专题2.4 整式的加减（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

本讲义聚焦整式的加减核心知识点，系统梳理同类项的定义与识别、合并同类项法则、去括号与添括号规则，以及整式加减运算步骤，为后续分式、方程等代数内容学习搭建基础支架。 该资料特色在于分层设计12类题型，从基础识别到参数问题、规律探索及实际应用，如“不含某项”问题培养抽象能力与符号意识，“日历规律”探究发展推理意识与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后通过变式训练帮助学生查漏补缺，强化运算能力与建模思维。

专题2.4 整式的加减 教学目标 1. 理解同类项的定义，能精准识别同类项，掌握合并同类项、去括号、添括号的核心法则。 2. 熟练掌握整式加减的运算步骤，能规范完成整式化简、化简求值基础运算。 3. 掌握整式加减常见题型解题思路，能解决不含某项、与字母取值无关等参数问题。 4. 能运用整式加减运算解决简单的图形周长、面积及生活实际应用问题。 5. 培养严谨的代数运算能力和代数式建模思维，规范数学解题步骤。 教学重难点 1. 重点 （1）同类项的识别与判断，熟练运用法则合并同类项。 （2）掌握去括号、添括号的符号变化规则，规避符号、漏乘错误。 （3）熟练完成整式加减的常规运算与化简求值。 （4）掌握整式加减基础应用，解决简单实际问题。 2. 难点 （1）括号前为负号、含数字系数时的去括号运算，准确处理符号与系数。 （2）整式加减中不含某项、与字母取值无关的参数求解问题。 （3）误看、遮挡类易错题型的逻辑纠错与正确运算。 （4）结合整体思想、规律探索的综合性整式加减问题。 知识点01：同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，叫做同类项。 2. 特殊规定：所有常数项都是同类项。 3. 核心特征：同类项与系数大小无关、与字母的排列顺序无关，只看字母和对应指数。 【即学即练】 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的两个单项式为同类项． 【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意． 知识点02：合并同类项 1. 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 2. 运算法则：合并后所得项的系数是各同类项系数的和，字母连同它的指数保持不变。 3. 解题步骤：一找（找出所有同类项）、二移（移动同类项集中排列）、三并（合并系数）、四化简。 4. 本质：乘法分配律的逆用。 【即学即练】 1．先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】先标出各多项式中的同类项，再按合并同类项法则计算． 【详解】（1） 解：； （2） 解：； （3） 解：． 知识点03：去括号法则 1. 括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号保持不变。 2. 括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号全部变号。 3. 括号前有数字系数：系数需遍乘括号内每一项，同时遵循符号变化规则，严禁漏乘。 4. 多层括号：遵循由内向外的顺序去括号，先去小括号，再去中括号、大括号。 【即学即练】 1．化简： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【分析】本题考查了去括号． （1）根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； （2）根据分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：（1）； （2） 故答案为：，． 知识点04：添括号法则 1. 添括号后，括号前是“”号，括号内各项符号不变。 2. 添括号后，括号前是“”号，括号内各项符号全部变号。 3. 核心要点：添括号与去括号互为逆运算，可相互检验结果正误。 【即学即练】 1．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 知识点05：整式的加减运算法则 1. 运算顺序：有括号先去括号，再合并同类项，最终结果化为最简整式。 2. 多项式加减关键：求两个多项式的差时，被减的多项式必须整体添加括号。 3. 化简求值步骤：一化简（去括号、合并同类项）、二代入（字母赋值）、三计算（得出结果）。 【即学即练】 5．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型01 同类项的识别与判断 紧扣“字母相同、相同字母指数相同”核心，忽略系数、字母顺序，常数项互为同类项。 【典例1】. （25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【变式1】. （2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 【变式2】. （25-26七年级上·广西贺州·期末）下列各组单项式中，互为同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项，掌握同类项定义，根据定义判断选项是解题关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行每一项的判断． 【详解】解：A：第一个单项式有，第二个单项式没有，不是同类项，故不符合题意； B：两个单项式的的指数都不同，不是同类项，故不符合题意； C：与均为常数项，是同类项，故符合题意； D：两个单项式所含字母不同，不是同类项，故不符合题意． 故选：C． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【答案】 【分析】同类项的定义为所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐个对比两个圈中的项，找出同类项配对即可． 【详解】解：与，与，与，与，与是同类项． 题型02 根据同类项求参数的值 依据同类项定义，列出相同字母指数相等的等式，解方程求解参数，注意检验合理性。 【典例2】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 【变式1】. （25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， 解得，， ∴． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【答案】， 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解后计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴，时，与是同类项． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）k取何值时，与是同类项？ 【答案】 【分析】根据同类项的特征，利用相同字母的指数相等建立等式求解k． 【详解】解：∵与是同类项， ∴字母的指数相等， ∴． 题型03 基础合并同类项运算 先精准找出所有同类项，集中排列后合并系数，字母及指数保持不变，杜绝漏项、错合。 【典例3】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【变式1】. （2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）计算的结果等于________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】. （25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定这三项都是同类项，再合并同类项即可； （2）（3）仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 题型04 去（添）括号运算 正号不变、负号全变，系数遍乘括号内所有项，多层括号从内向外逐层化简。 【典例4】. （26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列去括号是否正确，如果不正确，请说明错在哪里，并加以改正： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不正确．理由：∵括号前为负号，去括号时括号内各项符号均需改变， ∴原式中未改变符号，存在错误． 改正：． (2)正确 (3)不正确． 理由：∵括号前的系数需与括号内每一项相乘， ∴原式中系数漏乘项，存在错误． 改正：． 【分析】根据去括号的符号变化规则与系数分配规则，逐式判断正误即可． 【详解】（1）略 （2）解：正确，理由如下： ∵括号前为负号，去括号后得，与原式一致， ∴原式正确． （3）略 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）在括号前面填入“＋”或“－”，使等式成立． (1)________． (2)________． (3)________． (4)________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是添括号法则，掌握添括号法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先观察括号内的各项的符号是否相同，然后再判断前面的符号. 【详解】（1）解：． （2）． （3）． （4）． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． 题型05 整式的加减常规运算 多项式加减先整体加括号，再去括号、合并同类项，最终化为最简整式。 【典例5】. （26-27七年级上·全国·课后作业）下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，改正为． (2)不正确，与不是同类项，不能合并． (3)不正确，改正为． (4)正确 【分析】先判断各小题中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证计算是否正确，错误的予以改正． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：，原式正确． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 【变式3】. （25-26六年级下·上海·期末）已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 题型06 整式加减化简求值 先化简再代入计算，优先利用非负数性质、整体代换简化运算，避免直接代入繁琐计算。 【典例6】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，6 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 题型07 整式加减误看纠错问题 根据错误运算结果反推原式，再按照正确运算规则计算，理清看错符号、看错运算的差异。 【典例7】. （26-27七年级上·全国·单元测试）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，计算结果为． (1)求多项式A； (2)求出当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，注意计算的准确性即可． (1)由题意得，即可求解； (2)计算，再将代入即可求解； 【详解】（1）解：(1)由题意得： （2）∵ ∴当时， 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，计算错误写法与正确写法的差值，即可得到两者的差异． 【详解】解：正确算式为：， 错误算式为：， 计算两者的差值： ， 错误结果比正确答案多， 故选：B． 【变式2】. （25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为 (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值． （1）去括号时符号错误，应化为； （2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为， 即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为； 故答案为：一；去括号时符号错误，应化为； （2）解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式3】. （25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知多项式，，化简． 下面是一位同学的化简过程： 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 请解答下列问题： (1)这位同学从第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请正确化简．当时，求的值． 【答案】(1)二；去括号时括号前是减号，去括号后括号内的符没有变号 (2)原式，值为 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据去括号法则解题即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：第二步应为； 故答案为：二；去括号时括号前是减号，去括号后括号内的符号没有变号； （2）解： ， ∵， ∴，， 解得，， 当，时，原式． 题型08 整式加减遮挡还原问题 利用“和减一个加数=另一个加数、差加减数=被减数”，逆向推导遮挡的整式并化简。 【典例8】. （25-26六年级上·山东泰安·期末）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，先对多项式的加减运算进行化简，再根据化简结果求出被墨汁遮住的一项． 【详解】解： ． 对比题中的结果，可知被墨汁遮住的一项为． 故选：A． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆渝北·期中）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和2之间的区间，如图：若遮住的最小整数是，最大整数是，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值： 【答案】，12 【分析】本题考查了数轴上的整数确定以及多项式的化简求值，解题的关键是先确定的值，再对多项式进行去括号、合并同类项化简，最后代入求值． 先根据数轴确定的值，再对多项式进行化简，再代入的值计算． 【详解】解：已知，在和2之间的整数有， 所以最小整数，最大整数， ， 把代入得： ， 综上，化简结果为，值为12． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)小明的计算不正确，正确的整式为 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，以及整式的值与的取值无关的条件． （1）利用等式关系，移项展开求出被遮住的整式，验证小明答案． （2）代入计算，合并同类项后令的系数为，求解的值． 【详解】（1）解：∵设所遮住的整式为， ∴，即， 化简，得：， ∴小明的计算不正确，正确的整式为； （2）解：∵， ∴， 即， ∵的值与的取值无关， ∴，解得：． 【变式3】. （25-26七年级上·四川绵阳·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求挡住的多项式； (2)若是最小的正整数，求所挡住的多项式的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）由题意可得挡住的多项式为，然后运用整式的加减运算法则化简即可； （2）先确定x的值1，然后代入（1）所得代数式中求值即可。 【详解】（1）解：挡住的多项式为： 。 （2）解：∵是最小的正整数， ∴， 当时，所挡住的多项式的值。 题型09 整式加减不含某项（无关）问题 化简整式后，令题目指定不含项的系数为，求解对应参数即可。 【典例9】. （25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 【变式1】. （25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 【变式2】. （25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 【变式3】. （25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 题型10 整式加减新定义运算问题 严格套用题目新定义公式，转化为常规整式加减运算，化简后求解或求值。 【典例10】. （25-26七年级上·河南郑州·期中）定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】 （1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________； （2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【答案】 【理解定义】是 【建模推理】（1）； （2）能，理由如下： 设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d， 则这个“团结数”为， 由（1）可知，， 代入，得 ， ∴ 该数能被11整除， 即任意“团结数”能被11整除． 【分析】本题考查了新定义，列代数式，整式的加减，理解新定义，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【理解定义】根据定义直接计算数字各位的关系判断即可； 【建模推理】（1）根据定义直接推导代数式即可解答；（2）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，则这个“团结数”为，代入（1）中d的表达式，化简后即可证明是11的倍数． 【详解】解：【理解定义】 四位数2651的千位数字为2，十位数字为5，和为； 百位数字为6，个位数字为1，和为； ∵， ∴四位数2651是“团结数”． 故答案为：是． 【建模推理】 （1）根据定义得，， ∴； 故答案为：； （2） 略 【变式1】. （2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 【变式2】. （25-26七年级上·山东临沂·期中）【项目化学习】 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组研究对象：对称数 研究思路：按“定义-例题-应用”由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析-猜想-验证 研究内容： ①定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整 数叫作“对称数”，如131，272，555等都是“对称数”． ②观察： ； ； ； …… 任务： (1)①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被__________整除； ②验证：若这个“对称数”是787，请通过计算验证猜想； (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过计算说明猜想是正确的． 【答案】(1)①； ②证明：∵这个“对称数”是，将“对称数”减去其各位数字之和，得： ， ∴所得结果能够被整除， ∴猜想正确； (2) 证明：依题意， ∴结果能被整除， ∴猜想是正确的． 【分析】本题考查了推理与论证，整式的加减，解决本题的关键是理解“对称数”的意义，并能进行有关运算． （1）①观察题干的式子特征，得出结论即可作答．②模仿式子算法，即可作答； （2）依题意，列式，化简得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据给出的示例可得，所得结果能够被9整除， 故答案为：9； ②略 （2）略 【变式3】. （25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，根据新运算的定义，从左到右依次计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ∴ ， 故答案为：． 题型11 整式加减规律探索问题 拆分式子的符号、系数、字母指数，分别归纳变化规律，推导含的通用代数式。 【典例11】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 【变式1】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是某月的日历，小乐在其中任意画出一个的方框，框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为___________；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，__________． ， __________． (3)拓展探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究，请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2) 解：设，则，，． ． (3) 解：A．，理由如下： 如图3，设，则，，， ． B．，理由如下： 如图4，设，则，，， ． 【分析】（1）计算后，根据结果猜想，即可求解； （2）设，根据日历中的规律得，，，代入运算，即可求解； （3）设， 根据日历中的规律得，，，根据日历中的规律得，则，，，代入运算，即可求解． 【详解】（1）解： ； ； （2）略 （3）略 【变式2】. （25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)11，99，9 (2)16，144，是 (3) 解：以上这个结论对于任何一个月的月历都成立，猜想：设9个数字的和为， 则 证明：中心数为 其余8个数分别为：，，，，，，，． ． 【分析】此题考查了列代数式、有理数的运算、整式的加减，解决本题的关键是发现日历中左右相邻的数相隔1，上下相邻的数相隔7． （1）根据图1中数字可求解； （2）根据图2中数字可求解； （3）设中心数为n，根据日历中数字特点，用n表示出其它8个数，利用整式的加法运算可得结论． 【详解】（1）解：由图1知，方框的中心数为11， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：11，99，9； （2）解：由图2知，方框的中心数为16， 框内9个数的和为． 结论：9个数的和是中心数的9倍 故答案为：16，144，是； （3）略 【变式3】. （25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【答案】（1）3738能被7整除； （2）若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除； ∵ ， ∵、能被7整除， ∴这个三位数能被7整除； （3）1或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）依题例进行判断即可； （2）根据题意，若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除；由即可说明； （3）根据题意得能被7整除，再根据x是0到9的整数，求解即可． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵， ∴3738能被7整除； （2）略 （3）∵自然数能被7整除， ∴能被7整除， ∵x是0到9的整数， ∴当，能被7整除，当，能被7整除， ∴x的值为1或8． 题型12 整式加减实际应用问题 方法技巧：将图形周长、面积或生活数量关系转化为整式，通过整式加减化简求解。 【典例12】. （26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 【变式1】. （25-26七年级下·四川达州·开学考试）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选用方案二划算，能便宜240元 (2) 该单位选择方案二更合算． 理由：方案一费用：元， 方案二费用： 元 ， ∵， ∵为正整数， ∴， 即， ∴该单位选择方案二更合算． 【分析】（1）分别计算两种方案的价格，两者比较并相减即可求解． （2）分别计算两种方案的价格，列出代数式，再求差即可． 【详解】（1）解：方案一费用：元， 方案二费用： 元， ∵元， ∴选用方案二划算，能便宜元． （2）略 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 【答案】(1)， (2) (3)小明家月份的电费为元 【分析】（1）根据正负数的意义可得出小明家用电量最多的月份，进而求出电费； （2）根据阶梯价格列出代数式即可求解； （3）根据“阶梯价格”，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，小明家用电量最多的是六月份， 这个月电费是（元）； 故答案为：六，； （2）解：当时，小明家该月的电费为：元； 故答案为：； （3）解：∵小明家七月份的用电量超过度， （元）， 答：小明家月份的电费为元． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； （4） 【分析】理解新方法是解题关键． 【详解】解：（1）； （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有个手指，右手有个手指；虚线下方双手共有个手指．则算法为：（用含a，b的代数式表示）； （3）由题意得虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，则在虚线下方共有个手指，但因为a，b为之间整数，所以算法为：； （4）若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指，下方则有左右手分别有个手指，，但因为a为6～10之间整数，b为16～20之间整数，则算法为：． 一、单选题 1．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用去括号法则与合并同类项法则，逐一验证各选项计算的正误． 【详解】解：，A计算错误； ，B计算正确； ，C计算错误； 与不是同类项，不能合并，D计算错误． 3．一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 二、填空题 4．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 5．填空： （1）三个连续整数，如果中间一个整数是n，那么第一个整数和第三个整数分别是_______、______； （2）三个连续偶数，如果中间一个偶数是，那么它前一个偶数和后一个偶数分别是______、______． 【答案】 【分析】连续两个整数相差1，连续两个偶数相差2，根据中间数即可求出前后两个数． 【详解】解：∵ 相邻两个整数相差，中间的整数为 ∴ 第一个整数比小，为，第三个整数比大，为 ∵ 相邻两个偶数相差，中间的偶数为 ∴ 前一个偶数比小，为，后一个偶数比大，为． 6．填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 【答案】 【详解】解：（1）∵一打铅笔有支， ∴打铅笔有支； （2）三角形的周长为； （3）四块草地可以合并成一个半径为的圆， ∴草地的面积为． 三、解答题 7．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 【答案】；；；. 【分析】先表示出长方形的宽，再根据所需材料的长度等于所有长方形的周长和半圆的周长以及三个半径的长度之和列式整理即可. 【详解】解：长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度， ， ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 . 9．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 2．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．用含，的代数式表示拼成的长方形的周长______________． 【答案】 【分析】先根据题意画出新长方形，然后用代数式表示出新长方形的长和宽，进而可得新长方形的周长．本题考查了长方形的周长、列代数式问题，解题的关键是用代数式表示出新长方形的长和宽． 【详解】解：拿掉边长为的小正方形纸板后，剩下的三块拼成一个新长方形如图所示， 新长方形的长为，宽为， ∴周长为． 3．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A和B B和C C和D D和E E和A 两数的和 54 66 59 71 48 李明经过思考，说出答案：________卡片上的数最大． 【答案】B 【分析】由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； 得：， ∴； ∴，且， ∴B卡片上的数最大． 4．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 5．材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 【答案】(1)，， (2)101，151，606，656 【分析】（1）根据题意，表示出，得出，根据，确定取值； （2）根据题意，确定三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或，然后确定所有值． 【详解】（1）解：，， ∵，能被整除， ∴，且， 可得满足条件取值如下： ； ； ； 答：符合条件的值有，，； （2）解：， ∵，， ∴其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：、、，显然三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或， ∴符合条件的数有：，，，． 答：若，的所有值有，，，． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 整式的加减 教学目标 1. 理解同类项的定义，能精准识别同类项，掌握合并同类项、去括号、添括号的核心法则。 2. 熟练掌握整式加减的运算步骤，能规范完成整式化简、化简求值基础运算。 3. 掌握整式加减常见题型解题思路，能解决不含某项、与字母取值无关等参数问题。 4. 能运用整式加减运算解决简单的图形周长、面积及生活实际应用问题。 5. 培养严谨的代数运算能力和代数式建模思维，规范数学解题步骤。 教学重难点 1. 重点 （1）同类项的识别与判断，熟练运用法则合并同类项。 （2）掌握去括号、添括号的符号变化规则，规避符号、漏乘错误。 （3）熟练完成整式加减的常规运算与化简求值。 （4）掌握整式加减基础应用，解决简单实际问题。 2. 难点 （1）括号前为负号、含数字系数时的去括号运算，准确处理符号与系数。 （2）整式加减中不含某项、与字母取值无关的参数求解问题。 （3）误看、遮挡类易错题型的逻辑纠错与正确运算。 （4）结合整体思想、规律探索的综合性整式加减问题。 知识点01：同类项 1. 定义：所含 相同，并且相同字母的 也分别相同的单项式，叫做同类项。 2. 特殊规定：所有常数项都是同类项。 3. 核心特征：同类项与 大小无关、与字母的 无关，只看字母和对应指数。 【即学即练】 1．下列各组代数式中，属于同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与． 知识点02：合并同类项 1. 定义：把多项式中的 合并成一项，叫做合并同类项。 2. 运算法则：合并后所得项的系数是 的和，字母连同它的指数保持不变。 3. 解题步骤：一找（找出所有同类项）、二移（移动同类项集中排列）、三并（合并系数）、四化简。 4. 本质：乘法分配律的逆用。 【即学即练】 1．先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 知识点03：去括号法则 1. 括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号 。 2. 括号前是“”号：去掉括号和前面的“”号，括号内各项符号 。 3. 括号前有数字系数：系数需遍乘括号内每一项，同时遵循符号变化规则，严禁漏乘。 4. 多层括号：遵循由内向外的顺序去括号，先去小括号，再去中括号、大括号。 【即学即练】 1．化简： （1）___________； （2）___________． 知识点04：添括号法则 1. 添括号后，括号前是“”号，括号内各项 。 2. 添括号后，括号前是“”号，括号内各项符号 。 3. 核心要点：添括号与去括号互为逆运算，可相互检验结果正误。 【即学即练】 1．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点05：整式的加减运算法则 1. 运算顺序：有括号先 ，再 ，最终结果化为最简整式。 2. 多项式加减关键：求两个多项式的差时，被减的多项式必须整体添加括号。 3. 化简求值步骤：一化简（去括号、合并同类项）、二代入（字母赋值）、三计算（得出结果）。 【即学即练】 5．化简： (1)； (2)； (3)． 题型01 同类项的识别与判断 紧扣“字母相同、相同字母指数相同”核心，忽略系数、字母顺序，常数项互为同类项。 【典例1】. （25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式1】. （2026·四川广安·中考真题）与_____是同类项．（写出一个即可） 【变式2】. （25-26七年级上·广西贺州·期末）下列各组单项式中，互为同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 题型02 根据同类项求参数的值 依据同类项定义，列出相同字母指数相等的等式，解方程求解参数，注意检验合理性。 【典例2】. （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】. （25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）k取何值时，与是同类项？ 题型03 基础合并同类项运算 先精准找出所有同类项，集中排列后合并系数，字母及指数保持不变，杜绝漏项、错合。 【典例3】. （25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）计算的结果等于________． 【变式2】. （25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 题型04 去（添）括号运算 正号不变、负号全变，系数遍乘括号内所有项，多层括号从内向外逐层化简。 【典例4】. （26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列去括号是否正确，如果不正确，请说明错在哪里，并加以改正： (1)； (2)； (3)． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】. （25-26七年级上·全国·课后作业）在括号前面填入“＋”或“－”，使等式成立． (1)________． (2)________． (3)________． (4)________． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 题型05 整式的加减常规运算 多项式加减先整体加括号，再去括号、合并同类项，最终化为最简整式。 【典例5】. （26-27七年级上·全国·课后作业）下列合并同类项是否正确？若不正确，请改正： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【变式3】. （25-26六年级下·上海·期末）已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 题型06 整式加减化简求值 先化简再代入计算，优先利用非负数性质、整体代换简化运算，避免直接代入繁琐计算。 【典例6】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先合并同类项，再求各多项式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式2】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式3】. （26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 题型07 整式加减误看纠错问题 根据错误运算结果反推原式，再按照正确运算规则计算，理清看错符号、看错运算的差异。 【典例7】. （26-27七年级上·全国·单元测试）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，计算结果为． (1)求多项式A； (2)求出当时，的值． 【变式1】. （2026七年级上·全国·专题练习）小明把错写成，所得的结果与正确答案相比（　　） A．多 B．多 C．少 D．少 【变式2】. （25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． (2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值 【变式3】. （25-26七年级上·湖南益阳·期末）已知多项式，，化简． 下面是一位同学的化简过程： 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 请解答下列问题： (1)这位同学从第________步开始出现错误，错误的原因是________________； (2)请正确化简．当时，求的值． 题型08 整式加减遮挡还原问题 利用“和减一个加数=另一个加数、差加减数=被减数”，逆向推导遮挡的整式并化简。 【典例8】. （25-26六年级上·山东泰安·期末）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26七年级上·重庆渝北·期中）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和2之间的区间，如图：若遮住的最小整数是，最大整数是，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值： 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式， 形式如下：． (1)设所遮住的整式为，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式． (2)在（1）的条件下．设．若的值与的取值无关，求的值． 【变式3】. （25-26七年级上·四川绵阳·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求挡住的多项式； (2)若是最小的正整数，求所挡住的多项式的值． 题型09 整式加减不含某项（无关）问题 化简整式后，令题目指定不含项的系数为，求解对应参数即可。 【典例9】. （25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【变式1】. （25-26七年级下·安徽合肥·期中）无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【变式2】. （25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【变式3】. （25-26七年级上·山西晋中·期中）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是（ ） A．    B．    C．    D． 题型10 整式加减新定义运算问题 严格套用题目新定义公式，转化为常规整式加减运算，化简后求解或求值。 【典例10】. （25-26七年级上·河南郑州·期中）定义：若一个四位数的千位数字加上十位数字的和恰好等于百位数字加上个位数字的和，则称这个四位数为“团结数”． 【理解定义】 四位数2651是否为“团结数”？_________（填“是”或“否”） 【建模推理】 （1）设一个“团结数”的千位、百位、十位、个位数字分别为a，b，c，d，请用含a、b、c的代数式来表示d：_________； （2）任意一个“团结数”能被11整除吗？为什么？ 【变式1】. （2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式2】. （25-26七年级上·山东临沂·期中）【项目化学习】 请认真阅读下面文本框的内容，并完成相应的任务． 关于“对称数”的研究报告 追梦小组研究对象：对称数 研究思路：按“定义-例题-应用”由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察分析-猜想-验证 研究内容： ①定义：一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整 数叫作“对称数”，如131，272，555等都是“对称数”． ②观察： ； ； ； …… 任务： (1)①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被__________整除； ②验证：若这个“对称数”是787，请通过计算验证猜想； (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字为，请你通过计算说明猜想是正确的． 【变式3】. （25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）对于任意有理数，，定义一种新运算，规定：，例：．则的化简结果为______． 题型11 整式加减规律探索问题 拆分式子的符号、系数、字母指数，分别归纳变化规律，推导含的通用代数式。 【典例11】. （26-27七年级·全国·小升初衔接）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式1】. （25-26七年级上·宁夏银川·期末）数学活动——探究日历中的数字规律：如图1是某月的日历，小乐在其中任意画出一个的方框，框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为___________；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，__________． ， __________． (3)拓展探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究，请从下列A，B两题中任选一题作答． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【变式2】. （25-26七年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 实践主题：探索月历中数的排列规律，体会代数表示与规律推导的数学思想． 实践任务：探究方框中9个数的和与中心数的规律． (1)计算分析（图1）：图1中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：9个数的和是中心数的________倍． (2)验证迁移（图2）：图2中方框的中心数为________，框内9个数的和为________． 结论：（1）中的关系在（2）中________（是、否）成立． (3)规律推广：假设中心数为n，那么以上这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？请写出你的猜想，并证明． 【变式3】. （25-26七年级上·贵州遵义·期末）数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 题型12 整式加减实际应用问题 方法技巧：将图形周长、面积或生活数量关系转化为整式，通过整式加减化简求解。 【典例12】. （26-27七年级上·江苏徐州·开学考试）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【变式1】. （25-26七年级下·四川达州·开学考试）某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价70元，售价每件100元；B商品每件进价30元，售价每件40元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品10件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多2件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【变式2】. （25-26七年级上·陕西西安·期末）为鼓励市民节约用电，某市居民生活用电采取阶梯电价进行收费，收费标准如表所示：（例如：月用电量为度时，收费为元） 月用电量（单位：度） 单价（元/度） 不超过度的部分      超过度不超过度的部分      超过度的部分      已知小明家上半年的用电情况如下表（以度为标准，超出度记为正、低于度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份                               根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用电量最多的是 月份，这个月电费为 元； (2)若小明家某月用电量为度，请用含的代数式表示小明家该月的电费为 元； (3)若小明家月份的用电量为度，请求出小明家月份的电费． 【变式3】. （25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有一种可计算之间整数相乘的手指算法． 例：计算时，按图1标记数字并摆放手掌．将“7”和“8”对齐摆放，并在它们的上方画一条虚线．在虚线的下方，双手共有5个手指，则以5作为十位数字；在虚线的上方，左手有3个手指，右手有2个手指，取两数乘积作为个位数字（如果乘积满10，则往十位数字进位），即算法为（注：为体现“算理算法”思想，本题填写分析与“算法”时不要化简或计算，如“波浪线”表示“虚线下方共有指头数作为十位数字”）． 【学习算法】 （1）计算时，按上述方法，算法为： ； 【总结算法】 （2）设a，b分别为6～10中的任一整数．在计算时，a在左手，b在右手，则虚线上方左手有 个手指，右手有 个手指；虚线下方双手共有 个手指．则算法为： （用含a，b的代数式表示）． 【探究拓展】 （3）若a，b变为之间整数也有类似的算法，请你探究：如图2标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． （4）若a为6～10之间整数，b为16～20之间整数也有类似的算法，请你探究：如图3标记数字，并按相同方法画出虚线．若在虚线的上方，左、右手分别有m和n个手指．则算法为： （用含m，n的代数式表示）． 一、单选题 1．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 5．填空： （1）三个连续整数，如果中间一个整数是n，那么第一个整数和第三个整数分别是_______、______； （2）三个连续偶数，如果中间一个偶数是，那么它前一个偶数和后一个偶数分别是______、______． 6．填空： （1）一打铅笔有支，打铅笔有______支； （2）三角形的三边长分别为、、，这个三角形的周长为______； （3）如图，某广场四角均铺上了四分之一圆形的草地，若圆形的半径为，则共有草地______． 三、解答题 7．合并同类项： (1)； (2)； (3)． 8．如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 9．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 2．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．用含，的代数式表示拼成的长方形的周长______________． 3．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上如图，这五张卡片分别记为A、B、C、D、E．张华依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． 下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 A和B B和C C和D D和E E和A 两数的和 54 66 59 71 48 李明经过思考，说出答案：________卡片上的数最大． 4．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 5．材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $