第2章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学整式及其加减单元提升卷，以文化传承（如《推背图》天干地支）、科技应用（如信息加密）为情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖整式核心知识，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|单项式合并、代数式求值等|第5题结合天干地支考规律探究，体现数学眼光的抽象能力| |填空题|6题12分|信息加密、物理电阻计算等|第15题用电阻公式考整式应用，培养数学思维的运算能力| |解答题|8题72分|图形面积推导、数列探究等|第24题面积法推导平方规律，第26题纸牌游戏考整式运算，发展数学语言的应用意识|

第2章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若单项式与可以合并，则的值为（    ） A．7 B．4 C．5 D． 2．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 5．如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推．2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317周年校庆时，对应的年份是（     ） A．丁卯年 B．丙寅年 C．乙丑年 D．甲午年 6．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 7．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且，则以下关系中成立的是（     ） A． B． C． D． 8．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ）． A．2 B．5 C．7 D．8 9．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则__________． 14．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 15．在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻（单位：）与长度（单位：）成正比，与它的横截面积（单位：）成反比，即（为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的倍长时，其横截面积变为原来的．若某种电阻丝的横截面积不变，当时，；现将长为的该电阻丝均匀拉伸到原来的倍长，则此时电阻丝的电阻为____． 16．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为______． 17．如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 18．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知，，，，求的值． 20．如图，在数轴上点表示数2，点是数轴上的一个动点，点表示数． (1)若，则点，间的距离是多少？ (2)若点在点的右侧： ①求的取值范围； ②表示数的点应落在 （填选项前的字母）． A．点左边    B．线段上    C．点右边 21．如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 22．本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考． (1)他发现___________． (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现． 举例1：                               举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 (4)根据以上结论计算：___________ 23．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 24．【探究活动】 小舟学习《整式的乘法》后，对教材第96页探究活动“末位数字为5的两位数的平方规律”产生兴趣．结合此前“借助图形面积推导完全平方公式”的学习经验，他尝试通过分割图形的方式，直观解释的计算原理：将图1中边长为25的正方形分割成边长为20与5的两个正方形和两个的长方形，随后把图1中的长方形①拼接后得到图2，借助图形面积关系顺利推导出计算结果：，参照这一探究思路，小舟结合面积图解与速算技巧，继续探究得到图3对应的探究结论． (1)仿照小舟的速算方法，写出的运算过程及结果： ． (2)设两位数的十位数字为，归纳个位数字为5的任意两位数平方的速算结果 ．（用含的式子表示） (3)类比推广：记两位数，分别为，，其中，，为正整数，，，且满足，类比（2）中的速算方法，写出的速算结果 （用含字母的式子表示），并说明该结论成立的理由． 25．综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 (1)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； (2)观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 26．一个游戏的道具为4张纸牌，牌的正反面如图所示： 游戏规则： ①甲为持牌操作者，乙为报告“有”或“没有”的参与者； ②乙先从这12个整数中，任选一个记住； ③甲向乙依次展示4张牌的正面，乙看到牌上出现所记数时报“有”，没出现则报“没有”； ④甲将报“有”的牌反面对应的数字进行求和，即可得出乙所记的数字． 某次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 没有 有 没有 甲将A牌反面对应数字“1”和C牌反面对应数字“4”相加，即，可知乙记的数字为5． (1)开始游戏： ①第1次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 没有 有 没有 没有 则乙记的数字为___________； ②第2次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 有 没有 没有 乙发现报“没有”的牌中，有一张报错了，则乙记的数字可能是___________； (2)某次游戏中乙报出两个“有”，报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且．已知表示代数式：表示代数式：，其中为整数．若化简后关于的多项式总是二项式，求． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ · 第2章 整式及其加减 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C C A B B C B C A C C 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13． 14． 15． 16． 17． 6 14或15 18． 8322 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．【答案】 【解析】解：∵，，， ∴ ． 20．【答案】(1)8 (2)①；②C 【解析】（1）解：当时，点表示数， ∵点表示数， ∴点，间的距离是． （2）解：①∵点在点的右侧， ∴ ， 解得． ②由①知， ∴， ∴， ∴表示数的点在右侧， 作差法： ， ∴表示数的点在右边． 21．【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：见解析 (2) 【解析】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； （2），，， ， ． 22．【答案】(1) (2)举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． (3)， (4)4051 【解析】（1）解：∵方法一图中的涂色部分是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， ∴， ∵方法二图中的涂色部分为长为，宽为的一个长方形的面积， ∴； ∴． （2）举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． （3）解：如图所示： 图1中的涂色部分面积为，图2中的涂色部分面积为， ∵图1与图2中的涂色部分面积相等， ∴， ∴如果和表示两个数，这样的规律可以表示为． （4）解：． 23．【答案】(1)如图所示： ， (2)6或9 【解析】（1）解：图； ； （2）解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． 24．【答案】(1)；5625 (2) (3)见解析 【解析】（1） （2） （3） 理由： 25．【答案】(1)7；20；119 (2) (3)8 【解析】（1）解：根据递推公式， ， ， ； （2）解：观察规律：时，； 时，； 时，； 故； （3）解：校验码为696，即＝696， 根据（2）的关系：， 则， 计算数列项，直到找到． ，，，，，，，，， 因此，则，对应前4个偶数项（，，，）， 其和为， 此时主序列需生成到第8项或第9项，即至少生成到第8项． 26．【答案】(1)①2；②7或11； (2)4或1． 【解析】（1）解：①B牌反面对应数字“2” 则乙记的数字为2； 故答案为：2； ②A牌、B牌正面均存在的数为3、7、11， C牌、D牌正面的数均不存在3， 则乙记的数字可能是7或11， 若为7，则，符合； 若为11，则，符合； 故答案为：7或11； （2）解：∵报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且，而， ∴报“有”的牌不包含8， 则报“有”的牌为1、2或1、4或2、4， 对应报“没有”的牌为4、8或2、8或1、8， 即或或， ∵表示代数式：表示代数式：， ∴ ， 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴； ∵若化简后关于的多项式总是二项式， ∴的取值应使三种情况均为二项式， ∴，，或，，， ∴或 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 整式及其加减（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若单项式与可以合并，则的值为（    ） A．7 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】两个单项式可以合并，说明它们是同类项，根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程求出和的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵两个单项式可以合并， ∴与是同类项， ∴，， 解得，． 将，代入得：． 2．若，，且，则的值等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题先根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再根据判断同号，分情况计算即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴与同号， 分两种情况讨论： ①当，时，， ②当，时，， ∴的值等于或． 3．如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可. 【详解】解：根据题意，得. 4．已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 5．如图《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测．推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推．2026年是“丙午”年，正值兰州大学建校117周年，据此推算，当兰州大学317周年校庆时，对应的年份是（     ） A．丁卯年 B．丙寅年 C．乙丑年 D．甲午年 【答案】B 【分析】由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期，分别用200 除以两个周期得到余数，再根据余数判断即可． 【详解】解：由题意可知天干 10 年为一周期，地支十二年为一周期， 当兰州大学317周年校庆时，经过200年，且兰州大学117周年即2026年是“丙午”年， ， 则 ，则兰州大学317周年校庆时的天干为丙， ，则兰州大学317周年校庆时的地支为寅， 则兰州大学317周年校庆时是丙寅年． 6．数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 7．由，，三个数字组成的进制数记作，例如．若，且，则以下关系中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进制定义展开各数，代入题中等式化简得到a，b，c的关系，再结合进制对数位数字的限制和的条件验证选项，得到正确结果． 【详解】解：根据进制数的展开规则，得：， ，， ∵ ∴， 整理得 该式正好对应选项C， 再结合条件验证合理性：∵ 6进制数的数位数字小于6，且，不为0， ∴ 由得， 又， 可得， 仅当时满足条件， 此时， 结合得或， 对应得或， 又， 故仅符合条件，代入验证得成立．其它选项均不成立． 8．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》中被称为“铺地锦”．如图1表示，运算结果为3036．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ）． A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据“格子乘法”的规则，小方格内的数等于上方数字与右侧数字的乘积，且对角线右上部分表示十位，左下部分表示个位，观察图2中左上角或右上角方格内的代数式，结合整数乘法性质即可求出a的值． 【详解】解：由图2可知，上方数字为3，2，右侧数字为a，4，观察左上角的小方格，其所对的两个数为3和a，乘积为， 根据图示，该方格对角线下方的数字为a，表示的个位数字是a， ∵a为两位数的十位数字， ∴， 在1至9的整数中，只有的个位数字与乘数5相同， ∴， 验证：当时，观察右上角小方格，所对两数为2和5，乘积， 图示该方格对角线上方的数字为，即，与10的十位数字1相符，符合题意． 9．将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入中计算即可． 【详解】解：∵， 当时，得：， ∴， ∴． 11．已知整数、···满足下列条件：，（n为正整数），以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数运算与数字规律探究，先计算前几项总结规律，再代入计算即可. 【详解】解：∵ ， ∴， ， ， ， ， 观察可得：当为偶数时，， ∴． 12．已知整式M：，其中，，，…，为自然数，n，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的单项式M的乘积为； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意逐项分析，进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若是单项式，则所有非最高次项系数为，条件简化为， 所有满足条件的单项式为：， 乘积为，故①正确； ②当时，，， 所有满足条件的为：， 求和得：，故②正确； ③按分类计算整式总数：时，，，共4个不同整式； 时，，，共6个不同整式； 时，，，共4个不同整式； 时，，，共1个不同整式； 总数为，故③错误； 综上，正确的说法有2个． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 14．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【分析】先分别将、代入、求得m、n的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 15．在物理学中，“对于同种材料的均匀导体，其电阻（单位：）与长度（单位：）成正比，与它的横截面积（单位：）成反比，即（为电阻率，是一个定值，表示材料的导电性能）”．研究发现：当电阻丝被均匀拉伸到原来的倍长时，其横截面积变为原来的．若某种电阻丝的横截面积不变，当时，；现将长为的该电阻丝均匀拉伸到原来的倍长，则此时电阻丝的电阻为____． 【答案】 【分析】根据已知条件求出的值，再根据题意代入即可． 【详解】解：将，代入中， 得，解得， 现在， ． 16．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点B是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为______． 【答案】 【分析】设两个正方形边长分别为a、b，则，，进而根据割补法计算即可. 【详解】解：如图： 设两个正方形边长分别为a、b，则， ∵， ∴， 阴影面积． 17．如图1是一个点阵多边形，若四个相邻的点围成的正方形的面积为1，数学家发现了一个计算点阵多边形的面积公式：，其中表示多边形内部的点数，表示边界上的点数，表示多边形的面积． （1）如图1，多边形的面积__________； （2）如图2的点阵图中五边形的面积为10，根据点的位置，则的值为__________． 【答案】 6 14或15 【分析】（1）根据题意直接列式求解即可； （2）根据题意得出，结合点阵求解即可． 【详解】解：（1）由图象得：， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， 如图所示：当或时，满足题意； ∴或． 18．规定一个四位数（，，，均为整数，且），若，，则称这个数是“义渡数”，将一个“义渡数”千位和百位上的数字组合成一个两位数，十位和个位上的数字组合成一个两位数，设，则_____________；若能被7整除，则满足要求的的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 8322 【分析】根据义渡数的定义，得到，推导出，由能被整除，得到是的倍数，由四位数最大，得到，可求出，，，得到最大数，由四位数最小，得到，可求出，，，得到最小数，进而得到最大与最小值的差为8322，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵四位数是义渡数 ∴ ∴ ∵ ∴， ∵能被整除 ∴是的倍数， ∴是的倍数，即是的倍数， ∵要四位数最大 ∴， ∵是的倍数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最大， ∵要四位数最小， ∴， ∵是的倍数， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴最小， ∵， ∴最大与最小值的差为8322． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．已知，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 20．如图，在数轴上点表示数2，点是数轴上的一个动点，点表示数． (1)若，则点，间的距离是多少？ (2)若点在点的右侧： ①求的取值范围； ②表示数的点应落在 （填选项前的字母）． A．点左边    B．线段上    C．点右边 【答案】(1)8 (2)①；②C 【分析】（1）将代入求出点表示的数，利用“数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数”求解； （2）①根据“数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”求解； ②根据求出的的取值范围，代入到运算即可． 【详解】（1）解：当时，点表示数， ∵点表示数， ∴点，间的距离是． （2）解：①∵点在点的右侧， ∴ ， 解得． ②由①知， ∴， ∴， ∴表示数的点在右侧， 作差法： ， ∴表示数的点在右边． 21．如图，边长为的正方形和边长为（）的正方形按如图所示摆放在一起，，，三点在同一直线上，设图①中阴影部分的面积为，设图②中阴影部分的面积为． (1)如图①，判断的值与的大小有关吗？说明理由； (2)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)的值与的大小无关， 理由：由题意知，， 的值与的大小无关； (2) 【分析】（1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）根据图形列式得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2），，， ， ． 22．本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙地解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考． (1)他发现___________． (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现． 举例1：                               举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 (4)根据以上结论计算：___________ 【答案】(1) (2)举例1：∵，， ∴； 举例2：∵，， ∴； ∴任意两个数的平方差都具有这样的特征． (3)， (4)4051 【分析】（1）通过计算两个算式的结果，即可得出结论； （2）举出两个算式的例子再计算出结果，即可归纳得出结论； （3）结合题干中给出的图，用字母标出边长，通过涂色部分的面积即可得出结论； （4）利用（3）的结论，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方法一图中的涂色部分是边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积， ∴， ∵方法二图中的涂色部分为长为，宽为的一个长方形的面积， ∴； ∴． （2）略 （3）解：如图所示： 图1中的涂色部分面积为，图2中的涂色部分面积为， ∵图1与图2中的涂色部分面积相等， ∴， ∴如果和表示两个数，这样的规律可以表示为． （4）解：． 23．“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．在数学活动课上，同学们探究类似填幻方的数字游戏．将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，每个数字只用一次，使每个圆圈上的三个数字之和相等．记圆圈上的三个数字之和为S，回答下列问题： (1)如图1，图中已填好了四个数，请将图1补充完整，并直接写出S的值； (2)如图2，中间三个“□”中的数字分别为a，b，．为了求出的值，同学们展开了讨论： 小明说：由所填的数只能在1和6之间，可得关于的不等式，进而可求出的值； 小林说：观察整个图形，找到S与的关系，进而求出的值． 请结合同学们的讨论和你的思考，求出的值． 【答案】(1)如图所示： ， (2)6或9 【分析】（1）根据下方两个圆圈上已填的数字和分别为8与7，要填的两个数字为4与5，据此左边要填的数字为4，右边要填的数字为5，即可补充图，并求得S； （2）三个圆圈上的所有数字和为，即，根据取值即可确定的值． 【详解】（1）解：图略； ； （2）解：由题意， ∴， ∵a，b为1到6中某两个数， ∴a，b最小取1，2，最大取5，6， ∴， ∵， ∴， ∴S为整数， ∴是3的倍数， ∴或9． 24．【探究活动】 小舟学习《整式的乘法》后，对教材第96页探究活动“末位数字为5的两位数的平方规律”产生兴趣．结合此前“借助图形面积推导完全平方公式”的学习经验，他尝试通过分割图形的方式，直观解释的计算原理：将图1中边长为25的正方形分割成边长为20与5的两个正方形和两个的长方形，随后把图1中的长方形①拼接后得到图2，借助图形面积关系顺利推导出计算结果：，参照这一探究思路，小舟结合面积图解与速算技巧，继续探究得到图3对应的探究结论． (1)仿照小舟的速算方法，写出的运算过程及结果： ． (2)设两位数的十位数字为，归纳个位数字为5的任意两位数平方的速算结果 ．（用含的式子表示） (3)类比推广：记两位数，分别为，，其中，，为正整数，，，且满足，类比（2）中的速算方法，写出的速算结果 （用含字母的式子表示），并说明该结论成立的理由． 【答案】(1)；5625 (2) (3) 理由： 【分析】（1）根据规律，可等于，再进行计算即可； （2）十位为，个位为5，可表示为，根据规律可表示为； （3）可等于，再按多项式乘多项式规则相乘即可，其中可把替换成10，再进行合并． 【详解】（1） （2） （3）略 25．综合与实践 【活动背景】我们把按一定规律排列的一列数叫做数列，一般地，把数列中的第1个数记为，第2个数记为，…，第n个数记为．我们定义“启源”数列：取初始项＝1，＝3，从第3项开始，每一项等于前一项的2倍与前前项的和，即递推公式为（n≥3）．记为“启源”数列前k个偶数项的和（k为正整数），数学兴趣小组制作了该数列的探究表格（部分空缺），请你参与探究并完成以下任务． n（项数） 1 2 3 4 5 6 … （项的值） 1 3 ______ 17 41 99 … * 3 * ______ * ______ … 【活动探究】 (1)请根据“启源”数列的递推公式，补全表格； (2)观察补全后的表格，你能发现与数列的某一项之间存在怎样的数量关系吗？请直接写出这个关系（用含k的代数式表示）； 【探究应用】 (3)“启源”数列在计算机科学中有一种有趣的应用，可用于生成某种特定长度的校验码序列．工程师小元需要设计一个流程： 生成主序列：首先按顺序生成该数列的前N项，，…，作为主序列． 生成校验码：同时，还需要生成一个校验码，该码的值等于主序列中所有偶数项之和（即，，其中或，根据N的奇偶决定）．现在，小元的任务目标是：需要最终生成一个数值为696的校验码． 请你帮助小元快速确定：他至少需要将主序列生成到第______项． 【答案】(1)7；20；119 (2) (3)8 【分析】（1）根据递推公式，补全表格即可； （2）观察规律：时，；时，；得到； （3）由题意得到，因此，则，对应前4个偶数项（，，，），得到主序列需生成到第8项或第9项，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据递推公式， ， ， ； （2）解：观察规律：时，； 时，； 时，； 故； （3）解：校验码为696，即＝696， 根据（2）的关系：， 则， 计算数列项，直到找到． ，，，，，，，，， 因此，则，对应前4个偶数项（，，，）， 其和为， 此时主序列需生成到第8项或第9项，即至少生成到第8项． 26．一个游戏的道具为4张纸牌，牌的正反面如图所示： 游戏规则： ①甲为持牌操作者，乙为报告“有”或“没有”的参与者； ②乙先从这12个整数中，任选一个记住； ③甲向乙依次展示4张牌的正面，乙看到牌上出现所记数时报“有”，没出现则报“没有”； ④甲将报“有”的牌反面对应的数字进行求和，即可得出乙所记的数字． 某次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 没有 有 没有 甲将A牌反面对应数字“1”和C牌反面对应数字“4”相加，即，可知乙记的数字为5． (1)开始游戏： ①第1次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 没有 有 没有 没有 则乙记的数字为___________； ②第2次游戏过程如下： 甲出示 A牌 B牌 C牌 D牌 乙报告 有 有 没有 没有 乙发现报“没有”的牌中，有一张报错了，则乙记的数字可能是___________； (2)某次游戏中乙报出两个“有”，报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且．已知表示代数式：表示代数式：，其中为整数．若化简后关于的多项式总是二项式，求． 【答案】(1)①2；②7或11； (2)4或1． 【分析】本题考查了多项式的定义，整式的加减． （1）①仿照题干作答即可； ②找出A牌、B牌正面均存在的数，进而根据C牌、D牌正面的数判断即可； （2）根据可知报“有”的牌不包含8，进而得到或或，计算，进而分三种情况求出可能的取值，根据若化简后关于的多项式总是二项式，可知的取值应使三种情况均为二项式，即，，或，，，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：①B牌反面对应数字“2” 则乙记的数字为2； 故答案为：2； ②A牌、B牌正面均存在的数为3、7、11， C牌、D牌正面的数均不存在3， 则乙记的数字可能是7或11， 若为7，则，符合； 若为11，则，符合； 故答案为：7或11； （2）解：∵报“有”的牌反面对应数求和结果记为，另两张牌的反面对应数求和结果记为，且，而， ∴报“有”的牌不包含8， 则报“有”的牌为1、2或1、4或2、4， 对应报“没有”的牌为4、8或2、8或1、8， 即或或， ∵表示代数式：表示代数式：， ∴ ， 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴或； 当时， ， ∵化简后关于的多项式是二项式，为整数， ∴或或， 即或或， ∵为整数， ∴； ∵若化简后关于的多项式总是二项式， ∴的取值应使三种情况均为二项式， ∴，，或，，， ∴或 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $