专题3.1 生活中的立体图形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.1 生活中的立体图形 教学目标 1.通过实物和模型抽象出几何体，发展空间观念。 2.能描述常见几何体的形状特征，能对它们进行简单分类。 3.掌握棱柱的特征，能找出棱柱的面、棱、顶点的个数。 4.理解点、线、面、体之间的关系，体会点动成线、线动成面、面动成体。 教学重难点 1.重点 （1）常见立体图形的分类及其特征 （2）棱柱的面、棱、顶点个数的计算 （3）点、线、面、体之间的关系 2.难点 （1）正确区分立体图形的不同分类标准 （2）由棱柱的底面边数推算顶点数、棱数、面数 （3）平面图形绕轴旋转形成立体图形的空间想象 知识点01：立体图形的分类与特征 1.立体图形：几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这样的几何图形叫作立体图形。 2.立体图形按形状分为三类：柱体、锥体、球体。 （1）柱体分为圆柱、棱柱； （2）锥体分为圆锥、棱锥； （3）球体表面是曲面。 3.立体图形也可按组成几何体的面有无曲面划分：有曲面（圆柱、圆锥、球等）；无曲面（棱柱、棱锥等）。 4.常见立体图形的特征： （1）圆柱：底面是圆，侧面是曲面，有两个互相平行的底面且能重合，无顶点； （2）棱柱：底面是多边形，侧面都是平行四边形，有顶点、有多条棱； （3）圆锥：底面是圆，侧面是曲面，只有一个顶点； （4）棱锥：底面是多边形，侧面都是三角形，各侧面有一个公共顶点； （5）球：表面是曲面。 【即学即练】 1．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有______，球体有______，锥体有______； （2）按几何体有无顶点来划分，______为一类，几何体有顶点；______为一类，几何体无顶点． 【答案】 ①②④ ③ ⑤ ①②⑤ ③④ 【分析】本题考查几何体的分类，掌握知识点是解题的关键． （1）根据柱体，球体，锥体的定义，即可解答； （2）根据柱体，球体，锥体的特征，即可解答 【详解】解：（1）由柱体，球体，锥体的定义，可按形状来划分，柱体有①②④，球体有③，锥体有⑤； （2）由柱体，球体，锥体的特征，可按几何体有无顶点来划分，①②⑤为一类，几何体有顶点；③④为一类． 故答案为：①②④；③；⑤；①②⑤；③④． 知识点02：棱柱的顶点数、棱数和面数的关系 1.棱柱的底面多边形的边数n决定该棱柱是n棱柱。 2.n棱柱有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，n+2个面，n个侧面。 3.棱柱的上下底面的形状、大小相同，都是多边形；所有侧棱长都相等；侧面形状都是平行四边形（直棱柱为长方形）。 4.例：八棱柱有8个侧面，24条棱，底面是八边形，16个顶点。 【即学即练】 1．如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【答案】C 【分析】根据一个棱柱的总棱数是，求出该棱柱为八棱柱，逐项判断即可求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱，则， 即该棱柱为八棱柱，底面为八边形，有8个侧面，16个顶点，8条侧棱， 故选项C符合题意． 知识点03：点、线、面、体之间的关系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的，点无大小，线无粗细，面无厚薄。 2.相交关系：线与线相交得点，面与面相交得线，围成体的是面。 3.运动关系：点动成线，线动成面，面动成体。 4.线的分类：线分为直的和曲的；面的分类：面分为平的和曲的。 5.应用：平面图形绕直线旋转一周可以形成相应的立体图形（如直角三角形绕直角边旋转形成圆锥、绕斜边旋转形成两个圆锥组合体等）。 【即学即练】 1．如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，且顶点在上方，选项C符合题意． 题型01 由实物抽象立体图形 观察实物主体形状，忽略次要细节，抽象为对应的基本立体图形。 【典例1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）本题的图中给出了一些实物图，也给出了一些立体图形．试找出实物图中与立体图形相类似的实物（或实物的一部分）． 【答案】 1. 圆锥：图中双塔的整体、天坛祈年殿的屋顶，外形与圆锥类似； 2. 四棱锥：部分高层建筑的塔顶，外形与四棱锥类似； 3. 长方体：城市中的多数摩天大楼，整体外形与长方体类似； 4. 圆柱：运载火箭的箭体、蒙古包的下半部分，外形与圆柱类似； 5. 球：图中的足球，外形与球体类似． 【分析】根据图形的形状和结构特征进行对比即可． 【详解】略． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）找出下列图片中你熟悉的几何体． 【答案】 （1）圆柱；（2）长方体；（3）长方体和球；（4）六棱柱． 【分析】根据几何体的分类，柱体，球体的分类，进行解答即可． 【详解】略． 【变式2】. （25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃甘南·期末）如图是故宫中常见的立柱，下列选项中与该立柱对应的立体图形是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．长方体 【答案】B 【详解】解：由图可知，立柱对应的立体图形是圆柱． 题型02 立体图形的分类 先定分类标准（按柱体、锥体、球体，或按有无曲面），再逐一归类，注意圆柱棱柱、圆锥棱锥的区别。 【典例2】. （25-26七年级上·山西太原·阶段检测）下列四个几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立体图形的识别，逐一判断各选项中的立体图形即可． 【详解】解：A、是圆台，不符合题意； B、是棱锥，不符合题意； C、是圆锥，不符合题意； D、是棱柱，符合题意； 故选D． 【变式1】. （25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的特征判断即可． 【详解】解：A是三棱柱、B是四棱柱、D是五棱柱，都是柱体， C是三棱锥，是锥体， 故选：C． 【变式2】. （26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）将图中的几何体分类，并说明理由． 【答案】分类方式不唯一，常见分类结果如下： 按组成面的平或曲分类： （1）全平面组成的几何体：，所有面都是平面 （2）含曲面的几何体：，至少有一个面是曲面 按几何体形状分为柱、锥、球分类： （1）柱体：，柱体包含圆柱和棱柱 （2）锥体：，椎体包含圆锥和棱锥 （3）球体：，只有一个封闭的曲面 【分析】根据面的平或曲分类或几何体形状分类，解答即可． 【详解】解：略． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中的几何体，并按要求填空． 若把上面7个几何体分成三类：_____为第一类，都属于柱体；_____为第二类，都属于锥体；_____为第三类，属于球体．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③⑤ ④ 【分析】根据立体图形的特点从柱体、锥体、球的形状特征考虑. 【详解】解：（1）属于柱体的有； 故答案为：；   （2）属于锥体的有； 故答案为：；   （3）属于球体的有； 故答案为：. 【点睛】本题考查了认识立体图形，解决本题的关键是熟悉立体图形的特点，找出与题目已经提供的特征不同的共同特征． 题型03 平面图形绕轴旋转形成立体图形 想象平面图形绕轴旋转一周扫过的区域，结合常见图形的旋转特征（矩形成圆柱、直角三角形成圆锥等）判断。 【典例3】. （26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：左边的图形中的矩形有两条边与直线平行，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是中空的圆柱体．选项D符合题意． 【变式1】. （26-27七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形得出旋转一周后得到的几何体是由两个底面重合的圆锥组成的立体图形，从而得解． 【详解】解：将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是由上下两个圆锥组成，如图： ． 【变式2】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．图形绕着虚线旋转一周得到圆台，故A不符合题意； B．图形绕着虚线旋转一周得到球，故B不符合题意； C．图形绕着虚线旋转一周得到圆柱，故C不符合题意； D．图形绕着虚线旋转一周得到圆锥，故D符合题意． 【变式3】. （25-26六年级下·山东滨州·期末）将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． 题型04 棱柱顶点数、棱数、面数的计算 套用n棱柱有2n个顶点、3n条棱、n+2个面的关系式，注意与棱锥区分。 【典例4】. （26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）一个棱柱一共有14个面，则它有_____________条棱． 【答案】 【分析】先求出这个棱柱的侧面个数，从而得出的数值，即可得出结果． 【详解】解：∵一个棱柱一共有14个面， ∴这个棱柱的侧面个数为， ∵棱柱的侧面个数与的数值相等， ∴， ∴棱的总数为条． 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，若一个棱柱有12个顶点，那么这个棱柱有______条棱． 【答案】18 【分析】结合三棱柱、四棱柱、五棱柱的特点，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有个面，个顶点和条棱，据此解答即可． 【详解】解：n棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴， 解得， ∴， 即这个棱柱有18条棱． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是． (1)这个棱柱共有_____________个顶点，共有____________条棱，所有棱长的和是___________； (2)求这个棱柱所有侧面的面积之和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由n棱柱有个顶点即可求解；由n棱柱有条棱求解可得； （2）将侧面长方形的面积乘以长方形的个数即可得． 【详解】（1）解：六棱柱有12个顶点；有18条棱， 所有的棱长的和是． （2）解：这个棱柱的所有侧面的面积之和是． 【变式3】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有______面，共有______个顶点，它是______棱柱． 【答案】 八 【分析】根据棱柱的棱数、顶点数、面数的数量关系，先由已知棱数求出，再计算对应面数和顶点数. 【详解】解：棱柱的棱数为，顶点数为，面数为. ∵该棱柱共有条棱， ∴， 解得. 因此该棱柱是八棱柱. 顶点总数为. 面的总数为. 题型05 识别几何体的构成元素 分析几何体由哪些基本立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球）拼接而成。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·周测）图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 【答案】 圆锥 圆柱 【分析】本题考查了几何体的构成，解题的关键是认识常见的几何体； 先观察示意图发现，该几何体可以看成两部分组成， 根据长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等的形状特征来逐一对照即可． 【详解】解：观察示意图，载人飞船的一部分可以看作是由圆锥和圆柱两种几何体组成的． 故答案为：①圆锥   ②圆柱 ． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【答案】题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 【变式2】. （23-24六年级上·全国·单元测试）分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【答案】圆锥和圆柱；四棱锥和四棱柱；球和正方体 【分析】本题主要考查了组合几何体的构成，熟练掌握组合几何体的构成是解题的关键． 由题图可直接判断出各组合几何体的构成． 【详解】解：由题图可以看出： 第个组合几何体是由圆锥和圆柱构成的， 第个组合几何体是由四棱锥和四棱柱构成的， 第个组合几何体是由球和正方体构成的． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】 左1的图的物体类似于圆柱； 左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 右2的图的物体可看作由圆锥和圆柱构成； 右1的图类似于圆锥； 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 【详解】解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 题型06 棱柱侧面积的计算 直棱柱的侧面是长方形，侧面积＝底面周长×高；也可逐面相加。 【典例6】. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，边长为的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是________；从前面看这个几何体，所得图形的形状是_________，它的面积是________． 【答案】 圆柱体 长方形 【分析】本题考查了点、线、面、体．根据圆柱体的定义和从不同方向看几何体即可得到结论． 【详解】解：边长为的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱体； 从前面看这个几何体，所得图形的形状是长方形，它的面积是， 故答案为：圆柱体，长方形，． 【变式1】. （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）一个六棱柱的底面是正六边形，它的边长是5cm，侧棱长是4cm，这个六棱柱所有侧面的面积之和是______． 【答案】 【分析】本题考查棱柱侧面积的计算，利用六棱柱侧面为长方形的特点，通过底面边长和侧棱长计算所有侧面的面积之和． 由底面是正六边形，边长是可知，每个侧面的面积都相等，先求出一个侧面的面积，乘以6就是所有侧面的面积之和． 【详解】解：∵底面是正六边形，边长是， ∴每个侧面的面积都相等， ∴， ， 故答案为：． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个五棱柱框架，它的底面边长都是，侧棱长．观察这个框架，回答下列问题： (1)这个五棱柱有__________个顶点，它的底面是__________形； (2)这个五棱柱所有的侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)10，五边形 (2) 【分析】（1）根据棱柱的特征回答即可； （2）根据矩形的面积公式，先算一个侧面的面积，再算所有侧面积之和． 本题考查了棱柱的特征：n棱柱有n个侧面，2个底面，每个侧面都是长方形． 【详解】（1）略 （2）一个侧面的面积为， 侧面积之和为． 答：这个五棱柱所有的侧面的面积之和是． 【变式3】. （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）以长方形边为轴旋转一周，形成一个圆柱（图①），如果将圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形（图②），这个平行四边形的面积是______平方厘米． 【答案】37.68 【分析】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用，圆柱的底面周长和侧面积的计算方法，关键是熟记公式，由题意可知，以长方形边为轴旋转一周，形成一个圆柱，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，如果将圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积就等于圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积底面周长高，把数据代入公式即可求出平行四边形的面积． 【详解】解：（平方厘米）， 答：这个平行四边形的面积是37.68平方厘米． 故答案为：37.68． 一、单选题 1．下列实物图可以抽象为圆锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：实物图可以抽象为圆锥的是． 2．下列立体图形：①圆柱；②圆锥；③正方体；④四棱柱，其中面数相同的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】逐一计数各立体图形的面数后对比，或利用正方体是特殊四棱柱直接判断． 【详解】解：①圆柱有3个面； ②圆锥有2个面； ③正方体有6个面； ④四棱柱有6个面； 面数相同的是③④． 3．分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：A．选项图形只有曲面，不符合题意； B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； D．选项图形只有平面，符合题意． 二、填空题 4．七棱柱有__________个顶点，__________条棱． 【答案】 【分析】根据棱柱的结构特征，分别计算七棱柱的顶点数和棱数即可． 【详解】解：∵ 七棱柱有2个底面，每个底面为七边形，所有顶点都在两个底面上，每个底面有个顶点， ∴ 总顶点数为 ， ∵ 每个底面有条边，两个底面之间还有条侧棱， ∴ 总棱数为 ． 5．一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都为，则这个六棱柱的所有侧面的面积之和是________． 【答案】 【分析】本题考查立体图形的侧面积，掌握好常见立体图形的特征与面积公式是关键． 直六棱柱的侧面由六个全等的矩形组成，计算出每个矩形的面积并求和即可． 【详解】解：直六棱柱的侧面由六个全等的长方形组成，每个侧面的面积为， ∴所有侧面的面积之和为． 故答案为：． 6．直角三角形的三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，将它绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为_________．（结果保留） 【答案】或或 【分析】已知圆锥体体积公式为，再分三种情况：①绕3厘米直角边旋转；②绕4厘米直角边旋转；③绕5厘米斜边旋转求解即可． 【详解】解：将直角三角形绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，圆锥的体积公式为，分以下三种情况： ①绕3厘米直角边旋转：如图 此时， ∴； ②绕4厘米直角边旋转： 此时， ∴； ③绕5厘米斜边旋转： ∵， ∴斜边上的高为， 此时， ∴； 故答案为：或或． 三、解答题 7．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 8．如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请你任意选择其中一种方式来计算得到的几何体体积． 【答案】(1)圆柱体 (2)方式①的体积为；方式②的体积为：． 【分析】（1）长方形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵根据面动成体，长方形旋转一周得到圆柱体， ∴方式①、②得到的几何体都为圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：方式①的体积为：， 方式②的体积为：． 9．某大厦的旋转门（图1）内部由三块宽为、高为的长方形玻璃隔板组成，图2所示的长方形是其中一块隔板的示意图． (1)将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是_______________； (2)则（1）中能说明的事实是______________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2)C (3) 【分析】（1）根据长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱解答即可； （2）根据面动成体解答即可； （3）根据圆柱的体积公式计算即可． 【详解】（1）解：将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是圆柱． （2）解：（1）中能说明的事实是面动成体． （3）解：图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是圆柱，其体积为， 答：图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积为． 1．图中的大长方形长、宽，小长方形长、宽，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的表面积计算，关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形；矩形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 大圆柱的侧面积：， 小圆柱的侧面积：， 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积：． 故选：C ． 2．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 【答案】(1)11 (2) (3)解：不能，假设同一平面内拼4个等边三角形，代入（2）得到的规律得需要磁力棒：根， ∵ ， ∴同一平面内，6根磁力棒不能组成4个等边三角形； (4)用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形 【分析】（1）观察图形中三角形个数和磁力棒根数的对应关系，找到每增加1个三角形时磁力棒的增量规律，因为1个三角形对应3根，之后每多1个三角形多2根，所以可推导个三角形时的磁力棒根数表达式，代入即可得到对应根数； （2）根据观察图形的增量规律总结个三角形时的磁力棒根数表达式即可； （3）先根据第2问得到的平面下个三角形需要的磁力棒数量公式，代入得到所需磁力棒数量，再和6比较判断即可； （4）因为正四面体的棱和等边三角形面的数量是固定的，所以直接统计棱数即磁力棒根数，统计面数即等边三角形个数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 1个等边三角形需要根磁力棒， 2个等边三角形需要根磁力棒， 3个等边三角形需要根磁力棒， ∴5个等边三角形需要根磁力棒； （2）解：根据上述规律，个等边三角形需要的磁力棒根数为 ； （3）略； （4）解：三棱锥的各面都是等边三角形，共有6条棱，4个面，每个面都是等边三角形， ∴一共用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 生活中的立体图形 教学目标 1.通过实物和模型抽象出几何体，发展空间观念。 2.能描述常见几何体的形状特征，能对它们进行简单分类。 3.掌握棱柱的特征，能找出棱柱的面、棱、顶点的个数。 4.理解点、线、面、体之间的关系，体会点动成线、线动成面、面动成体。 教学重难点 1.重点 （1）常见立体图形的分类及其特征 （2）棱柱的面、棱、顶点个数的计算 （3）点、线、面、体之间的关系 2.难点 （1）正确区分立体图形的不同分类标准 （2）由棱柱的底面边数推算顶点数、棱数、面数 （3）平面图形绕轴旋转形成立体图形的空间想象 知识点01：立体图形的分类与特征 1.立体图形：几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这样的几何图形叫作 。 2.立体图形按形状分为三类： 。 （1）柱体分为 ； （2）锥体分为 ； （3）球体表面是 。 3.立体图形也可按组成几何体的面有无曲面划分：有曲面（圆柱、圆锥、球等）；无曲面（棱柱、棱锥等）。 4.常见立体图形的特征： （1）圆柱：底面是圆，侧面是曲面，有两个互相平行的底面且能重合，无顶点； （2）棱柱：底面是多边形，侧面都是平行四边形，有顶点、有多条棱； （3）圆锥：底面是圆，侧面是曲面，只有一个顶点； （4）棱锥：底面是多边形，侧面都是三角形，各侧面有一个公共顶点； （5）球：表面是曲面。 【即学即练】 1．观察下图中各几何体的特征，回答下列问题： 将上述几何体按如下两种方式进行分类（请填写序号）： （1）按形状来划分，柱体有______，球体有______，锥体有______； （2）按几何体有无顶点来划分，______为一类，几何体有顶点；______为一类，几何体无顶点． 知识点02：棱柱的顶点数、棱数和面数的关系 1.棱柱的底面多边形的边数n决定该棱柱是 。 2.n棱柱有2n个顶点， 棱， 侧棱， 面， 侧面。 3.棱柱的上下底面的形状、大小相同，都是多边形；所有侧棱长都相等；侧面形状都是平行四边形（直棱柱为长方形）。 4.例：八棱柱有8个侧面，24条棱，底面是八边形，16个顶点。 【即学即练】 1．如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 知识点03：点、线、面、体之间的关系 1.图形的构成元素：图形是由点、线、面构成的，点无 ，线无 ，面无 。 2.相交关系：线与线相交得点，面与面相交得 ，围成体的是 。 3.运动关系：点动成线，线动成面，面动成体。 4.线的分类：线分为直的和曲的；面的分类：面分为平的和曲的。 5.应用：平面图形绕直线旋转一周可以形成相应的立体图形（如直角三角形绕直角边旋转形成圆锥、绕斜边旋转形成两个圆锥组合体等）。 【即学即练】 1．如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 题型01 由实物抽象立体图形 观察实物主体形状，忽略次要细节，抽象为对应的基本立体图形。 【典例1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）本题的图中给出了一些实物图，也给出了一些立体图形．试找出实物图中与立体图形相类似的实物（或实物的一部分）． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）找出下列图片中你熟悉的几何体． 【变式2】. （25-26九年级下·吉林长春·期中）下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃甘南·期末）如图是故宫中常见的立柱，下列选项中与该立柱对应的立体图形是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．长方体 题型02 立体图形的分类 先定分类标准（按柱体、锥体、球体，或按有无曲面），再逐一归类，注意圆柱棱柱、圆锥棱锥的区别。 【典例2】. （25-26七年级上·山西太原·阶段检测）下列四个几何体中，属于棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）将图中的几何体分类，并说明理由． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中的几何体，并按要求填空． 若把上面7个几何体分成三类：_____为第一类，都属于柱体；_____为第二类，都属于锥体；_____为第三类，属于球体．（填序号） 题型03 平面图形绕轴旋转形成立体图形 想象平面图形绕轴旋转一周扫过的区域，结合常见图形的旋转特征（矩形成圆柱、直角三角形成圆锥等）判断。 【典例3】. （26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27七年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，将下面的三角形绕虚线旋转一周后得到的几何体是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26六年级下·山东滨州·期末）将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 题型04 棱柱顶点数、棱数、面数的计算 套用n棱柱有2n个顶点、3n条棱、n+2个面的关系式，注意与棱锥区分。 【典例4】. （26-27七年级上·山东菏泽·阶段检测）一个棱柱一共有14个面，则它有_____________条棱． 【变式1】. （26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱，四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱，若一个棱柱有12个顶点，那么这个棱柱有______条棱． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，是一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是． (1)这个棱柱共有_____________个顶点，共有____________条棱，所有棱长的和是___________； (2)求这个棱柱所有侧面的面积之和． 【变式3】. （26-27七年级上·山东济南·开学考试）一个棱柱共有24条棱，那么这个棱柱共有______面，共有______个顶点，它是______棱柱． 题型05 识别几何体的构成元素 分析几何体由哪些基本立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球）拼接而成。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·周测）图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 【变式1】. （25-26七年级上·全国·课后作业）指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 【变式2】. （23-24六年级上·全国·单元测试）分别说出下面的组合几何体是由哪两个简单几何体组成的． 【变式3】. （25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 题型06 棱柱侧面积的计算 直棱柱的侧面是长方形，侧面积＝底面周长×高；也可逐面相加。 【典例6】. （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，边长为的正方形以它的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是________；从前面看这个几何体，所得图形的形状是_________，它的面积是________． 【变式1】. （25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）一个六棱柱的底面是正六边形，它的边长是5cm，侧棱长是4cm，这个六棱柱所有侧面的面积之和是______． 【变式2】. （26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图是一个五棱柱框架，它的底面边长都是，侧棱长．观察这个框架，回答下列问题： (1)这个五棱柱有__________个顶点，它的底面是__________形； (2)这个五棱柱所有的侧面的面积之和是多少？ 【变式3】. （25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）以长方形边为轴旋转一周，形成一个圆柱（图①），如果将圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个平行四边形（图②），这个平行四边形的面积是______平方厘米． 一、单选题 1．下列实物图可以抽象为圆锥的是（     ） A． B． C． D． 2．下列立体图形：①圆柱；②圆锥；③正方体；④四棱柱，其中面数相同的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 3．分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．七棱柱有__________个顶点，__________条棱． 5．一个直六棱柱，它的底面边长都是，侧棱长都为，则这个六棱柱的所有侧面的面积之和是________． 6．直角三角形的三边长分别为3厘米、4厘米、5厘米，将它绕其中一边所在直线旋转一周得到的几何体的体积为_________．（结果保留） 三、解答题 7．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 8．如图，有一长，宽的长方形纸板．将它分别绕其两条对称轴旋转，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____； (2)当，时，请你任意选择其中一种方式来计算得到的几何体体积． 9．某大厦的旋转门（图1）内部由三块宽为、高为的长方形玻璃隔板组成，图2所示的长方形是其中一块隔板的示意图． (1)将图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体是_______________； (2)则（1）中能说明的事实是______________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (3)求图2的长方形绕轴旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留） 1．图中的大长方形长、宽，小长方形长、宽，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（ ） A．20 B．30 C．32 D．60 3．【问题探究】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： (1)当三角形的个数是5时，所用的磁力棒的根数是________； (2)当三角形的个数是时，所用的磁力棒的根数是________（用含的代数式表示）； (3)同一平面内，用6根磁力棒能否组成4个等边三角形？请说明理由； 探究二：立体图形 (4)创新小组的小梦同学想到学过的三棱锥，想利用磁力棒搭立体图形，并使所搭成的三棱锥各个面均为等边三角形． 问：小梦搭成的三棱锥用了多少根磁力棒？组成了多少个等边三角形？ 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $