第3章 图形的初步认识（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级上册

第3章 图形的初步认识 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 2．如图所示是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（　　） A． B． C． D． 3．平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 4．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 7．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 10．如图，，，则图中所有角的度数之和为（   ） A． B． C． D． 11．如图，点在线段的延长线上，且线段． 现进行如下操作： 第一次操作：分别取线段和的中点； 第二次操作：分别取线段和的中点； 第三次操作：分别取线段和的中点； …… 连续这样操作8次，则（    ） A． B． C． D． 12．如图，点O为线段外一点，M、C、B、N为上任意四点，连接、、、，下列结论正确的有（   ）个． ①以O为顶点的角共有15个； ②若平分，平分，，则； ③若M为中点，N为中点，则； ④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． 14．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 15．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 16．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 17．如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在桌面一面的数字是______． 18．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，一个直角三角形的三条边长分别为、和． (1)将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的名称 ； (2)求（1）中所得到的几何体的体积． 20．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 21．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)求该几何体的表面积． 22．如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 23．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 24．综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究． 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数． 设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：① （2）边数计算 每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：② （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③ 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④ （4）代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：⑥ 把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____． 25．设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 26．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的初步认识 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．甲、乙两地开通了高铁，中途有两个站停靠，如果站与站之间的路程及站点与甲、乙两地的路程都不相等，那么高铁公司需要在这段路上准备（    ）种不同的高铁票． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先确定总站点数，中途2个停靠站加甲，乙两地共4个站点，由于高铁票往返方向不同是不同的车票，且所有路程都不相等，先计算单向的不同车票数量，再乘2得到总票数． 【详解】解：∵甲，乙两地加中途2个停靠站，总站点数为 个， 又∵所有站之间路程都不相等，且往返方向不同，车票不同. ∴单向的不同车票种类为 种. ∴总的不同高铁票种类为 种． 2．如图所示是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方体展开图的特点可知面与面相对，再根据展开图的特点判断A、C两个选项即可． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知面与面相对，故B、D不符合题意， 当面在上面，面在正面时，面应该在左面，故A不符合题意； 当面在上面，面在正面时，面应该在左面，故C符合题意． 3．平扫是临床常用的影像检查之一，利用射线穿透人体，通过计算机重建出人体断层图像（人体截面的扫描成像）．如图，以下几何体静止放置在水平面上，若分别对这些几何体沿水平方向在不同高度截取3个截面，则同一几何体的3个截面不可能都相同的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】分别根据柱体和球的截面特征解答即可． 【详解】解：由题意②长方体、③三棱柱、④圆柱这三个都是柱体，沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的分别是相同的正方形、三角形和圆， 而①球沿水平方向在不同高度截取3个截面得到的是三个半径不同的圆，故①符合要求． 4．下列说法①射线与射线是同一条射线；②两点之间直线最短；③连接两点之间的线段叫两点之间的距离；④若点P是线段的中点，则．其中说法正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查射线、线段、两点间距离、线段中点的基础概念，只需根据对应定义逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①∵射线的端点是A，射线的端点是B，端点不同，延伸方向也不同， ∴二者不是同一条射线，说法①错误； ②∵两点之间，线段最短，直线不可度量，∴说法②错误； ③∵连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，不是线段本身，∴说法③错误； ④∵根据线段中点的定义，若点P是线段的中点，则，∴说法④正确； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 5．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 6．如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【答案】D 【分析】由条件可以总结出从角的顶点画条射线，图中共有个角，即可得到答案 【详解】解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角． 7．下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 8．如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的计算．熟练掌握线段和倍分计算，线段中点的有关计算，线段和差的有关计算是解题的关键． 由线段的倍分关系可得出，再根据线段中点的有关计算可得出，，再根据线段的和差关系即可得出．由即可得出答案． 【详解】∵点在线段上，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．一个仓库里堆积着若干正方体货箱，仓库管理员要落实一下箱子的数量，可是要搬运这些箱子很困难，于是他想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，如图所示，现要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱数量． 【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示： 由俯视图知，货物底部有6个货箱，上面一层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8个货箱； 要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两个货箱，中间一列最多可以搬走两个货箱，故最多可以取走4箱货物 ． 10．如图，，，则图中所有角的度数之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和与差的计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先找到图中所有的角，再利用角的和与差的计算即可求解． 【详解】解：图中所有的角有，，，，，， ∵，， ∴，， ∴图中所有角的度数之和为， 故选C． 11．如图，点在线段的延长线上，且线段． 现进行如下操作： 第一次操作：分别取线段和的中点； 第二次操作：分别取线段和的中点； 第三次操作：分别取线段和的中点； …… 连续这样操作8次，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形的规律，并用代数式表示． 根据线段中点的性质，总结出线段的规律，然后求解即可． 【详解】解： ∵分别是线段和的中点， ∴； ∵分别是线段和的中点， ∴； ∵分别是线段和的中点， ∴； …… ∴， 当时，， 故选：B． 12．如图，点O为线段外一点，M、C、B、N为上任意四点，连接、、、，下列结论正确的有（   ）个． ①以O为顶点的角共有15个； ②若平分，平分，，则； ③若M为中点，N为中点，则； ④若，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数； 对于②，根据角平分线的定义及角的和差计算，结合，即可判断结论； 对于③，根据线段中点的定义及线段的和差计算，即可判断结论； 对于④，根据线段中点的定义及线段的和差计算，即可逐步推得，即可判断答案． 【详解】解：以O为顶点的角有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个，所以结论①正确； 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， 所以结论②正确； 为中点，N为中点， ，， ， 所以结论③正确； ， ， 所以结论④错误； 所以结论正确的是①②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的相关计算，线段中点的相关计算，线段的和差，角的和差，熟练掌握角平分线的相关计算及线段中点的相关计算是关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．发射时刻，钟面上的分针和时针组成的最小角是_________度． 【答案】 【分析】0时整时针与分针重合，钟面上分针每分钟转动，时针每分钟转动，计算23分钟后两者的转动角度差即可得到最小夹角． 【详解】解：∵钟面一圈为，分针60分钟转完一圈， ∴分针每分钟转动， ∵时针12小时转完一圈，即60分钟转动， ∴时针每分钟转动， ∵0时整时针与分针重合，经过23分钟后，分针转动的总角度为，时针转动的总角度为， ∴两者的夹角为， ∵， ∴分针和时针组成的最小角为． 14．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 15．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 16．如图所示的几何体都是由棱长为1个单位的正方体摆成的，经计算可得第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，第（3）个几何体的表面积是36个平方单位，…，依此规律，则第（12）个几何体的表面积是______个平方单位． 【答案】468 【分析】根据题意，找到个数与面积之间的规律：表面积为，即可计算第12个几何体的面积． 【详解】解：第（1）个几何体的表面积为6个平方单位，可以写成： ， 第（2）个几何体的表面积为18个平方单位，可以写成： ， 第（3）个几何体的表面积为36个平方单位，可以写成： ， 第（4）个几何体的表面积为60个平方单位，可以写成： ， 第（n）个几何体的表面积可以写成： ， 则第（12）个几何体的表面积可以写成： ， 现在，用表示总面积，则， 再写成的形式， 则， 解得， 所以第（12）个几何体的表面积为468个平方单位． 17．如图，一个正方体的六个面分别写着六个连续的整数，且相对面上的两个整数的和都相等．将这个正方体放在桌面，将其以如图所示的方式滚动，每滚动算一次，请问滚动2027次后，正方体贴在桌面一面的数字是______． 【答案】9 【分析】观察图形知道第一次数10和数9相对，第二次7和12相对，第三次9和10相对，第四次12和7相对，第五次10和9相对，且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道第一次数10和数9相对，第二次7和12相对，第三次9和10相对，第四次12和7相对，第五次10和9相对，且四次一循环， ， ∴滚动第2027次后与第三次相同， ∴朝下的数字是9． 18．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，一个直角三角形的三条边长分别为、和． (1)将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的名称 ； (2)求（1）中所得到的几何体的体积． 【答案】(1)圆锥 (2)或 【分析】（1）根据题意可得旋转所形成的几何体为圆锥； （2）分两种情况根据圆锥的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，所得到的几何体为圆锥； （2）解：当直角三角形绕着的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为，高为， 体积为； 当直角三角形绕着的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为，高为， 体积为； 综上，所得到的圆锥的体积为或． 20．如图，点C在线段上，点M，N分别是线段的中点． (1)线段与存在怎样的数量关系？为什么？ (2)若点P是线段的中点，，求线段的长． 【答案】(1)，理由： ∵M，N分别是线段的中点， ． ． ∴． (2)3 【分析】（1）利用线段中点的定义得到，即可解答； （2）利用线段中点的定义得到，再求得，利用线段之差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵点P是线段的中点， ． ． ∵N是线段的中点， ． ． 21．一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成，这个几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数． (1)请画出这个几何体的主视图和左视图； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)解：如图所示即为所作， (2) 【分析】（1）根据主视图和左视图的定义画图即可； （2）根据从三个方向看到的形状确定该几何体露在外面的面（边长为1的正方形）有多少个即可得到答案． 【详解】（1）略． （2）解：， ∴这个几何体的表面积为． 22．如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先计算，再计算，最后计算； （2）计算即可以说明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：略． 23．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 24．综合与实践 【项目主题】 为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？ 【项目分析】 课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究． 欧拉公式 对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数． 设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：① （2）边数计算 每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：② （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③ 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④ （4）代入欧拉公式计算 将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤ 但由③和④相等得：⑥ 把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧ 【项目实施】 因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____． 【答案】 ； ； ； ； ； ； ； ； ； 【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，． 【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则 （1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为： ， （2）边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为： ， （3）顶点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边． 从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， 从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为： ， （4）代入欧拉公式计算 将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即 ， 但由和相等得：，即 ， 把和联立成含有，为未知数的方程组，得， 解这个方程组得：，， 因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成． 25．设，，若满足或，则称和互为“半余角”． (1)已知是的角平分线，且和互为“半余角”，则______度； (2)如图1，若，，且和互为“半余角”，求的度数； (3)如图2，，是一条射线，作和的角分线，若和互为“半余角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)120 (2)或 (3)的值为或或 【分析】（1）由角平分线得，代入“半余角”两种情况，均解得，故； （2）代入验证“半余角”，仅有解，再分在内、外，得或； （3）设，，由平分，平分，得，，分当点D在直线上面，时，，当点D在直线上面，时，，当点D在直线下面，时，，当点D在直线下面，时，，根据与互为“半余角”，有当时，当时，解答． 【详解】（1）解：已知平分， ∴，且 根据“半余角”定义，有两种情况： 当， 代入， 得， 解得， 则； 当， 代入， 得， 解得， 则 （2）解：已知，， 分两种“半余角”情况讨论： 当时： 则， 解得，舍去； 当时： 则， 解得． 再根据的位置分两种子情况： 若在内部， 则； 若在外部， 则． ∴综上的度数为或． （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，， 当点D在直线上面，时，， 由， 得， ∴， ∴， ∵与互为“半余角”， ∴当时， 则， 解得， 则； 当时， ∴， 解得， ∴； 当点D在直线上面，时，， , 当时， 则， 结合， 解得， 则，舍去． 当时， ∴， 解得， ∴，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则， 当时， ∴， 解得，舍去； 当点D在直线下面，时，， , ， 当时， 则， 则，舍去， 当时， ∴， 解得，舍去； 综上：的值为：或或． 26．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 【答案】(1)； (2)、或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义及旋转的性质，熟练掌握分类讨论思想和角的运算规则是解题的关键． （1）先根据和求出，再用减去得到． （2）分三种情况讨论平分的角，当平分时；当平分时；当平分时；分别利用角平分线的定义求出，再计算旋转角． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：情况1：平分： ，， ， ∴， ， ∴， ， ； 情况2：平分： 平分，， ∴， ； 情况3：平分： ，， ∴， ∴, ； 综上，旋转角的度数为、或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章图形的初步认识（高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 6 个 8 10 11 12 B C A A B D B A D C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.126.5 14.8 15.40° 16.468 17.9 18. 90°/90度 10°/10度 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.【答案】（1)圆锥 2g6cm3或128ncm3 【解析】(1)解：将此直角三角形绕着它直角边所在直线旋转一周，所得到的几何体为圆锥： (2)解：当直角三角形绕着8cm的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为6cm,高为8cm, 体积为x62×mx8=96πcm 当直角三角形绕着6cm的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥， 此时圆锥的底面圆半径为8cm,高为6cm, 体积为3×82×π×6=128Tcm3: 3 综上，所得到的圆锥的体积为96πcm3或128πcm3. 20.【答案】(1)详见解析 (2)3 【解析】(1)AB=2MN,理由： 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N分别是线段AC,BC的中点， .MC-AC.CN-BC. 2 MC+GN-AB. ..AB=2 MN. (2)解：.AC=6,CP=2, ∴.AP=AC+CP=8, ,点P是线段AB的中点， ∴.AB=2AP=16 ∴.CB=AB-AC=10」 N是线段BC的中点， :CN=2BC=5. .∴.PN=CN-CP=3. 21.【答案】(1)详见解析 (2)50cm2 【解析】(1)解：如图所示即为所作， 主视图 左视图 (2)解：(6+6+10+10+7+7+2+2)×1×1=50cm2 ∴这个几何体的表面积为50cm2. 22.【答案】(1)25° (2)详见解析 【解析】(1)解：：∠AOB=80°，∠BOC=30°， ∴.∠AOC=∠AOB+∠B0C=80°+30°=110°， .OE平分∠AOC 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·2C0E 2∠A0C=550, .∠BOE=∠E0C-∠B0C=55°-30°=25°. (2),∠AOB=a,∠BOC=B, ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=a+B, ,射线OF平分∠BOC, ∠CoF-<B0c=B, .OE平分∠AOC, E B ACoE=7∠A0c=a+1 20+ B. ·∠EOF=∠COE-∠COF=a G8-583- 2q. ∴.∠AOB=2∠EOF. 23.【答案】(1)4(2)9或10或11解决问题：14,8 【解析】解：(1)分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4： (2)①如图所示，a‖b,c‖d, 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域： ②如图所示，c‖d, 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域： 故答案为：9或10或11： 解决问题：如图所示，a‖b,c‖d, 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14,8. 24.【答案】 ①F+F6: 5565,@5F:④65=3：回7R,45=4,©号@12，@20， 2 ⑨12：⑩20 【解析】解：设F5为足球表面正五边形的数量，F6为足球表面正六边形的数量，则 (1)总面数计算：总面数F用含F5,F6的式子表示为：F=F+F6①， (2)边数计算 每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含F5,F6的式子表 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示为：E= 5F+6F6②， 2 (3)项点数计算 在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点，因此，每个顶点 有3条边 从五边形的视角，每个五边形有5个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数V用含F5的式子表示 为：V=5F5③， 从六边形的视角，每个六边形有6个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数V用含F6的式子表示为： V-6E6=3F。④， 2 (4)代入欧拉公式计算 将@、②、①代入：V-E+F=2,可得：F,F之间的关系为：5F,-5E,6E+F,+F。=2,即 2 7F,-4F6=4⑤， 但由®积@相等得：5F,=3F。即s-5⑧， F3 7F5-4F6=4 把⑥和⑤联立成含有F,'F。为未知数的方程组， 得副 F6=5 F53 解这个方程组得：F,=12,F6=20, 因此，足球的表面必须由12个正五边形和20个正六边形拼接而成. 25.【答案】(1)120 (2)60或140° 3)∠E0D的值为7.5o或15o或82.50 【解析】(1)解：已知OB平分∠AOC, ∴.a=β，且∠AOC=2Q. 根据“半余角”定义，有两种情况： 当a+B=90 5/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入B=a, 布号0=90 解得a=60°， 则∠AOC=120°： 当号+g=90 代入B=α， 海号a=90 解得ar=60, 则∠A0C=120° (2)解：已知c=∠AOB=100°，B=∠BOC, 分两种“半余角”情况讨论： 当ca+2B=90时： 则100°+2B=90°， 解得β=-20°，舍去； 鸟号a+B=90时 测2×100+g=909 解得β=40°」 再根据OC的位置分两种子情况： 若OC在∠AOB内部， B 则∠AOC=∠AOB-∠B0C=100°-40°=60°： 若OC在∠AOB外部， 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 则∠AOC=∠AOB+∠B0C=100°+40°=140°. ∴，综上∠A0C的度数为60°或140° (3)解：设∠FOD=X,∠EOD=∠EOM=y, ,OF平分∠NOD,OE平分∠MOD, .∠NOD=2x,∠MOD=2y, 当点D在直线OM上面，0°≤∠MOD≤130°时，0°≤y≤65°， 由∠MON=130, 得2y+2x=130°， ∴y+x=65°， .∠EOF=y+x=65°， ,∠EOF与∠FOD互为“半余角”， ·当7∠EOF+∠F0D=90时， ,1 则片×65+x=90, 解得x=57.5°， 则y=7.5°； 当∠EOF+1 ∠FOD=90时， N D E M 7/11 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 65 2x=90, 解得x=50, y=15: 当点D在直线OM上面，130°<∠MOD≤180°时，65°<y≤90°， EOF=∠EOD-∠FOD-∠MOD-∠NOD=3∠M0N=65 M 7∠EOF+∠FO0D=90时， 则号×65°+x=90° 结合X-y=65°， 解得x=57.5°， 则y=7.5°，舍去. 当∠EOF+号∠FOD=90°时， 165+号x=90 解得x=50°， y=15°，舍去： 当点D在直线OM下面，50°≤∠MOD<180°时，25°≤y<90°， M ∠E0F=∠EOD+∠FOD=号∠MOD+∠NOD=号360°-∠MON=15°， ∠FOD=2∠0D=360-∠M0N-∠MoD)=15-y. 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2<EOF+∠FOD=90E 则×1150+115°-y=90° 则y=82.5°， 当∠E0F+)∠FOD=90时 150+×150-=0908 解得y=165°，舍去： 当点D在直线OM下面，0°<∠MOD<50时，0°<y<25°， ○ M∠E0F=∠OD+∠E0D-&NOD+∠M0D-号<MON=650 D ∠FOD=克∠NOD∠MON+∠MOD=65+y, 号<E0E+∠0D=60时， 侧2×650+65+y=90, 则y=-7.5°，舍去， 当∠EOF+7∠FOD=90时 65+2×65+y=909 解得y=-15°，舍去： 综上：∠E0D的值为：7.5或15°或82.5°. 26.【答案】(1)15°： 2)g7.5.60或150 【解析】(1)解：.：∠AOD=90°，∠COD=60°， 9/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AOC=∠AOD-∠COD=90°-60°=30°， :∠AOB=45°， ∴.∠B0C=∠AOB-∠AOC=45°-30°=15°： (2)解：情况1：OC平分∠AOB: .·∠AOB=45°OC平分∠AOB d DN ∠A0C= ∠AOB=22.5°， ∴.∠A0D=∠AOC+∠COD=60°+22.5°=82.5°， .'∠AOM=a, ∠A0D=180°-a, ∴.82.5°=180°-a, ∴.=97.5°； 情况2：OC平分∠AOD: C B .0C ∠AOD∠COD=60° M D N 平分 .∠AOD=2∠COD=120°， ∴.a=∠AOM=180°-∠AOD=60°； 情况3：OC平分∠BOD: B .'OC平分∠BOD∠COD=60° M D N :.∠BOD=2∠COD=120°， ∴.∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+120°=165°， 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∴.a=∠AOM=180°-∠AOD=180°-165°=15°： 综上，旋转角a的度数为97.5°、60°或15°. 11/11