题； （3）三棱柱有条棱，观察三棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是条，相减即可求出需要剪开的棱的条数；根据面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵底面是等边三角形，侧棱垂直底面， ∴该几何体是正三棱柱； （2）略 （3）解：由图可知，这个三棱柱有条棱，没有剪开的棱的条数是条， 则需要剪开的棱的条数是： （条）， 该几何体的侧面积为． 【变式2】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）有一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)图2给出的四种纸样、、、，正确的有_________；（写出所有正确答案） (2)求包装盒的体积和表面积（侧面积与两个底面积的和）． 【答案】(1)、 (2)包装盒的体积为，表面积为 【分析】（1）根据长方体的展开图特征判断即可； （2）根据长方体的侧面积、底面积、表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图2给出的四种纸样、、、，正确的有、； （2）解：包装盒的体积为， 表面积为： ， 答：包装盒的体积为，表面积为． 【变式3】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）小明在学习了立体图形的展开图后，尝试用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示，请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明共剪开了______条棱； (2)现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有______种方法． (3)经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）长方体共12条棱，根据平面图形中没有剪开的棱的条数，即可求出剪开了几条棱； （2）根据长方体展开图的情况可知，有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪开了条棱； （2）解：如图所示： 故小明在图1中补全图形有种方法； （3）解：长方体的高为：, ∴这个长方体纸盒的体积为． 题型06 表面展开图综合应用 综合运用展开图判断、相对面确定、表面积体积计算及截面知识，解决实际生活中的包装、裁剪等问题。 【典例6】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图示意图如图1、图2所示，请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1、图2所示的图形，制作的收纳盒形状均为______（填几何体的名称）； (2)这两种设计，哪一种收纳盒的体积更大？请根据图中所给信息（图中数据单位相同）计算说明． 【答案】(1)长方体（或四棱柱） (2)图1的收纳盒体积更大 说明：图1收纳盒长宽高为3、3、4，体积； 图2收纳盒中：，，， ∴，，， ∴体积， ∵， 故图1的收纳盒体积更大． 【分析】（1）根据常见几何体展开图的特征解答即可； （2）分别算出图1、图2收纳盒的体积，比较即可； 【详解】（1）解：两个展开图都是由6个长方形组成的立体图形展开图，符合长方体（四棱柱）的展开图特征，因此制作出的收纳盒是长方体； （2）略 【变式1】. （25-26九年级上·北京昌平·阶段检测）榫卯结构是中国古代建筑、家具及其他木制器械的连接技术，实现结构的精密稳定结合．如图是一把木椅的侧视图，其中，分别是的中点．木材选择上，和用圆木，用横木，支架用其他木材，其他木材总计，点用装饰球连接，每个装饰球．已知，如图所示的截面面积为，截面面积为，密度，．求制作一把木椅空架（不含椅背、椅面）共需要木材的总质量． 【答案】一把木椅空架需要木材的总质量为 【分析】本题考查了侧视图，柱体的体积，掌握相关知识点是解题的关键． 先将平方厘米转化为平方米，克转化为千克，再分别计算出圆木、圆木、横木的体积和质量，即可求解． 【详解】解：，，， 是的中点，， ， 根据题意，可知圆木的体积为，质量为， 圆木的体积是圆木的体积的一半，为，质量为， 横木的体积为，质量为， 可知一把木椅空架需要2个圆木，2个圆木，4个横木，8个装饰球和支架，总质量为． 答：一把木椅空架需要木材的总质量为． 【变式2】. （25-26七年级上·甘肃白银·期中）一种牛奶软包装盒如图1所示，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)图2给出的四种纸样中，正确的有 ．（写出所有正确答案） (2)根据图1中的数据（单位：），用含a，b的式子表示包装盒的侧面积． 【答案】(1)B、D (2) 【分析】本题主要考查了长方体展开图、列代数式等知识， （1）根据长方体展开图的特征，即可获得答案； （2）根据长方体侧面积公式求解即可． 【详解】（1）解：图2给出的四种纸样中，正确的有B、D． 故答案为：B、D； （2）由图可知，包装盒的侧面积． 【变式3】. （24-25九年级下·全国·期末）小明同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多，高是． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长为；宽为 (2) 【分析】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽． （1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长； （2）利用长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：宽为：， 长为：， 答：长方体盒子的长为，宽为。 （2）解：体积：， 答：这个包装盒的体积是． 一、单选题 1．下列图形中不是正方体的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形结构，判断是否符合正方体展开图的11种特征． 【详解】解： A项属于“222”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意； B项属于“33”型，是正方体展开图 ，故此选项不符合题意； C项折叠后会出现重叠面，不是正方体展开图，故此选项符合题意； D项属于“141”型，是正方体展开图，故此选项不符合题意． 2．如图是一个多面体的表面展开图，每个面上都标注了数字．若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】正方体相对面间隔一个正方形，据此找到数字为2的面的相对面即可得到答案． 【详解】解：由题意得，数字为2的面与数字为3的面相对， 数字为1的面与数字为6的面相对， 数字为4的面与数字为5的面相对， ∴若数字为2的面是底面，则朝上一面所标注的数字为3． 3．一个小立方块六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从三个不同方向看到的情形如图所示，则C，D，E对面的字母分别是（    ） A．A，E，B B．A，B，F C．E，B，A D．F，E，B 【答案】B 【分析】通过观察图形确定各字母的相邻面，利用排除法确定相对面． 【详解】解：由图1可知与相邻，由图3可知与相邻， 的相邻面为， 与相对， 即的对面是， 由图1可知与相邻，由图2可知与相邻， 的相邻面为， 与相对， 即的对面是， 剩余的与相对，即的对面是， 对面的字母分别是． 二、填空题 4．如下图，是正方体的一种表面展开图，各面都标有数字，则数字为的面与它对面的数字之和是_________． 【答案】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“”字两端是对面，判断即可． 【详解】解：由图可知：与相对， ∴． 5．如图几何体的展开图中，经过折叠能围成圆柱的是_________． 【答案】①⑤ 【分析】根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【详解】解：①与⑤中由两个圆与一个长方形组成，且两个圆分别在长方形的两侧，从而经过折叠能围成圆柱，其它几个图不能经过折叠围成圆柱． 6．如图是一个正方体的表面展开图，如果将它折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，那么y的值为________． 【答案】6 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形，根据这一特点确定x，y，z的相对面，再根据“相对面上的两个数互为相反数”求出x，y，z的值，然后求解即可． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间相隔一个正方形， ∴x和4是相对面，z和是相对面，y和是相对面 ∵相对面上的两个数互为相反数， ∴． 三、解答题 7．如图所示的是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是_________； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱 (2)表面积和体积分别为、 【分析】（1）根据圆柱的表面展开图求解即可； （2）圆柱表面积=上下底面积＋侧面积，圆柱体积=底面积×高，即可解答． 【详解】（1）解：由展开图可得，该几何体的名称是圆柱； （2）解：由展开图可得，其底面半径为，高为， 则该几何体的侧面积为：，底面积为 故表面积为 该几何体的体积． 8．如图1是三个几何体的表面展开图，图是一个正方体的表面展开图． (1)写出图中对应几何体的名称：___________，___________，___________； (2)将图的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】(1)圆锥，三棱锥，圆柱； (2)． 【分析】根据几何体表面展开图的特征，即可判断图、图、图对应的几何体； 先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出和的值，进而计算． 【详解】（1）解：图中对应几何体的名称：圆锥，三棱锥，圆柱， 故答案为：圆锥，三棱锥，圆柱； （2）解：由题图可知与，与，与相对， ∵相对的两个面上的数字之和均相等， ∴， ∴， ∴，即的值为． 1．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2026次后，骰子朝下一面的点数是（     ） A．2点 B．3点 C．4点 D．5点 【答案】B 【详解】解：观察图可知，点数3和点数4相对，点数2和点数5相对，滚动第一次点数5朝上，滚动第二次点数4朝上，滚动第三次点数2朝上， 则滚动第四次点数3朝上． ∵将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次， ∴骰子每滚动四次为一个循环， ∵， ∴滚动第2026次后，骰子朝上一面的点数是4， 故骰子朝下一面的点数是3. 2．如图所示的是一个正方体纸盒的平面展开图．已知纸盒的相对两个面上的数互为相反数，且，，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面、相反数与绝对值：正方体展开图中相隔一个面的两个面是相对面；注意绝对值具有非负性，两个非负数互为相反数时它们都为．先由展开图确定相对的面，再由相反数与绝对值的条件求出各字母的值，最后代入计算． 【详解】解：由正方体展开图可知，与相对，与相对，与相对， ∵相对两个面上的数互为相反数， ∴，，， ∵，，且， ∴， ∴，，即，， ∴． 3．在正方体展开图上标有，，，，，，，，，，的字样，如图当将它折叠成正方体时，点与点_____重合，点与点_____重合． 【答案】 【详解】解：根据正方体的展开图可知，点A与点C、E重合，点H与点P、F重合． 4．【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 (1)如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，，则该长方体纸盒的体积为______． 【问题进阶】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；② (3) 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据题意可得出底面为的正方形，然后根据正方形的底面周长公式求解即可． ②根据题意可得该长方体纸盒的长为：，宽为，高为b，然后根据长方体的体积公式计算即可． （3）画出展开后，周长最大时的展开图，然后计算即可． 【详解】（1）解：根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故①③④是无盖正方体的表面展开图． （2）解：①根据题意可得：底面边长为的正方形， 则底面周长为：， 当，时， 则， 则长方体纸盒的底面周长为． ②根据题意可得该长方体纸盒的长为：，宽为，高为b， 当，， 该长方体纸盒的长为：，宽为，高为， 则该长方体纸盒的体积为：． （3）解：展开后，周长最大时的展开图如下所示： ∴周长为：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $