精品解析：河北石家庄润德学校2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年度润德学校高一上学期第一次月考数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的非空真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知全集，，，则集合（    ） A. B. C. D. 5. 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题 9. 如果，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一个真命题的否定一定是假命题 B. 设非空集合是集合的真子集，则是的必要不充分条件 C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 11. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 三、填空题 12. “”是“”的______条件（从“充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”选一个）． 13. 设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 14. 已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_____． 四、解答题 15. 已知集合．求： （1），； （2）． 16. 已知非空集合，，设命题：“”，命题：“”． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合中仅有一个整数元素，求. 18. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 19. 设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． （1）当时，写出集合A的孪生集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度润德学校高一上学期第一次月考数学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意得：， 故选：A. 2. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定进行辨析即可. 【详解】对于存在量词命题：，，其否定为：，. ∴命题：，，其否定为：，. 故选：B. 3. 已知，，则的非空真子集的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集定义求，再由结论确定其非空真子集的个数. 【详解】由已知，非空真子集有个. 故选：A. 4. 已知全集，，，则集合（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直接计算法，先求补集、再做交并运算的顺序，分别算出各选项集合，对比结果确定答案；也可用韦恩图辅助判断元素归属. 【详解】， ， ， ， ， ， . 5. 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作差即可判断. 【详解】时，， 所以,即 ，即 故. 故选：B. 6. 已知集合，则“”是“仅有1个真子集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，得出方程只有一个根或两个相等的实根，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若，则方程变为，即，解得， 方程有两个相等的实数根1，即仅有一个真子集， “”能推出“仅有1个真子集”，故充分性成立； 若“仅有1个真子集”，则“中仅有1个元素”， 当时，，解得，则仅有一个真子集， 当时，，解得，即也仅有一个真子集， “仅有1个真子集”不能推出“”，故必要性不成立． 故选：A． 7. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【详解】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 8. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 二、多选题 9. 如果，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 一个真命题的否定一定是假命题 B. 设非空集合是集合的真子集，则是的必要不充分条件 C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 设集合，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用否命题的真假与原命题真假相反可判断A;利用真子集中元素的关系可判断B;利用不等式的性质可以判断C;分别验证充分性与必要性可判断D 【详解】对于A，真命题的否定是对原命题的结论进行否定，真命题结论是正确的额，其否定必然错误，所以一个真命题的否定一定是假命题，A正确； 对于B，易知A真包含于B，由真子集的定义可知，若则一定有（必要性成立），若，则不一定有（充分性不成立），因此是的必要不充分条件，B正确； 对于C，如果，则同号，由不等式的性质可知“”是“”的充要条件，C错误； 对于D，若，则，显然（充分性成立），若，则或，解得或，不一定有（必要性不成立），D正确 故选：ABD 11. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征. 【详解】对于A，，则恒有， 即，则，故A选项正确； 对于B，，若，则存在使得， 即，又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除， 所以不能得到，故B选项错误； 如果，可设， 对于C，， 可得，故C选项正确； 对于D，， 不一定成立，不能得到，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛： 按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 三、填空题 12. “”是“”的______条件（从“充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”选一个）． 【答案】充分非必要条件 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义判断. 【详解】时，一定有，但时，不一定有， 如时，满足，但， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分非必要条件 13. 设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有______个 【答案】32 【解析】 【分析】根据集合的交、并运算得出，再由子集个数计算公式得解. 【详解】因为，，集合M满足 所以，则这样的集合M共有个. 故答案为： 14. 已知集合M＝{x∈N|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素； ②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为_____． 【答案】96 【解析】 【分析】对分三种情况讨论，求出X1+X2+X3取最小值39，X1+X2+X3取最大57，即得解. 【详解】由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时， X1+X2+X3取最小值：X1+X2+X3＝8+18+13＝39， 当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时， X1+X2+X3＝16+16+16＝48， 当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时， X1+X2+X3取最大值：X1+X2+X3＝16+19+22＝57， ∴X1+X2+X3的最大值与最小值的和为：39+57＝96． 【点睛】本题主要考查集合新定义的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 四、解答题 15. 已知集合．求： （1），； （2）． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】根据集合交、并、补的概念进行计算. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以或，或， 所以或. 16. 已知非空集合，，设命题：“”，命题：“”． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入集合A，根据集合交集运算可得结果； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出A是B的真子集，再由包含关系得出实数m的取值范围． 【小问1详解】 当时，，又， 所以. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，故A是B的真子集， 当时，即，解得：或，满足题意； 当时，即，解得：， 综上：或， 所以实数的取值范围为. 17. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】（1） （2） 当该整数元素为时，； 当该整数元素为时，. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意， 知或，, 因为，故，解得； 【小问2详解】 中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 18. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 19. 设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集． （1）当时，写出集合A的孪生集B； （2）若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由． 【答案】（1）； （2）128； （3） 不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集， 不妨设，则集合A的孪生集， 则，， 则必有，，其4个正实数的乘积； 同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾． 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集． 【解析】 【分析】⑴根据孪生集的定义写出集合即可； ⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解； ⑶利用反证法来证明. 【小问1详解】 ∵，∴； 【小问2详解】 设，不妨设， 因为，所以B中元素个数大于等于7， 取，则，此时B中元素共7个， 所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $