2026-2027学年人教版数学九年级上册期中诊断性调研试题

2026学年第一学期期中诊断性调研参考资料 九年级数学学科 本调研资料共9页，25小题，满分150分。建议完成时间：120分钟。 学校：＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿ 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。） 1 下列方程中，是一元二次方程的是（　　　） A.x²=2　　　　 B.3x²−4y+2=0 C.2x²−=3　　　　D.x²−2x+1=x(x+1) 2 用配方法解方程 x²−8x+10=0，配方后所得的方程是（　　　） A.(x−4)²=6　　　　 B.(x−4)²=−6 C.(x−4)²=26　　　　D.(x−8)²=54 3 下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　　） A.y=　　　　 B.y= C.y=　　　　D.y= 4 已知一元二次方程 x²−4x+1=0 的两根分别为 x₁、x₂，则 + 的值为（　　　） A.−4　　　　B.4 C.　　　　D.− 5 下列函数中，y 是 x 的二次函数的是（　　　） A.y=ax²+bx+c　　　 　B.y=x²+1 C.y=(x+1)(x−1)−x²　　　　D.y= 6 抛物线 y=−(x+1)²+3 的对称轴和顶点坐标分别是（　　　） A.直线 x=1，(1,3)　　　 　B.直线 x=−1，(−1,3) C.直线 x=1，(−1,3)　　　　D.直线 x=−1，(1,3) 7 如图，抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交于点(−2,0)和(4,0)，则下列说法错误的是（　　　） 第7题图 A.抛物线的对称轴为直线 x=1　　　　B.当 x<1 时，y 随 x 的增大而增大 C.方程 ax²+bx+c=0 的两个根之和为 2　　　　D.抛物线一定经过点(1,0) 8 反比例函数 y=− 的图象上有一点P，横坐标为2，则下列说法正确的是（　　　） A.点P的纵坐标为−3　　　　B.该函数图象经过第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而减小　　　　D.该函数图象关于y轴对称 9 如图，抛物线 y=x²−2x−8 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 P，则△ABP 的面积为（　　　） 第9题图 A.18　　　　B.27 C.36　　　　D.54 10 2026年某社区开展“书香家庭”评选活动，第一轮报名家庭数为160户，第三轮报名家庭数为250户。若每轮报名家庭数的平均增长率相同，设为 x，则下列方程正确的是（　　　） A.160(1+2x)=250　　　　B.160(1+x)²=250 C.250(1−x)²=160　　　　 D.160+160x=250 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。） 11 方程 (2x−1)²=25 的解为____ 12 若 x=2 是一元二次方程 x²−mx−6=0 的一个根，则 m=____，方程的另一根为____ 13 若关于 x 的一元二次方程 x²−2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k=____ 14 抛物线 y=2x²+4x−1 的顶点坐标为____ 15 若反比例函数 y= 的图象经过点(−2,3)，则 k=____，该函数图象位于第____象限。 16 已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象经过点(0,1)，且当 x=1 时有最大值 3，则该二次函数的解析式为____ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17 （本小题满分6分）用配方法解方程：x²−4x−1=0 18 （本小题满分6分）已知关于 x 的一元二次方程 x²+2x+k−1=0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若该方程的一个根为 −3，求 k 的值及方程的另一个根。 19 （本小题满分8分）如图，某公园有一个长 24 m、宽 16 m 的矩形花坛，现要在花坛四周修建一条宽度相同的鹅卵石小路，使花坛与小路的总占地面积为 560 m²，求小路的宽度 第19题图 20 （本小题满分8分）已知二次函数 y=2x²−8x+5 第20题图 （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当 0≤x≤4 时，求 y 的最大值与最小值。 21 （本小题满分8分）在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（k≠0）的图象经过点 A(2,4)，直线 y=x+m 经过点 A，并与反比例函数的图象交于另一点 B （1）求反比例函数的解析式； （2）求 m 的值及点 B 的坐标。 22 （本小题满分10分）如图，抛物线 y=x²−8x+12 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D 第22题图 （1）求 A、B、C、D 四点的坐标； （2）求△BCD 的面积。 23 （本小题满分12分）某商店经销一种文创摆件，每件成本为 50 元。市场调查发现：当每件售价定为 70 元时，每天可售出 100 件；每件售价每提高 1 元，每天少售出 5 件。设每件售价为 x 元（x≥70），每天的销售利润为 y 元 第23题图 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店想使每天的销售利润不低于 1875 元，则每件售价应定在什么范围内？ 24 （本小题满分14分）综合与实践：我国高速铁路发展迅速。已知某条高铁线路 A、B 两站相距 360 km。2026年该线路实施提速后，列车平均速度比原来提高了 40 km/h，全程运行时间比原来减少了 0.45 h 第24题图 （1）求提速前列车的平均速度； （2）若提速后的列车在此基础上再次提速，使全程运行时间再减少 0.3 h，则平均速度还需提高多少？ （3）设列车提速后以平均速度 v km/h 匀速行驶，行驶 t 小时的路程为 s km，写出 s 与 t 的函数关系式，并判断它是否为一次函数。 25 （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+c 经过点 A(6,0)、B(−4,0)、C(0,24) 第25题图 （1）求抛物线的解析式； （2）求顶点 D 的坐标及△ABD 的面积； （3）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，PF 交直线 BC 于点 E，求线段 PE 的最大值及此时点 P 的坐标。 （数学试卷 第1页 共9页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 D　A符合一元二次方程的定义；B含有两个未知数；C分母中含有未知数；D化简后为−3x+1=0，是一元一次方程，故选D； 2 A　x²−8x=−10，配方得x²−8x+16=−10+16=6，即(x−4)²=6； 3 B　y=符合y=（k≠0）的形式，是反比例函数；y=是一次函数，y=是二次函数，y=的分母不是x，均不符合反比例函数的定义； 4 B　x₁+x₂=4，x₁x₂=1，+==4； 5 B　A中a可能为0，C化简后为y=−1，D中x在分母上，均不是二次函数； 6 B　顶点式y=a(x−h)²+k中，对称轴为直线x=h，顶点为(h,k)，故选B； 7 D　对称轴为直线x=1，A对；由图象开口向下，当x<1时y随x的增大而增大，B对；两根之和为−2+4=2，C对；顶点不在x轴上，抛物线不经过(1,0)，D错； 8 A　点P的横坐标为2，则y=−=−3，所以点P的纵坐标为−3，A正确；k=−6<0，图象位于第二、四象限，B错误；当x>0时，y随x的增大而增大，C错误；反比例函数的图象关于原点对称，不关于y轴对称，D错误； 9 B　x²−2x−8=0，x=−2或4，AB=6；顶点P(1,−9)，S△ABP=½×6×9=27； 10 B　每轮增长率为x，第三轮为160(1+x)²=250。 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 x₁=3，x₂=−2　2x−1=±5，解得x=3或x=−2； 12 −1；−3　把x=2代入得4−2m−6=0，m=−1；由x₁x₂=−6，另一根为−3； 13 1　Δ=4−4k=0，k=1； 14 (−1,−3)　y=2x²+4x−1=2(x+1)²−3； 15 −6；二、四　把(−2,3)代入y=，得3=，k=−6；k<0，图象位于第二、四象限。 16 y=−2x²+4x+1　当x=1时有最大值3，则顶点为(1,3)，设y=a(x−1)²+3，把(0,1)代入得a=−2。 三、解答题（满分86分） 17（6分）解：移项，得x²−4x=1（1分）；配方，得x²−4x+4=5（1分），即(x−2)²=5（1分）；开平方，得x−2=±√5（2分）；所以x₁=2+√5，x₂=2−√5（1分）。 18（6分）（1）Δ=2²−4(k−1)=8−4k（1分），由题意8−4k>0（1分），所以k<2（1分）。（2）把x=−3代入方程，得9−6+k−1=0（1分），解得k=−2（1分）；由根与系数的关系，两根之和为−2，所以另一根为1（1分）。 19（8分）解：设小路的宽度为x m（1分），则(24+2x)(16+2x)=560（2分），整理得x²+20x−44=0（1分），即(x+22)(x−2)=0（1分），所以x₁=2，x₂=−22（1分）；x₂=−22不合题意，舍去（1分），故小路宽2 m（1分）。 20（8分）（1）y=2x²−8x+5=2(x−2)²−3（2分），所以对称轴为直线x=2（1分），顶点坐标为(2,−3)（1分）。（2）因为a=2>0，抛物线开口向上，在0≤x≤4内，当x=2时y取得最小值−3（2分）；当x=0或x=4时y=5，最大值为5（2分）。 21（8分）（1）把A(2,4)代入y=，得4=（2分），所以k=8（1分），反比例函数的解析式为y=（1分）。（2）把A(2,4)代入y=x+m，得4=2+m（1分），所以m=2（1分）；联立y=x+2与y=，得x²+2x−8=0（1分），解得x=2或x=−4，所以点B的坐标为(−4,−2)（1分）。 22（10分）（1）令y=0，得x²−8x+12=0（1分），解得x=2或x=6（1分），所以A(2,0)、B(6,0)（1分）；令x=0，得C(0,12)（1分）；y=x²−8x+12=(x−4)²−4，顶点D(4,−4)（1分）。（2）由C(0,12)、D(4,−4)得直线CD的解析式为y=−4x+12，与x轴交于点E(3,0)（2分），则BE=6−3=3（1分）；S△BCD=S△BCE+S△BDE=½×3×12+½×3×4=18+6=24（2分）。 23（12分）（1）y=(x−50)[100−5(x−70)]（2分）=(x−50)(450−5x)=−5x²+700x−22500（2分）。（2）y=−5(x−70)²+2000（2分），因为a=−5<0，所以当x=70时，y有最大值2000（2分），即每件售价定为70元时利润最大，最大利润为2000元（1分）。（3）由−5(x−70)²+2000≥1875（1分），得(x−70)²≤25，即65≤x≤75（1分）；结合x≥70，售价应定在70元至75元之间（1分）。 24（14分）（1）设提速前列车的平均速度为x km/h，则−=0.45（2分），整理得360(x+40)−360x=0.45x(x+40)（1分），即x²+40x−32000=0（1分），解得x₁=160，x₂=−200（1分），x=−200不合题意，舍去（1分），所以提速前的平均速度为160 km/h（1分）。（2）提速后速度为200 km/h，设还需提高y km/h，则−=0.3（2分），即=1.5（1分），解得y=40（1分），所以平均速度还需提高40 km/h（1分）。（3）s=240t（t≥0）（1分），s是t的一次函数（1分）。 25（14分）（1）设y=a(x−6)(x+4)（2分），把C(0,24)代入，得24=a×(−6)×4=−24a（1分），所以a=−1（1分），故y=−(x−6)(x+4)=−x²+2x+24（1分）。（2）y=−x²+2x+24=−(x−1)²+25（1分），顶点D(1,25)（1分）；AB=6−(−4)=10（1分），S△ABD=½×10×25=125（2分）。（3）直线BC过B(−4,0)、C(0,24)，其解析式为y=6x+24（1分）；设P(x,−x²+2x+24)（−4<x<0），则PE=(−x²+2x+24)−(6x+24)=−x²−4x（1分）=−(x+2)²+4（1分），所以当x=−2时，PE取得最大值4（1分），此时P(−2,16)（1分）。 6 学科网（北京）股份有限公司 命题细目表 考查范围：人教版（2026）九年级上册第二十五章《一元二次方程》、第二十六章《二次函数》、第二十七章《反比例函数》。 题号 题型 分值 考查知识点 能力层次 1 选择题 4 一元二次方程的概念 理解 2 选择题 4 配方法 理解 3 选择题 4 反比例函数的概念 理解 4 选择题 4 根与系数的关系 掌握 5 选择题 4 二次函数的概念 理解 6 选择题 4 二次函数顶点式与图象性质 理解 7 选择题 4 二次函数的图象与性质（数形结合） 掌握 8 选择题 4 反比例函数的图象与性质 理解 9 选择题 4 二次函数与一元二次方程、三角形面积 掌握 10 选择题 4 一元二次方程的实际应用（增长率） 掌握 11 填空题 4 直接开平方法 理解 12 填空题 4 方程的解与根与系数的关系 掌握 13 填空题 4 根的判别式 理解 14 填空题 4 二次函数图象的顶点坐标 掌握 15 填空题 4 反比例函数解析式（待定系数） 掌握 16 填空题 4 待定系数法求二次函数解析式 掌握 17 解答题 6 配方法解一元二次方程 掌握 18 解答题 6 根的判别式与根与系数的关系综合 掌握 19 解答题 8 一元二次方程的实际应用（面积） 运用 20 解答题 8 二次函数图象性质与区间最值 运用 21 解答题 8 反比例函数与一次函数的综合 运用 22 解答题 10 二次函数图象与坐标轴交点、三角形面积 运用 23 解答题 12 二次函数实际应用（利润最值、不等式） 运用 24 解答题 14 一元二次方程实际应用、一次函数（综合与实践） 运用 25 解答题 14 二次函数综合（解析式、面积、线段最值） 运用 说明：全卷25小题，满分150分，建议完成时间120分钟；知识点分布覆盖第二十五、二十六、二十七章核心内容，同一知识点不重复设题，各题考查的能力层次递进。 9 学科网（北京）股份有限公司 $