精品解析：河北石家庄二中铭德学校2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年铭德中学第一学期10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，分别考虑，注意借助集合元素的互异性进行分析. 【详解】当时，，此时，不满足集合中元素的互异性， 当时，或（舍），此时，满足条件， 综上可知：的值为. 故选：C. 【点睛】本题考查根据元素与集合的属于关系求解参数值，难度较易.根据元素与集合的关系求解参数时，注意集合中元素的互异性. 2. 已知集合 ，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，集合， 集合 所以. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 所以. 故选：A. 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为（ ） A. 1和2 B. 和2 C. 2和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先把代入方程求出的值，再把的值代入方程求出另一个根即可. 【详解】把代入方程得：，解得：，原方程可化为， 设方程的另一个根为，则，． 故选：B． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 8. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，空集的定义，以及集合的表示方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，根据集合相等的定义，可得集合，所以A正确； 对于B，空集是没有任何元素的集合，集合是含有元素的单元素集合， 所以与不是同一个集合，所以B错误； 对于C，集合，集合， 所以集合与集合不是同一个集合，所以C错误； 对于D，由方程组，解得，所以集合可以表示为，所以D正确. 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立. 【详解】对于A，令，，则，故A错误. 对于B，因为，所以，故B正确. 对于C，由于 ，同乘以， 得，又，所以，故C正确. 对于D，若，则，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. 当时， C. 已知，则 D. 正实数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用均值不等式逐一判断即可. 【详解】选项A：当时显然有，A错误； 选项B：， 当时，，由均值定理得，当且仅当即时等号成立， 所以当且仅当时取得最小值8，B错误； 选项C：因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又，当且仅当即时等号成立， 综上，当且仅当即时等号成立，C正确； 选项D：因为，由得， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以，D正确； 故选：CD 三、填空题 12. 因式分解：________．集合的最小元素为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用分组分解和提取公因式法，即可得第一空答案；解方程求出集合的元素，即可确定第二空答案. 【详解】 ； ，即， 解得或或， 故， 则的最小元素为， 故答案为：； 13. 若不等式的解集是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知是方程两根， 所以，． 14. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设利用旧墙的长度为米，由面积求得矩形的另一边长，根据题意求得修建此矩形场地的总费用，利用基本不等式即可求解. 【详解】设利用旧墙的长度为米，修建此矩形场地的总费用为元， 由题意知，矩形的另一边长为米， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分类计算即可得. 【小问1详解】 若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； 【小问2详解】 若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①当，则,符合题意； ②当，则， 此时，此时 ，解得； 或，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 16. 已知，. （1）比较与的大小； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1） （2）最小值为9 【解析】 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可； （2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果. 【小问1详解】 因为， 因为，，则， 可得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 因为，即，整理可得， 且，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 故ab的最小值为9． 17. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【小问1详解】 ，. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. 【小问2详解】 若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. 【小问3详解】 若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 18. 已知命题，命题．命题：函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立. （1）写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； （2）若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． （3）若命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）命题的否定为，当时为真命题； （2）实数的取值范围是； （3）实数的取值范围是. 【解析】 【分析】(1)依据全称命题的否定规则写出，代入直接判断真假；(2)分别求解命题为真、命题为假时的范围，取交集得到结果；(3)先求两个函数在给定区间的值域，结合全称与存在量词的逻辑关系列不等式求解的范围. 【小问1详解】 全称命题的否定为特称命题，将全称量词替换为存在量词并否定结论，得：；当时，取，，故为真命题. 【小问2详解】 由题意可知为真命题，为假命题，①若为真，则对任意，恒成立，当时，的最小值为，故；②若为假，则一元二次方程无实根，判别式，解得，取两者的交集，得实数a的取值范围是. 【小问3详解】 函数，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在区间上单调递增， 时，取得最小值为，时，取得最大值为，故的值域为， 函数，,该一次函数斜率为，在区间上单调递减, 时，取得最大值为,时，取得最小值为，故的值域为， 命题“对任意的，总存在，使得成立”，因此只需保证的最小值小于的最小值，即可满足所有情况，所以，得. 19. 已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件： （3）记集合，，求证：. 【答案】（1），， （2） 证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于， 又，而， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件. （3） 证明：对于，，为偶数. 令，解得， ∴，即. 【解析】 【分析】（1）根据集合元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； （3）设，推出，即可得证. 【小问1详解】 ∵，，∴，， 假设，，，则， 且，∵或， ∴或，显然不满足整数解条件，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年铭德中学第一学期10月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，且，则的值为（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知集合 ，则 （    ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别为（ ） A. 1和2 B. 和2 C. 2和 D. 和 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 与是同一个集合 C. 集合与集合是同一个集合 D. 若用列举法表示集合，则集合可以表示为 10. 下列命题为真命题的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 若，则 11. 下列不等式一定成立的有（ ） A. B. 当时， C. 已知，则 D. 正实数满足，则 三、填空题 12. 因式分解：________．集合的最小元素为________. 13. 若不等式的解集是，则的值为________． 14. 如图所示，某学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，为使修建此矩形场地的总费用最小，需要用旧墙的长度为___________. 四、解答题 15. 已知集合，集合或． （1）若， ，求实数的取值范围； （2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 16. 已知，. （1）比较与的大小； （2）若，求ab的最小值. 17. 设集合，. （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围； （3）若全集，，求实数a的取值范围. 18. 已知命题，命题．命题：函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立. （1）写出命题p的否定，并判断当时命题p否定的真假（直接判断，无需说明理由）； （2）若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． （3）若命题为真命题，求实数的取值范围． 19. 已知集合 （1）判断8，9，10是否属于集合； （2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件： （3）记集合，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $