精品解析：上海市民办金盟学校2026-2027学年九年级第一学期9月学情自测数学试卷

金盟学校九年级第一学期9月份学情诊断 数学试卷 （考试时间100分钟；满分：150分） 一、单选题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 3. 点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 在中，，的余弦值为 ___________________． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 9. 在中，，若，则_____． 10. 如图，已知，如果，，那么k的值为______． 11. 如图，与交于点O，且，若，则__________． 12. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 13. 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为______厘米． 14. 如图，矩形矩形，已知，，，则的长为_______． 15. 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 16. 如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 17. 如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是______． 18. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，第19题8分，第20题10分，第21题到25题每题12分，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知a、b、c满足．求的值． 21. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 22. 如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． （2）在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 24. 如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G． （1）求证：． （2）求证：． 25. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； （3）如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金盟学校九年级第一学期9月份学情诊断 数学试卷 （考试时间100分钟；满分：150分） 一、单选题（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1. 已知，则下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 2. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 3. 点、、分别在的边、、上，，，下列不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质．由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，不符合题意；D错误，符合题意； ， ，故B正确，不符合题意； ，， ， ， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：D． 4. 如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， 正确选项为C， 故答案为：C 5. 如图所示的网格是边长为1的正方形网格，点A，B，C是网格线交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数的知识解答．根据题意作出合适的辅助线，然后利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的值． 【详解】解：作交的延长线于点D，如图所示， 由图可知，， ， ， 故选：C． 6. 已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，正确理解平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理分别列出比例式，可求得x的值，即可判断答案． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故A选项错误，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故B选项正确，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故C选项错误，不符合题意； D，根据平行线分线段成比例定理，得，变形得，故D选项错误，不符合题意． 故选B． 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7. 在中，，的余弦值为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】点为线段的黄金分割点，未指明与的大小关系，需分两种情况结合黄金分割的定义计算的长度． 【详解】解：当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ． 9. 在中，，若，则_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 10. 如图，已知，如果，，那么k的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理等式的性质、解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得；由可得，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，解得：． 故答案为：． 11. 如图，与交于点O，且，若，则__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由可证，利用相似三角形对应边成比例及等比性质即可求解． 【详解】解： ∵， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 14. 如图，矩形矩形，已知，，，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】解：∵矩形∽矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 15. 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，若以原点为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分关于原点的位似图形与在原点同侧和异侧两种情况求解即可． 【详解】解：当关于原点的位似图形与在原点同侧时，点A的对应点的坐标为，即； 当关于原点的位似图形与在原点异侧时，点A的对应点的坐标为，即； 综上所述，点A的对应点的坐标为或． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 16. 如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 17. 如图，正方形中，分别在边上，相交于点，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，过点作，交于点，可得四边形是矩形，即得，由得，设，则，即得到，，得到，再根据即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 由正五边形可得， 由题意得，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是黄金三角形， ∴设， ∴ ∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ， ∴， ， ∵， ∴ ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，第19题8分，第20题10分，第21题到25题每题12分，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用、、、、这些特殊角的三角函数值，按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行计算． 本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握特殊角（、、）的三角函数值以及实数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 20. 已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 21. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 22. 如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 23. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． （2）在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 【答案】（1） 解：如图，为所作的图形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴． （2） 解：如图，为所作的线段． 连接，如图 由图可知， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）取的中间格点E，连接，即可解答； （2）取格点C，D，连接，交于点P，且满足，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴． 又∵， ∴∽， ∴，即． （2） 证明：∵平分， ∴． 又∵，， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． （1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理：三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．如图①，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过点C作，交的延长线于点E． ，，… （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图①，在中，是角平分线，，，．求的长； （3）如图③，中，E是中点，是的平分线，交于F，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图②，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，，， 平分， ， ， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解； （3）根据（1）可得，进而得出，根据是中点，得出，进而根据平行线分线段成比例得出的长，即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：是角平分线， ∴， ∵，，, ∴， 解得， 经检验：符合题意． 【小问3详解】 解：是角平分线，，， ∴， ∴， ， 是中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $