河北唐山市海港高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

唐山市海港高级中学2026-2027学年度高一10月月考数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，，则为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意得：为，. 2．全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则，又， 所以图中阴影部分表示的集合为, 即. 3．下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D. 【详解】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，所以， 即，又，所以，故C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：BD 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以的定义域为， 所以函数的定义域满足，得， 所以函数的定义域为. 5．函数在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】化简函数的解析式，利用函数单调性求解. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数值域，属于中档题. 6．若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或. 故不等式的解集为. 7．下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 【答案】D 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由抽象函数定义域的性质即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由基本不等式即可求解D． 【详解】由，解得，则的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意； 由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意； 因，所以，故C正确，不符合题意； 因， 当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意． 8．设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 【答案】D 【详解】令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数，没有最小值，故D错误． 二、多选题 9．下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 【答案】BC 【详解】对于A，因集合有且仅有2个子集，则集合中只有一个元素， 于是有或，即或，A不正确； 对于B，因为，则，即，所以，根据集合相等及互异性， 所以，解得或（舍），所以，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D， 故有6个元素 ， D不正确. 10．使不等式成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】BC 【分析】解不等式，得不等式的解集；使不等式成立的充分不必要条件是不等式解集的真子集即可． 【详解】不等式解得为或故选BC． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，熟记不等式的解法，以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型. 11．对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】等价于恰好属于,中的一个，据此先求出，再逐项判断. 【详解】因为只取或，所以当且仅当与一个为、另一个为. 即恰好属于,中的一个，所以是只属于或只属于的元素组成的集合. 由，，其中同时属于与，不满足条件. 只属于的元素为，只属于的元素为，所以. 对于A，因为，所以，A正确. 对于B，，因为，所以，B正确. 对于C，因为，，所以，即. 但，所以不成立，C错误. 对于D，，. 因为，所以只属于而不属于的元素为. 所以，D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上的增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分别利用二次函数及一次函数性质限定出两段函数中参数的取值范围，再由单调性比较出两函数端点处的取值大小即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 且函数在上单调递增； 需满足，解得； 所以的取值范围是. 故答案为： 13．已知函数，若，则实数______. 【答案】 【分析】根据函数可得，进而分类讨论可得. 【详解】依题意，且，所以. 当时，，无解； 当时，，解得. 故答案为： 14．设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____. 【答案】 【分析】作出的图象，由函数的值域是，，根据图象求的取值范围，结合是二次函数得出答案. 【详解】因为， 作出函数图象如图， 又因为函数的值域是，， 所以，或或 因为函数是二次函数， 所以，与不可能同时存在，且存在一个， 所以，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 16．（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将原函数解析式变形为，利用基本不等式处理； （2）由可得，则，展开利用基本不等式处理. 【详解】（1）∵，∴. ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为. （2）因为，，则由得， 则，当且仅当，即时等号成立. ∴的最小值是. （3），解得 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值及值域问题，难度一般，解答时注意将原式灵活转化、变形. 17．已知，． (1)当时，用表示、中的最大者，记为，将、的图象画在同一坐标系中，由此直接写出的解析式、值域及单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在同一坐标系中，作出函数、的图象如图所示， ，值域为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）作出函数图象，由图象可得的解析式、值域及单调递减区间. （2）分离参数，利用基本不等式可得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，即，解得或， 由得，；由得或， 在同一坐标系中，作出函数、的图象如图所示， 则，值域为，单调递减区间为. （2）当时，恒成立， 即当时，恒成立， 整理得，， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围为． 18．已知函数． (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若且方程有两个正实数根，求的最小值． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集 为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解 集为. (3) 【分析】（1）将原不等式整理为标准二次不等式，分二次项系数为和不为两种情况，结合恒成立条件求的取值范围； （2）对不等式左边因式分解，根据的不同取值比较对应方程两根大小，分类求解不等式解集； （3）代入整理方程，利用韦达定理将所求代数式转化为关于参数的函数，结合正根条件确定的范围，再用基本不等式求最小值. 【详解】（1）由题意对任意恒成立，整理得恒成立： ① 当时，不等式为，恒成立，符合条件； ② 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围. （2）不等式因式分解得，分类讨论： ① 当时，，解集为； ② 当时，不等式化为，解得，解集为； ③当时，，解集为； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，，解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，原方程整理为， 设两根为，由韦达定理得，， 因方程有两个正实根，恒成立， 故只需满足，即，解得. 所求代数式变形为 ， 代入韦达定理结果得， 令（），则，代入得， 由基本不等式得，当且仅当即（舍去）时等号成立， 此时满足，故的最小值为. 19．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)单调减区间为，单调增区间为，值域为 (3) 【详解】（1）当时，函数在上为单调增函数，此时函数的值域不是，故不成立，则 由已知得在上是减函数，在上是增函数 ∴函数的值域为 ∵函数的值域为， ，即 （2） ∴令，，则， 由已知得当，即时，函数单调递减，则单调减区间为 当，即时，函数单调递增，则单调增区间为 ，，， 函数的值域为 （3）为减函数，， ∵对任意，总存在，使得成立， ∴函数的值域为函数值域的子集 ，解得，即的取值集合为 试卷第12页（共13页） 试卷第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市海港高级中学2026-2027学年度高一10月月考数学试卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知命题，，则为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 4．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 6．若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 7．下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 8．设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 二、多选题 9．下列说法中正确为（     ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．集合，集合，若，则的值为 C．集合，，则“”是“"的充分不必要条件 D．集合，集合，则集合B中含有4个元素 10．使不等式成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B． C． D．或 11．对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是定义在上的增函数，则的取值范围是______． 13．已知函数，若，则实数______. 14．设函数，是二次函数.若的值域是，则的值域是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16．（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 17．已知，． (1)当时，用表示、中的最大者，记为，将、的图象画在同一坐标系中，由此直接写出的解析式、值域及单调递减区间； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围． 18．已知函数． (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若且方程有两个正实数根，求的最小值． 19．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)若函数的值域为，求实数的值； (2)已知，，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值集合． 试卷第4页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $