精品解析：浙江嘉兴市秀州中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

秀州中学2026学年第一学期10月考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是：（ ） A. B. C. D. 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 7. 函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 10. 已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 集合的非空子集的个数是____________________． 13. 函数的定义域是______ 14. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 四、解答题：本题共3小题，共30分． 15. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值． 16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 定义． （1）写出函数的表达式； （2）已知函数，求的最小值； （3）已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秀州中学2026学年第一学期10月考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次方程得到集合的全部元素，再根据并集的定义求解即可. 【详解】首先求解集合 ：由 ，解得 或 ； 因此 ，已知 ，则 . 2. 命题“”的否定是：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“”的否定是：. 故选：D 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式命题的判断规则：判断命题为真要用性质推理，判断命题为假只需举出反例：选项A：未限制正负，可取，得到反例，命题错误；选项B：同样缺少正负条件，取构造反例，命题错误；选项C：依据不等式同向可加的性质推理，命题成立；选项D：没有正数前提，取负数构造反例，命题错误. 【详解】选项A：举反例：取， ，但，，不成立， A错误； 选项B：举反例：取， ，，，不成立， B错误； 选项：不等式性质：同向不等式可相加， ， ， 传递得：，C正确； 选项D：举反例：取， ，∴，， 不成立，D错误； 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】由且，得；反之，由，得且，或者且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】逐项判断函数的定义域和对应法则即可； 【详解】选项A：两个函数的定义域都是全体实数，根据二次根式的性质，， 对应法则完全相同，是同一个函数，A 正确； 选项B：​的定义域是，即； 而需要同时满足且，定义域为， 定义域不同，不是同一函数，B错误； 选项C：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，C错误； 选项D：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，D错误； 6. 已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的解集为 D. 的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 7. 函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先明确分段函数单调递减的条件，然后分析二次函数和反比例函数的单调性，最后再考虑分段点处的函数值衔接：结合三个条件即可求出的范围. 【详解】分段函数在定义域上整体单调递减，需要同时满足三个条件： 第一段二次函数在上递减： 是开口向上的抛物线，对称轴为， 要使其在单调递减，需，得； 第二段反比例函数在上递减： ​是反比例函数，要在时单调递减，需系数； 两段在衔接点处满足递减的连续性： 即处左侧的函数值不小于右侧的函数值： 代入得，化简得，即. 联立三个条件得. 8. 已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题中是真命题的有（ ） A. B. C. “”是“”的充分不必要条件 D. “四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A配方即可判断；对B，求解方程即可判断；对C，解出一元二次不等式即可判断；对D，根据菱形和正方形关系即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 10. 已知函数在区间上单调递减，则实数的可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【分析】先将分离常数得，结合在区间上单调递减，则有，进而可解得的取值范围. 【详解】由分离常数法可知，反比例型函数可化为， 因为在区间上单调递减，所以，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC. 11. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知等式可求得的范围，利用的范围和基本不等式依次判断各个选项可得到结果. 【详解】，，，，解得：，； 对于A：，即，解得：（当且仅当，时取最大值），正确； 对于B：（当且仅当，时取最大值），错误； 对于C：，错误； 对于D：（当且仅当，取最小值），正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 集合的非空子集的个数是____________________． 【答案】15 【解析】 【分析】先确定集合 的元素个数，再利用 元集合非空子集个数为 的结论计算结果. 【详解】由 ，可得 ，其元素个数 ， 因此非空子集个数为 . 13. 函数的定义域是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数定义域列不等式，解不等式组即可. 【详解】由已知， 则，解得， 即或， 故答案为：. 14. “高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是______. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】由题意得：， 由解析式可得函数图形如下图所示，    对于①，函数，①错误； 对于②：函数的最小值为，②正确； 对于③，函数的图象与直线有无数个交点，③正确； 对于④，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④正确； 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共3小题，共30分． 15. 已知关于的不等式． （1）当时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的求解方法求解即可. （2）根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 16. 某公司生产某产品，原生产量为每年万件，为适应市场需求，计划改进技术并扩大生产．据测算，生产该产品的年固定成本为万元，每生产万件，需另投入可变成本万元，且．由市场调研知，该产品每件的售价为元，且全年产品当年可全部售完． （1）求年利润（万元）与年产量（万件）的函数解析式（利润＝销售收入－固定成本－可变成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 【解析】 【分析】（1）由“利润＝销售收入－固定成本－可变成本”列出关系式并化简即得的解析式； （2）利用基本不等式可求得年利润最大值. 【小问1详解】 由题意知，年利润 【小问2详解】 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 此时，取得最大值为， 所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元. 17. 定义． （1）写出函数的表达式； （2）已知函数，求的最小值； （3）已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【小问1详解】 根据已知， 可得. 【小问2详解】 由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； 【小问3详解】 令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $